Lista 2 Algebra Linear Engenharia de Software

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS\nINSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA\nITA105 - ÁLGEBRA LINEAR - TURMA 16\nENGENHARIA DE SOFTWARE - IT16\n\nExercício 1. Construa o mapa conceitual relacionado às transformações lineares. Para cada conceito, dê um exemplo e um contraexemplo. Faça o mesmo para as proposições, teoremas e corolários visto em sala de aula.\n\nExercício 2. Verifique quais as aplicações abaixo são transformações lineares.\na) , em que .\nb) , em que .\nc) , em que .\nd) , em que .\ne) , em que .\nf) , em que .\n\nExercício 3. Mostre que as aplicações abaixo são transformações lineares.\na) , em que , onde .\nb) , em que .\nc) , em que .\n\nExercício 4. Seja uma transformação linear.\na) Mostre que existe um número tal que para todo ;\nb) Suponha que . Calcule .\n\nExercício 5. Dada uma transformação linear .\na) Mostre que existem , tal que ;\nb) Assuma que e . Calcule .\n\nExercício 6. Encontre a transformação linear que descreve a projeção de um vetor sobre as seguintes retas:\na) a reta ;\nb) a reta ;\nc) a reta ;\nd) a reta ;\ne) a reta . Exercício 8. Encontre a transformação linear que descreve a rotação (anti-horária) de um vetor com os seguintes ângulos:\na) ângulo -;\nb) ângulo -;\nc) ângulo -;\nd) ângulo -.\n\nExercício 9. Seja uma transformação linear para qual sabemos que:\na) Determine ;\nb) Determine .\n\nExercício 10. Determine a transformação linear e . Encontre e .\n\nExercício 11. Decida se existe ou não(justificando sua resposta), uma transformação linear com as seguintes propriedades:\na) , tal que, e ;\nb) , tal que, e ;\nc) , tal que, e ;\nd) , tal que, e ;\n\nExercício 12. Determine o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares:\na) , tal que, para todo ;\nb) , tal que, para todo ;\nc) , onde é a projeção no eixo ;\nd) , onde é a projeção no eixo ;\ne) , onde é a reflexão em relação ao eixo ;\nf) , onde é a reflexão em relação ao eixo ;\ng) , onde é a rotação (anti-horária) de um vetor com um ângulo .\n\nExercício 13. Sejam espaços vetoriais sobre o corpo e uma transformação linear. Mostre que é injetiva se, e somente se, Ker .\n\nExercício 14. Enuncie o Teorema do Núcleo e da Imagem.\n\nExercício 15. Sejam não todos nulos. Mostre que o subespaço vetorial tem dimensão .\n\nExercício 16. Determinar uma transformação linear gerada pelos vetores e . Exercício 17. Determinar bases para o núcleo e para imagem das transformações lineares abaixo:\na) , tal que, \nb) , tal que, .\n\nExercício 18. Seja uma transformação linear tal que:\n, e\na) Encontre para ;\nb) é injetora? Justifique sua resposta.\nc) é sobrejetora? Justifique sua resposta.\nd) é um isomorfismo? Justifique sua resposta.\n\nExercício 19. Determinar uma transformação linear cujo o núcleo seja .\n\nExercício 20. Determinar uma transformação linear cujo núcleo tenha dimensão 1.\n\nExercício 21. Verifique quais das transformações lineares de em abaixo são um isomorfismo.\na) ;\nb) ;\n\nExercício 22. Sejam e dois espaços vetoriais de dimensão finita.\na) Mostre que se então é isomorfo a . A recíproca é verdadeira?\nb) Verifique se os espaços vetoriais e são isomorfos.\nc) É possível ter um isomorfismos entre e ? Justifique sua resposta.\nd) Se considerarmos , é possível ter um isomorfismo entre e ? Justifique sua resposta.\n\nExercício 23. Considere a base de formada pelos seguintes vetores , e . Encontre a base dual de .\n\nExercício 24. Seja . Mostre que se é somente se .\n\nExercício 25. Mostre que toda transformação linear bijetora leva retas em retas, isto é, a imagem de uma reta por é uma reta.\n\nExercício 26. Dizemos que é idempotente se . Mostre que se é idempotente então .\n\nExercício 27. Sejam e espaços vetoriais de dimensão e respectivamente. Mostre que é isomoro ao espaço vetorial das matrizes .\n\nExercício 28. Encontre a matriz da transformação linear dada por com relação às bases canônicas de e . Exercício 29. Encontre a matriz da transformação linear dada por com relação às seguintes bases:\n\na) de e de \nb) de e de \nc) de e de \nd) de e de \ne) Qual relação você percebeu entre as matrizes encontradas?\n\nExercício 30. Verifique se a transformação linear é um isomorfismo.\n\nExercício 31. Considere, , a base de . Seja tal que\n\nEncontre onde é a base canônica de .\n\nExercício 32. Seja dada por . Encontre a matriz com relação às bases canônicas de e .\n\nExercício 33. Seja dada por de com relação às bases canônicas de e .\n\nExercício 34. Seja dada por . Encontre as matriz de com relação às bases canônicas, , e a base formada pelos vetores e .\n\nExercício 35. Sejam um espaço vetorial de dimensão finita e uma transformação linear idempotente. Sabemos pelo Exercício que . Seja uma base de formada pelos vetores que formam uma base para , juntamente com que forma uma base para . Encontre\n\nObservações 1.\n1) Estudem todas as definições que vimos em sala de aula;\n2) Revisem o Teorema do Núcleo e da Imagem.\n3) Revisem os teoremas clássicos que demonstramos em sala de aula, juntamente com suas aplicações;\n4) Revisem o Teorema do Núcleo e da Imagem.\n5) Façam todos os exercícios ou o máximo possível;\n6) Revisem o Teorema do Núcleo e da Imagem.