·
Engenharia de Produção ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Equações Diferenciais Ordinárias Prof Guilherme Jahnecke Weymar AULA 03 Equações diferenciais de primeira ordem Equações separáveis Fonte Material Daniela Buske Boyce Bronson Zill diversos internet 1 Equações separáveis 2 As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser escritas na forma 1 Seja Então Substituindose gy por dhdy na equação 1 obtemos 2 f x dx g y dy g y dy h y gy dy dh f x dx dy dy dh Mas pela regra da cadeia O que implica que 2 pode ser escrita como 3 A eq 3 é do tipo 13 vista na aula 02 ou seja é da forma Em que Yx hyx Assim integrandose 3 dos dois lados obtemos que a solução geral de 1 é dada implicitamente por Equações separáveis 3 dx dy dy dh dx h y x d qt dt dy f x dx h y x d f x dx dY C f x dx h y x Equações separáveis 4 Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira Integrandose em relação a x ambos os membros de 1 obtemos Que pode ser reescrita como Fazendo a substituição ydx dy obtemos Observação As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser vistas como curvas de nível da função C f x dx dxdx g y dy C f x dx g y ydx C f x dx g y dy f x dx h y x z F x y Exemplo 1 Modo de resolução 1 Encontrar a solução geral da EDO A EDO pode ser reescrita como ou pela regra da cadeia Assim a solução geral é dada implicitamente por As soluções são elipses ver fig 1 que são curvas de nível da função O gráfico da função Fxy dada é um parabolóide elíptico ver fig 2 Equações separáveis 5 x dx y dy 4 2 x dx dy dy y d 4 2 x dx y d 4 2 C x x dx y 2 2 2 4 2 2 2 x y F x y z Equações separáveis 6 Exemplo 1 Modo de resolução 2 Encontrar a solução geral da EDO Integrandose em relação a x ambos os membros obtemos Fazendo a substituição ydx dy obtemos Assim a solução geral é dada implicitamente por As soluções são elipses ver fig 1 que são curvas de nível da função O gráfico da função Fxy dada é um parabolóide elíptico ver fig 2 x yy x dx y dy 4 4 ou 2 2 C x y 2 2 2 2 2 2 x y F x y z C xdx yy dx 4 2 C xdx ydy 4 2 Equações separáveis 7 Figura 1 Soluções da equação diferencial do exemplo 1 Equações separáveis 8 Figura 2 Soluções da equação diferencial do exemplo 1 como curvas de nível do parabolóide elíptico z Fxy 2x2y2 Equações separáveis 9 Exemplo 2 a Encontre a solução do PVI b Determine o intervalo de validade da solução ou seja o maior intervalo contendo x01 para o qual a solução yx e sua derivada dydx estão definidas c Determine os pontos onde a solução tem um máximo local d Faça um esboço do gráfico da solução 0 1 3 3 1 2 2 y y x dx dy Equações separáveis 10 Exercício Fazer pela primeira metodologia para verificar Para determinar o intervalo de validade da solução do PVI vamos determinar o maior intervalo que contem x 1 em que a solução e sua derivada estão definidas Pela equação dydx 2x 13y² 3 temos que os pontos onde a derivada não está definida são aqueles tais que 3y² 3 0 ou seja y 1 Como o ponto inicial é 1 0 então a solução do PVI está contida na região do plano 1 y 1 Substituindose y 1 na equação que define a solução obtemos a equação x² x 2 0 que tem solução x 1 e x 2 Substituindose y 1 na equação que define a solução y³ 3y x² x 0 obtemos a equação x² x 2 0 que não tem solução real Como a solução está definida para todo x mas a derivada não está definida para x 1 e x 2 o ponto inicial x₀ 1 está entre os valores x 1 e x 2 e concluímos que o intervalo de validade da solução yx e a sua derivada estão definidas Nos pontos onde a solução tem máximo local a reta tangente à curva é horizontal ou seja pontos onde dydx 0 Neste caso não precisamos calcular a derivada da solução pois a derivada já está dada pela equação diferencial ou seja dydx 2x 13y² 3 Assim a reta tangente é horizontal para x tal que 2x 1 0 ou seja somente para x 12 Nos pontos x 1 e x 2 a reta tangente à curva solução y³ 3y x² x 0 é vertical ou seja dxdy 0 pois pela equação diferencial dxdy 1dydx 3y² 32x 1 para x 12 Assim já sabemos pelo item b que a solução está contida em uma curva que passa pelos pontos 1 1 e 2 1 onde a tangente é vertical e que passa pelo ponto inicial 1 0 Neste ponto a inclinação da tangente é 13 pois substituindose x 1 e y 0 na equação diferencial obtemos dydx 13 Além disso sabemos que o único ponto em que a tangente é horizontal ocorre para x 12 Deduzimos daí que a solução é crescente até x 12 depois começa a decrescer Equações separáveis 14 Figura 3 Solução do PVI do exemplo 2 Equações separáveis 15 Figura 4 Soluções da EDO e do PVI do exemplo 2 Equações separáveis 16 Figura 5 Soluções da EDO do exemplo 2 como curvas de nível de uma função de duas variáveis zfxyy33yx2x 17 Soluções por Substituições Muitas Equações Diferenciais o primeiro passo para resolvêla é transformar em outra ED conhecida por meio de uma substituição Equações Homogêneas Equações de Bernoulli Equações de Riccati Equações Homogêneas 18 Definição Função homogênea Se uma função f satisfaz Para algum número real n então dizemos que f é uma função homogênea de grau n f x y y x f n Equações Homogêneas 19 Exemplo 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f x y y x y x y x f y x x y f f é homogênea de grau 2 Exemplo 2 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥2 𝑥𝑦2 1 1 3 1 3 3 2 2 3 3 2 3 f x y y x x y x f xy x x y f f não é homogênea Equações Homogêneas 20 Exemplo 3 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 0 f x y sen x y e y x sen e y x f sen x y e x y f x y y x y x f é homogênea de grau zero OBS 1 Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante adicionada à função destrói a homogeneidade a menos que a função seja homogênea de grau zero 2 Uma função homogênea pode ser reconhecida examinado o grau de cada termo Equações Homogêneas 21 Definição Equação homogênea Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau 0 N x y dy M x y dx Equações Homogêneas 22 Método de solução Equação homogênea Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica Neste caso a substituição transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª ordem separável 0 N x y dy x y dx M vx y xdv vdx dy vx y Lembrando Equações Homogêneas 23 Exemplo 1 0 2 2 2 2 dy y x xydx y x xy dx dy xdv vdx dy vx y Substituição fç homog de mesmo grau c c v v x v dv v x dx v dv v x dx x dv v x x dx v dv v x x dx v dv v x x dx v x x v v x xdv vdx v x x xvxdx 2 2 yx v 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2y x lny 2 1 ln ln 1 1 1 0 variáveis separáveis 1 0 0 Exercícios Resolva as equações diferenciais homogêneas 1 𝑥2 𝑦2 2𝑥𝑦𝑦 0 Sol Geral 𝑦2 𝑥² 𝐶𝑥 2 𝑥2 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 0 Sol Geral ln 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 𝐶 3 𝑥𝑦 cos 𝑦 𝑥 𝑦 cos 𝑦 𝑥 𝑥 Sol Geral 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 ln 𝐶 𝑥 4 𝑦𝑦 2𝑦 𝑥 Sol Geral 𝑦 𝑥 𝐶𝑒𝑥𝑦𝑥 5 𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦𝑦 Sol Geral ln 𝑥² 𝑦² arctan𝑦𝑥 𝐶 6 𝑦 4 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 2 𝑦 1 2 Sol Particular arctan𝑦2𝑥 ln 𝑥 𝜋4 24 Equações Homogêneas 25 Observações Caso Mxy e Nxy sejam funções de trinômios lineares em x e y ou seja 1 Teremos de analisar se os coeficientes a1 a2 b1 e b2 são proporcionais ou não 0 2 2 2 1 1 1 c dy b y a x c dx b y a x Equações Homogêneas 26 1º caso Os coeficientes a1 a2 b1 e b2 são proporcionais ie Substituindo em 1 2 A transformação reduz 2 à forma de uma equação de variáveis separáveis 0 2 2 2 1 2 2 c dy b y a x c dx b y a x R 0 2 2 1 1 b a b a 2 1 2 1 2 1 2 1 e Rb b Ra a R b b a a 2 2 2 2 b a dx dt dy b y a x t Equações Homogêneas 27 Exemplo 1º caso 𝟐𝒙 𝒚 𝟏 𝒅𝒙 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟓 𝒅𝒚 𝟎 Equações Homogêneas 28 2º caso Os coeficientes a1 a2 b1 e b2 não são proporcionais ie A transformação onde h e k são coordenadas da solução do sistema reduz 1 à forma de uma equação homogênea 0 2 2 1 1 b a b a dY dy dX dx k Y y h X x 0 0 2 2 2 1 1 1 c b y x a c b y a x Equações Homogêneas 29 Exemplo 2º caso 𝒙 𝒚 𝟒 𝒅𝒚 𝒙 𝒚 𝟐 𝒅𝒙 𝟎 Transformação h e k são coordenadas da solução do sistema 𝑘 3 ℎ 1 reduz à forma de uma equação homogênea 1 1 1 1 2 0 1 1 dY dy dX dx k Y y h X x 2 0 4 0 h k h k 𝑋 𝑌 𝑑𝑌 𝑋 𝑌 𝑑𝑋 0 Equações Homogêneas 30 Exemplo 2º caso 𝑋 𝑌 𝑑𝑌 𝑋 𝑌 𝑑𝑋 0 Eq Homogênea de Grau 1 𝑌 𝑣𝑋 𝑑𝑌 𝑣𝑑𝑋 𝑋𝑑𝑣 Substituição 𝑋 𝑣𝑋 𝑣𝑑𝑋 𝑋𝑑𝑣 𝑋 𝑣𝑋 𝑑𝑋 0 1 𝑣 𝑋2𝑑𝑣 𝑣𝑋 𝑣2𝑋 𝑋 𝑣𝑋 𝑑𝑋 0 𝑣1 𝑣21 𝑑𝑣 𝑑𝑋 𝑋 0 tan1 𝑣 1 2 ln 𝑣2 1 ln 𝑋 𝐶 tan1 𝑌 𝑋 1 2 ln 𝑌2𝑋2 𝑋2 ln 𝑋 𝐶 tan1 𝑦3 𝑥1 ln 𝑦 32𝑥 12 𝐶 Equações de Bernoulli 31 Seja a equação diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 1 Onde 𝑛 ℝ ED Não linear Note que 𝑛 0 𝑒 𝑛 1 a equação se torna linear Para 𝑛 0 𝑒 𝑛 1 a substituição 𝑢 𝑦1𝑛 reduz qualquer equação da forma 1 a uma equação diferencial linear Equações de Bernoulli 32 Seja a ED na forma 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 1 Metodologia para resolver Equações de Bernoulli 1 Dividir a eq 1 por 𝑦𝑛 2 Substituir 𝑢 𝑦1𝑛 e d𝑢 𝑑𝑥 1 𝑛𝑦𝑛𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 Pelos passos 1 e 2 obtémse a seguinte equação 1 1𝑛 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑢 𝑓 𝑥 2 Note que a eq 2 é uma Equação Linear de 1ª Ordem na função incógnita 𝑢 Pode ser resolvida multiplicando pelo Fator Integrante Equações de Bernoulli 33 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑦2 Exemplo Exercícios Resolva a equação diferencial dada utilizando uma substituição apropriada a 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥𝑦 𝑥𝑦2 b 𝑡2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦2 𝑡𝑦 c 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 3𝑦4 Equações de Riccati 34 Uma ED na forma 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦2 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅𝑥 3 é chamada de uma eq de Riccati Obs Se 𝑃 𝑥 0 Eq é Linear Se 𝑃 𝑥 0 e conseguirmos de alguma forma obter uma solução particular da Equação Diferencial de Riccati EDR 𝑦𝑝𝑥 então fazemos a seguinte troca de variável 𝑦 𝑦𝑝 𝑥 1 𝑧 Note que esta troca de variável transforma a EDR em uma equação diferencial linear em x e z Se não for dada a sol Particular testar 𝑦𝑝 𝑥 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 etc Equações de Riccati 35 Exemplo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑦2 1 𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑧 Obs Eq de Bernoulli X Eq de Riccati 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦2 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅𝑥
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Equações Diferenciais Ordinárias Prof Guilherme Jahnecke Weymar AULA 03 Equações diferenciais de primeira ordem Equações separáveis Fonte Material Daniela Buske Boyce Bronson Zill diversos internet 1 Equações separáveis 2 As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser escritas na forma 1 Seja Então Substituindose gy por dhdy na equação 1 obtemos 2 f x dx g y dy g y dy h y gy dy dh f x dx dy dy dh Mas pela regra da cadeia O que implica que 2 pode ser escrita como 3 A eq 3 é do tipo 13 vista na aula 02 ou seja é da forma Em que Yx hyx Assim integrandose 3 dos dois lados obtemos que a solução geral de 1 é dada implicitamente por Equações separáveis 3 dx dy dy dh dx h y x d qt dt dy f x dx h y x d f x dx dY C f x dx h y x Equações separáveis 4 Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira Integrandose em relação a x ambos os membros de 1 obtemos Que pode ser reescrita como Fazendo a substituição ydx dy obtemos Observação As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser vistas como curvas de nível da função C f x dx dxdx g y dy C f x dx g y ydx C f x dx g y dy f x dx h y x z F x y Exemplo 1 Modo de resolução 1 Encontrar a solução geral da EDO A EDO pode ser reescrita como ou pela regra da cadeia Assim a solução geral é dada implicitamente por As soluções são elipses ver fig 1 que são curvas de nível da função O gráfico da função Fxy dada é um parabolóide elíptico ver fig 2 Equações separáveis 5 x dx y dy 4 2 x dx dy dy y d 4 2 x dx y d 4 2 C x x dx y 2 2 2 4 2 2 2 x y F x y z Equações separáveis 6 Exemplo 1 Modo de resolução 2 Encontrar a solução geral da EDO Integrandose em relação a x ambos os membros obtemos Fazendo a substituição ydx dy obtemos Assim a solução geral é dada implicitamente por As soluções são elipses ver fig 1 que são curvas de nível da função O gráfico da função Fxy dada é um parabolóide elíptico ver fig 2 x yy x dx y dy 4 4 ou 2 2 C x y 2 2 2 2 2 2 x y F x y z C xdx yy dx 4 2 C xdx ydy 4 2 Equações separáveis 7 Figura 1 Soluções da equação diferencial do exemplo 1 Equações separáveis 8 Figura 2 Soluções da equação diferencial do exemplo 1 como curvas de nível do parabolóide elíptico z Fxy 2x2y2 Equações separáveis 9 Exemplo 2 a Encontre a solução do PVI b Determine o intervalo de validade da solução ou seja o maior intervalo contendo x01 para o qual a solução yx e sua derivada dydx estão definidas c Determine os pontos onde a solução tem um máximo local d Faça um esboço do gráfico da solução 0 1 3 3 1 2 2 y y x dx dy Equações separáveis 10 Exercício Fazer pela primeira metodologia para verificar Para determinar o intervalo de validade da solução do PVI vamos determinar o maior intervalo que contem x 1 em que a solução e sua derivada estão definidas Pela equação dydx 2x 13y² 3 temos que os pontos onde a derivada não está definida são aqueles tais que 3y² 3 0 ou seja y 1 Como o ponto inicial é 1 0 então a solução do PVI está contida na região do plano 1 y 1 Substituindose y 1 na equação que define a solução obtemos a equação x² x 2 0 que tem solução x 1 e x 2 Substituindose y 1 na equação que define a solução y³ 3y x² x 0 obtemos a equação x² x 2 0 que não tem solução real Como a solução está definida para todo x mas a derivada não está definida para x 1 e x 2 o ponto inicial x₀ 1 está entre os valores x 1 e x 2 e concluímos que o intervalo de validade da solução yx e a sua derivada estão definidas Nos pontos onde a solução tem máximo local a reta tangente à curva é horizontal ou seja pontos onde dydx 0 Neste caso não precisamos calcular a derivada da solução pois a derivada já está dada pela equação diferencial ou seja dydx 2x 13y² 3 Assim a reta tangente é horizontal para x tal que 2x 1 0 ou seja somente para x 12 Nos pontos x 1 e x 2 a reta tangente à curva solução y³ 3y x² x 0 é vertical ou seja dxdy 0 pois pela equação diferencial dxdy 1dydx 3y² 32x 1 para x 12 Assim já sabemos pelo item b que a solução está contida em uma curva que passa pelos pontos 1 1 e 2 1 onde a tangente é vertical e que passa pelo ponto inicial 1 0 Neste ponto a inclinação da tangente é 13 pois substituindose x 1 e y 0 na equação diferencial obtemos dydx 13 Além disso sabemos que o único ponto em que a tangente é horizontal ocorre para x 12 Deduzimos daí que a solução é crescente até x 12 depois começa a decrescer Equações separáveis 14 Figura 3 Solução do PVI do exemplo 2 Equações separáveis 15 Figura 4 Soluções da EDO e do PVI do exemplo 2 Equações separáveis 16 Figura 5 Soluções da EDO do exemplo 2 como curvas de nível de uma função de duas variáveis zfxyy33yx2x 17 Soluções por Substituições Muitas Equações Diferenciais o primeiro passo para resolvêla é transformar em outra ED conhecida por meio de uma substituição Equações Homogêneas Equações de Bernoulli Equações de Riccati Equações Homogêneas 18 Definição Função homogênea Se uma função f satisfaz Para algum número real n então dizemos que f é uma função homogênea de grau n f x y y x f n Equações Homogêneas 19 Exemplo 1 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f x y y x y x y x f y x x y f f é homogênea de grau 2 Exemplo 2 𝑓 𝑥 𝑦 3𝑥2 𝑥𝑦2 1 1 3 1 3 3 2 2 3 3 2 3 f x y y x x y x f xy x x y f f não é homogênea Equações Homogêneas 20 Exemplo 3 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 0 f x y sen x y e y x sen e y x f sen x y e x y f x y y x y x f é homogênea de grau zero OBS 1 Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante adicionada à função destrói a homogeneidade a menos que a função seja homogênea de grau zero 2 Uma função homogênea pode ser reconhecida examinado o grau de cada termo Equações Homogêneas 21 Definição Equação homogênea Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau 0 N x y dy M x y dx Equações Homogêneas 22 Método de solução Equação homogênea Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica Neste caso a substituição transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª ordem separável 0 N x y dy x y dx M vx y xdv vdx dy vx y Lembrando Equações Homogêneas 23 Exemplo 1 0 2 2 2 2 dy y x xydx y x xy dx dy xdv vdx dy vx y Substituição fç homog de mesmo grau c c v v x v dv v x dx v dv v x dx x dv v x x dx v dv v x x dx v dv v x x dx v x x v v x xdv vdx v x x xvxdx 2 2 yx v 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2y x lny 2 1 ln ln 1 1 1 0 variáveis separáveis 1 0 0 Exercícios Resolva as equações diferenciais homogêneas 1 𝑥2 𝑦2 2𝑥𝑦𝑦 0 Sol Geral 𝑦2 𝑥² 𝐶𝑥 2 𝑥2 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦 0 Sol Geral ln 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 𝐶 3 𝑥𝑦 cos 𝑦 𝑥 𝑦 cos 𝑦 𝑥 𝑥 Sol Geral 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦 ln 𝐶 𝑥 4 𝑦𝑦 2𝑦 𝑥 Sol Geral 𝑦 𝑥 𝐶𝑒𝑥𝑦𝑥 5 𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑦𝑦 Sol Geral ln 𝑥² 𝑦² arctan𝑦𝑥 𝐶 6 𝑦 4 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 2 𝑦 1 2 Sol Particular arctan𝑦2𝑥 ln 𝑥 𝜋4 24 Equações Homogêneas 25 Observações Caso Mxy e Nxy sejam funções de trinômios lineares em x e y ou seja 1 Teremos de analisar se os coeficientes a1 a2 b1 e b2 são proporcionais ou não 0 2 2 2 1 1 1 c dy b y a x c dx b y a x Equações Homogêneas 26 1º caso Os coeficientes a1 a2 b1 e b2 são proporcionais ie Substituindo em 1 2 A transformação reduz 2 à forma de uma equação de variáveis separáveis 0 2 2 2 1 2 2 c dy b y a x c dx b y a x R 0 2 2 1 1 b a b a 2 1 2 1 2 1 2 1 e Rb b Ra a R b b a a 2 2 2 2 b a dx dt dy b y a x t Equações Homogêneas 27 Exemplo 1º caso 𝟐𝒙 𝒚 𝟏 𝒅𝒙 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟓 𝒅𝒚 𝟎 Equações Homogêneas 28 2º caso Os coeficientes a1 a2 b1 e b2 não são proporcionais ie A transformação onde h e k são coordenadas da solução do sistema reduz 1 à forma de uma equação homogênea 0 2 2 1 1 b a b a dY dy dX dx k Y y h X x 0 0 2 2 2 1 1 1 c b y x a c b y a x Equações Homogêneas 29 Exemplo 2º caso 𝒙 𝒚 𝟒 𝒅𝒚 𝒙 𝒚 𝟐 𝒅𝒙 𝟎 Transformação h e k são coordenadas da solução do sistema 𝑘 3 ℎ 1 reduz à forma de uma equação homogênea 1 1 1 1 2 0 1 1 dY dy dX dx k Y y h X x 2 0 4 0 h k h k 𝑋 𝑌 𝑑𝑌 𝑋 𝑌 𝑑𝑋 0 Equações Homogêneas 30 Exemplo 2º caso 𝑋 𝑌 𝑑𝑌 𝑋 𝑌 𝑑𝑋 0 Eq Homogênea de Grau 1 𝑌 𝑣𝑋 𝑑𝑌 𝑣𝑑𝑋 𝑋𝑑𝑣 Substituição 𝑋 𝑣𝑋 𝑣𝑑𝑋 𝑋𝑑𝑣 𝑋 𝑣𝑋 𝑑𝑋 0 1 𝑣 𝑋2𝑑𝑣 𝑣𝑋 𝑣2𝑋 𝑋 𝑣𝑋 𝑑𝑋 0 𝑣1 𝑣21 𝑑𝑣 𝑑𝑋 𝑋 0 tan1 𝑣 1 2 ln 𝑣2 1 ln 𝑋 𝐶 tan1 𝑌 𝑋 1 2 ln 𝑌2𝑋2 𝑋2 ln 𝑋 𝐶 tan1 𝑦3 𝑥1 ln 𝑦 32𝑥 12 𝐶 Equações de Bernoulli 31 Seja a equação diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 1 Onde 𝑛 ℝ ED Não linear Note que 𝑛 0 𝑒 𝑛 1 a equação se torna linear Para 𝑛 0 𝑒 𝑛 1 a substituição 𝑢 𝑦1𝑛 reduz qualquer equação da forma 1 a uma equação diferencial linear Equações de Bernoulli 32 Seja a ED na forma 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 1 Metodologia para resolver Equações de Bernoulli 1 Dividir a eq 1 por 𝑦𝑛 2 Substituir 𝑢 𝑦1𝑛 e d𝑢 𝑑𝑥 1 𝑛𝑦𝑛𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 Pelos passos 1 e 2 obtémse a seguinte equação 1 1𝑛 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑢 𝑓 𝑥 2 Note que a eq 2 é uma Equação Linear de 1ª Ordem na função incógnita 𝑢 Pode ser resolvida multiplicando pelo Fator Integrante Equações de Bernoulli 33 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑒𝑥𝑦2 Exemplo Exercícios Resolva a equação diferencial dada utilizando uma substituição apropriada a 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥𝑦 𝑥𝑦2 b 𝑡2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦2 𝑡𝑦 c 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 3𝑦4 Equações de Riccati 34 Uma ED na forma 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦2 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅𝑥 3 é chamada de uma eq de Riccati Obs Se 𝑃 𝑥 0 Eq é Linear Se 𝑃 𝑥 0 e conseguirmos de alguma forma obter uma solução particular da Equação Diferencial de Riccati EDR 𝑦𝑝𝑥 então fazemos a seguinte troca de variável 𝑦 𝑦𝑝 𝑥 1 𝑧 Note que esta troca de variável transforma a EDR em uma equação diferencial linear em x e z Se não for dada a sol Particular testar 𝑦𝑝 𝑥 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 etc Equações de Riccati 35 Exemplo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑦2 1 𝑥 𝑦 2 𝑥 𝑦𝑝 𝑥 1 𝑦 1 1 𝑧 Obs Eq de Bernoulli X Eq de Riccati 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦2 𝑄 𝑥 𝑦 𝑅𝑥