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Eletrônica de Potência
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O retificador apresentado na figura abaixo tem uma carga RC em paralelo A finalidade do capacitor é a de reduzir a variação na tensão de saída tornandoa mais constante menos pulsante Funcionamento do circuito Supondose o capacitor inicialmente descarregado o diodo fica diretamente polarizado Capacitor carrega até Vm quando ωt π2 Após π2 o capacitor descarrega no resistor pois vst diminui Em dado instante após π2 a tensão vst tornase menor que v0t o que polariza o diodo reversamente O capacitor transfere a energia armazenada à carga e sua tensão decresce exponencialmente com constante de tempo RC Equacionamento A tensão na saída pode ser matematicamente descrita pela equação votVm senωt para o diodo em condução VθeωtθωRC para diodo bloqueado Onde Vθ Vm senθ O ponto no qual o diodo para de conduzir pode ser obtido igualandose a variação da tensão na fonte e a tensão no capacitor ddωtVm senωt Vm cos ωt ddωtVm senθ eωtθωRC Vm senθ1ωRCeωtθωRC Equacionamento Em ωt θ as funções que representam as inclinações das tensões são iguais Vm cos ωt Vm senθ ωRC eωtθωRC Vm cos θ Vm senθ ωRC eθθωRC cos θ senθ 1ωRC 1tgθ 1ωRC θ tg1ωRC θ tg1ωRC π Nos circuitos práticos onde a constante de tempo tem valor relativamente alto as aproximações abaixo são válidas θ π2 e Vm senθ Vm Equacionamento No segundo período o diodo volta a conduzir no instante em que a tensão vSt torna a ser maior que v0 t Isso ocorrerá após o intervalo angular α pós 2π O ângulo a partir do qual o diodo volta a conduzir ωt 2π α pode ser obtido igualandose vSt com v0 t Vm sen ωt Vm sen θ eωtθωRC Vm sen2π α Vm sen θ e2π α θ ωRC sen α sen θ e2π α θωRC 0 Essa ultima equação deve ser resolvida numericamente Fonte Hart 2012 Equacionamento A corrente no capacitor pode ser calculada por meio da equação iCωt C dv0ωtdωt Mas foi visto que v0 t é conforme abaixo v0 t Vm sen ωt para o diodo em condução Vm sen θ eωtθωRC para diodo bloqueado Portanto a equação para iC t será iC t Vm sen θ R eωtθωRC para θ ωt 2π α ω C Vm cosωt para 2π α ωt 2π θ Equacionamento A corrente de pico no capacitor ocorre quando o diodo entra em condução em ωt 2π α Assim ICpico ωCVm cos2π α ICpico ωCVm cos α A corrente no resistor em ωt 2π α é obtida pela equação iR2π α Vm sen2π α R iR2π α Vm senα R A corrente de pico no diodo será dada por IDpico ωCVm cos α Vm senα R IDpico Vm ωC cos α senα R A ondulação pico a pico para o retificador é expressa como ΔV0 Vm Vm sen2π α Vm 1 senα ΔV0 Vm Vm senα Vm 1 senα Equacionamento Na equação para a tensão se V0 Vm e θ π2 para α π2 resulta em v0t Vm sen θ eωt θ ωRC v02π α Vm senπ 2 e2π π2 π2 ωRC v02π α Vm e2π ωRC A ondulação de tensão pode ser aproximada para ΔV0 Vm Vm e2π ωRC ΔV0 Vm 1 e2π ωRC Além disso a exponencial acima pode ser aproximada por expansão em série o que resulta em e2π ωRC 1 2π ωRC ΔV0 Vm 1 1 2π ωRC ΔV0 Vm 2π ωRC ΔV0 Vm fRC Excr 4 Um retificador de meia onda com filtro capacitivo é alimentado por uma fonte ca de 120 V rms na frequência de 60 Hz A carga é de 500 Ω e C 100μF Determine a uma expressão para a tensão de saída b a variação de pico a pico na tensão de saída c uma expressão para a corrente no capacitor d a corrente de pico no diodo e e o valor de C para que ΔV0 seja 1 de Vm a Expressão para v0 v0t Vm senωt para o diodo em condução Vθ eωt θ ωRC para diodo bloqueado Vθ Vm senθ Vm 120 2 1697 V ωRC 2 π 60 500 100 106 ωRC 1885 rad θ tg11885 π 162 rad 93 Vθ 16970 sen 93 1695 V α é encontrado por meio da equação senα senθ e2παθωRC 0 senα sen162 e2πα1621885 0 α 0843 rad 48 Assim a expressão para a tensão de saída é conforme a equação v0t 1697 senωt para 2πα ωt 2πθ 1695 eωt1621885 para θ ωt 2πα a A variação da tensão de saída pico a pico ΔV0 Vm 1 sen α ΔV0 1697 1 sen 0843 43 V c Expressão para a corrente no capacitor iCt Vm senθ R eωtθωRC para θ ωt 2π α ωCVm cosωt para 2π α ωt 2π θ iCt 1697 sen93 500 eωt1621885 para 93 ωt 360 48 2 π 60 100 106 1697 cosωt para 360 48 ωt 360 93 iCt 0339 eωt162 1885 para 93 ωt 408 64 cosωt para 408 ωt 453 d A a corrente de pico a pico no diodo IDpico Vm ωC cos α sen α R IDpico 1697 2π 60 100 106 cos48 sen48 500 IDpico 45 A e O valor de C para ΔV0 0001Vm ΔV0 Vm fRC C Vm fRΔV0 C 1697 60 500 001 1697 C 3333 µF A corrente de pico no diodo para a capacitância obtida no item e pode ser calculada por meio da equação IDpico Vm ωC cos α sen α R É necessário o valor de α que pode ser calculado por meio da equação ΔV0 Vm 1 sen α α sen1 1 ΔV0 Vm sen1 1 001 Vm Vm α sen1 1 001 Vm Vm α 819 IDpico 1697 377 3333 106 cos819 sen819 500 IDpico 304 A Excr 5 Um retificador de meia onda com filtro capacitivo é alimentado por uma fonte ca de 200 V de pico na frequência de 377 rads A carga é de 1000 Ω e C 1000µF Determine a razão da constante de tempo para o período da onda senoidal de entrada Qual o significado da razão b a tensão ondulação de saída usando as equações exatas c a tensão ondulação de saída usando as equações aproximadas a Razão entre constante de tempo e período τ T T 2π 377 00167 s RC 1000 1000 106 1 s τ T 1 00167 5988 60 1 A variação da tensão na carga é muito menor que a da tensão de entrada senoidal b Ondulação com equações exatas ΔV0 Vm 1 sen α sen α sen θ e2π α θωRC 0 θ tg1 ωRC π θ tg1 377 1000 10006 π θ 157 rad 8995 90 Gráfico da função y senθ e2π α θ senα para identificar a solução alfa x y α 139 rad 7964 ΔV₀ Vₘ 1 senα 2001 sen139 ΔV₀ 326 V b Ondulação com equações aproximadas ΔV₀ Vₘ fRC ΔV₀ 200 60 1000 1000 10⁶ 333 V
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O retificador apresentado na figura abaixo tem uma carga RC em paralelo A finalidade do capacitor é a de reduzir a variação na tensão de saída tornandoa mais constante menos pulsante Funcionamento do circuito Supondose o capacitor inicialmente descarregado o diodo fica diretamente polarizado Capacitor carrega até Vm quando ωt π2 Após π2 o capacitor descarrega no resistor pois vst diminui Em dado instante após π2 a tensão vst tornase menor que v0t o que polariza o diodo reversamente O capacitor transfere a energia armazenada à carga e sua tensão decresce exponencialmente com constante de tempo RC Equacionamento A tensão na saída pode ser matematicamente descrita pela equação votVm senωt para o diodo em condução VθeωtθωRC para diodo bloqueado Onde Vθ Vm senθ O ponto no qual o diodo para de conduzir pode ser obtido igualandose a variação da tensão na fonte e a tensão no capacitor ddωtVm senωt Vm cos ωt ddωtVm senθ eωtθωRC Vm senθ1ωRCeωtθωRC Equacionamento Em ωt θ as funções que representam as inclinações das tensões são iguais Vm cos ωt Vm senθ ωRC eωtθωRC Vm cos θ Vm senθ ωRC eθθωRC cos θ senθ 1ωRC 1tgθ 1ωRC θ tg1ωRC θ tg1ωRC π Nos circuitos práticos onde a constante de tempo tem valor relativamente alto as aproximações abaixo são válidas θ π2 e Vm senθ Vm Equacionamento No segundo período o diodo volta a conduzir no instante em que a tensão vSt torna a ser maior que v0 t Isso ocorrerá após o intervalo angular α pós 2π O ângulo a partir do qual o diodo volta a conduzir ωt 2π α pode ser obtido igualandose vSt com v0 t Vm sen ωt Vm sen θ eωtθωRC Vm sen2π α Vm sen θ e2π α θ ωRC sen α sen θ e2π α θωRC 0 Essa ultima equação deve ser resolvida numericamente Fonte Hart 2012 Equacionamento A corrente no capacitor pode ser calculada por meio da equação iCωt C dv0ωtdωt Mas foi visto que v0 t é conforme abaixo v0 t Vm sen ωt para o diodo em condução Vm sen θ eωtθωRC para diodo bloqueado Portanto a equação para iC t será iC t Vm sen θ R eωtθωRC para θ ωt 2π α ω C Vm cosωt para 2π α ωt 2π θ Equacionamento A corrente de pico no capacitor ocorre quando o diodo entra em condução em ωt 2π α Assim ICpico ωCVm cos2π α ICpico ωCVm cos α A corrente no resistor em ωt 2π α é obtida pela equação iR2π α Vm sen2π α R iR2π α Vm senα R A corrente de pico no diodo será dada por IDpico ωCVm cos α Vm senα R IDpico Vm ωC cos α senα R A ondulação pico a pico para o retificador é expressa como ΔV0 Vm Vm sen2π α Vm 1 senα ΔV0 Vm Vm senα Vm 1 senα Equacionamento Na equação para a tensão se V0 Vm e θ π2 para α π2 resulta em v0t Vm sen θ eωt θ ωRC v02π α Vm senπ 2 e2π π2 π2 ωRC v02π α Vm e2π ωRC A ondulação de tensão pode ser aproximada para ΔV0 Vm Vm e2π ωRC ΔV0 Vm 1 e2π ωRC Além disso a exponencial acima pode ser aproximada por expansão em série o que resulta em e2π ωRC 1 2π ωRC ΔV0 Vm 1 1 2π ωRC ΔV0 Vm 2π ωRC ΔV0 Vm fRC Excr 4 Um retificador de meia onda com filtro capacitivo é alimentado por uma fonte ca de 120 V rms na frequência de 60 Hz A carga é de 500 Ω e C 100μF Determine a uma expressão para a tensão de saída b a variação de pico a pico na tensão de saída c uma expressão para a corrente no capacitor d a corrente de pico no diodo e e o valor de C para que ΔV0 seja 1 de Vm a Expressão para v0 v0t Vm senωt para o diodo em condução Vθ eωt θ ωRC para diodo bloqueado Vθ Vm senθ Vm 120 2 1697 V ωRC 2 π 60 500 100 106 ωRC 1885 rad θ tg11885 π 162 rad 93 Vθ 16970 sen 93 1695 V α é encontrado por meio da equação senα senθ e2παθωRC 0 senα sen162 e2πα1621885 0 α 0843 rad 48 Assim a expressão para a tensão de saída é conforme a equação v0t 1697 senωt para 2πα ωt 2πθ 1695 eωt1621885 para θ ωt 2πα a A variação da tensão de saída pico a pico ΔV0 Vm 1 sen α ΔV0 1697 1 sen 0843 43 V c Expressão para a corrente no capacitor iCt Vm senθ R eωtθωRC para θ ωt 2π α ωCVm cosωt para 2π α ωt 2π θ iCt 1697 sen93 500 eωt1621885 para 93 ωt 360 48 2 π 60 100 106 1697 cosωt para 360 48 ωt 360 93 iCt 0339 eωt162 1885 para 93 ωt 408 64 cosωt para 408 ωt 453 d A a corrente de pico a pico no diodo IDpico Vm ωC cos α sen α R IDpico 1697 2π 60 100 106 cos48 sen48 500 IDpico 45 A e O valor de C para ΔV0 0001Vm ΔV0 Vm fRC C Vm fRΔV0 C 1697 60 500 001 1697 C 3333 µF A corrente de pico no diodo para a capacitância obtida no item e pode ser calculada por meio da equação IDpico Vm ωC cos α sen α R É necessário o valor de α que pode ser calculado por meio da equação ΔV0 Vm 1 sen α α sen1 1 ΔV0 Vm sen1 1 001 Vm Vm α sen1 1 001 Vm Vm α 819 IDpico 1697 377 3333 106 cos819 sen819 500 IDpico 304 A Excr 5 Um retificador de meia onda com filtro capacitivo é alimentado por uma fonte ca de 200 V de pico na frequência de 377 rads A carga é de 1000 Ω e C 1000µF Determine a razão da constante de tempo para o período da onda senoidal de entrada Qual o significado da razão b a tensão ondulação de saída usando as equações exatas c a tensão ondulação de saída usando as equações aproximadas a Razão entre constante de tempo e período τ T T 2π 377 00167 s RC 1000 1000 106 1 s τ T 1 00167 5988 60 1 A variação da tensão na carga é muito menor que a da tensão de entrada senoidal b Ondulação com equações exatas ΔV0 Vm 1 sen α sen α sen θ e2π α θωRC 0 θ tg1 ωRC π θ tg1 377 1000 10006 π θ 157 rad 8995 90 Gráfico da função y senθ e2π α θ senα para identificar a solução alfa x y α 139 rad 7964 ΔV₀ Vₘ 1 senα 2001 sen139 ΔV₀ 326 V b Ondulação com equações aproximadas ΔV₀ Vₘ fRC ΔV₀ 200 60 1000 1000 10⁶ 333 V