·
Engenharia de Produção ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Resumo e Lista de Exercícios Cálculo IV Fuja do Nabo LIVE P3 20182 1 Resumo 1 Equações Diferenciais Para a P3 deixaremos de lado as séries de Taylor e Fourier Estudaremos então métodos que nos ajudam a resolver equações diferenciais Mas o que são equações diferenciais De uma forma bem resumida podemos dizer que equações diferenciais são equações que relacionam uma variável normalmente 𝑦 com sua derivada em relação à outra variável normalmente 𝑥 Um possível exemplo poderia ser I 𝑦 𝑦 𝑥 Neste caso queremos achar a função 𝑦 que substituída na equação nos de uma identidade Por exemplo tomando 𝑦 𝑥2 na equação acima temos 𝑦 2𝑥 Substituindo na equação II 2𝑥 𝑥2 𝑥 Não é uma identidade pois 2𝑥 𝑥2 não é igual a 𝑥 para qualquer 𝑥 Chegamos à conclusão portanto que 𝑦 𝑥2 não é solução da equação diferencial acima A partir daqui espero que tenha ficado claro que dada uma equação diferencial sua tarefa será simples achar um conjunto de funções 𝑦 que satisfaçam a equação dada Veremos que para cada tipo de equação diferencial há um método a ser aplicado 2 Por isso que os matemáticos dividem as equações diferenciais em e em seguida as de ordem maior que um 2 EDO de ordem 1 Uma EDO Equação Diferencial Ordinária é de ordem 1 quando o grau máximo das derivadas que aparecem na equação é 1 Alguns exemplos podem ajudar I 𝑦 3𝑥𝑦 𝑥2 II 𝑦𝑦 𝑥𝑦 2 𝑥 III 𝑦 𝑦 0 Outra forma de apresentar uma equação de primeira ordem é substituir o termo 𝑦 por 𝑑𝑦 𝑑𝑥 o que é bem intuitivo né Fazendo isso para as equações acima temos I 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 𝑥2 𝑑𝑦 3𝑥𝑦 𝑥2𝑑𝑥 0 II 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2 𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑦 2 𝑥 𝑑𝑥 0 III 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑦 0 Enfim são duas formas equivalentes de representar uma equação de ordem 1 e nos exercícios veremos as duas No total existem 5 métodos para resolver uma EDO de ordem 1 e são eles 3 Método da Separação das Variáveis Neste método dada uma equação separamos as variáveis jogando tudo que tem 𝑦 para um lado da igualdade e tudo que tem 𝑥 para o outro Por exemplo 𝑦 3𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑦 3𝑥𝑑𝑥 Percebam que neste caso é necessário escrever a equação em termos de 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 Do lado esquerdo temos apenas 𝑦 e do lado direito apenas 𝑥 Agora integramos ambos os lados 𝑑𝑦 𝑦 3𝑥𝑑𝑥 ln𝑦 3𝑥2 2 𝐶 𝑦𝑥 𝑒𝐶 𝑒 3 2𝑥2 Como 𝑒𝐶 é uma constante maior que 0 então 𝑒𝐶 é também uma constante diferente de 0 Chamaremos 𝑒𝐶 de 𝐾 com 𝐾 0 𝑦𝑥 𝐾 𝑒 3 2𝑥2 Pronto Simples não Mas como veremos este método é pouco abrangente Poucas equações diferenciais de ordem 1 conseguem ter suas variáveis separadas Se eu fizer uma simples modificação na equação do exemplo anterior ela deixa de ser de variáveis separáveis 𝑦 3𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 3𝑥𝑦 1𝑑𝑥 4 Caímos em um beco sem saída Concluímos que apesar de simples o método não nos permite resolver a maioria esmagadora das equações de ordem 1 Método da EDO exata Um jeito genérico de representar uma EDO de ordem 1 é o seguinte 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑦𝑦 0 Ou chamando 𝑦 de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 temos 𝑃𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑦𝑑𝑦 0 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 0 simplificação Dizemos que uma EDO de ordem 1 é exata se e somente se a seguinte relação for válida 𝑃 𝑦 𝑄 𝑥 E porque uma EDO exata é especial Por que se prova que existe uma função 𝑓𝑥 𝑦 de tal forma que 𝑓𝑥 𝑦 𝐶 é solução da EDO exata E quem é essa misteriosa 𝑓𝑥 𝑦 Ela possui a seguinte propriedade I 𝑓 𝑥 𝑃 II 𝑓 𝑦 𝑄 5 Usando estas duas relações conseguimos chegar na nossa função 𝑓𝑥 𝑦 Depois disto basta dizer que as soluções da EDO são tais que 𝑓𝑥 𝑦 𝐶 com 𝐶 𝑅 Método do fator integrante Vamos supor que um exercício nos forneceu uma EDO e a colocamos ela na seguinte forma 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 0 Se ela for exata usamos o método anterior Mas se ela não for exata podemos usar o seguinte raciocínio Será que existem funções em 𝑦 𝑢𝑦 e 𝑥 𝑢𝑥 que ao multiplicarem a equação diferencial a tornem exata Existem Darei um nome a estas funções 𝑢𝑥 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑥 𝑢𝑦 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑦 Beleza e como descubro estes fatores É uma decoreba ilustrada a seguir I 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑄 Se esta expressão for apenas função de 𝑥 então existe um fator integrante em 𝑥 e ele é dado por 6 𝑢𝑥 𝑒𝑔𝑥𝑑𝑥 onde 𝑔𝑥 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑄 II 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑃 Se esta expressão for apenas função de 𝑦 então existe um fator integrante em 𝑦 e ele é dado por 𝑢𝑥 𝑒 ℎ𝑦𝑑𝑥 onde ℎ𝑦 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑃 Vamos supor então que eu identifico um fator integrante 𝑢𝑥 Eu sei o seguinte 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 0 𝑛ã𝑜 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 Mas multiplicando pelo fator integrante ela se torna exata 𝑃𝑢𝑥𝑑𝑥 𝑄𝑢𝑥𝑑𝑦 0 𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑚 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 Agora resolvo a nova equação exata pelo método da EDO exata Método da EDO linear Uma EDO de ordem 1 é dita linear quando ela pode ser escrita da seguinte forma 𝑦 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 A solução desta EDO é dada pela fórmula a seguir 𝑦𝑥 𝑒𝑝𝑥 𝐶 𝑒 𝑝𝑥𝑞𝑥𝑑𝑥 7 Então se você identificar uma EDO linear basta colocala na forma com o 𝑝𝑥 e 𝑞𝑥 e aplicar a fórmula Método da mudança de variáveis Isso não bem um método que você aplica é mais uma sacada que você precisa ter na hora da prova Então você tenta algum dos 4 métodos anteriores e se nenhum funcionar isso sugere uma mudança de variáveis Para ficar mais claro tomem o exemplo a seguir 𝑦 sin2𝑥 𝑦 1 Obviamente essa equação não é de variáveis separáveis e muito menos linear E se fizermos as contas concluímos que não é exata e nem possui fatores integrantes em 𝑥 e 𝑦 A forma como a equação é dada sugere a seguinte mudança 𝑥 𝑦 1 𝑧 𝑧 1 𝑦 𝑦 1 𝑧 Jogando isso na EDO original temos 1 𝑧 sin2 𝑧 𝑧 1 sin2 𝑧 𝑧 cos2 𝑧 Antes eu tinha uma EDO que relacionava 𝑦 e 𝑥 Agora surgiu uma EDO bem mais simples que relaciona 𝑧 com 𝑥 e de variáveis separáveis 𝑧 cos2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 cos2 𝑧 sec2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 sec2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 8 O resultado disso é tan 𝑧 𝑥 𝐾 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑅 Lembrando da mudança feita 𝑧 𝑥 𝑦 1 tan𝑥 𝑦 1 𝑥 𝐾 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑅 As soluções da EDO original satisfazem a expressão anterior para qualquer valor de 𝐾 Enfim a respeito de EDO de ordem 1 é isso De agora em diante falaremos das EDOs de ordem maior que 1 3 EDO de ordem maior que 1 Para simplificar a nossa vida para essa P3 apenas estudaremos as EDOs lineares de ordem maior que 1 Ou seja não estudaremos EDOs que tenham termos da forma sin 𝑦 𝑦2 𝑒𝑦 e por aí vai Trabalharemos com equações que possuem apenas a variável 𝑦 e suas respectivas derivadas Alguns exemplos ajudam a visualizar I 𝑦 3𝑦 2𝑦 𝑒𝑥 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 II 𝑦5 𝑦 sin 𝑥 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 III 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 tan 𝑥 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 9 Toda EDO linear tem associada a ela uma equação homogênea Para obter esta equação homogênea basta pegar a equação original e eliminar o único termo constante em 𝑦 As equações homogêneas associadas às EDOs anteriores são I 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 II 𝑦5 𝑦 0 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 III 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 0 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 Agora que vem a sacada essencial A solução de uma EDO linear é dada pela soma da solução da sua equação homogênea com uma solução particular Vamos tomar como exemplo a primeira equação do exemplo anterior 𝑦 3𝑦 2𝑦 𝑒𝑥 Cuja equação homogênea é 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 Vamos supor que a solução desta equação homogênea seja conhecida e valha 𝑦ℎ𝑥 Vamos supor também que conhecemos uma solução particular da EDO que chamamos de 𝑦𝑝𝑥 A solução geral da equação será dada por 10 𝑦𝑔𝑥 𝑦ℎ𝑥 𝑦𝑝𝑥 Então daqui para frente analisaremos as EDOs em dois passos Vamos descobrir a solução da homogênea associada e depois vamos descobrir uma solução particular Tendo as duas somamos e obtemos a solução geral Como vocês podem perceber estas EDOs lineares podem ser de coeficientes constantes ou não Faremos então essa divisão final Analisaremos as EDOs de coeficientes constantes e depois vamos para o caso final com coeficientes variáveis mas sempre descobrindo a solução da homogênea e depois somando com uma solução particular 4 EDOs de Coeficientes Constantes São EDOs cujos termos que multiplicam 𝑦 e suas derivadas são todos constantes Veremos como obter a solução da homogênea e depois como obter a solução particular Solução da Homogênea Uma EDO linear de coeficientes constantes pode ser escrita da seguinte forma 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 𝑞𝑥 A equação homogênea associada a ela fica simplesmente 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 0 11 Agora à essa equação homogênea eu associa uma equação polinomial característica 𝑎𝑛𝑠𝑛 𝑎𝑛1𝑠𝑛1 𝑎0 0 Percebam que esta última trabalha com potências de 𝑠 e podemos achar suas raízes Provase que Se 𝒂 é raiz da equação característica com multiplicidade 𝒌 então o conjunto 𝑒𝑎𝑥 𝑥𝑒𝑎𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥 É solução da homogênea Se 𝒂 𝒃𝒊 é raiz da equação característica com multiplicidade 𝒌 então o conjunto 𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 É solução da homogênea Se 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑛 são soluções da homogênea então a solução geral da homogênea 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑦1 𝐶2𝑦2 𝐶𝑛𝑦𝑛 combinação linear das soluções Vamos supor que tenhamos a seguinte homogênea 12 𝑦 2𝑦 𝑦 0 A equação característica associada é 𝑠2 2𝑠 1 0 Cujas raízes são 𝑠 1 com multiplicidade 2 Assim as soluções da homogênea serão 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 A solução geral da homogênea é combinação linear destas duas de modo que 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑒𝑥 𝐶2𝑥𝑒𝑥 Outro exemplo é caso tivéssemos a seguinte equação 𝑦 2𝑦 2𝑦 0 A equação característica associada é 𝑠3 2𝑠2 2𝑠 0 𝑠𝑠2 2𝑠 2 0 As soluções desta equação são 𝑠 0 Multiplicidade 1 𝑠 1 𝑖 Multiplicidade 1 cada uma 13 Assim as soluções da homogênea são 𝑒0𝑥 1 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑒𝑥 cos 𝑥 A solução geral da homogênea é dada pela combinação linear das 3 anteriores resultando em 𝑦ℎ𝑥 𝐶1 𝐶2𝑒𝑥 sin 𝑥 𝐶3𝑒𝑥 cos 𝑥 Solução Particular Método dos Coeficientes a Determinar Uma EDO linear de coeficientes constantes pode ser escrita da seguinte forma 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 𝑞𝑥 É de se esperar que uma solução particular desta equação preserve as mesmas características de 𝑞𝑥 mesmo após sucessivas derivações Por exemplo se 𝑞𝑥 for uma exponencial provavelmente uma solução particular desta equação também será uma exponencial pois se eu substituir 𝑦 por uma exponencial na equação após sucessivas derivações ainda terei uma exponencial do lado esquerdo e uma exponencial do lado direito Assim de acordo com a natureza de 𝑞𝑥 𝑦𝑝𝑥 candidata a solução particular O que mostrarei para vocês a seguir é que dada uma EDO com uma determinada 𝑞𝑥 qual 𝑦𝑝𝑥 eu preciso chutar 14 Dividiremos o problema em 3 casos Caso 1 𝒒𝒙 𝑷𝒎𝒙 𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒎 Provase que quando 𝑞𝑥 𝑃𝑚𝑥 a função 𝑦𝑝𝑥 que chutarei será 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑘𝑃𝑚𝑥 I 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 II 𝑘 Multiplicidade da raiz s0 na equação característica da homogênea Assim se 𝑞𝑥 𝑥2 3𝑥 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 2 𝑚 2 E 𝑠 0 é raiz dupla da equação característica 𝑘 2 então a solução a ser chutada 𝑦𝑝𝑥 𝑥2𝑃2 𝑥 𝑥2𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝐶 Agora jogo esta solução na EDO e por meio de uma comparação determino os coeficientes 𝐴 𝐵 𝐶 Caso 2 𝒒𝒙 𝒆𝒂𝒙𝑷𝒎𝒙 𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒎 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 Provase que quando 𝑞𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑃𝑚𝑥 a função 𝑦𝑝𝑥 que chutarei será 15 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥𝑃𝑚𝑥 I 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 II 𝑘 Multiplicidade da raiz 𝑠 𝑎 na equação característica da homogênea Assim se 𝑞𝑥 𝑥𝑒2𝑥 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 1 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑚 1 E 𝑠 2 é raiz tripla da equação característica 𝑘 3 então a solução a ser chutada 𝑦𝑝𝑥 𝑥3𝑒2𝑥𝑃1𝑥 𝑥3𝑒2𝑥𝐴𝑥 𝐴𝑥4𝑒2𝑥 Agora jogo esta solução na EDO e por meio de uma comparação determino o coeficiente 𝐴 Caso 3 𝒒𝒙 𝒆𝒂𝒙𝒄𝒐𝒔𝒃𝒙𝑷𝒎𝒙 𝒐𝒖 𝒆𝒂𝒙𝒔𝒊𝒏𝒃𝒙𝑷𝒎𝒙 𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒎 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒂𝒍𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒂𝒍 Provase que quando 𝑞𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛cos 𝑏𝑥𝑃𝑚𝑥 a função 𝑦𝑝𝑥 que chutarei será 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥 cos𝑏𝑥 𝑃𝑚𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥 sin𝑏𝑥 𝑃𝑚𝑥 16 I 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 II 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 III 𝑘 Multiplicidade da raiz 𝑠 𝑎 𝑏𝑖 na equação característica da homogênea Assim se 𝑞𝑥 𝑥2𝑒2𝑥 sin4𝑥 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 2 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑚 2 E 𝑠 2 4𝑖 é raiz única da equação característica 𝑘 1 então a solução a ser chutada 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑒2𝑥𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝐶 cos4𝑥 𝑥𝑒2𝑥𝐷𝑥2 𝐸𝑥 𝐹 sin4𝑥 Agora jogo esta solução na EDO e por meio de uma comparação determino os coeficientes 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 Percebam que mesmo com 𝑞𝑥 sendo senoidal possui termo sin 4𝑥 ambas as funções seno e cosseno aparecem na solução particular O mesmo vale no caso de 𝑞𝑥 ser cossenoidal Solução Particular Método da Variação dos Parâmetros Agora surge a seguinte pergunta e quando nossa 𝑞𝑥 não tiver natureza polinomial exponencial ou cossenoidal Por exemplo se eu tomar a seguinte equação 17 𝑦 2𝑦 𝑦 ln 𝑥 Ela é de coeficientes constantes e a solução da homogênea se dá através da solução da característica Mas quando eu for calcular o 𝑦𝑝𝑥 não posso aplicar o método anterior pois 𝑞𝑥 não se encaixa em nenhum dos 3 casos Assim aplicamos o Método da Variação dos Parâmetros Para explicá lo tomemos a equação anterior Vamos supor que saibamos de antemão as soluções da homogênea 𝑦1 𝑦2 𝑦3 Podemos facilmente calculálas através da equação característica que possui raízes 𝑠 0 e 𝑠 1 dupla Assim tiramos 𝑦1 1 𝑦2 𝑒𝑥 𝑦3 𝑥𝑒𝑥 Mas visando ser o mais genérico possível vou deixalas na forma 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥𝑦1 𝑢2𝑥𝑦2 𝑢3𝑥𝑦3 Calculamos 𝑢1 𝑢2 𝑒 𝑢3 a partir do seguinte sistema 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑢1 𝑢2 𝑢3 0 0 𝑞𝑥 ln 𝑥 Obtenho 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e integro cada um deles para obter 𝑢1 𝑢2 e 𝑢3 Tendo os três 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e as soluções da homogênea 𝑦1 𝑦2 𝑦3 a minha solução particular será 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥𝑦1 𝑢2𝑥𝑦2 𝑢3𝑥𝑦3 18 Obviamente apresentei aqui o caso de uma EDO de ordem 3 Isso nos levou a 3 soluções da homogênea a 3 parâmetros 𝑢 e a um sistema 3 por 3 Mas o método vale para uma EDO linear de qualquer ordem o que muda é o tamanho do sistema e com quantas soluções 𝑦 e parâmetros 𝑢 eu vou trabalhar 5 EDOs de Coeficientes Quaisquer Vimos que uma EDO de coeficientes constantes pode ser escrita da seguinte forma 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 𝑞𝑥 Uma EDO de coeficientes variáveis tem mais ou menos a mesma cara O que muda são os coeficientes que multiplicam 𝑦 e suas derivadas Antes constantes agora eles podem depender de 𝑥 Então a forma genérica de se escrever uma EDO de coeficientes variáveis é 𝑎𝑛𝑥𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑦𝑛1 𝑎0𝑥𝑦 𝑞𝑥 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎0𝑥 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑥 Mas como dito anteriormente mesmo com coeficientes variáveis ela continua sendo linear Assim a solução geral pode ser calculada como uma soma da solução da homogênea com uma solução particular 19 O que muda então Apenas o método que usaremos para achar a solução da homogênea e a solução particular Solução da Homogênea Em se tratando de coeficientes variáveis as EDOs que podem cair na prova serão de ordem 2 no máximo EDOs de ordem maior que 2 com coeficientes variáveis são muito difíceis de serem resolvidas Então o que de fato vai cair na prova será algo do tipo 𝑎2𝑥𝑦 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 𝑞𝑥 A equação homogênea associada será 𝑎2𝑥𝑦 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 0 Percebam que como os coeficientes não são mais constantes não faz sentido falar em uma equação característica Precisamos arranjar um novo método para resolver a homogênea O mais usado é o seguinte Vamos supor que eu tenha em mãos uma solução da homogênea 𝑦1𝑥 Defino uma nova solução 𝑦2𝑥 𝑣1𝑥𝑦1𝑥 Jogo essa nova solução 𝑦2𝑥 na equação e consigo achar meu parâmetro 𝑣1𝑥 Assim eu tenho duas soluções da homogênea 𝑦1𝑥 e 𝑦2𝑥 𝑣1𝑥𝑦1𝑥 Como estamos lidando com equações lineares a solução da homogênea ainda é a combinação linear de suas soluções particulares Ou seja ainda é valido 20 Se 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝒚𝒏 são soluções da homogênea então a solução geral da homogênea 𝒚𝒉𝒙 𝑪𝟏𝒚𝟏 𝑪𝟐𝒚𝟐 𝑪𝒏𝒚𝒏 combinação linear das soluções Concluímos que a solução geral da homogênea será 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑦1 𝐶2𝑦2 𝐶1𝑦1𝑥 𝐶2𝑣1𝑥𝑦1𝑥 Em resumo basta achar o parâmetro 𝑣1𝑥 que eu resolvo tudo Mas lembrem que eu parti do pressuposto que já tenho em mãos uma solução 𝑦1𝑥 da homogênea Na prática o exercício dará essa solução para vocês ou se ele não der vocês acham por simples inspeção Como um exemplo trouxe para vocês a seguinte equação 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 ln 𝑥 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 0 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 Para essa equação sendo ela de coeficientes variáveis a solução da homogênea se passa pelo conhecimento prévio de uma solução 𝑦1𝑥 Como eu não falei nada então teremos que achar essa solução por inspeção Normalmente essa solução 𝑦1𝑥 é bem simples sendo razoável supor que 𝑦1𝑥 𝑥 seja solução Testamos então 𝑦1 𝑥 𝑦1 1 𝑦1 0 Jogamos na equação 1 𝑥2 0 2𝑥 2𝑥 0 0 0 21 Confirmamos que 𝑦1𝑥 𝑥 é solução da homogênea Agora supomos uma nova solução 𝑦2𝑥 𝑣1𝑥𝑦1 𝑣1𝑥𝑥 e jogamos esta nova solução na equação Calculando as derivadas desta nova solução 𝑦2 𝑣1𝑥 𝑦2 𝑣1 𝑥 𝑣1 𝑦2 𝑣1 𝑥 2𝑣1 Temos nossa equação 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 0 E substituímos a nova solução 𝑦2 na equação obtendo após simplificações 1 𝑥2𝑥𝑣1 2𝑣1 0 Agora podemos chamar 𝑣1 𝑥 𝑚𝑥 de modo que nossa nova equação será 1 𝑥2𝑥𝑚 2𝑚 0 Caímos em uma EDO de ordem 1 na variável 𝑚 Quando usamos este raciocínio sempre cairemos numa EDO de variáveis separáveis como vocês podem ver a seguir 22 Lembrando que 𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑥 1 𝑥2𝑥 𝑑𝑚 𝑑𝑥 2𝑚 0 1 𝑥2𝑥𝑑𝑚 2𝑚𝑑𝑥 1 2𝑚 𝑑𝑚 1 𝑥𝑥2 1 𝑑𝑥 Separadas as variáveis integramos ambos os lados 1 2 ln 𝑚 1 𝑥𝑥2 1 𝑑𝑥 A integral da direita pode ser resolvia por frações parciais Para isso decompomos a expressão 1 𝑥𝑥21 em frações 1 𝑥𝑥2 1 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 𝐴 𝑥 1 𝐵 𝑥 1 𝐶 𝑥 Juntando as partes temos que 𝐴 𝑥 1 𝐵 𝑥 1 𝐶 𝑥 𝐴𝑥 1𝑥 𝐵𝑥 1𝑥 𝐶𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 Então 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 𝐴𝑥 1𝑥 𝐵𝑥 1𝑥 𝐶𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 Finalmente chegamos em 23 𝐴𝑥 1𝑥 𝐵𝑥 1𝑥 𝐶𝑥 1𝑥 1 1 para todo 𝑥 Jogando valores de 𝑥 de modo a descobria as constantes 𝐴 𝐵 𝐶 I 𝑥 1 𝐵 1 2 II 𝑥 1 𝐴 1 2 III 𝑥 0 𝐶 1 Concluímos que 1 𝑥2 1𝑥 1 2 1 𝑥 1 1 𝑥 1 2 𝑥 Assim a integral pode ser calculada por 1 2 ln 𝑚 1 2 1 𝑥 1 1 𝑥 1 2 𝑥 𝑑𝑥 Agora achamos quem é 𝑚 ln𝑚 ln𝑥 1 ln 𝑥 1 2 ln𝑥 𝐶 ln 𝑚 ln 𝑥2 1 𝑥2 𝐶 𝐶 𝑅 𝑚 𝑒𝐶𝑥2 1 𝑥2 𝑒𝐶 𝑘 com 𝑘 0 24 𝑚 𝑘𝑥2 1 𝑥2 𝑚 𝑘 𝑥21 𝑥2 𝑘 𝐴 com 𝐴 𝑅 0 𝑚 𝐴 1 1 𝑥2 Lembrando que 𝑣1 𝑚 𝑣1 𝑚 𝐴 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣1 𝐴𝑥 𝐴 𝑥 Precisamos de apenas um 𝑣𝑥 assim tomamos 𝐴 1 𝑣1 𝑥 1 𝑥 Finalmente terminamos Temos duas soluções da homogênea 𝑦1𝑥 𝑥 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒çã𝑜 e 𝑦2𝑥 𝑣1𝑦1 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑥2 1 A solução geral da homogênea será combinação linear destas duas de modo que 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑥 𝐶2𝑥2 1 25 Como vocês podem ter percebido achar a solução da homogênea neste caso é bem complicado mesmo São muitos passos a serem feitos e um erro por menor que seja pode ser fatal De longe a resolução de EDOs com coeficientes variáveis será a questão mais difícil da prova Feito isso partimos para a solução particular Wronskiano Algumas EDOs possuem coeficientes pouco simples e a primeira solução homogênea 𝑦1𝑥 pode ser pouco simples a ponto de não ser possível utilizar o método acima Neste caso sendo a EDO escrita de forma linear da seguinte forma 𝑎2𝑥𝑦 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 0 A solução homogênea 𝑦2𝑥 pode ser encontrada a partir das seguintes relações O Wronskiano é definido como o seguinte determinante 𝑊𝑥 𝑦1𝑥 𝑦2𝑥 𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 Além disso a seguinte relação é válida 26 𝑊 𝑥 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥 𝑊𝑥 Resolvendo essa EDO de ordem 1 chegamos em 𝑊𝑥 𝐶𝑒 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥𝑑𝑥 A partir da relação acima é possível descobrir a solução 𝑦2𝑥 sem usar o método previamente apresentado Solução Particular Esta última parte é bem simples Tendo as soluções da homogênea basta aplicar o Método da Variação dos Parâmetros Mas antes uma observação importantíssima precisa ser feita O que é normalizar Transformar o coeficiente dominante em 1 Vejam a seguir tomando o exemplo anterior 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 ln 𝑥 O coeficiente dominante aquele que multiplica a derivada de maior ordem não vale 1 𝑥2 1 Assim dividimos a equação por 1 𝑥2 𝑦 2𝑥 1 𝑥2 𝑦 2 1 𝑥2 𝑦 ln 𝑥 1 𝑥2 27 Agora sim aplicamos o Método da Variação dos Parâmetros Como dito anteriormente o método se passa pela suposição de uma solução particular da forma 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 Os parâmetros 𝑢1 e 𝑢2 são soluções do sistema mostrado anteriormente Apenas para esclarecer vou montar o sistema aqui A nossa equação aqui é 𝑦 2𝑥 1 𝑥2 𝑦 2 1 𝑥2 𝑦 ln 𝑥 1 𝑥2 𝑞𝑥 ln 𝑥 1 𝑥2 As soluções da homogênea são 𝑦1 𝑥 e 𝑦2 1 𝑥2 são A solução particular será 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥 𝑢21 𝑥2 O sistema que relaciona 𝑦1 𝑦2 𝑢1 𝑢2 e 𝑞𝑥 é nesse caso um sistema 2 𝑥 2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑢1 𝑢2 0 𝑞𝑥 Substituindo com nossos valores 𝑥 1 𝑥2 1 2𝑥 𝑢1 𝑢2 0 ln 𝑥 1 𝑥2 28 Resolvendo o sistema encontramos 𝑢1 e 𝑢2 Integramos e achamos 𝑢1 e 𝑢2 Pronto temos nossa solução particular da forma 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥 𝑢21 𝑥2 A solução geral da equação será a soma da solução da homogênea com a solução particular 𝑦𝑔𝑥 𝐶1𝑥 𝐶2𝑥2 1 𝑢1𝑥 𝑢21 𝑥2 A seguir temos um esquema que pode servir como base na parte EDOs de ordem maior que 1 1 EDO lineares de ordem maior que 1 A EDO de coeficientes constantes a Solução da homogênea Equação característica b Solução da Particular I 𝑞𝑥 polinômio exponencial ou senocosseno Método dos Coeficientes a Determinar II 𝑞𝑥 não se encaixa nos 3 casos Método da variação dos Parâmetros B EDO de coeficientes variáveis a Solução da homogênea Acho 𝑦1 e suponho 𝑦2 𝑣1𝑦1 ou via relação do Wronskiano b Solução da Particular Método da Variação dos Parâmetros 29 Lista de Exercícios 1 EDO Não Exata P3 2017 Cálculo IV PoliUSP Exercício 1a Resolva a equação diferencial 𝟒𝒚𝟐 sin𝒙𝟐 𝟖𝒙𝟐𝒚𝟐 cos𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟒𝒙𝒚 sin𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐𝒅𝒚 𝟎 2 EDO Linear P1 2016 Cálculo IV PoliUSP Exercício 1b Resolva a equação 𝒚 𝟐𝒙𝒚 𝒙 3 EDO Homogênea P1 2016 Cálculo IV PoliUSP Exercício 1a Resolva a equação 𝒙𝒚 𝒚 𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐 com 𝒙 𝟎 4 EDO de Ordem 2 com Coeficientes Constantes P3 2017 Cálculo IV PoliUSP Exercício 2 Encontre a solução geral da equação 30 𝑦 2𝑦 8𝑦 𝑒2𝑥 2𝑥2 5 EDO de Ordem 2 com Coeficientes Não Constantes P3 2015 Cálculo IV PoliUSP Exercício 2 Determine a solução geral da equação diferencial 𝑥2 1𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 𝑥2 12 𝑥 1 Sabendo que 𝑦1𝑥 𝑥 é uma solução da equação homogênea associada 6 Solução Complexa P1 2016 Cálculo IV PoliUSP Exercício 3 Dê a solução geral de 𝑦 4𝑦 3 cos2𝑥 E a solução que satisfaz a condição inicial 𝑦0 4 𝑦0 𝑦0 0 7 Wronskiano P3 2014 Cálculo IV PoliUSP Exercício 2b Encontre todas as soluções de 2𝑥2𝑦 𝑦2𝑥 4𝑥2 𝑦3𝑥2 2𝑥 2 0 para 𝑥 0 31 Admitindo que 𝑦 𝑥𝑒𝑥 é uma das soluções 8 EDO por Séries P3 2015 Cálculo IV PoliUSP Exercício 3c Ache a solução geral dada em séries de potências concentradas em 0 da equação diferencial 𝒚 𝒙𝟐𝒚 𝟎
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Resumo e Lista de Exercícios Cálculo IV Fuja do Nabo LIVE P3 20182 1 Resumo 1 Equações Diferenciais Para a P3 deixaremos de lado as séries de Taylor e Fourier Estudaremos então métodos que nos ajudam a resolver equações diferenciais Mas o que são equações diferenciais De uma forma bem resumida podemos dizer que equações diferenciais são equações que relacionam uma variável normalmente 𝑦 com sua derivada em relação à outra variável normalmente 𝑥 Um possível exemplo poderia ser I 𝑦 𝑦 𝑥 Neste caso queremos achar a função 𝑦 que substituída na equação nos de uma identidade Por exemplo tomando 𝑦 𝑥2 na equação acima temos 𝑦 2𝑥 Substituindo na equação II 2𝑥 𝑥2 𝑥 Não é uma identidade pois 2𝑥 𝑥2 não é igual a 𝑥 para qualquer 𝑥 Chegamos à conclusão portanto que 𝑦 𝑥2 não é solução da equação diferencial acima A partir daqui espero que tenha ficado claro que dada uma equação diferencial sua tarefa será simples achar um conjunto de funções 𝑦 que satisfaçam a equação dada Veremos que para cada tipo de equação diferencial há um método a ser aplicado 2 Por isso que os matemáticos dividem as equações diferenciais em e em seguida as de ordem maior que um 2 EDO de ordem 1 Uma EDO Equação Diferencial Ordinária é de ordem 1 quando o grau máximo das derivadas que aparecem na equação é 1 Alguns exemplos podem ajudar I 𝑦 3𝑥𝑦 𝑥2 II 𝑦𝑦 𝑥𝑦 2 𝑥 III 𝑦 𝑦 0 Outra forma de apresentar uma equação de primeira ordem é substituir o termo 𝑦 por 𝑑𝑦 𝑑𝑥 o que é bem intuitivo né Fazendo isso para as equações acima temos I 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 𝑥2 𝑑𝑦 3𝑥𝑦 𝑥2𝑑𝑥 0 II 𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2 𝑥 𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑦 2 𝑥 𝑑𝑥 0 III 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑦 0 Enfim são duas formas equivalentes de representar uma equação de ordem 1 e nos exercícios veremos as duas No total existem 5 métodos para resolver uma EDO de ordem 1 e são eles 3 Método da Separação das Variáveis Neste método dada uma equação separamos as variáveis jogando tudo que tem 𝑦 para um lado da igualdade e tudo que tem 𝑥 para o outro Por exemplo 𝑦 3𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑦 3𝑥𝑑𝑥 Percebam que neste caso é necessário escrever a equação em termos de 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 Do lado esquerdo temos apenas 𝑦 e do lado direito apenas 𝑥 Agora integramos ambos os lados 𝑑𝑦 𝑦 3𝑥𝑑𝑥 ln𝑦 3𝑥2 2 𝐶 𝑦𝑥 𝑒𝐶 𝑒 3 2𝑥2 Como 𝑒𝐶 é uma constante maior que 0 então 𝑒𝐶 é também uma constante diferente de 0 Chamaremos 𝑒𝐶 de 𝐾 com 𝐾 0 𝑦𝑥 𝐾 𝑒 3 2𝑥2 Pronto Simples não Mas como veremos este método é pouco abrangente Poucas equações diferenciais de ordem 1 conseguem ter suas variáveis separadas Se eu fizer uma simples modificação na equação do exemplo anterior ela deixa de ser de variáveis separáveis 𝑦 3𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥𝑦 1 0 𝑑𝑦 3𝑥𝑦 1𝑑𝑥 4 Caímos em um beco sem saída Concluímos que apesar de simples o método não nos permite resolver a maioria esmagadora das equações de ordem 1 Método da EDO exata Um jeito genérico de representar uma EDO de ordem 1 é o seguinte 𝑃𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑦𝑦 0 Ou chamando 𝑦 de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 temos 𝑃𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑄𝑥 𝑦𝑑𝑦 0 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 0 simplificação Dizemos que uma EDO de ordem 1 é exata se e somente se a seguinte relação for válida 𝑃 𝑦 𝑄 𝑥 E porque uma EDO exata é especial Por que se prova que existe uma função 𝑓𝑥 𝑦 de tal forma que 𝑓𝑥 𝑦 𝐶 é solução da EDO exata E quem é essa misteriosa 𝑓𝑥 𝑦 Ela possui a seguinte propriedade I 𝑓 𝑥 𝑃 II 𝑓 𝑦 𝑄 5 Usando estas duas relações conseguimos chegar na nossa função 𝑓𝑥 𝑦 Depois disto basta dizer que as soluções da EDO são tais que 𝑓𝑥 𝑦 𝐶 com 𝐶 𝑅 Método do fator integrante Vamos supor que um exercício nos forneceu uma EDO e a colocamos ela na seguinte forma 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 0 Se ela for exata usamos o método anterior Mas se ela não for exata podemos usar o seguinte raciocínio Será que existem funções em 𝑦 𝑢𝑦 e 𝑥 𝑢𝑥 que ao multiplicarem a equação diferencial a tornem exata Existem Darei um nome a estas funções 𝑢𝑥 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑥 𝑢𝑦 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑦 Beleza e como descubro estes fatores É uma decoreba ilustrada a seguir I 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑄 Se esta expressão for apenas função de 𝑥 então existe um fator integrante em 𝑥 e ele é dado por 6 𝑢𝑥 𝑒𝑔𝑥𝑑𝑥 onde 𝑔𝑥 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑄 II 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑃 Se esta expressão for apenas função de 𝑦 então existe um fator integrante em 𝑦 e ele é dado por 𝑢𝑥 𝑒 ℎ𝑦𝑑𝑥 onde ℎ𝑦 𝑃 𝑦𝑄 𝑥 𝑃 Vamos supor então que eu identifico um fator integrante 𝑢𝑥 Eu sei o seguinte 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 0 𝑛ã𝑜 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 Mas multiplicando pelo fator integrante ela se torna exata 𝑃𝑢𝑥𝑑𝑥 𝑄𝑢𝑥𝑑𝑦 0 𝐸𝑠𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑚 é 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 Agora resolvo a nova equação exata pelo método da EDO exata Método da EDO linear Uma EDO de ordem 1 é dita linear quando ela pode ser escrita da seguinte forma 𝑦 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 A solução desta EDO é dada pela fórmula a seguir 𝑦𝑥 𝑒𝑝𝑥 𝐶 𝑒 𝑝𝑥𝑞𝑥𝑑𝑥 7 Então se você identificar uma EDO linear basta colocala na forma com o 𝑝𝑥 e 𝑞𝑥 e aplicar a fórmula Método da mudança de variáveis Isso não bem um método que você aplica é mais uma sacada que você precisa ter na hora da prova Então você tenta algum dos 4 métodos anteriores e se nenhum funcionar isso sugere uma mudança de variáveis Para ficar mais claro tomem o exemplo a seguir 𝑦 sin2𝑥 𝑦 1 Obviamente essa equação não é de variáveis separáveis e muito menos linear E se fizermos as contas concluímos que não é exata e nem possui fatores integrantes em 𝑥 e 𝑦 A forma como a equação é dada sugere a seguinte mudança 𝑥 𝑦 1 𝑧 𝑧 1 𝑦 𝑦 1 𝑧 Jogando isso na EDO original temos 1 𝑧 sin2 𝑧 𝑧 1 sin2 𝑧 𝑧 cos2 𝑧 Antes eu tinha uma EDO que relacionava 𝑦 e 𝑥 Agora surgiu uma EDO bem mais simples que relaciona 𝑧 com 𝑥 e de variáveis separáveis 𝑧 cos2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 cos2 𝑧 sec2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 sec2 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 8 O resultado disso é tan 𝑧 𝑥 𝐾 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑅 Lembrando da mudança feita 𝑧 𝑥 𝑦 1 tan𝑥 𝑦 1 𝑥 𝐾 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑅 As soluções da EDO original satisfazem a expressão anterior para qualquer valor de 𝐾 Enfim a respeito de EDO de ordem 1 é isso De agora em diante falaremos das EDOs de ordem maior que 1 3 EDO de ordem maior que 1 Para simplificar a nossa vida para essa P3 apenas estudaremos as EDOs lineares de ordem maior que 1 Ou seja não estudaremos EDOs que tenham termos da forma sin 𝑦 𝑦2 𝑒𝑦 e por aí vai Trabalharemos com equações que possuem apenas a variável 𝑦 e suas respectivas derivadas Alguns exemplos ajudam a visualizar I 𝑦 3𝑦 2𝑦 𝑒𝑥 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 II 𝑦5 𝑦 sin 𝑥 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 III 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 tan 𝑥 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 9 Toda EDO linear tem associada a ela uma equação homogênea Para obter esta equação homogênea basta pegar a equação original e eliminar o único termo constante em 𝑦 As equações homogêneas associadas às EDOs anteriores são I 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 II 𝑦5 𝑦 0 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 III 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 0 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 Agora que vem a sacada essencial A solução de uma EDO linear é dada pela soma da solução da sua equação homogênea com uma solução particular Vamos tomar como exemplo a primeira equação do exemplo anterior 𝑦 3𝑦 2𝑦 𝑒𝑥 Cuja equação homogênea é 𝑦 3𝑦 2𝑦 0 Vamos supor que a solução desta equação homogênea seja conhecida e valha 𝑦ℎ𝑥 Vamos supor também que conhecemos uma solução particular da EDO que chamamos de 𝑦𝑝𝑥 A solução geral da equação será dada por 10 𝑦𝑔𝑥 𝑦ℎ𝑥 𝑦𝑝𝑥 Então daqui para frente analisaremos as EDOs em dois passos Vamos descobrir a solução da homogênea associada e depois vamos descobrir uma solução particular Tendo as duas somamos e obtemos a solução geral Como vocês podem perceber estas EDOs lineares podem ser de coeficientes constantes ou não Faremos então essa divisão final Analisaremos as EDOs de coeficientes constantes e depois vamos para o caso final com coeficientes variáveis mas sempre descobrindo a solução da homogênea e depois somando com uma solução particular 4 EDOs de Coeficientes Constantes São EDOs cujos termos que multiplicam 𝑦 e suas derivadas são todos constantes Veremos como obter a solução da homogênea e depois como obter a solução particular Solução da Homogênea Uma EDO linear de coeficientes constantes pode ser escrita da seguinte forma 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 𝑞𝑥 A equação homogênea associada a ela fica simplesmente 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 0 11 Agora à essa equação homogênea eu associa uma equação polinomial característica 𝑎𝑛𝑠𝑛 𝑎𝑛1𝑠𝑛1 𝑎0 0 Percebam que esta última trabalha com potências de 𝑠 e podemos achar suas raízes Provase que Se 𝒂 é raiz da equação característica com multiplicidade 𝒌 então o conjunto 𝑒𝑎𝑥 𝑥𝑒𝑎𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥 É solução da homogênea Se 𝒂 𝒃𝒊 é raiz da equação característica com multiplicidade 𝒌 então o conjunto 𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 É solução da homogênea Se 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑛 são soluções da homogênea então a solução geral da homogênea 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑦1 𝐶2𝑦2 𝐶𝑛𝑦𝑛 combinação linear das soluções Vamos supor que tenhamos a seguinte homogênea 12 𝑦 2𝑦 𝑦 0 A equação característica associada é 𝑠2 2𝑠 1 0 Cujas raízes são 𝑠 1 com multiplicidade 2 Assim as soluções da homogênea serão 𝑒𝑥 𝑥𝑒𝑥 A solução geral da homogênea é combinação linear destas duas de modo que 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑒𝑥 𝐶2𝑥𝑒𝑥 Outro exemplo é caso tivéssemos a seguinte equação 𝑦 2𝑦 2𝑦 0 A equação característica associada é 𝑠3 2𝑠2 2𝑠 0 𝑠𝑠2 2𝑠 2 0 As soluções desta equação são 𝑠 0 Multiplicidade 1 𝑠 1 𝑖 Multiplicidade 1 cada uma 13 Assim as soluções da homogênea são 𝑒0𝑥 1 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑒𝑥 cos 𝑥 A solução geral da homogênea é dada pela combinação linear das 3 anteriores resultando em 𝑦ℎ𝑥 𝐶1 𝐶2𝑒𝑥 sin 𝑥 𝐶3𝑒𝑥 cos 𝑥 Solução Particular Método dos Coeficientes a Determinar Uma EDO linear de coeficientes constantes pode ser escrita da seguinte forma 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 𝑞𝑥 É de se esperar que uma solução particular desta equação preserve as mesmas características de 𝑞𝑥 mesmo após sucessivas derivações Por exemplo se 𝑞𝑥 for uma exponencial provavelmente uma solução particular desta equação também será uma exponencial pois se eu substituir 𝑦 por uma exponencial na equação após sucessivas derivações ainda terei uma exponencial do lado esquerdo e uma exponencial do lado direito Assim de acordo com a natureza de 𝑞𝑥 𝑦𝑝𝑥 candidata a solução particular O que mostrarei para vocês a seguir é que dada uma EDO com uma determinada 𝑞𝑥 qual 𝑦𝑝𝑥 eu preciso chutar 14 Dividiremos o problema em 3 casos Caso 1 𝒒𝒙 𝑷𝒎𝒙 𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒎 Provase que quando 𝑞𝑥 𝑃𝑚𝑥 a função 𝑦𝑝𝑥 que chutarei será 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑘𝑃𝑚𝑥 I 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 II 𝑘 Multiplicidade da raiz s0 na equação característica da homogênea Assim se 𝑞𝑥 𝑥2 3𝑥 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 2 𝑚 2 E 𝑠 0 é raiz dupla da equação característica 𝑘 2 então a solução a ser chutada 𝑦𝑝𝑥 𝑥2𝑃2 𝑥 𝑥2𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝐶 Agora jogo esta solução na EDO e por meio de uma comparação determino os coeficientes 𝐴 𝐵 𝐶 Caso 2 𝒒𝒙 𝒆𝒂𝒙𝑷𝒎𝒙 𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒎 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 Provase que quando 𝑞𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑃𝑚𝑥 a função 𝑦𝑝𝑥 que chutarei será 15 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥𝑃𝑚𝑥 I 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 II 𝑘 Multiplicidade da raiz 𝑠 𝑎 na equação característica da homogênea Assim se 𝑞𝑥 𝑥𝑒2𝑥 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 1 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑚 1 E 𝑠 2 é raiz tripla da equação característica 𝑘 3 então a solução a ser chutada 𝑦𝑝𝑥 𝑥3𝑒2𝑥𝑃1𝑥 𝑥3𝑒2𝑥𝐴𝑥 𝐴𝑥4𝑒2𝑥 Agora jogo esta solução na EDO e por meio de uma comparação determino o coeficiente 𝐴 Caso 3 𝒒𝒙 𝒆𝒂𝒙𝒄𝒐𝒔𝒃𝒙𝑷𝒎𝒙 𝒐𝒖 𝒆𝒂𝒙𝒔𝒊𝒏𝒃𝒙𝑷𝒎𝒙 𝑷𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 𝒎 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒂𝒍𝒔𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒂𝒍 Provase que quando 𝑞𝑥 𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛cos 𝑏𝑥𝑃𝑚𝑥 a função 𝑦𝑝𝑥 que chutarei será 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥 cos𝑏𝑥 𝑃𝑚𝑥 𝑥𝑘𝑒𝑎𝑥 sin𝑏𝑥 𝑃𝑚𝑥 16 I 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 II 𝑃𝑚𝑥 Polinômio genérico de grau 𝑚 III 𝑘 Multiplicidade da raiz 𝑠 𝑎 𝑏𝑖 na equação característica da homogênea Assim se 𝑞𝑥 𝑥2𝑒2𝑥 sin4𝑥 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 2 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑚 2 E 𝑠 2 4𝑖 é raiz única da equação característica 𝑘 1 então a solução a ser chutada 𝑦𝑝𝑥 𝑥𝑒2𝑥𝐴𝑥2 𝐵𝑥 𝐶 cos4𝑥 𝑥𝑒2𝑥𝐷𝑥2 𝐸𝑥 𝐹 sin4𝑥 Agora jogo esta solução na EDO e por meio de uma comparação determino os coeficientes 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 Percebam que mesmo com 𝑞𝑥 sendo senoidal possui termo sin 4𝑥 ambas as funções seno e cosseno aparecem na solução particular O mesmo vale no caso de 𝑞𝑥 ser cossenoidal Solução Particular Método da Variação dos Parâmetros Agora surge a seguinte pergunta e quando nossa 𝑞𝑥 não tiver natureza polinomial exponencial ou cossenoidal Por exemplo se eu tomar a seguinte equação 17 𝑦 2𝑦 𝑦 ln 𝑥 Ela é de coeficientes constantes e a solução da homogênea se dá através da solução da característica Mas quando eu for calcular o 𝑦𝑝𝑥 não posso aplicar o método anterior pois 𝑞𝑥 não se encaixa em nenhum dos 3 casos Assim aplicamos o Método da Variação dos Parâmetros Para explicá lo tomemos a equação anterior Vamos supor que saibamos de antemão as soluções da homogênea 𝑦1 𝑦2 𝑦3 Podemos facilmente calculálas através da equação característica que possui raízes 𝑠 0 e 𝑠 1 dupla Assim tiramos 𝑦1 1 𝑦2 𝑒𝑥 𝑦3 𝑥𝑒𝑥 Mas visando ser o mais genérico possível vou deixalas na forma 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥𝑦1 𝑢2𝑥𝑦2 𝑢3𝑥𝑦3 Calculamos 𝑢1 𝑢2 𝑒 𝑢3 a partir do seguinte sistema 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑢1 𝑢2 𝑢3 0 0 𝑞𝑥 ln 𝑥 Obtenho 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e integro cada um deles para obter 𝑢1 𝑢2 e 𝑢3 Tendo os três 𝑢1 𝑢2 𝑢3 e as soluções da homogênea 𝑦1 𝑦2 𝑦3 a minha solução particular será 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥𝑦1 𝑢2𝑥𝑦2 𝑢3𝑥𝑦3 18 Obviamente apresentei aqui o caso de uma EDO de ordem 3 Isso nos levou a 3 soluções da homogênea a 3 parâmetros 𝑢 e a um sistema 3 por 3 Mas o método vale para uma EDO linear de qualquer ordem o que muda é o tamanho do sistema e com quantas soluções 𝑦 e parâmetros 𝑢 eu vou trabalhar 5 EDOs de Coeficientes Quaisquer Vimos que uma EDO de coeficientes constantes pode ser escrita da seguinte forma 𝑎𝑛𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑦𝑛1 𝑎0𝑦 𝑞𝑥 Uma EDO de coeficientes variáveis tem mais ou menos a mesma cara O que muda são os coeficientes que multiplicam 𝑦 e suas derivadas Antes constantes agora eles podem depender de 𝑥 Então a forma genérica de se escrever uma EDO de coeficientes variáveis é 𝑎𝑛𝑥𝑦𝑛 𝑎𝑛1𝑥𝑦𝑛1 𝑎0𝑥𝑦 𝑞𝑥 𝑎𝑛𝑥 𝑎𝑛1𝑥 𝑎0𝑥 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑥 Mas como dito anteriormente mesmo com coeficientes variáveis ela continua sendo linear Assim a solução geral pode ser calculada como uma soma da solução da homogênea com uma solução particular 19 O que muda então Apenas o método que usaremos para achar a solução da homogênea e a solução particular Solução da Homogênea Em se tratando de coeficientes variáveis as EDOs que podem cair na prova serão de ordem 2 no máximo EDOs de ordem maior que 2 com coeficientes variáveis são muito difíceis de serem resolvidas Então o que de fato vai cair na prova será algo do tipo 𝑎2𝑥𝑦 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 𝑞𝑥 A equação homogênea associada será 𝑎2𝑥𝑦 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 0 Percebam que como os coeficientes não são mais constantes não faz sentido falar em uma equação característica Precisamos arranjar um novo método para resolver a homogênea O mais usado é o seguinte Vamos supor que eu tenha em mãos uma solução da homogênea 𝑦1𝑥 Defino uma nova solução 𝑦2𝑥 𝑣1𝑥𝑦1𝑥 Jogo essa nova solução 𝑦2𝑥 na equação e consigo achar meu parâmetro 𝑣1𝑥 Assim eu tenho duas soluções da homogênea 𝑦1𝑥 e 𝑦2𝑥 𝑣1𝑥𝑦1𝑥 Como estamos lidando com equações lineares a solução da homogênea ainda é a combinação linear de suas soluções particulares Ou seja ainda é valido 20 Se 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝒚𝒏 são soluções da homogênea então a solução geral da homogênea 𝒚𝒉𝒙 𝑪𝟏𝒚𝟏 𝑪𝟐𝒚𝟐 𝑪𝒏𝒚𝒏 combinação linear das soluções Concluímos que a solução geral da homogênea será 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑦1 𝐶2𝑦2 𝐶1𝑦1𝑥 𝐶2𝑣1𝑥𝑦1𝑥 Em resumo basta achar o parâmetro 𝑣1𝑥 que eu resolvo tudo Mas lembrem que eu parti do pressuposto que já tenho em mãos uma solução 𝑦1𝑥 da homogênea Na prática o exercício dará essa solução para vocês ou se ele não der vocês acham por simples inspeção Como um exemplo trouxe para vocês a seguinte equação 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 ln 𝑥 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 0 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 Para essa equação sendo ela de coeficientes variáveis a solução da homogênea se passa pelo conhecimento prévio de uma solução 𝑦1𝑥 Como eu não falei nada então teremos que achar essa solução por inspeção Normalmente essa solução 𝑦1𝑥 é bem simples sendo razoável supor que 𝑦1𝑥 𝑥 seja solução Testamos então 𝑦1 𝑥 𝑦1 1 𝑦1 0 Jogamos na equação 1 𝑥2 0 2𝑥 2𝑥 0 0 0 21 Confirmamos que 𝑦1𝑥 𝑥 é solução da homogênea Agora supomos uma nova solução 𝑦2𝑥 𝑣1𝑥𝑦1 𝑣1𝑥𝑥 e jogamos esta nova solução na equação Calculando as derivadas desta nova solução 𝑦2 𝑣1𝑥 𝑦2 𝑣1 𝑥 𝑣1 𝑦2 𝑣1 𝑥 2𝑣1 Temos nossa equação 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 0 E substituímos a nova solução 𝑦2 na equação obtendo após simplificações 1 𝑥2𝑥𝑣1 2𝑣1 0 Agora podemos chamar 𝑣1 𝑥 𝑚𝑥 de modo que nossa nova equação será 1 𝑥2𝑥𝑚 2𝑚 0 Caímos em uma EDO de ordem 1 na variável 𝑚 Quando usamos este raciocínio sempre cairemos numa EDO de variáveis separáveis como vocês podem ver a seguir 22 Lembrando que 𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑥 1 𝑥2𝑥 𝑑𝑚 𝑑𝑥 2𝑚 0 1 𝑥2𝑥𝑑𝑚 2𝑚𝑑𝑥 1 2𝑚 𝑑𝑚 1 𝑥𝑥2 1 𝑑𝑥 Separadas as variáveis integramos ambos os lados 1 2 ln 𝑚 1 𝑥𝑥2 1 𝑑𝑥 A integral da direita pode ser resolvia por frações parciais Para isso decompomos a expressão 1 𝑥𝑥21 em frações 1 𝑥𝑥2 1 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 𝐴 𝑥 1 𝐵 𝑥 1 𝐶 𝑥 Juntando as partes temos que 𝐴 𝑥 1 𝐵 𝑥 1 𝐶 𝑥 𝐴𝑥 1𝑥 𝐵𝑥 1𝑥 𝐶𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 Então 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 𝐴𝑥 1𝑥 𝐵𝑥 1𝑥 𝐶𝑥 1𝑥 1 𝑥 1𝑥 1𝑥 Finalmente chegamos em 23 𝐴𝑥 1𝑥 𝐵𝑥 1𝑥 𝐶𝑥 1𝑥 1 1 para todo 𝑥 Jogando valores de 𝑥 de modo a descobria as constantes 𝐴 𝐵 𝐶 I 𝑥 1 𝐵 1 2 II 𝑥 1 𝐴 1 2 III 𝑥 0 𝐶 1 Concluímos que 1 𝑥2 1𝑥 1 2 1 𝑥 1 1 𝑥 1 2 𝑥 Assim a integral pode ser calculada por 1 2 ln 𝑚 1 2 1 𝑥 1 1 𝑥 1 2 𝑥 𝑑𝑥 Agora achamos quem é 𝑚 ln𝑚 ln𝑥 1 ln 𝑥 1 2 ln𝑥 𝐶 ln 𝑚 ln 𝑥2 1 𝑥2 𝐶 𝐶 𝑅 𝑚 𝑒𝐶𝑥2 1 𝑥2 𝑒𝐶 𝑘 com 𝑘 0 24 𝑚 𝑘𝑥2 1 𝑥2 𝑚 𝑘 𝑥21 𝑥2 𝑘 𝐴 com 𝐴 𝑅 0 𝑚 𝐴 1 1 𝑥2 Lembrando que 𝑣1 𝑚 𝑣1 𝑚 𝐴 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑣1 𝐴𝑥 𝐴 𝑥 Precisamos de apenas um 𝑣𝑥 assim tomamos 𝐴 1 𝑣1 𝑥 1 𝑥 Finalmente terminamos Temos duas soluções da homogênea 𝑦1𝑥 𝑥 𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒çã𝑜 e 𝑦2𝑥 𝑣1𝑦1 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑥2 1 A solução geral da homogênea será combinação linear destas duas de modo que 𝑦ℎ𝑥 𝐶1𝑥 𝐶2𝑥2 1 25 Como vocês podem ter percebido achar a solução da homogênea neste caso é bem complicado mesmo São muitos passos a serem feitos e um erro por menor que seja pode ser fatal De longe a resolução de EDOs com coeficientes variáveis será a questão mais difícil da prova Feito isso partimos para a solução particular Wronskiano Algumas EDOs possuem coeficientes pouco simples e a primeira solução homogênea 𝑦1𝑥 pode ser pouco simples a ponto de não ser possível utilizar o método acima Neste caso sendo a EDO escrita de forma linear da seguinte forma 𝑎2𝑥𝑦 𝑎1𝑥𝑦 𝑎0𝑥𝑦 0 A solução homogênea 𝑦2𝑥 pode ser encontrada a partir das seguintes relações O Wronskiano é definido como o seguinte determinante 𝑊𝑥 𝑦1𝑥 𝑦2𝑥 𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 Além disso a seguinte relação é válida 26 𝑊 𝑥 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥 𝑊𝑥 Resolvendo essa EDO de ordem 1 chegamos em 𝑊𝑥 𝐶𝑒 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥𝑑𝑥 A partir da relação acima é possível descobrir a solução 𝑦2𝑥 sem usar o método previamente apresentado Solução Particular Esta última parte é bem simples Tendo as soluções da homogênea basta aplicar o Método da Variação dos Parâmetros Mas antes uma observação importantíssima precisa ser feita O que é normalizar Transformar o coeficiente dominante em 1 Vejam a seguir tomando o exemplo anterior 1 𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 ln 𝑥 O coeficiente dominante aquele que multiplica a derivada de maior ordem não vale 1 𝑥2 1 Assim dividimos a equação por 1 𝑥2 𝑦 2𝑥 1 𝑥2 𝑦 2 1 𝑥2 𝑦 ln 𝑥 1 𝑥2 27 Agora sim aplicamos o Método da Variação dos Parâmetros Como dito anteriormente o método se passa pela suposição de uma solução particular da forma 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑦1 𝑢2𝑦2 Os parâmetros 𝑢1 e 𝑢2 são soluções do sistema mostrado anteriormente Apenas para esclarecer vou montar o sistema aqui A nossa equação aqui é 𝑦 2𝑥 1 𝑥2 𝑦 2 1 𝑥2 𝑦 ln 𝑥 1 𝑥2 𝑞𝑥 ln 𝑥 1 𝑥2 As soluções da homogênea são 𝑦1 𝑥 e 𝑦2 1 𝑥2 são A solução particular será 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥 𝑢21 𝑥2 O sistema que relaciona 𝑦1 𝑦2 𝑢1 𝑢2 e 𝑞𝑥 é nesse caso um sistema 2 𝑥 2 𝑦1 𝑦2 𝑦1 𝑦2 𝑢1 𝑢2 0 𝑞𝑥 Substituindo com nossos valores 𝑥 1 𝑥2 1 2𝑥 𝑢1 𝑢2 0 ln 𝑥 1 𝑥2 28 Resolvendo o sistema encontramos 𝑢1 e 𝑢2 Integramos e achamos 𝑢1 e 𝑢2 Pronto temos nossa solução particular da forma 𝑦𝑝𝑥 𝑢1𝑥 𝑢21 𝑥2 A solução geral da equação será a soma da solução da homogênea com a solução particular 𝑦𝑔𝑥 𝐶1𝑥 𝐶2𝑥2 1 𝑢1𝑥 𝑢21 𝑥2 A seguir temos um esquema que pode servir como base na parte EDOs de ordem maior que 1 1 EDO lineares de ordem maior que 1 A EDO de coeficientes constantes a Solução da homogênea Equação característica b Solução da Particular I 𝑞𝑥 polinômio exponencial ou senocosseno Método dos Coeficientes a Determinar II 𝑞𝑥 não se encaixa nos 3 casos Método da variação dos Parâmetros B EDO de coeficientes variáveis a Solução da homogênea Acho 𝑦1 e suponho 𝑦2 𝑣1𝑦1 ou via relação do Wronskiano b Solução da Particular Método da Variação dos Parâmetros 29 Lista de Exercícios 1 EDO Não Exata P3 2017 Cálculo IV PoliUSP Exercício 1a Resolva a equação diferencial 𝟒𝒚𝟐 sin𝒙𝟐 𝟖𝒙𝟐𝒚𝟐 cos𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟒𝒙𝒚 sin𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐𝒅𝒚 𝟎 2 EDO Linear P1 2016 Cálculo IV PoliUSP Exercício 1b Resolva a equação 𝒚 𝟐𝒙𝒚 𝒙 3 EDO Homogênea P1 2016 Cálculo IV PoliUSP Exercício 1a Resolva a equação 𝒙𝒚 𝒚 𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐 com 𝒙 𝟎 4 EDO de Ordem 2 com Coeficientes Constantes P3 2017 Cálculo IV PoliUSP Exercício 2 Encontre a solução geral da equação 30 𝑦 2𝑦 8𝑦 𝑒2𝑥 2𝑥2 5 EDO de Ordem 2 com Coeficientes Não Constantes P3 2015 Cálculo IV PoliUSP Exercício 2 Determine a solução geral da equação diferencial 𝑥2 1𝑦 2𝑥𝑦 2𝑦 𝑥2 12 𝑥 1 Sabendo que 𝑦1𝑥 𝑥 é uma solução da equação homogênea associada 6 Solução Complexa P1 2016 Cálculo IV PoliUSP Exercício 3 Dê a solução geral de 𝑦 4𝑦 3 cos2𝑥 E a solução que satisfaz a condição inicial 𝑦0 4 𝑦0 𝑦0 0 7 Wronskiano P3 2014 Cálculo IV PoliUSP Exercício 2b Encontre todas as soluções de 2𝑥2𝑦 𝑦2𝑥 4𝑥2 𝑦3𝑥2 2𝑥 2 0 para 𝑥 0 31 Admitindo que 𝑦 𝑥𝑒𝑥 é uma das soluções 8 EDO por Séries P3 2015 Cálculo IV PoliUSP Exercício 3c Ache a solução geral dada em séries de potências concentradas em 0 da equação diferencial 𝒚 𝒙𝟐𝒚 𝟎