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elon lages lima curso de análise vol. 1 PROJETO EUCLIDES Conteúdo I Conjuntos e Funções 1 1 Conjuntos 2 2 Operações entre conjuntos 6 3 Funções 13 4 Composição de funções 20 5 Famílias 23 Exercícios 28 II Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 32 1 Números naturais 34 2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução 39 3 Conjuntos finitos e infinitos 42 4 Conjuntos enumeráveis 48 5 Conjuntos não-enumeráveis 51 Exercícios 54 III Números Reais 59 1 Corpos 61 2 Corpos ordenados 65 3 Números reais 75 Exercícios 87 IV Sequências e Séries de Números Reais 99 1 Sequências 100 2 Limite de uma sequência 107 3 Propriedades aritméticas dos limites 115 4 Subsequências 120 5 Sequências de Cauchy 125 6 Limites infinitos 129 7 Séries numéricas 133 Exercícios 153 V Topologia da Reta 161 1 Conjuntos abertos 162 2 Conjuntos fechados 169 3 Pontos de acumulação 173 4 Conjuntos compactos 180 Exercícios 186 VI Limites de Funções 193 1 Definição e propriedades do limite 196 2 Exemplos de limites 202 3 Limites laterais 205 4 Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas 208 5 Valores de aderência de uma função; lim sup e lim inf 214 Exercícios 217 VII Funções Contínuas 222 1 A noção de função contínua 223 2 Descontinuidades 229 3 Funções contínuas em intervalos 234 4 Funções contínuas em conjuntos compactos 239 5 Continuidade uniforme 240 Exercícios 245 VIII Derivadas 255 1 Definição e propriedades da derivada num ponto 256 2 Funções deriváveis num intervalo 268 3 Fórmula de Taylor 277 4 Série de Taylor, funções analíticas 288 Exercícios 292 IX Integral de Riemann 302 1 Integral superior e integral inferior 304 2 Funções integráveis 313 3 O Teorema Fundamental do Cálculo 321 4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral 326 5 A integral como limite de somas 331 6 Caracterização das funções integráveis .........................................336 7 Logaritmos e exponenciais ...........................................................345 Exercícios .................................................................................................352 X Seqüências e Séries de Funções ......................................................361 1 Convergência simples e convergência uniforme .............................362 2 Propriedades da convergência uniforme .........................................371 3 Séries de potências ............................................................................384 4 Funções analíticas .............................................................................399 5 Equicontinuidade ..............................................................................416 Exercícios ................................................................................................. Bibliografia ..............................................................................................425 Índice Alfabético ....................................................................................427 Capítulo I Conjuntos e Funções Introduziremos neste capítulo a linguagem de Conjuntos e Funções, que será utilizada sistematicamente nos capítulos se- guintes. Toda a Matemática é, hoje em dia, apresentada nessa linguagem; assim imaginamos que a maioria dos leitores já tenha certa familiaridade com o assunto. Entretanto, não exigiremos conhecimento prévio algum da matéria. O objetivo deste livro é estudar conjuntos de números reais e funções reais de uma variável real. Os números reais serão apresentados no Cap. III. Estes dois primeiros capítulos são preliminares. Por isso nos permitiremos tratar aqui conjuntos e funções dentro do chamado "ponto de vista ingênuo". Ou se- ja, adotamos um estilo informal e descritivo, em contraste com o ponto de vista axiomático, segundo o qual deveríamos apresentar uma lista completa de objetos não definidos e proposições não demonstradas (ou axiomas), a partir dos quais todos os conceitos seriam definidos e todas as afirmações provadas. O método a- xiomático será utilizado substancialmente a partir do Cap. III. Aos leitores interessados em aprofundar seus conhecimentos so- bre Lógica e Teoria dos Conjuntos, recomendamos a leitura de [Tarasik] e [Halmos], duas pequenas obras-primas que contêm tu- do o que um matemático precisa saber sobre esses assuntos. 1 Conjuntos Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação básica entre um objeto e um con- junto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈ A. Se, porém, x não é um dos elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x ∉ A. Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracteri- zado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A. Exemplo 1. Seja A o conjunto dos triângulos retângulos. O conjunto A está bem definido: um objeto x pertence a A quando é um triângulo e, além disso, um dos seus ângulos é reto. Se x não for um triângulo, ou se x for um triângulo que não possui ângulo reto, então x não pertence a A. Usa-se a notação X = {a, b, c, ... } para representar o conjunto X cujos elementos são os objetos a, b, c, etc. Assim, por exemplo, {1, 2} é o conjunto cujos elemen- tos são os números 1 e 2. Dado o objeto a, pode-se considerar o conjunto cujo único elemento é a. Esse conjunto é representado por {a}. O conjunto dos números naturais 1, 2, 3, ... será representa- do pelo símbolo N. Portanto N = {1, 2, 3, ... }. O conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e zero) será indicado pelo símbolo Z. Assim, Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... } [SEC. 1. CONJUNTOS. O conjunto Q, dos números racionais, é formado pelas frações p/q, onde p e q pertencem a Z, sendo q ≠ 0. Em símbolos, Q = \/p/q; p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0\. Lê-se: “Q é o conjunto das frações p/q tais que p pertence a Z, q pertence a Z e q é diferente de zero” A maioria dos conjuntos encontrados em Matemática não são definidos especificando-se, um a um, os seus elementos. O método mais frequente de definir um conjunto é por meio de uma propriedade comum e exclusiva dos seus elementos. Mais precisamente, parte-se de uma propriedade P. Ela define um conjunto X, assim: se um objeto x goza da propriedade P, então x ∈ X; se não goza de P então x ∉ X. Escreve-se X = \/x ; x goza da propriedade P\. Lê-se: “X é o conjunto dos elementos x tais que x goza da propriedade P”. Muitas vezes a propriedade P se refere a elementos de um conjunto fundamental E. Neste caso, escreve-se X = \/x ∈ E ; x goza da propriedade P\. Por exemplo, seja N o conjunto dos números naturais e consideremos a seguinte propriedade, que se refere a um elemento genérico x ∈ N: x é maior do que 5\, A propriedade P, de um número natural ser maior do que 5, define o conjunto X = \/6, 7, 8, 9, ... \, ou seja, X = \/x ∈ N; x > 5\. Lê-se: “X é o conjunto dos x pertencentes a N tais que x é maior do que 5”. As vezes, ocorre que nenhum elemento de E goza da propriedade P. Neste caso, o conjunto \/x ∈ E ; x goza de P\ não possui elemento algum. Isto é o que se chama um conjunto vazio. Para representá-lo, usaremos o símbolo θ. Portanto, o conjunto vazio θ é definido assim: Qualquer que seja x, tem-se x ∉ θ. Por exemplo, temos \/x ∈ N; 1 < x < 2\ = θ. E também, \/x; x ≠ x\ = θ. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. Para indicar este fato, usa-se a notação A ⊂ B. Quando A ⊂ B, diz-se também que A é parte de B, que A está incluído em B, ou contido em B. A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão. Exemplo 2. Os conjuntos numéricos N, Z e Q, acima apresentados, cumprem as relações de inclusão N ⊂ Z e Z ⊂ Q. Abreviadamente, escrevemos N ⊂ Z ⊂ Q. Exemplo 3. Sejam X o conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retângulos. Todo quadrado é um retângulo, logo X ⊂ Y. Quando se escreve X ⊂ Y não está excluída a possibilidade de vir a ser X = Y. No caso em que X ⊂ Y e X ≠ Y, diz-se que X é uma parte própria ou um subconjunto próprio de Y. Afirmar x ∈ X equivale a afirmar \/x\ ⊂ X. A fim de mostrar que um conjunto X não é subconjunto de um conjunto Y, deve-se obter um elemento de X que não pertença a Y. Assim, por exemplo, não se tem Q ⊂ Z, pois 1/2 ∈ Q e 1/2 não é inteiro. Segue-se daí que o conjunto vazio θ é subconjunto de qualquer conjunto X. Com efeito, se não fosse θ ⊂ X, existiria algum x ∈ θ tal que x ∉ X. Como não existe x ∈ θ, somos obrigados a admitir que θ ⊂ X, seja qual for o conjunto X. [CAP. 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES A relação de inclusão A ⊂ B é Reflexiva — A ⊂ A, seja qual for o conjunto A; Anti-simétrica — se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B; Transitiva — se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. A verificação desses três fatos é imediata. Segue-se da propriedade anti-simétrica que dois conjuntos A e B são iguais precisamente quando A ⊂ B e B ⊂ A, isto é, quando possuem os mesmo elementos. Lembremos que, seja quais forem os significados dos símbolos E e D, o sinal de igualdade numa expressão como E = D significa que os símbolos E e D estão sendo usados para representar o mesmo objeto. Em outras palavras, uma coisa só é igual a si mesma. No caso de conjuntos, escrever A = B significa que A e B são o mesmo conjunto, ou seja, que A e B possuem os mesmos elementos. Sempre que tivermos de provar uma igualdade entre conjuntos A e B, devemos demonstrar primeiro que A ⊂ B (isto é, que todo elemento de A pertence necessariamente a B) e, depois, que B ⊂ A. Dado um conjunto X, indica-se com \P(X)\ o conjunto cujos elementos são as partes de X. Em outras palavras, afirmar que A ∈ P(X) é o mesmo que dizer A ⊂ X. \P(X)\ chama-se o conjunto das partes de X. Ele nunca é vazio: tem-se pelo menos θ ∈ P(X) e X ∈ P(X). Exemplo 4: Seja X = \/1, 2, 3\. Então P(X) = \/θ, \/1\, \/2\, \/3\, \/1, 2\, \/1, 3\, \/2, 3\, X\. Sejam P e Q propriedades que se referem a elementos de um certo conjunto E. As propriedades P e Q definem subconjuntos X e Y de E, a saber: X = \/x ∈ E; x goza de P\ e Y = \/y ∈ E; y goza de Q\. 6 [CAP. 12 CONJUNTOS E FUNÇÕES As afirmações "P implica Q", "se P, então Q", "P acarreta Q", "P é condição suficiente para Q", "Q é condição necessária para P" têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer que X ⊂ Y, ou seja, que todo objeto que goza de P também goza de Q. Para exprimir este fato, usa-se a notação P ⇒ Q. Também as afirmações "P se, e somente se, Q", "P é condição necessária e suficiente para Q” têm todas o mesmo significado. Querem dizer que P ⇒ Q e Q ⇒ P, ou seja, que o conjunto X dos elementos que gozam da propriedade P coincide com o conjunto Y dos elementos que gozam de Q. A notação que exprime este fato é P ⇔ Q. 2 Operações entre conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B, formado pelos elementos de A mais os elementos de B. Assim, afirmar que x ∈ A ∪ B significa dizer que pelo menos uma das afirmações seguintes é verdadeira: x ∈ A ou x ∈ B. Podemos então escrever: A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B}. Ao contrário da linguagem vulgar, a palavra "ou" é sempre utilizada em Matemática no sentido lato: ao dizer “x ∈ A ou x ∈ B” quer-se afirmar que pelo menos uma dessas duas alternativas é verdadeira, sem ficar excluída a possibilidade de que ambas o sejam, isto é, de se ter ao mesmo tempo x ∈ A e x ∈ B.
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elon lages lima curso de análise vol. 1 PROJETO EUCLIDES Conteúdo I Conjuntos e Funções 1 1 Conjuntos 2 2 Operações entre conjuntos 6 3 Funções 13 4 Composição de funções 20 5 Famílias 23 Exercícios 28 II Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 32 1 Números naturais 34 2 Boa ordenação e o Segundo Princípio de Indução 39 3 Conjuntos finitos e infinitos 42 4 Conjuntos enumeráveis 48 5 Conjuntos não-enumeráveis 51 Exercícios 54 III Números Reais 59 1 Corpos 61 2 Corpos ordenados 65 3 Números reais 75 Exercícios 87 IV Sequências e Séries de Números Reais 99 1 Sequências 100 2 Limite de uma sequência 107 3 Propriedades aritméticas dos limites 115 4 Subsequências 120 5 Sequências de Cauchy 125 6 Limites infinitos 129 7 Séries numéricas 133 Exercícios 153 V Topologia da Reta 161 1 Conjuntos abertos 162 2 Conjuntos fechados 169 3 Pontos de acumulação 173 4 Conjuntos compactos 180 Exercícios 186 VI Limites de Funções 193 1 Definição e propriedades do limite 196 2 Exemplos de limites 202 3 Limites laterais 205 4 Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas 208 5 Valores de aderência de uma função; lim sup e lim inf 214 Exercícios 217 VII Funções Contínuas 222 1 A noção de função contínua 223 2 Descontinuidades 229 3 Funções contínuas em intervalos 234 4 Funções contínuas em conjuntos compactos 239 5 Continuidade uniforme 240 Exercícios 245 VIII Derivadas 255 1 Definição e propriedades da derivada num ponto 256 2 Funções deriváveis num intervalo 268 3 Fórmula de Taylor 277 4 Série de Taylor, funções analíticas 288 Exercícios 292 IX Integral de Riemann 302 1 Integral superior e integral inferior 304 2 Funções integráveis 313 3 O Teorema Fundamental do Cálculo 321 4 Fórmulas clássicas do Cálculo Integral 326 5 A integral como limite de somas 331 6 Caracterização das funções integráveis .........................................336 7 Logaritmos e exponenciais ...........................................................345 Exercícios .................................................................................................352 X Seqüências e Séries de Funções ......................................................361 1 Convergência simples e convergência uniforme .............................362 2 Propriedades da convergência uniforme .........................................371 3 Séries de potências ............................................................................384 4 Funções analíticas .............................................................................399 5 Equicontinuidade ..............................................................................416 Exercícios ................................................................................................. Bibliografia ..............................................................................................425 Índice Alfabético ....................................................................................427 Capítulo I Conjuntos e Funções Introduziremos neste capítulo a linguagem de Conjuntos e Funções, que será utilizada sistematicamente nos capítulos se- guintes. Toda a Matemática é, hoje em dia, apresentada nessa linguagem; assim imaginamos que a maioria dos leitores já tenha certa familiaridade com o assunto. Entretanto, não exigiremos conhecimento prévio algum da matéria. O objetivo deste livro é estudar conjuntos de números reais e funções reais de uma variável real. Os números reais serão apresentados no Cap. III. Estes dois primeiros capítulos são preliminares. Por isso nos permitiremos tratar aqui conjuntos e funções dentro do chamado "ponto de vista ingênuo". Ou se- ja, adotamos um estilo informal e descritivo, em contraste com o ponto de vista axiomático, segundo o qual deveríamos apresentar uma lista completa de objetos não definidos e proposições não demonstradas (ou axiomas), a partir dos quais todos os conceitos seriam definidos e todas as afirmações provadas. O método a- xiomático será utilizado substancialmente a partir do Cap. III. Aos leitores interessados em aprofundar seus conhecimentos so- bre Lógica e Teoria dos Conjuntos, recomendamos a leitura de [Tarasik] e [Halmos], duas pequenas obras-primas que contêm tu- do o que um matemático precisa saber sobre esses assuntos. 1 Conjuntos Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação básica entre um objeto e um con- junto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈ A. Se, porém, x não é um dos elementos do conjunto A, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x ∉ A. Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracteri- zado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A. Exemplo 1. Seja A o conjunto dos triângulos retângulos. O conjunto A está bem definido: um objeto x pertence a A quando é um triângulo e, além disso, um dos seus ângulos é reto. Se x não for um triângulo, ou se x for um triângulo que não possui ângulo reto, então x não pertence a A. Usa-se a notação X = {a, b, c, ... } para representar o conjunto X cujos elementos são os objetos a, b, c, etc. Assim, por exemplo, {1, 2} é o conjunto cujos elemen- tos são os números 1 e 2. Dado o objeto a, pode-se considerar o conjunto cujo único elemento é a. Esse conjunto é representado por {a}. O conjunto dos números naturais 1, 2, 3, ... será representa- do pelo símbolo N. Portanto N = {1, 2, 3, ... }. O conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e zero) será indicado pelo símbolo Z. Assim, Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... } [SEC. 1. CONJUNTOS. O conjunto Q, dos números racionais, é formado pelas frações p/q, onde p e q pertencem a Z, sendo q ≠ 0. Em símbolos, Q = \/p/q; p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0\. Lê-se: “Q é o conjunto das frações p/q tais que p pertence a Z, q pertence a Z e q é diferente de zero” A maioria dos conjuntos encontrados em Matemática não são definidos especificando-se, um a um, os seus elementos. O método mais frequente de definir um conjunto é por meio de uma propriedade comum e exclusiva dos seus elementos. Mais precisamente, parte-se de uma propriedade P. Ela define um conjunto X, assim: se um objeto x goza da propriedade P, então x ∈ X; se não goza de P então x ∉ X. Escreve-se X = \/x ; x goza da propriedade P\. Lê-se: “X é o conjunto dos elementos x tais que x goza da propriedade P”. Muitas vezes a propriedade P se refere a elementos de um conjunto fundamental E. Neste caso, escreve-se X = \/x ∈ E ; x goza da propriedade P\. Por exemplo, seja N o conjunto dos números naturais e consideremos a seguinte propriedade, que se refere a um elemento genérico x ∈ N: x é maior do que 5\, A propriedade P, de um número natural ser maior do que 5, define o conjunto X = \/6, 7, 8, 9, ... \, ou seja, X = \/x ∈ N; x > 5\. Lê-se: “X é o conjunto dos x pertencentes a N tais que x é maior do que 5”. As vezes, ocorre que nenhum elemento de E goza da propriedade P. Neste caso, o conjunto \/x ∈ E ; x goza de P\ não possui elemento algum. Isto é o que se chama um conjunto vazio. Para representá-lo, usaremos o símbolo θ. Portanto, o conjunto vazio θ é definido assim: Qualquer que seja x, tem-se x ∉ θ. Por exemplo, temos \/x ∈ N; 1 < x < 2\ = θ. E também, \/x; x ≠ x\ = θ. Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. Para indicar este fato, usa-se a notação A ⊂ B. Quando A ⊂ B, diz-se também que A é parte de B, que A está incluído em B, ou contido em B. A relação A ⊂ B chama-se relação de inclusão. Exemplo 2. Os conjuntos numéricos N, Z e Q, acima apresentados, cumprem as relações de inclusão N ⊂ Z e Z ⊂ Q. Abreviadamente, escrevemos N ⊂ Z ⊂ Q. Exemplo 3. Sejam X o conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retângulos. Todo quadrado é um retângulo, logo X ⊂ Y. Quando se escreve X ⊂ Y não está excluída a possibilidade de vir a ser X = Y. No caso em que X ⊂ Y e X ≠ Y, diz-se que X é uma parte própria ou um subconjunto próprio de Y. Afirmar x ∈ X equivale a afirmar \/x\ ⊂ X. A fim de mostrar que um conjunto X não é subconjunto de um conjunto Y, deve-se obter um elemento de X que não pertença a Y. Assim, por exemplo, não se tem Q ⊂ Z, pois 1/2 ∈ Q e 1/2 não é inteiro. Segue-se daí que o conjunto vazio θ é subconjunto de qualquer conjunto X. Com efeito, se não fosse θ ⊂ X, existiria algum x ∈ θ tal que x ∉ X. Como não existe x ∈ θ, somos obrigados a admitir que θ ⊂ X, seja qual for o conjunto X. [CAP. 1. CONJUNTOS E FUNÇÕES A relação de inclusão A ⊂ B é Reflexiva — A ⊂ A, seja qual for o conjunto A; Anti-simétrica — se A ⊂ B e B ⊂ A, então A = B; Transitiva — se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. A verificação desses três fatos é imediata. Segue-se da propriedade anti-simétrica que dois conjuntos A e B são iguais precisamente quando A ⊂ B e B ⊂ A, isto é, quando possuem os mesmo elementos. Lembremos que, seja quais forem os significados dos símbolos E e D, o sinal de igualdade numa expressão como E = D significa que os símbolos E e D estão sendo usados para representar o mesmo objeto. Em outras palavras, uma coisa só é igual a si mesma. No caso de conjuntos, escrever A = B significa que A e B são o mesmo conjunto, ou seja, que A e B possuem os mesmos elementos. Sempre que tivermos de provar uma igualdade entre conjuntos A e B, devemos demonstrar primeiro que A ⊂ B (isto é, que todo elemento de A pertence necessariamente a B) e, depois, que B ⊂ A. Dado um conjunto X, indica-se com \P(X)\ o conjunto cujos elementos são as partes de X. Em outras palavras, afirmar que A ∈ P(X) é o mesmo que dizer A ⊂ X. \P(X)\ chama-se o conjunto das partes de X. Ele nunca é vazio: tem-se pelo menos θ ∈ P(X) e X ∈ P(X). Exemplo 4: Seja X = \/1, 2, 3\. Então P(X) = \/θ, \/1\, \/2\, \/3\, \/1, 2\, \/1, 3\, \/2, 3\, X\. Sejam P e Q propriedades que se referem a elementos de um certo conjunto E. As propriedades P e Q definem subconjuntos X e Y de E, a saber: X = \/x ∈ E; x goza de P\ e Y = \/y ∈ E; y goza de Q\. 6 [CAP. 12 CONJUNTOS E FUNÇÕES As afirmações "P implica Q", "se P, então Q", "P acarreta Q", "P é condição suficiente para Q", "Q é condição necessária para P" têm todas o mesmo significado. Elas querem dizer que X ⊂ Y, ou seja, que todo objeto que goza de P também goza de Q. Para exprimir este fato, usa-se a notação P ⇒ Q. Também as afirmações "P se, e somente se, Q", "P é condição necessária e suficiente para Q” têm todas o mesmo significado. Querem dizer que P ⇒ Q e Q ⇒ P, ou seja, que o conjunto X dos elementos que gozam da propriedade P coincide com o conjunto Y dos elementos que gozam de Q. A notação que exprime este fato é P ⇔ Q. 2 Operações entre conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B, formado pelos elementos de A mais os elementos de B. Assim, afirmar que x ∈ A ∪ B significa dizer que pelo menos uma das afirmações seguintes é verdadeira: x ∈ A ou x ∈ B. Podemos então escrever: A ∪ B = {x ∈ A ou x ∈ B}. Ao contrário da linguagem vulgar, a palavra "ou" é sempre utilizada em Matemática no sentido lato: ao dizer “x ∈ A ou x ∈ B” quer-se afirmar que pelo menos uma dessas duas alternativas é verdadeira, sem ficar excluída a possibilidade de que ambas o sejam, isto é, de se ter ao mesmo tempo x ∈ A e x ∈ B.