Conjuntos Ita 1985 2012

Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. QUESTÕES DE CONJUNTOS DO VESTIBULAR DO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA (ITA) DE 1985 A 2012 NOTAÇÕES N : conjunto dos números naturais A^C : complementar do conjunto A R : conjunto dos números reais [a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} [a,b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b} ]a,b[ = {x ∈ R : a < x < b} R^+ : conjunto dos números reais não negativos P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(A) : número de elementos do conjunto finito A A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B} ==================================================================== QUESTÃO 1 (ITA 2012) Sejam A , B e C subconjuntos de um conjunto universo U . Das afirmações: I. (A \ B^C) \ C = A ∩ (B ∪ C)^C II. (A \ B^C) \ C = A ∪ (B ∩ C)^C III. B^C ∪ C^C = (B ∩ C)^C où é (são) sempre verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: I. FALSA Contraexemplo: A ∩ B ≠ ∅ ∧ C = ∅ ⇒ (A \ B^C)^C = (A \ B^C) \ U = ∅ ≠ A ∩ B = A ∩ (B ∪ ∅) = A ∩ (B ∪ C) Note que A \ B^C = A ∩ (B^C)^C = A ∩ B . Assim, (A \ B^C) \ C = (A ∩ B) \ C = A ∩ B ∩ C^C . II. FALSA Contraexemplo: C = U ⇒ (A \ B^C) \ C = (A \ B^C) \ U = ∅ e A ∪ (B ∩ C)^C = A ∪ (B ∩ ∅)^C = A ∪ B^C = A ∪ ∅^C = A ∪ U = U III. VERDADEIRA Essa igualdade é uma das Leis de De Morgan. QUESTÃO 2 madematica.blogspot.com 1 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.com. (ITA 2012) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A ∪ B)). Então, a diferença n(A) - n(B) pode assumir a) um único valor. b) apenas dois valores distintos. c) apenas três valores distintos. d) apenas quatro valores distintos. e) mais do que quatro valores distintos. RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: Se A e B dois conjuntos disjuntos, então A ∩ B = ∅ e seus conjuntos das partes são tais que P(A) ∪ P(B) = ∅; n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = n(A) + n(B) ⇒ n(P(A ∪ B)) = 2^n(A ∪ B) n(P(A) ∪ P(B)) = n(P(A)) + n(P(B)) - n(P(A) ∩ P(B)) = n(P(A)) + n(P(B)) = 2^n(A) + 2^n(B) - 1\ n(P(A) ∪ P(B)) + 1 = n(P(A ∪ B)) ⇒ 2^n(A) + 2^n(B) - 1 + 1 = 2^n(A ∪ B) ⇔ 2^n(A) + 2^n(B) = 2^n(A ∪ B) ⇔ 2^n(A) = 2^n(B) ⇔ n(A) - n(B) = 0 ∧ n(A) = n(B) = 1 Logo, n(A) - n(B) = 0, ou seja, pode assumir um único valor. QUESTÃO 3 (ITA 2012) Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam Física e Matemática, enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 estudantes. Determine n . 1ª RESOLUÇÃO: Representando as informações do enunciado em um diagrama de Venn, sendo x a quantidade de estudantes que estudam apenas Matemática e Química, temos: madematica.blogspot.com 2 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.com. 36% n - x 28% n - 63 + x #(M ∪ F ∪ Q) = n ⇒ 48% * n + (28% n - 63 + x) + (63 - x) + (28% n - 63) = n ⇔ 4% n = 63 ⇒ n = 1575 2ª RESOLUÇÃO: #(M) = 48% . n ; #(Q) = 36% . n ; #(F) = 32% . n ; #(F ∩ M) = 8% . n ; #(M ∩ F ∩ Q) = 4% . n (M ∩ Q) + #(F ∩ Q) = 63 + 2 . #(M ∩ F ∩ Q) = 63 + 8% . n onde é a quantidade de alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química. Usando a expressão do princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, temos: #(M ∪ F ∪ Q) = #(M) + #(F) + #(Q) - #(M ∩ F) - #(M ∩ Q) - #(F ∩ Q) + #(M ∩ F ∩ Q) ⇔ 100% . n = 48% . n + 36% . n + 32% . n - 8% . n - (63 + 8% . n) + 4% . n = 63 ⇔ n = 1575 Nessa resolução adotamos a notação #(A) para representar a quantidade de elementos de um conjunto finito A para evitar confusão. Observação: O enunciado foi alterado, pois a questão originalmente proposta apresentava dados incompatíveis. QUESTÃO 4 (ITA 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A ⊂ B e n(C : C ⊂ B \ A})] = 128. Então, das afirmações abaixo: I. n(B) - n(A) é único; II. n(B) + n(A) ≤ 128; III. a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única; É (são) verdadeira(s): a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) apenas I e II. madematica.blogspot.com 3 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. d) apenas I e II. e) nenhuma. RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: O conjunto {C : C ⊂ B \ A} é o conjunto dos subconjuntos do conjunto (B \ A). n({C : C ⊂ B \ A}) = 2^(B\A) = 128 = 2^7 ⇔ n(B\A) = 7 I) VERDADEIRA A ⊂ B ⇒ n(B \ A) = n(B) - n(A) = 7 II) FALSA Contraexemplo: Sejam os conjuntos A e B tais que A ⊂ B, n(B) = 68 e n(A) = 61. Nesse caso, tem-se n(B \ A) = 7 e n(B) + n(A) = 68 + 61 = 129 > 128. III) FALSA Contraexemplo: Sejam os conjuntos A e B tais que A ⊂ B, n(B) = 8 e n(A) = 1, nos quais n(B \ A) = 7. Logo, temos pelo menos duas duplas ordenadas que satisfazem às condições: (61,8) e (1,8) QUESTÃO 5 (ITA 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A \ B) ∪ (B \ A) = A. RESOLUÇÃO: (A \ B) ∪ (B \ A) = A ⇒ B \ A ⊂ A ⇔ A ⊂ A ∪ B ⇔ A ⊂ B ∩ A = ∅ ⇒ B \ A = ∅ ⇔ B ⊂ A (A \ B) ∪ (B \ A) = A ⇒ (A \ B) ∪ ∅ = A ⇒ (A \ B) = A ∩ B = ∅ ⇒ A ⊂ B ⇒ A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⊂ B ⇒ B = ∅ Logo, não existem A e B que cumpram as condições do enunciado. QUESTÃO 6 (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x ∈ A ∩ B é: x ∉ A ou x ∉ B. II. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). III. (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B). Destas, é (são) falsa(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) nenhuma. RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: I. Verdadeira. matematica.blogspot.com Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. (x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A e x ∈ B) ⇔ x ∈ A ou x ∉ B. II. Verdadeira. (Propriedade Distributiva) III. Verdadeira. (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∩ Bᶜ) ∪ (B ∩ Aᶜ) = ((A ∩ Bᶜ) ∪ B) ∩ ((B ∩ Aᶜ) ∪ A) = = ((A ∪ B) ∩ (Bᶜ ∪ Aᶜ)) ∩ ((A ∪ Aᶜ) ∩ (B ∪ A)) = (A ∪ B) ∩ (Bᶜ ∪ Aᶜ) = = (A ∪ B) \ (A ∩ B) QUESTÃO 7 (ITA 2010) Considere conjuntos A, B ⊂ ℝ e C ⊂ (A ∪ B). Se A ∪ B, A ∩ C e B ∩ C são os domínios das funções reais definidas por ln(x - √π), √-x² + 6x - 8 e √ x - π 5 - x xrespectivamente, pode-se afirmar que a) C = ]√π,5[. b) C = [2, π[. c) C = [2, 5[. d) C = [π, 4[. e) C não é intervalo. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Domínio de ln(x - √π): x - √π > 0 ⇔ x > √π ⇒ A ∪ B = ]√π,+∞[ Domínio de √-x² + 6x - 8: -x² + 6x - 8 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 4 ⇒ A ∩ C = [2,4] Domínio de √ x - π 5 - x: 5 - x ≠ 0 ⇔ 5 - x > 0 ⇔ π ≤ x < 5 ⇒ B ∩ C = [π,5[ C = C ∩ (A ∪ B) = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) = [2,4] ∪ [π,5[ = [2,5[ Note que C = [2,5[ ⊂ A ∪ B = ]√π,+∞[. QUESTÃO 8 (ITA 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C ⊆ B, n(B \ C) = 3 ⋅ n(B ∩ C) = 6 ⋅ n(A ∩ B), n(A ∪ B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(C). b) Determine n(P(B \ C)). RESPOSTA: a) n(C) = x = 4; b) n(P(B \ C)) = 2¹² RESOLUÇÃO: Seja n(C) = x ≠ 0, então n(A) = xr e n(B) = x²r. Como C ⊆ B, então B ∩ C = n(B) - n(B \ C) = n(B) - n(B ∩ C) = n(B) - n(C) = x²r - x. matematica.blogspot.com Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. n(B \ C) = 3 ⋅ n(B ∩ C) = 6 ⋅ n(A ∩ B) ⇒ x²r - x = 3 ⋅ x = 3 ⋅ x ⋅ r = 3 ⋅ x ⋅ r ⇔ r² = 4 ⇔ r = 2 ⇒ r > 0 O princípio da inclusão-exclusão estabelece que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 6 ⋅ n(A ∩ B) = 3 ⋅ n(B ∩ C) = 3 ⋅ n(C) = 3 ⋅ x ⇔ n(A ∩ B) = x2 a) n(C) = x = 4 b) n(B \ C) = 3 ⋅ n(B ∩ C) = 3 ⋅ n(C) = 3 ⋅ x = 12 ⇒ n(P(B \ C)) = 2ⁿ (B\C) = 2¹² QUESTÃO 9 (ITA 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (Bᶜ ∪ A)ᴰ = {f, g, h}, Bᶜ ∩ A = {a, b} e A \ B = {d, e}, então, n(P(A ∩ B)) é igual a a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8 RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Aᶜ \ B = Aᶜ ∩ B = C =(A ∪ B)ᶜ = {d, e} ⇒ A ∪ B = {a, b, c, f, g, h} Bᶜ ∩ A = A \ B = {a, b} (Bᶜ ∪ A)` = B ∩ A = C = B ∩ A = {f, g, h} ⇒ A ∩ B = {c} (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A ∩ B) ∪ (B \ A) {a, b, c, f, g, h} \ (A ∪ B) ∪ {f, g, h} = {a, b} \ (A, f, g, h) ⇒ A ∩ B = {c} ⇒ n(A ∩ B) = 1 ⇒ n(P(A ∩ B))= 2^1 = 2 QUESTÃO 10 (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X - Y) ∩ Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z ∩ Y = ∅, W ∩ (X ∪ Z) = {7, 8}, X ∩ W ∩ Z = {2, 4}. Então o conjunto [X ∩ (Z ∪ W)] - [W ∩ (Y ∪ Z)] é igual a: a) {1, 2, 3, 4, 5} b) {1, 2, 3, 4, 7} c) {1, 3, 7, 8} d) {1, 3} e) {7, 8} matematica.blogspot.com Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: O diagrama de Venn a seguir representa os conjuntos X, Y, Z, W, onde Z∩Y = Ø. X∩W∩Z = {2,4} é a região azul. Z∩Y = Ø ⇒ (X−Y)∩Z = X∩Z = {1,2,3,4} é a união da região azul e da amarela, logo a região amarela corresponde a {1,3}. W∩(X−Z) = {7,8} é a união da região verde e da laranja. Mas, Y = {5,6} e a região verde está contida em Y, então a região verde é vazia, e a região laranja corresponde a {7,8}. O conjunto [X∩(Z∪W)] corresponde à união das regiões amarela, azul, laranja e verde; o conjunto [W∩(Y∪Z)] corresponde à união das regiões rosa, azul, verde e vermelha. Portanto, [X∩(Z∪W)]−[W∩(Y∪Z)] corresponde à união das regiões amarela e laranja, ou seja, [X∩(Z∪W)]−[W∩(Y∪Z)] = {1,3,7,8}. QUESTÃO 11 (ITA 2007) Se A , B , C forem conjuntos tais que n (A∪B) = 23 , n (B−A) = 12, n (C−A) =10, n(B∩C) =6 e n (A∩B∩C)=4, então n(A∩C) , n(A∪C) , n(A∪B∪C) , nesta ordem, a) formam uma progressão aritmética de razão 6. b) formam uma progressão aritmética de razão 2. c) formam uma progressão aritmética de razão 8 , cujo primeiro termo é 11. d) formam uma progressão aritmética de razão 10 , cujo último termo é 31. e) não formam uma progressão aritmética. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: Vamos preencher o diagrama de Venn de acordo com os dados do enunciado. madematica.blogspot.com 7 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. m = n(A∩B∩C)=4 n(B∩C) = m + y = 6 ⇔ 4 + y = 6 ⇔ y = 2 n(B−A) = b + y = 12 ⇔ b + 2 = 12 ⇔ b = 10 n(C−A) = c + y = 10 ⇔ c + 2 = 10 ⇔ c = 8 n(A∪B) = a + b + x + y + z + m = 23 ⇔ a + 10 + x + 2 + z + 4 = 23 ⇔ a + x + z = 7 n(A) = a + x + z + m = 7 + 4 = 11 n(A∪C) = n(A) + c + y = 11 + 8 + 2 = 21 n(A∪B∪C) = n(A) + b + c + y = 11 + 10 + 8 + 2 = 31 Assim, (n(A), n(A∪C), n(A∪B∪C)) = (11,21,31) que é uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. QUESTÃO 12 (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é a) 2⁸−9 b) 2⁸−1 c) 2⁸−2⁶ d) 2¹⁴−2⁸ e) 2⁸ RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: B ⊂ A ⇒ n(A\B) = n(A)−n(B) = 14−6 = 8 Como os subconjuntos de A são disjuntos de B, então basta calcular os subconjuntos de A\B com número de elementos menor ou igual a 6 . Portanto, a quantidade de subconjuntos é madematica.blogspot.com 8 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. ${8 \choose 0}+{8 \choose 1}+{8 \choose 2}+{8 \choose 3}+{8 \choose 4}+{8 \choose 5}+{8 \choose 6}+{8 \choose 7}+{8 \choose 8} = 2⁸ = 256 ${8 \choose 8}−${8 \choose 6}−${8 \choose 7} = 256−8−1=256−9. QUESTÃO 13 (ITA 2007) Determine o conjunto C , sendo A, B , e C conjuntos de números reais tais que A∪B∪C = {x ∈ R : x² + x ≥ 2}; A∪B = {x ∈ R : 8⁻ˣ−3.4^−ˣ−2²ˣ > 0}; A∩C = {x ∈ R : log (x + 4) ≤ 0}; e B∩C = {x ∈ R : 0 ≤ 2x + 7 < 2}. RESPOSTA: C = [-2,−\frac{5}{2}] ∪ (-2) ∪ [1,+∞[ RESOLUÇÃO: Vamos encontrar separadamente os intervalos correspondentes aos conjuntos dados: x² + x−2 ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x−1) ≥ 0 ⇔ x ≤−2 ou x ≥1 ⇔ A∪B∪C = ]−∞,−2]∪[1,+∞[ (2ˣ)⁻³.4.ˣ−(2ˣ)²−4.(2ˣ) = 0 ⇔ (2ˣ)(2ˣ−4) > 0 ⇔ (2ˣ)²−4 ≤ 0 ⇔ 2ˣ = 4^{2,−2}⇔ x =−2 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x >−2 ⇔ A∪B = ]−∞,−2[ log (x+4) ≤ 0 ⇔ 0 < x+ 4 ≤ 1 ⇔−4 < x ≤−3 ⇔ A∩C = ]−4,−3] 0 ≤ 2x + 7 < 2 ⇔ 7 ≤ x <−5/2 ⇔−5/2 ≤ x <−2 ⇔ 0 ≤ 2x + 7 < 2 ⇔ 7/2 ≤ x ≤−5/2 Portanto C = (A∪B∪C−A∪B)∪(A∩C)∪(B∩C) C = {−2}∪[1,+∞[∪]-4,−3]∪[−7/2,5/2] = [-4,−5/2]∪{−2}∪[1,+∞[. QUESTÃO 14 (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: “Se A,B ∈ S, então A⊂B ou B⊂A.” Então, o número máximo de elementos que S pode ter é a) 2ⁿ−1 b) n/2, se n for par, c /frac{n+1}{2}, se n for ímpar. c) n + 1 d) 2ⁿ−1−1 e) 2ⁿ−1+1 madematica.blogspot.com 9 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: Seja U={a1,a2,…,an}, onde n(U) = n. S⊂P(U)⇒n(S)<n(P(U))=2n⇔n(S)<2n=2n Sejam A,B⊆S dois conjuntos distintos e não vazios com n(A)=n(B). Como A≠B, então existem a∈A e b∈B tais que a∉B e b∉A, o que implica A⊈B e B⊈A. Portanto, S não pode ter, como elementos, dois conjuntos com a mesma quantidade de elementos. Se A⊆S, então n(A)≤n−1. Portanto, n(A)∈{0,1,2,…,n} e n(S)≤n+1. Observe que é possível construir um conjunto S tal que n(S)=n+1 e que satisfaz as condições do enunciado: S={∅,{a1},{a1,a2},{a1,a2,a3},…,{a1,a2,a3,…,an}}. Portanto, o número máximo de elementos que S pode ter é n+1. QUESTÃO 15 (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(A∩B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r>0. Sabendo que n(A∪B)=4 e n(A∪B)+ℓr=64, então, n(A∩B) é igual a a) 12 b) 17 c) 20 d) 22 e) 24 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: PA: n(B\A),n(A\B),n(A∩B) de razão r>0 n(B\A)=r⇒n(A\B)=4+r∧n(A∩B)=4+2r n(A∪B)=n(A\A)+n(B\A)+n(A∩A)=64−r=(4+r)+(4+2r)⇔4r=52⇔r=13 n(A\B)=4+r=4+13=17 QUESTÃO 16 (ITA 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F={A1,...,Am}⊂P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I - Ai≠∅, i = 1,2,…,m II - Ai∩Aj=∅, se i≠j, para i,j=1,2,…,m III - A=⋃Ai⟺U⟹U=A∪…… Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai)=k, i=1,2,…,m. Supondo que n(A)=8, determine: a) As ordens possíveis para uma partição de A. b) O número de partições de A que têm ordem 2. madematica.blogspot.com 10 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. RESPOSTA: a) 1, 2, 4, 8; b) 105 RESOLUÇÃO: Como Ai∩Aj=∅, se i≠j, então n(A)=n(A1)+n(A2)+⋯+n(Am). Seja uma partição F de ordem k, então n(A1)=n(A2)=⋯=n(Am)=k, então n(A)=k⋅m. Portanto, k deve ser um divisor de n(A). Se n(A)=8, então as ordens possíveis para uma partição de A são os divisores positivos de 8, ou seja, 1, 2, 4, 8. As partições de A com ordem 2 são formadas por 8/2=4 conjuntos disjuntos de 2 elementos. Devemos então calcular o número de maneiras de dividir 8 elementos em 4 grupos de 2. Isso pode ser calculado da seguinte forma: C82⋅C62⋅C42⋅C22=82⋅74⋅65⋅43⋅21=28⋅1524=715=105. QUESTÃO 17 (ITA 2005) Considere os conjuntos S={0,2,4,6}, T={1,3,5} e U={0,1} e as afirmações: I. {0}⊆S∩U≠∅ II. {2}⊆S∪U={0,1}, III. Existe uma função f:S→T injetiva. IV. Nenhuma função g:T→S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: I. FALSA  {0}⊈S é falsa e S∩U≠∅ é verdadeira, pois S∩U={0}. F⟹V⟹F II. FALSA  {2}⊆S∪U é verdadeira, pois S\U={2,4,6} S∩T∩U={0,1} é falsa, pois S∩T∩U=∅ V⋀F⇔F III. FALSA, pois, para que exista uma função injetiva f:S→T, devemos ter n(T)≥n(S).  IV. VERDADEIRA, pois, para que exista uma função sobrejetiva g:T→S, devemos ter n(T)≥n(S). Como n(T)=3 <4=n(S), então não existe função sobrejetiva de T em S. QUESTÃO 18 madematica.blogspot.com 11 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}: I. ∅∈U e n(U)=10. II. ∅⊂U e n(U)=10. III. 5∈U e 5⊆U. IV. {0,1,2,5}∩5={5}. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações. RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: I. FALSA  ∅∈U é falsa e n(U)=10 é verdadeira F∨V⇔F II. VERDADEIRA ∅⊂U é verdadeira, pois ∅ está contido em qualquer conjunto, e n(U)=10 é verdadeira V∧V⇔V III. VERDADEIRA 5∈U é verdadeira e 5⊆U é verdadeira V∧V⇔V IV. FALSA, pois {0,1,2,5}∩5={5} é {5} QUESTÃO 19 (ITA 2004) Seja o conjunto S={r∈ℚ|r≥0 e r²≤2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I. 54∈S e 75∈S. II. {x∈ℝ|0≤x≤√2}∩S=∅. III. √2∈S Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e II b) I e III c) II e III d) I e) II RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: S={r∈ℚ|r≥0 e r²≤2}={r∈ℚ|0≤r<√2} I – VERDADEIRA madematica.blogspot.com 12 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. 5 ≤ Q e 0 < √2 ≤ √5 ⇒ 5/4 ≤ S e 7/5 e 0 < √2 ≤ √3 ⇒ 5/4 ≤ S II - FALSA S ⊂ {x ∈ R|0 ≤ x ≤ √2} ⇒ {x ∈ R|0 ≤ x ≤ √2} ∩ S = S ≠ Ø III - FALSA √2 ∉ Q ⇒ √2 ∉ S = {r ∈ Q|0 ≤ r < √2} QUESTÃO 20 (ITA 2004) Seja A um conjunto não vazio. a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. b) Denotando por P¹(A) = P(A) e P^k+1(A) = P(P^k(A)), para todo número natural k ≥ 1, determine o menor k, tal que n(P^k(A)) ≥ 65000, sabendo que n(A) = 2. RESPOSTA: a) n(P(A)) = 2^m; b) k = 3. RESOLUÇÃO: Vamos contar a quantidade de subconjuntos de A com cada número de elementos. Assim, temos: n(P(A)) = \({m \choose 0} + {m \choose 1} + {m \choose 2} + ⋯ + {m \choose m}\) = 2^m (soma da linha do triângulo de Pascal). b) n(A) = 2 ⇒ n(P(A)) = 2^2 = 4 ⇒ n(P^2(A)) = n(P(P(A))) = 2^n(P(A)) = 2^4 = 16 ⇒ n(P^3(A)) = n(P(P^2(A))) = 2^n(P^2(A)) = 2^16 = 65536 > 65000 Portanto, o menor k, tal que n(P^k(A)) ≥ 65000, é k = 3. QUESTÃO 21 (ITA 2003) Sejam U um conjunto não vazio e A ⊂ U, B ⊂ U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, interseção e complementar, prove que: I. Se A ∩ B = Ø, então B ⊂ A^C. II. B \ A^C = B ∩ A RESOLUÇÃO: I. Se A ∩ B = Ø, então ∀x ∈ B, temos x ∉ A. Portanto, ∀x ∈ B, temos x ∈ A^C, que equivale a dizer que B ⊂ A^C. II. B \ A^C = {x|x ∈ B ∧ x ∉ A^C} = {x|x ∈ B ∧ x ∈ A} = B ∩ A QUESTÃO 22 (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A ∪ B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) ∪ P(Ø) é igual a matematica.blogspot.com 13 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. a) 8 b) 16 c) 20 d) 17 e) 9 RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇔ 12 = 8 + n(B) − n(A ∩ B) ⇔ n(B) − n(A ∩ B) = 4 n(B \ A) = n(B) − n(A ∩ B) = 4 ⇒ n(P(B \ A)) = 2^n(B \ A) = 2^4 = 16 P(Ø) = {Ø} ⊂ P(B \ A) ⇒ P(B \ A) ∪ P(Ø) = P(B \ A) n[P(B \ A) ∪ P(Ø)] = n[P(B \ A)] = 16 QUESTÃO 23 (ITA 2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não vazios. Com respeito às afirmações: (I) X ∩ [{Y ∩ (X ∪ Y)^C} ∪ {X ∪ (X^C ∩ Y^C)}^C] = X. (II) Se Z ⊂ X então (Z ∪ Y) \ [X ∪ (Z^C ∩ Y)] = X ∪ Y. (III) Se (X ∪ Y) ⊂ Z então Z^C ⊂ X. Temos que: a) apenas (I) é verdadeira. b) apenas (I) e (II) são verdadeiras. c) apenas (I) e (III) são verdadeiras. d) apenas (II) e (III) são verdadeiras. e) todas são verdadeiras. RESPOSTA: b RESOLUÇÃO: (I) VERDADEIRA X ∩ [{Y ∩ (X ∪ Y)^C} ∪ {X ∪ (X^C ∩ Y^C)}^C] = X ∩ [{Y ∩ (X^C ∩ Y^C)}] ∪ [X ∪ (X ∪ Y)] = = X ∩ [{Y ∩ (X^C ∩ Y^C)}] ∪ [X ∪ Ø ∩ (X ∪ Y)] = X ∩ [{Y ∩ (X^C ∩ Y^C)}] ∪ X = X ∩ (X ∪ Y) = X (II) VERDADEIRA Z ⊂ X ⇒ Z ∪ Z^C = R ⇒ Z ∪ Z^C = R ∧ X ∪ Z = X (Z ∪ Y) \ [X ∪ (Z^C ∩ Y)] = (Z ∪ Y) \ [(Z^C ∪ X) ∩ (X ∪ Y)] = (Z ∪ Y) ∩ [R ∩ (X ∪ Y)] = = (Z ∪ Y) ∪ (X ∪ Y) = X ∪ Y (III) FALSA (X ∪ Y) ⊂ Z ⇏ Z^C ⊂ (X ∪ Y)^C contraexemplo: X = {0,1}; Y = {1,2}; Z = R={0,1,2}; Z^C = {0,1,2} ⊄ {0,1} = X matematica.blogspot.com 14 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para matematica.blogspot.com. QUESTÃO 24 (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A ∪ B) = 8, n(A ∪ C) = 9, n(B ∪ C) = 10, n(A ∪ B ∪ C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25 RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) ⇔ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − 8 n(A ∪ C) = n(A) + n(C) − n(A ∩ C) ⇔ n(A ∩ C) = n(A) + n(C) − 9 n(B ∪ C) = n(B) + n(C) − n(B ∩ C) ⇒ n(B ∩ C) = n(B) + n(C) − 10 n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) ⇔ 11 = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + 2 ⇒ n(A) + n(B) + n(C) = 18 Alternativamente, poderíamos utilizar um diagrama de Venn: n(A ∪ B ∪ C) = 11 ⇒ a + b + c + 8 = 11 ⇒ a + b + c = 3 n(A) + n(B) + n(C) = (3 + a + c) + (4 + a + b) + (5 + b + c) = 2(a + b + c) + 12 = 2 ⋅ 3 + 12 = 18 QUESTÃO 25 (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: I - Se (E × G) ⊂ (F × H), então E ⊂ F e G ⊂ H. II - Se (E × G) ∪ (F × H), então (E × G) ∪ (F × H) = F × H. III - Se (E × G) ⊂ (F × H), então (E × G) ⊂ (F × H). Então: a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. c) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras. d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. matematica.blogspot.com 15 Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. c) Todas as afirmações são verdadeiras. RESPOSTA: e RESOLUÇÃO I - VERDADEIRA. Para todo x ∈ E, existe pelo menos um y ∈ G tal que (x,y) ∈ E×G . Como (E×G)⊆(F×H), então (x,y) ∈ F×H, então x ∈ F , o que implica E ⊆ F . Analogamente, prova-se que G ⊆ H . (x,y) ∈ E×G ⇔ (x,y) ∈ (F×H) II – VERDADEIRA. III – VERDADEIRA. Para quaisquer conjuntos A e B , é verdade que A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B . Basta fazer A = E × G e B = F × H , a afirmação II é a “ida” e a afirmação III a “volta”. QUESTÃO 26 (ITA 1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de ℝ , e considere as seguintes afirmações: I. (A – B) C ∩ (B ∪ A C ) C = ∅ II. (A – B) C ⊆ B – A + C III. [(A – B) ∩ (B – A) ] C = A Sobre essas afirmações pode-se garantir que: a) apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) apenas a afirmação (II) é verdadeira. c) apenas a afirmação (III) é verdadeira. d) todas as afirmações são verdadeiras. e) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: I. VERDADEIRA (A – B) C ∩ (B ∪ A C ) C = (A ∩ B C ) C ∩ (B C ∩ A) = ∅ II. FALSA (A – B) C = (A ∩ B) C = A C ∪ B C B – A C = B ∩ A = (A C ∪ B C ) C Contraxemplo: Se A = ℝ C e B = ℝ , temos (A – B) C = (ℝ – ℝ C ) C = (ℝ – ∅ ) C = ℝ C = ∅ que é diferente de B – A C = ℝ – ℝ C = ℝ – ∅ = ℝ . III. FALSA [(A – B) ∩ (B – A)] C = [(A C ∩ B C ) ∩ (B ∩ A C )] C = [A C ∩ (B C ∩ B)] C = [A C ∩ ∅ ] C = ∅ C = ℝ Contraxemplo: Se A = {0} e B = ℝ , então [(A – B) ∩ (B – A)] C = [(ℝ – ℝ) ∩ (ℝ – {0})] C = ∅ C ∩ ℝ C = ℝ C ≠ A . madematica.blogspot.com Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. QUESTÃO 27 (ITA 1989) Sejam A, B e C subconjuntos de ℝ , não vazios, e A – B = {p ∈ ℝ; p ∈ A e p ∉ B}. Dadas as igualdades: (1) (A – B)×C = (A×C) – (B×C) (2) (A – B)×C = (A×B) – (B×C) (3) (A∩B) – A ≠ (A∩B) – B (4) A – (B∩C) = (A – B)∪(A – C) (5) (A – B)∩(B – C) = (A – C)∩(A – B) podemos garantir que: a) 2 e 4 são verdadeiras. b) 1 e 5 são verdadeiras. c) 3 e 4 são verdadeiras. d) 1 e 4 são verdadeiras. e) 1 e 3 são verdadeiras. RESPOSTA: d RESOLUÇÃO: (1) VERDADEIRA Basta observar que (A×C) – (B×C) conterá todos os pares ordenados de A×C exceto aqueles cujo primeiro elemento do par estejam em B , ou seja, o primeiro elemento do par ordenado está em A – B. (2) FALSA Contraxemplo: Sejam A = {1,2}, B = {1} e C = {2}, então (A – B)×C = {2×2} que é diferente de (A×B) – (A×C) = {(1,1);(2,1)} – {(1,2);(2,2)} = {(1,1) ;(2,1)}. (3) FALSA Ambos os conjuntos são vazios (4) VERDADEIRA A – (B∩C) = A∩(B∩C) C = (A∩B C ∩C C ) = (A∩B C )∪(A∩C C ) = (A – B)∪(A – C) (5) FALSA Contraxemplo: Sejam A = {1,2}, B = {1} e C = {3}, então (A – B)∩(B – C) = {2}∩{1} = ∅ que é diferente de (A – C)∩(A – B) = {1,2}∩{2} = {2}. QUESTÃO 28 (ITA 1988) Sejam A, B e C subconjuntos do conjunto dos números reais. Então podemos afirmar que: a) (A∩B) C = A C ∩B C b) (A∪B) C = A C ∪B C c) Se A ⊂ B então A C ⊂ B C d) (A∩B)∪C C = (A C ∪C ) ∩(B C ∪C C ) e) A∪(B∪C) C = (A∪B C ∩(A∪C C ) Nota: A C significa o complementar de A no conjunto dos reais. RESPOSTA: e madematica.blogspot.com Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. RESOLUÇÃO: a) FALSA Contraxemplo: Sejam A = ℝ e B = ℝ *, então (A∩B) C = (ℝ *) C = {0} que é diferente de A C ∩B C = ∅ . A expressão correta seria (A∩B) C = A C ∪B C (leis de De Morgan). b) FALSA Contraxemplo: Sejam A = ℝ e B = ℝ *, então (A∪B) C = ℝ C = ∅ que é diferente de A C ∪B C = ∅ ∪{0} = {0}. A expressão correta seria (A∪B) C = A C ∩B C (leis de De Morgan). c) FALSA Contraxemplo: Contraxexemplo: Sejam A = ℝ * e B = ℝ , que satisfazem A ⊂ B , então A C = {0} ⊄ B C . A expressão correta seria A C ⊃ B C ⇒ B C ⊂ A C . d) FALSA Contraxexemplo: Sejam A,B,C = ℝ , então (A∩B)∪C C = (℘ ) c = (R C )R = R ≠ R = R que é diferente de (A C ∪C )∩(B C ∪C C ) = (⊘ C ∪R )∩(R C ∪∅ C ) = (A∩C B∩C ) A expressão correta seria A (A∩B)∪C C = A C ∩(C B C ∩C)== (A ∩B)∪C C = A ∩C C == A C ∩(C B (5) VERDADEIRO A (A∩B)∪C C = ((A∩B)∩) C ))((B∩B C N∩)AC ∩(B = AFC ≠C F(= ∪E DEOC E== N∩)P ENMOC∩(B N)D C ) CN∩CF == (Note que nesse desenvolvimento utilizamos a lei de De Morgan e a ditribuetividade da União em a relação a interseção. QUESTÃO 29 (ITA 1987) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de ℝ . Assinale a alternativa correta. a) Se F ⊆ G ⊂ G ≠ F , então necessariamente F=F G = ⊂ G . b) Se F∩G é um conjunto vazio, então necessariamente F∪G = ℝ . c) Se f ⊆ G ⊆ F então F∩G = F∪G = F ⊂ G . d) Se F⊄G ≠F , então necessariamente eG G F⊄C F . . e) Se F G ⊄ ⊄G≠F , então (F∩G) = " görüşü Veug G = R."= RESPOSTA: c RESOLUÇÃO: a) FALSA F ⊆ G ⊂ G ≠ F não implica G = G = G = F ∪ F = b) FALSA Contraxexemplo: Se F = {1} e G = {2}, então F∩G = ∅ e F∪G = {1,2} = ℝ . c) VERDADEIRA F G C ⊆ F C Cf f ⊂G orrnce g = F≠ = G = G v ⊂(c1n1 1fv o.s d) FALSA Contraxexemplo: Sejam G F C ≠∘ii; {1,}{2}= , então F∩G = {1} ≠G⊂F c∬ F A expressão correta seria F e) FALSA Contraxexemplo: Sejam F, G e G G c≠F ; F G {0}, então G∩F`C = ∅. = 2} = A expressão correta seria Se F ⊆ G . madematica.blogspot.com Material elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com. c) FALSA (F∩G)∪G=F∪G=G≠R Note que, se F⊂G, então F∩G=F e F∪G=G. QUESTÃO 30 (ITA 1985) Sejam X um conjunto não vazio; A e B dois subconjuntos de X. Definimos A−B={x∈X tal que x∈A} e A−B={x∈A tal que x∉B}. Dadas as sentenças: (1) A∩B=∅⇔A⊂B͂⊂B⊂A͂ onde “⇔” significa “equivalente” e ∅ o conjunto vazio; (2) Se X=R; A={x∈R tal que x³−1=0}; B={x∈R tal que x²−1=0} e C={x∈R tal que x−1=0}, então A=C=B; (3) A−∅=A e A−B=A−(A∩B); (4) A−B⊂A∩B͂; podemos afirmar que está(estão) correta(s): a) As sentenças nº 1 e nº 3. b) As sentenças nº 1, nº 2 e nº 4. c) As sentenças nº 3 e nº 4. d) As sentenças nº 2, nº 3 e nº 4. e) Apenas a sentença nº 2. RESPOSTA: a RESOLUÇÃO: (1) CORRETA A⊂B͂ ⇔ (x∈A⇒x∉B͂)⇔(x∈A⇒x∉B)⇔A∩B=∅ B⊂A͂ ⇔ (x∈B⇒x∉A͂)⇔(x∈B⇒x∉A)⇔A∩B=∅ (2) INCORRETA A={x∈R tal que x³−1=0}={1} B={x∈R tal que x²−1=0}={−1,1}⇒A≠C≠B C={x∈R tal que x−1=0}={1} (3) CORRETA A−∅=A∩∅͂=A∩X=A A−(A∩B)=A∩(A∩B)͂=A∩(A∩A͂)∪(A∩B͂)͂=∅∪(A∩B͂)͂= =A∩B͂=A−B (4) INCORRETA Contraexemplo: Sejam A=∅ e B=X, então A−B=∅ e A∩B͂=∅∩∅͂=∅. madematica.blogspot.com