Mecânica Geral 2 - Conteúdo Acadêmico

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ UTFPR UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ UTFPR DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL DACOC DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE CONSTRUÇÃO CIVIL DACOC CURSO ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA GERAL 2 FI70B CURSO ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA GERAL 2 FI70B MECÂNICA GERAL 2 MECÂNICA GERAL 2 Prof Dr Eng Mec M Eng Mec Eng Civ Fernando Luiz Martinechen Beghetto Prof Dr Eng Mec M Eng Mec Eng Civ Fernando Luiz Martinechen Beghetto Curitiba Paraná SUMÁRIO 12 Cinemática de um Ponto Material 1 121 Introdução 1 EXPRESSÕES MATEMÁTICAS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS 122 Cinemática do Movimento Retilíneo Movimento Contínuo 2 123 Cinemática do Movimento Retilíneo Movimento Irregular 13 xn dx xn1 n 1 C n 1 dx a bx 1 b lna bx C dx a bx² 1 2b a a xab a xab C ab 0 x dx a bx² 1 2b lnbx² a C x² dx a bx² x b a bab tg1xab a C ab 0 dx a² x² 1 2a lna x a x C a² x² a bx dx 2 3b a bx³ C xa bx dx 22a² 3bxa bx³ 15b² C x²a bx dx 28a² 12abx 15b²x²a bx³ 105b³ C a² x² dx 1 2 a² x² a² sen1x a C a 0 a² x² dx 1 3 a² x³ C 124 Movimento Curvilíneo Geral 23 x²x² a² dx x 4 x² a²³ a² 8x² a² a4 8 lnx x² a² C dx a bx 2a bx b C dx x² a² 1 ax² a² C dx a bx cx² 1 c log a bx cx² xC C c 0 1 c sen1 2cx b b² 4ac C c 0 sen x dx cos x C cos x dx sen x C x cosax dx 1 a² cosax x a senax C x² cosax dx 2x a² cosax a² x² 3d² 2 senax C eax dx 1 a eax C x eax dx eax a² ax 1 C senh x dx cosh x C cosh x dx senh x C 125 Movimento Curvilíneo Componentes Cartesianos 25 ANÁLISE VETORIAL A discussão a seguir fornece uma breve recapitulação de análise vetorial Um tratamento mais detalhado dos tópicos pode ser encontrado em Mecânica para Engenharia Estática Vetor Um vetor A é um ente que possui módulo direção e sentido e se soma de acordo com a regra do paralelogramo Como se mostra na Figura C1 A B C onde A é o vetor resultante e B e C são vetores componentes Vetor Unitário Um vetor unitário uA tem módulo igual a uma unidade adimensional e tem a mesma direção e sentido de A O vetor unitário é determinado dividindose A pelo seu módulo A isto é uA A A C1 A B C Figura C1 Notaçâo Vetorial Cartesiana As direcções e os sentidos positivos dos eixos x y z são definidos pelos vetores unitários cartesianos i j k respectivamente Como se mostra na Figura C2 o vetor A pode ser expresso como a soma de seus componentes x y z A Ax i Ay j Az k C2 O módulo de A é determinado por A Ax² Ay² Az² C3 A direção e o sentido de A são definidos em termos de seus ângulos diretores coordenados α β γ medidos de A para os eixos positivos x y z respectivamente Figura C3 Esses ângulos são determinados pelos cossenos diretores que representam os componentes i j k do vetor unitário uA isto é pelas equações C1 e C2 uA Ax A i Ay A j Az A k C4 de forma que os cossenos diretores são 126 Movimento de um Projetil 29 Para o produto vetorial 127 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial 38 128 Movimento Curvilíneo Componentes Cilíndricos 49 Equações Fundamentais da Dinâmica 129 Análise de Movimentos Absolutos Dependentes 62 Prefixos do SI 1210 Análise do Movimento Relativo de Dois Pontos Materiais Usandose Referenciais em Translação 66 Propriedades Geométricas de Elementos de Curva e Área 13 Dinâmica de um Ponto Material Força e Aceleração 81 Centro de MassaGravidade e Momento de Inércia de Sólidos Homogêneos 131 Leis de Newton para o Movimento 81 INTRODUÇÃO A Mecânica é um ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou de movimento de corpos submetidos à ação de forças A mecânica de corpos rígidos é dividida em três áreas estática cinemática e dinâmica A estática estuda as condições dos corpos em repouso a cinemática trata dos aspectos geométricos do movimento e a dinâmica analisa as relações entre as forças causa e o movimento efeito O presente volume sob o título Dinâmica é dedicado à cinemática e à dinâmica Para desenvolver esses princípios serão discutidas primeiramente a dinâmica de um ponto material e em seguida a dinâmica de um corpo rígido em duas e três dimensões Historicamente os princípios da dinâmica desenvolveramse quando se tornou possível medir o tempo de forma precisa Um dos que prestou maiores contribuições à área foi Galileu Galilei 15641642 Seu trabalho consistiu em experimentos com pêndulos e corpos em queda As mais significativas contribuições à dinâmica entretanto foram dadas por Isaac Newton 16421727 11 PROGRAMA DA DISCIPLINA PROGRAMA DA DISCIPLINA 1 Cinemática do ponto material 2 Dinâmica do ponto material 2ª Lei de Newton 3 Dinâmica do ponto material Métodos da Energia e da Quantidade de Movimento 4 Sistemas de pontos materiais 5 Cinemática dos corpos rígidos 6 Movimento plano de corpos rígidos Forças e acelerações 7 Movimento plano de corpos rígidos Métodos da Energia e da Quantidade de Movimento 8 Dinâmica dos corpos rígidos em movimento tridimensional 9 Vibrações mecânicas A mecânica trata do estudo das condições de equilíbrio ou de movimento dos corpos sob a ação de forças Como os fenômenos estáticos e dinâmicos estão envolvidos virtualmente em todos os problemas de engenharia a mecânica tem sido e é a mais fundamental matéria no estudo e na prática da engenharia T C Huang Eng Mechanics AddisonWesley Pub Comp 1968 132 A Equação de Movimento 84 22 HISTÓRICO HISTÓRICO 2000 AC Construtores das pirâmides do Egito Alguns princípios básicos de mecânica 287212 AC Arquimedes de Siracusa Princípio do equilíbrio de forças atuantes em uma alavanca Princípio de flutuação dos corpos 15481620 Simon Stevinus Princípio do plano inclinado Princípio do paralelogramo de forças 15641642 Galileo Galilei Leis de queda dos corpos por prova experimental Tradução de fenômeno físico em equações 16421727 Sir Isaac Newton Lei da atração universal Leis do movimento 16671748 John Bernoulli Princípio do trabalho virtual 16981759 P L M de Maupertius Princípio da mínima ação 17071783 Leonard Euler Coordenadas angulares de um corpo rígido Teorema cinético fundamental dos corpos rígidos Equações de movimento dos corpos rígidos 17171783 J de R DAlembert Princípio de DAlembert 17361813 J R Lagrange Equações de Lagrange 18051865 Sir W R Hamilton Princípio de Hamilton 133 Equação de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais 86 Definições a Uma partícula é um modelo matemático de um ponto de massa Ele não tem dimensão mas tem massa e sua posição pode ser definida no espaço b Um corpo rígido é um modelo matemático de um corpo material ou um sistema de partículas no qual a distância entre dois pontos quaisquer permanece constante Em outras palavras um corpo rígido é um sistema no qual não ocorre deformação 33 LEIS BÁSICAS E PRINCÍPIOS DA MECÂNICA LEIS BÁSICAS E PRINCÍPIOS DA MECÂNICA Leis de forças 1 Leis de Newton 2 Princípio de DAlembert Leis de energia 1 Princípio do trabalho virtual 2 Princípio da energia potencial 3 Princípio do trabalho e energia 4 Princípio da conservação da energia Outras leis 1 Lei do paralelogramo 2 Lei de superposição e transmissibilidade 134 Equações de Movimento Coordenadas Cartesianas 88 3 Lei de Newton da atração gravitacional Obs No estudo dos problemas de movimento empregamse três métodos a aplicação direta da 2ª Lei de Newton o método do trabalho e energia e o método do impulso e da quantidade de movimento Os dois últimos métodos resultam de uma forma diferente de escrever a segunda Lei de Newton Partindo da 2ª Lei de Newton não levando em conta o aspecto vetorial nas expressões a seguir podese colocar que Segunda Lei de Newton 1 que expressa o fato que a força é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear de um corpo rígido Para caso de massa constante a expressão 1 da 2ª Lei toma a forma simplificada 2 que pode ser colocada como 3 que é a expressão diferencial do Método do Impulso e da Quantidade de Movimento Da expressão da 2ª Lei de Newton da equação 2 podese escrever ainda que 4 E da expressão da regra da cadeia aplicada à expressão da aceleração resulta 5 Esta expressão 5 aplicada em 4 produz que pode ser reescrita como Esta expressão integrada entre dois pontos da trajetória da partícula fornece Ou 6 que é a expressão básica do Método do Trabalho e da Energia 135 Equações de Movimento Coordenadas Normal e Tangencial 101 136 Equações de Movimento Coordenadas Cilíndricas 111 1 CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL 11 INTRODUÇÃO A cinemática trata da geometria do movimento relacionando posição velocidade aceleração e tempo sem referência às causas do movimento Movimento retilíneo uniforme uniformemente acelerado com aceleração variável relativo curvilíneo vetor posição velocidade e deslocamento derivadas de funções vetoriais componentes cartesianas de velocidade e aceleração movimento relativo a um sistema de referência em translação componentes tangencial e normal componentes radial e transversal 122 Cinemática do Movimento Retilíneo Movimento Contínuo Posição Deslocamento Velocidade Média Instantânea Aceleração Média Instantânea Fórmulas da Aceleração Constante 122 Posição e deslocamento 137 Movimento sob Força Central e Mecânica Espacial 121 122 Velocidade Média e Instantânea v méd ΔsΔt Velocidade vetorial v drdt escalar v dsdt 122 Velocidade Média do Percurso v sp méd S TΔt 122 Aceleração Média e Instantânea a méd ΔvΔt a dvdt a d²sdt² a ds v dv 14 Dinâmica de um Ponto Material Trabalho e Energia 132 122 Fórmulas da Aceleração Constante a a c v v 0 a c t s s 0 v 0 t 12 a c t² v² v 0² 2a c s s 0 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE As equações da cinemática do movimento retilíneo devem ser aplicadas usandose o seguinte procedimento Sistema de Coordenadas Estabeleça uma coordenada de posição ao longo da trajetória e especifique sua origem fixa e um sentido positivo Uma vez que o movimento se dá ao longo de uma reta a posição a velocidade e a aceleração do ponto material podem ser representadas por quantidades escalares Para um trabalho analítico os sentidos de s v e a são então determinados a partir de seus sinais algébricos O sentido positivo para cada escalar pode ser indicado por uma seta situada ao lado da equação à qual se aplica Equações Cinemáticas Quando se conhece uma relação cinemática entre duas quaisquer das quatro variáveis a v s e t então uma terceira variável pode ser obtida usandose uma das equações cinemáticas a ds v dv que relaciona sempre três variáveis1 O carro se move em linha reta a uma velocidade v 3t² 2t péss para t em segundos Determine a posição e a aceleração do carro depois de 3 s Para t 0 s s 0 141 Trabalho de uma Força 132 SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas A coordenada de posição estendese da origem fixa O até o carro positiva à direita Posição Uma vez que v ft a posição do carro pode ser determinada pelo uso de v dsdt pois essa equação relaciona v s e t Observando que s 0 quando t 0 temos v dsdt 3t² 2t Quando t 3 s s 3³ 3² 36 pés Resposta Aceleração Sabendose que v ft a aceleração é determinada a partir de a dvdt pois essa equação relaciona a v e t a dvdt ddt3t² 2t Quando t 3 s a 63 2 20 péss² As fórmulas para aceleração constante não podem ser usadas para resolver este problema Anotações 142 Princípio do Trabalho e Energia 137 Exemplo 122 Um projétil é disparado com velocidade de 60 ms para dentro de um meio fluido Devido a resistência do fluido o projétil é desacelerado em a 04v³ ms² v em ms Determine a posição e a velocidade do projétil após 4 s do disparo SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas Uma vez que o movimento se dá para baixo a coordenada de posição é positiva para baixo da origem O situada na superfície do líquido Figura 123 Velocidade Aqui a fv assim devemos determinar a velocidade como função do tempo usando a dvdt pois essa equação relaciona velocidade aceleração e tempo Por que não usar v v₀ act Separando as variáveis e integrando o resultado com v₀ 60 ms temos a dvdt 04v³ v 160² 04t12 ms Aqui se tomou a raiz positiva pois o projétil está se movendo para baixo Quando t 4 s v 0559 ms Resposta 143 Princípio do Trabalho e Energia para um Sistema de Pontos Materiais 138 Posição Conhecendo v ft podemos obter a posição do projétil a partir de v dsdt pois essa equação relaciona s v e t Usando a condição inicial s 0 quando t 0 temos v dsdt 160² 08t12 s 208 160² 08t12 Para t 4 s s 443 m Resposta Exemplo 123 Um foguete sobe verticalmente a 75 ms quando a 40 m do solo ocorre uma avaria no motor Determine a altura máxima sᵦ alcançada e sua velocidade ao atingir o solo Considere g 981 ms² e despreze a resistência do ar SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas Tomemos a origem O para a coordenada de posição s ao nível do solo e o sentido positivo para cima Altura Máxima Uma vez que o foguete está subindo vₐ 75 ms em t 0 No ponto mais alto s sᵦ a velocidade é vᵦ 0 Durante todo o movimento a aceleração é ac 981 ms² é negativa por ter o sentido considerado para o eixo s Uma vez que ac é constante a posição do foguete está relacionada com sua velocidade nos pontos A e B de acordo com a Equação 126 144 Potência e Rendimento 152 v²B v²A 2acsB sA 0 75 ms² 2981 ms²sB 40 m sB 327 m Velocidade Para obtemos a velocidade do foguete imediatamente antes do impacto com o solo podemos aplicar a Equação 126 entre os pontos B e C Figura 124 v²C v²B 2acsC sB 0 2981 ms²0 327 m vc 801 ms 801 ms Escolheuse a raiz negativa porque o foguete está se deslocando para baixo De maneira semelhante a Equação 126 pode ser aplicada entre os pontos A e C isto é v²C v²A 2acsC sA 75 ms² 2981 ms²0 40 m vc 801 ms 801 ms Observação O foguete está submetido a uma desaceleração de 981 ms² de A a B de modo que ele é acelerado à mesma taxa de B a C Além disso embora no ponto mais alto de sua trajetória a velocidade se anule vB 0 a aceleração nesse ponto é de 981 ms² para baixo 145 Forças Conservativas e Energia Potencial 158 ds v dt 3t² 6t dt Para se determinar a distância percorrida em 35 s é necessário investigar a trajetória do ponto material O gráfico da função velocidade Figura 126b mostra que a velocidade é negativa para 0 t 2 s indicando que o ponto está se movendo para a esquerda e é positiva para t 2 s portanto o ponto está se movendo para a direita Temse também que v 0 em t 2 s Assim a posição do ponto material nos instantes t 0 t 2 s e t 35 s pode ser determinada pela Equação 1 O resultado é st0 0 st2s 40 m st35s 6125 m A trajetória é mostrada na Figura 126a Logo a distância percorrida em 35 s é sT 40 40 6125 14125 m 141 m Velocidade O deslocamento de t 0 a t 35 s é Δs st35s st0 612 0 612 m e a velocidade média é vméd ΔsΔt 61235 0 175 ms A velocidade média de percurso é definida em termos da distância percorrida sT Este escalar positivo vale vpercméd sTΔt 1412535 0 404 ms 146 Conservação da Energia 161 123 Cinemática do Movimento Retilíneo Movimento Irregular a0 dvdt t0 0 a1 dvdt t1 a2 dvdt t2 a3 dvdt t3 123 Cinemática do Movimento Retilíneo Movimento Irregular Exemplo 126 Uma bicicleta movese de acordo com o gráfico da figura Construa os gráficos de vt e at para 0 t 30 s SOLUÇÃO Gráfico vt Uma vez que v dsdt o gráfico vt pode ser determinado derivandose as equações que definem o gráfico st Figura 129a Temos então 0 t 10 s s t² v dsdt 2t 10 s t 30 s s 20t 100 v dsdt 20 Os resultados encontramse na Figura 129b Podemos também obter valores específicos de v calculando a inclinação do gráfico st nos instantes correspondentes Por exemplo em t 20 s a inclinação do gráfico st é determinada a partir da reta de 10 s a 30 s isto é 15 Dinâmica de um Ponto Material Impulso e Quantidade de Movimento 173 t 20 s v ΔsΔt 500 100 30 10 20 péss Gráfico at Como a dvdt o gráfico at pode ser determinado derivandose as equações dos segmentos dos retas do gráfico vt Isso nos dá 0 t 10 s v 2t a dvdt 2 10 t 30 s v 20 a dvdt 0 Os resultados encontramse na Figura 129c Mostre que a 2 péss² quando t 5 s pelo cálculo da inclinação do gráfico vt 151 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento 173 124 Movimento Curvilíneo Geral Posição r x i y j z k Velocidade v drdt v vx i vy j vz k onde vx x dxdt vy y dydt vz z dzdt 125 Movimento Curvilíneo Componentes Cartesianos Aceleração a dvdt a ax i ay j az k onde ax vx x ay vy y az vz z 152 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais 179 PONTOS IMPORTANTES No movimento curvilíneo podem ocorrer alterações de módulo direção e sentido dos vetores de posição velocidade e aceleração O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória De um modo geral o vetor aceleração não é tangente à trajetória mas é sempre tangente ao hodógrafo Se coordenadas cartesianas são utilizadas para a descrição do movimento então os componentes dos vetores ao longo de cada eixo coordenado obviamente não variam em direção Somente o módulo e o sentido sinal algébrico poderão variar PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Sistema de Coordenadas Na solução de muitos problemas é conveniente expressar os vetores que descrevem o movimento em termos de seus componentes cartesianas x y z Quantidades Cinemáticas Uma vez que o movimento retilíneo ocorre ao longo de cada eixo coordenado o movimento de cada componente pode ser encontrado usandose v asdt e a dуdt em casos em que o movimento não é expresso com função do tempo podese usar a equação d s v dt Uma vez determinados os componentes x y z de v e a os módulos desses vetores podem ser calculados usandose teorema de Pitágoras Equação C3 Suas direções e sentidos por sua vez são determinados pelos componentes dos respectivos vetores unitários equações C4 e C5 153 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais 184 vx x ddt8t 8 péss vy y ddtx²10 2xx10 216810 256 péss Quando t 2 s o módulo da velocidade é portanto v 8² 256² 268 péss Resposta A direção é tangente à trajetória Figura 1218b com θv tg¹vyvx tg¹2568 726 Resposta Aceleração Os componentes da aceleração são determinados pela aplicação das equações 1214 e da regra da cadeia observandose que x d²8tdt² 0 Temos então ax vx 0 ay vy ddt2xx10 2xx10 2xx10 28²10 216010 288 péss² Logo a 0² 128² 128 péss² Resposta θa tg¹1280 90 Resposta Observação Também é possível obter vy e ay expressandose y ft 8t²10 64t² para em seguida calcular derivadas temporais sucessivas 154 Colisão 193 Movimento Horizontal Uma vez que ax 0 aplicando as equações para aceleração constante 124 a 126 obtemos y y0 aᵢt vx v0x x x0 v0t ½at² x x0 v0xt y² v²0 2aₛs s0 vx v0x A primeira e a última das equações indicam que o componente horizontal da velocidade permanece constante durante o movimento Movimento Vertical Como o eixo y positivo é orientado para cima ay g Aplicando as equações 124 a 126 temos y y0 aᵢt vy v0y gt y0 v0t ½at² y y0 v0tᶦ ½ gt² y² v²0 2aₛy y0 v²y v0² 2gy y0 Observemos que a última equação pode ser obtida pela eliminação do tempo t entre as duas primeiras equações portanto somente duas das três equações são independentes Para concluir problemas que envolvem o movimento de um projétil podem ter no máximo três incógnitas pois se pode escrever apenas três equações independentes isto é uma equação na direção horizontal e duas na vertical Uma vez obtidos os componentes vx e vy a velocidade resultante v que sempre é tangente à trajetória é definida pela soma vetorial como é mostrado na Figura 1220 155 Momento Angular 204 Um saquinho sai de uma calha com velocidade horizontal de 12 ms Se a saída da calha está a 6 m de altura determine o tempo necessário para o saquinho atingir o piso e o alcance R onde os saquinhos se empilham SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas Escolhese o início da trajetória em A como origem do sistema de coordenadas Os componentes da velocidade inicial de um saquinho são vAx 12 ms e vAy 0 Entre os pontos A e B a aceleração é ay 981 ms² Como vBx vAx 12 ms as três incógnitas são vBy R e o tempo de vôo tAB Não é necessário determinar vBy Movimento Vertical A distância vertical de A até B é conhecida e portanto podemos obter uma solução direta para tAB usando as equações y y0 v0tAB ½ at²AB 6 m 0 0 ½981 ms²t²AB tAB 111 s Resposta Esse cálculo também nos informa que se um saquinho inicialmente em repouso fosse abandonado em A ele gastaria o mesmo tempo para atingir o piso em C Movimento horizontal Uma vez que o tempo de vôo já foi calculado R pode ser determinado como se segue x x0 v0tAB R 0 12 ms 111 s R 133 m Resposta 156 Relação entre Momento de uma Força e o Momento Angular 205 127 Movimento Curvilíneo Componentes Normal e Tangencial 157 Princípios do Impulso e Momento Angulares 207 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE 158 Fluidos em Escoamento Estacionário 216 Exemplo 1215 159 Propulsão com Massa Variável 220 128 Movimento Curvilíneo Componentes Cilíndricos Coordenadas Polares Posição r r ur Velocidade v r ur r uθ Como ũθ θ uθ Então v vr ur vθ uθ onde vr r e vθ r θ 128 Velocidade v vr ur vθ uθ sendo vr r e vθ r θ v r² r θ² 128 Aceleração Derivando v vr ur vθ uθ a ar ur aθ uθ onde ar r r θ² aθ r θ 2r θ a r r θ²² r θ 2r θ² Revisão 1 Cinemática e Dinâmica de um Ponto Material 232 Exemplo 1217 Um brinquedo de um parque de diversões consiste numa cadeirinha que gira numa trajetória circular horizontal de raio r presa a um braço OB que possui velocidade angular θ e aceleração angular θ Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do passageiro Despreze o tamanho do passageiro Figura 1232 SOLUÇÃO Sistema de Coordenadas Como o movimento angular do braço é informado podemos usar coordenadas polares para a solução do problema Figura 1223a Aqui r e θ não estão relacionados pois r é o mesmo para todo θ Velocidade e Aceleração As equações 1225 e 1229 serão usadas na solução de modo que é necessário primeiro especificar as derivadas de primeira e segunda ordem de r e θ Como r é constante temos r r 0 e r 0 Logo vr r 0 ve rθ ar r r θ² aθ r θ 2r θ aq r θ 2r r² aq ar a v²ρ rθ²r r θ² 16 Cinemática do Movimento Plano de um Corpo Rígido 243 129 Análise de Movimentos Absolutos Dependentes O comprimento total é invariante sA LCD sB LT Derivando em relação ao tempo LT e LCD são constantes dSAdt dSBdt vB vA Analogamente ar ad PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE O método que relaciona os movimentos dependentes de dois pontos materiais pode ser realizado usandose escalas algébricas ou coordenadas de posição desde que cada ponto material tenha movimento retilíneo Nesse caso as direções se mantêm constantes e portanto somente os módulos e os sentidos das velocidades e acelerações podem se alterar Adotase o seguinte procedimento Equação das Coordenadas de Posição Estabeleça coordenadas de posição que têm seus origens em pontos fixos ou linhas de referência fixas Não é necessário que a origem seja a mesma para ambos os eixos mas é importante que cada eixo tenha a direção do movimento do respectivo ponto material Usando geometria ou trigonometria relacione as coordenadas com o comprimento total da corda lT ou com a porção l da corda que exclui os trechos cujos comprimentos não mudam conforme os pontos materiais se movem como os trechos em contato com as polias Se um problema envolver um sistema de duas ou mais cordas em contato com polias então a posição de um ponto de uma corda deve ser relacionada com a de um ponto de outra corda usandose o procedimento que acabamos de descrever Equações separadas devem ser escritas para um comprimento fixo de cada corda do sistema e as posições dos dois pontos materiais são então relacionadas por essas equações veja os exemplos 1222 e 1223 Derivadas Temporais Duas derivações temporais sucessivas das equações para as coordenadas de posição fornecem as equações para a velocidade e para aceleração que relacionam os movimentos dos dois pontos materiais Os sinais dos termos nessas equações deverão ser consistentes com aqueles especificados como sentidos positivos e negativos das coordenadas de posição 161 Movimento de um Corpo Rígido 243 Exemplos 1221 162 Translação 244 1210 Análise do Mov Rel de Dois Ptos Mat Usandose Ref em Translação 163 Rotação em Torno de um Eixo Fixo 245 Exemplos 1225 164 Análise do Movimento Absoluto 256 12 3 Leis do Movimento de Newton Primeira Lei Uma particula originalmente em repouso ou em movimento constante permanecerá neste estado se não for submetida a uma força desbalanceadora Segunda Lei F ma Terceira Lei Para cada ação existe uma reação em direção contrária 12 Lei de Atração Gravitacional de Newton F G m₁m₂ r² F força de gravitação entre duas particulas G constante universal de gravitação G 6673 x 10¹² m³kgs² m₁ m₂ massa de cada uma das partículas r distância entre as duas particulas 12 Peso F G m₁m₂ r² Para uma particula na superfície da Terra F W massa da particula m m₁ massa da Terra Mₑ m₂ W G m₁Mₑ r² Sendo g GMₑ r² onde g é a aceleração da gravidade W mg g 981 ms² 13 Unidades de Medida Unidades do SI É o sistema internacional de unidades Versão atualizada do sistema métrico F ma F força em Newton N m massa em kg a aceleração em ms² N kgms² W mg g 981 ms² 165 Análise do Movimento Relativo Velocidade 262 13 Unidades de Medida Unidades dos USA FPS F ma F força em libras lb m massa em slugs a aceleração em fts² slug lbs²ft W mg g 322 fts² 131 Leis de Newton para Movimentos Primeira Lei Uma particula originalmente em repouso ou movendose em uma linha reta com velocidade constante permanecerá neste estado se não for submetida a uma força desequilibrante Segunda Lei Uma particula sob a ação de uma força desequilibrante F sofre uma aceleração a que tem a mesma direção e sentido da força e um módulo diretamente proporcional à força Terceira Lei As forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais em módulo têm sentidos opostos e são colineares 132 Equação de Movimento Quando várias forças atuam F ma F ΣF Fₑ ΣF Sistema Referencial Inercial É um sistema que não gira e que está fixo ou em translação com velocidade constante aceleração nula 166 Centro Instantâneo de Velocidade Nula 274 134 Equações de Movimento Coordenadas Retangulares Seja uma partícula movendose em relação a um sistema inercial F ma Fᵢ Fᵢ Fₖ m aᵢ aⱼ aₖ Fᵑ maₙ Fᵢ maᵢ F ma PONTOS IMPORTANTES A equação de movimento baseiase em evidências experimentais e é válida somente quando aplicada em relação a um referencial inercial A equação de movimento estabelece que uma força causa uma aceleração Um referencial inercial não gira ele apenas tem movimento de translação com velocidade constante ou está em repouso Massa é uma propriedade da matéria que fornece uma medida quantitativa de sua resistência a mudanças de velocidade É uma quantidade absoluta Peso é uma força causada pela gravidade terrestre não é absoluto em vez disso depende da altitude e latitude da massa em relação à superfície terrestre PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Usamse as equações de movimento nos problemas que exigem uma relação entre as forças agindo num ponto material e a aceleração que elas causam Diagrama de Corpo Livre Selecione um referencial inercial Muito frequentemente escolhemse sistemas cartesianas x y z para se analisarem problemas para os quais o ponto material tem movimento retilíneo Estabelecido o sistema de coordenadas desenhe o diagrama de corpo livre O traçado do diagrama de corpo livre é muito importante para fornecer uma representação gráfica que leva em conta todas as forças ΣF agindo no ponto material e portanto torna possível expressálas em componentes x y z A direção e o sentido da aceleração do ponto também devem ser estabelecidos Se os sentidos de seus componentes são desconhecidos suponha por conveniência matemática que todos estejam orientados no sentido positivo dos eixos PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE CONTINUAÇÃO A aceleração pode ser representada como o vetor ma no diagrama dinâmico Identifique as incógnitas no problema Equações de Movimento Se as forças podem ser decompostas diretamente no diagrama de corpo livre aplique as equações de movimento na forma escalar para cada componente Se a geometria do problema parecer mais complicada o que geralmente ocorre em três dimensões podese utilizar as coordenadas vetoriais cartesianas na solução do problema Atrito Se o ponto material em movimento tem contato com uma superfície áspera pode ser necessário usar a equação de atrito que relaciona o coeficiente de atrito cinético μₖ com as intensidades da força de atrito Fᵣ e a normal N agindo nas superfícies em contato isto é Fᵣ μₖN Lembrese de que no diagrama de corpo livre Fᵣ sempre aponta no sentido oposto ao do movimento do ponto relativamente à superfície com a qual ele se gera O ponto material estar no limiar do escorregamento então o coeficiente de atrito estático deverá ser usado 167 Análise do Movimento Relativo Usandose um Sistema de Eixos em Rotação 294 Mola Se o ponto está ligado a uma mola elástica de massa desprezível a intensidade Ff da força da mola sobre o ponto relacionase com a deformação desta de acordo com a equação Ff ks onde k é a rigidez da mola medida como uma força por unidade de comprimento e s a deformação por tração ou compressão é a diferença entre comprimento l da mola deformada e seu comprimento l0 quando não deformada s l l0 Cinemática Se a velocidade ou a posição do ponto deve ser obtida é necessário aplicar as equações cinemáticas apropriadas uma vez determinada a aceleração a partir de ΣF ma Se a aceleração é função do tempo use a dvdt e v dsdt que após integração fornecem a velocidade e a posição do ponto material Se a aceleração é função de deslocamento integre a u v0a para obter a velocidade como função da posição Se a aceleração é constante use v v0 at s s0 v0t 12at2 v2 v0 2 2as s0 para determinar a velocidade ou a posição do ponto Se o problema envolve o movimento dependente de vários pontos use o método da Seção 129 para relacionar suas acelerações Em todos os casos assegurese de que os sentidos positivos dos eixos do sistema inercial usados para escrever as equações cinemáticas são os mesmos daqueles usados para escrever as equações de movimento Caso contrário a resolução simultânea das equações resultará em erros Se a solução para um componente vetorial fornece um valor escalar negativo isto indica que o componente tem o sentido oposto daquele que lhe foi atribuído 17 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Força e Aceleração 309 Exemplo 132 Um projetil de 10 kg é disparado para cima na vertical a partir do solo com velocidade de 50 ms Determine a altura máxima do projetil quando a a resistência do ar é desprezível b a resistência do ar é FD 001v2 N onde v é a velocidade do projetil em ms SOLUÇÃO Em ambos os casos a força sobre o projetil pode ser relacionada com sua aceleração usandose a equação de movimento A seguir usamos a cinemática para relacionar a aceleração com sua posição Parte a Diagrama de Corpo Livre Como mostrado na Figura 137b o peso do projetil é W mg 10 981 981 N Consideramos que a aceleração do projetil que é desconhecida tem o sentido positivo de z Equação de Movimento ΣFz maji 981 10a a 981 ms2 O resultado indica que o projetil como todo objeto em queda livre próximo à superfície terrestre tem aceleração constante para baixo de 981 ms2 Cinemática No instante inicial z0 0 e v0 50 ms e na máxima altura alcançada z h e v 0 Como a aceleração é constante v2 v02 2az z0 0 502 2981h 0 h 127 m 171 Momento de Inércia 309 Exemplo 133 O carrinho de bagagem A de peso 900 lb reboca dois reboques B de 550 lb e C de 325 lb Por um pequeno intervalo de tempo a força de atrito na roda do carrinho é FA40t lb onde t é dado em segundos Se o carrinho parte do repouso determine sua velocidade em 2 segundos Qual o valor da força atuante no acoplamento entre o carrinho e o reboque B nesse instante Despreze o tamanho do carrinho e reboques Equação de Movimento Somente o movimento na direção horizontal tem de ser considerado ΣFx max 40t 900 550 325 a a 07256t Cinemática Uma vez que a aceleração é função do tempo a velocidade do carrinho pode ser obtida usandose a dvdt com condição inicial v0 0 em t 0 Temse v0 dv 07256t2 dt v 036282t2 20 0 145 pés Resposta Diagrama de Corpo Livre Para obtermos a força entre o carrinho e o vagonete B consideramos um diagrama de corpo livre para o carrinho de modo que podemos expor a força de acoplamento T como força externa Figura 138b Equação de Movimento Quando t 2 s ΣFx max 402 T 900322072562 T 394 lb Resposta 172 Equações Dinâmicas do Movimento Plano 319 O disco D de 3 kg é fixo na extremidade da corda A outra extremidade é fixa no centro da plataforma A plataforma gira rapidamente e o disco é colocado sobre ela em repouso Determine o tempo necessário para romper a corda A tração máxima suportada pela corda é 100 N e o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a plataforma é 01 173 Equações de Movimento Translação 322 SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre A força de atrito tem intensidade F μk ND 01 ND e sentido oposto ao do movimento do disco em relação a plataforma É essa força que dá ao disco o componente tangencial da aceleração causando nele um aumento de velocidade escalar e consequentemente aumentando a intensidade de T até seu limite de 100 N o peso do disco é W 3981 2943 N Como a pode ser relacionada com a as incógnitas são ND a e t 174 Equações de Movimento Rotação em Torno de um Eixo Fixo 333 137 MOVIMENTO SOB FORÇA CENTRAL E MECÂNICA ESPECIAL Se um ponto material se move apenas sob a ação de uma força sempre orientada para um ponto fixo o seu movimento é denominado movimento sob força central Esse tipo de movimento é comumente causado por forças elétricas e gravitacionais 175 Equações de Movimento Movimento Plano Geral 346 Essa equação diferencial define a trajetória do ponto material submetido à força central F Para aplicação será considerada a atração gravitacional Alguns exemplos comuns de movimentos sob força central que dependem da gravitação incluem o movimento lunar e os de satélites artificiais da Terra e o movimento dos planetas ao redor do Sol Como um problema típico em mecânica espacial consideremos a trajetória de um satélite ou um veículo espacial lançado com velocidade inicial v0 numa órbita de voo livre Figura 1323 Suponha que a velocidade seja inicialmente paralela à superfície da Terra como mostrado na figura Exatamente no início do voo livre a única força agindo no satélite é a força gravitacional terrestre 18 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Trabalho e Energia 358 onde Me e m representam a massa da Terra e do satélite respectivamente G é a constante gravitacional e r a distância entre os centros de massa Fazendo ξ 1r na equação precedente e substituindo o resultado na Equação 1314 obtemos 181 Energia Cinética 358 Sendo o ângulo polar θ medido a partir do eixo x um eixo de simetria uma vez que ele é perpendicular a diretriz o ângulo φ é nulo Figura 1324 portanto a Equação 1316 reduzse a 182 O Trabalho de uma Força 361 Sendo r0 a altura mínima de lançamento e considerandose a resistência do ar desprezível as velocidades de lançamento inferiores a ve causarão a reentrada do satélite na atmosfera e a sua queima ou colisão com o solo com o mar Figura 1325 Trajetória hiperbólica e 1 Trajetória parabólica e 1 Trajetória elíptica e 1 Trajetória circular e 0 Todas as trajetórias dos planetas e da maioria dos satélites são elípticas Figura 1326 Para a órbita de um satélite ao redor da Terra a distância mínima da órbita ao centro O do planeta localizado num dos focos da elipse é rp que pode ser obtida usandose a Equação 1322 com θ 0 Logo rp r0 1326 Essa distância mínima é denominada perigeu da órbita O apogeu ou distância máxima ra pode ser obtido usandose a Equação 1327 com θ 180 Assim ra r02GMdr0 v0² 1 1327 Em relação à Figura 1326 o semieixo maior a da elipse é a rp ra2 1328 183 Trabalho de um Binário 362 Usando geometria analítica podemos mostrar que o semieixo menor b é determinado pela equação b rp a 1329 Mais ainda por integração direta a área de uma elipse é A πab π2 rp rarp a 1330 A velocidade areolar foi definida pela Equação 1313 dAdt h2 A integração dessa equação nos fornece A h2π onde T é o período de uma revolução orbital isto é o tempo para uma volta completa na órbita Da Equação 1330 o período é T πrp rarp a 1331 Além da predição da trajetória orbital de satélites da Terra a teoria desenvolvida nesta seção é válida com aproximação surpreendentemente boa para a predição do movimento real dos planetas ao redor do Sol Nesse caso a massa do Sol Ms deverá substituir a Terra quando se utilizarem as fórmulas para o movimento planetário O fato de que os planetas traçam órbitas elípticas em torno do Sol foi descoberto pelo astrônomo alemão Johannes Kepler no século XVII Sua descoberta foi anterior ao trabalho de Newton sobre as leis do movimento e da grava 184 Princípio do Trabalho e Energia 364 SOLUÇÃO Parte a A excentricidade da órbita pode ser obtida da Equação 1317 As constantes h e C podem ser determinadas com as equações 1320 e 1321 Uma vez que rp ro 6378 km 600 km 6978106 m v0 30 Mmh 83333 ms então h rp v0 697810683333 5815109 m²s C 1rp 1 GMerp v0² 16978106 1 6673101259761024697810683333² 254109 m1 Logo e Ch²GMe 2541085815109²6673101259761024 0215 1 Resposta Da Equação 1323 observamos que a órbita é uma elipse Parte b Se o satélite fosse lançado no apogeu A mostrado na Figura 1327 com velocidade va a mesma órbita seria mantida contanto que h rp v0 ra va 5815109 m²s Usando a Equação 1327 temos ra rp 2GMerp v0² 1 10804106 Assim va 581510910804106 53822 ms 194 Mmh Resposta 185 Conservação da Energia 375 19 Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido Impulso e Quantidade de MovimentoMomento Angular 385 PROBLEM 1283 The periodic times of the planet Jupiters satellites Ganymede and Callisto have been observed to be 715 days and 1669 days respectively Knowing that the mass of Jupiter is 319 times that of the earth and that the orbits of the two satellites are circular determine a the radius of the orbit of Ganymede b the velocity with which Callisto describes its orbit The periodic time of a satellite is the time it requires to complete one full revolution about the planet 191 Quantidade de Movimento e Momento Angular 385 PROBLEM 1284 The periodic time see Prob 1283 of an earth satellite in a circular polar orbit is 120 minutes Determine a the altitude h of the satellite b the time during which the satellite is above the horizon for an observer located at the north pole 192 Princípios do Impulso e Quantidade de MovimentoMomento Angular 389 PROBLEM 1280 Show that the radius r of the orbit of a moon of a given planet can be determined from the radius R of the planet the acceleration of gravity at the surface of the planet and the time τ required by the moon to complete one full revolution about the planet Determine the acceleration of gravity at the surface of the planet Jupiter knowing that R 44400 mi τ 3551 days and r 417000 mi for its moon Europa R 3960 mi 20909 106 ft 193 Conservação da Quantidade de Movimento e do Momento Angular 402 141 Trabalho de uma Força 194 Colisão Excêntrica 406 141 Trabalho de uma Força Revisão 2 Cinemática e Dinâmica de um Corpo Rígido em Movimento Plano 414 Trabalho da força sobre uma mola U₁₂ frac12 k s₂² s₁² sempre positivo pois quando a força distende a mola esta se move na mesma direção da força quando a força comprime a mola esta também se move na mesma direção da força 141 Trabalho da força da mola sobre uma partícula U₁₂ frac12 k s₂² s₁² sempre negativo pois quando a partícula se move distendendo a mola esta puxa a partícula quando a partícula se move comprimindo a mola esta empurra a partícula Exemplo 141 Um bloco de 10 kg está em repouso sobre um plano liso inclinado Se a mola está inicialmente distendida 05 m determine o trabalho total realizado por todas as forças que agem no bloco quando uma força horizontal P 400 N empurrao s 2 m plano acima 20 Cinemática do Movimento Tridimensional de um Corpo Rígido 426 Peso W Como o peso age no sentido oposto ao do deslocamento vertical seu trabalho é negativo isto é Uₗ 981 N 2 m sen 30 981 J Observamos que também é possível considerar o componente do peso na direção do deslocamento isto é Uₗ 981 sen 30 N² m 981 J Força Normal Nₙ Esta força não realiza trabalho pois se mantém perpendicular ao deslocamento Trabalho Total O trabalho de todas as forças quando o bloco se desloca 2 m é portanto Uₜ 6928 90 981 505 J Resposta 201 Rotação em torno de um Ponto Fixo 426 Trabalho do Atrito causado por Escorregamento U₁₂ Fₗ s₂ s₁ μₛ N s₂ s₁ Pₛ μₛ N s 0 Para v₁ v₂ v constante Pₛ μₛ N s 0 E o calor gerado O automóvel de 3500 lb movese para baixo numa estrada com 10 de inclinação a uma velocidade de 20 péss Se o motorista freia o carro provocando um travamento das rodas determine a distância que o carro percorre durante o escorregamento O coeficiente de atrito cinético entre as rodas e a pista é μₛ 05 202 Derivada Temporal de um Vetor Medido tanto num Sistema Fixo quanto num Sistema em TranslaçãoRotação 428 Princípio do Trabalho e Energia T1 ΣU12 T2 12 3500 lb 322 péss²20 péss² 3500 lbsen 10 17234 lbs 0 Resolvendo encontramos para s s 195 pés Resposta SOLUÇÃO II São necessários dois passos para resolver o problema usando a equação de movimento Primeiro do diagrama de corpo livre Figura 1410 a equação de movimento deve ser aplicada na direção da pista inclinada Isso nos fornece ΣF ma 3500 sen 10 lb 17234 lb 3500 lb 322 péss² a a 103 péss² A seguir a forma integrada de a ds v dv cinemática nos fornece v² v₀² 2aₐs s₀ 0² 20 péss² 2103 péss²s 0 s 195 pés Resposta pois a é constante 144 Potência e Rendimento Potência é definida como a quantidade de trabalho realizado numa unidade de tempo Quantidade escalar P dU dt Lembrando que dU Fdr P Fdr dt P Fv sendo v a velocidade com que o ponto de aplicação da força F se desloca 144 Potência e Rendimento P Fv A unidade de potência no SI é o watt W e equivale ao produto da unidade de força N pela unidade de velocidade ms 1 W 1 Nms 1 Js A unidade de potência no FPS é o horsepower hp e equivale ao produto da unidade de força lb por 550 unidades de velocidade péss 1 hp 550 lbpéss Um hp equivale a 746 W Um cv equivale a 73549875 W 75 kgms 203 Movimento Geral 432 144 Potência e Rendimento Rendimento é definido como a razão entre a potência útil de saída produzida por uma máquina e a potência de entrada que lhe é fornecida η potência de saída potência de entrada Se o fornecimento de energia à máquina ocorre durante o mesmo intervalo de tempo em que se dá a remoção então o rendimento pode ser expresso como η energia de saída energia de entrada Exemplo 147 O motor M do guindaste opera com rendimento η 085 Determine a potência que deve ser fornecida ao motor para que ele levante a caixa C de 75 lb no instante em que o ponto P no cabo tem aceleração de 4 péss² e velocidade de 2 péss Despreze a massa das polias e do cabo O diagrama de corpo livre Figura 1415b temos ΣFₓ maₓ 27 75 lb 75 lb 322 péss² aₐc 1 A aceleração da caixa pode ser obtida usandose a cinemática para relacionála com a aceleração do ponto P Figura 1415a Usandose os métodos da Seção 129 as coordenadas sₐc e sₚ na Figura 1415a podem ser relacionadas com o comprimentoconstante da porção do cabo que se modifica nas direções vertical e horizontal Temos 2sₐc sₚ l Derivando duas vezes essa equação em relação ao tempo obtemos 2aₐc aₚ 2 204 Análise do Movimento Relativo Usando Eixos em Translação e Rotação 440 Uma vez que aₐp 4 péss² então aₐc 4 péss²2 2 péss² O que o sinal negativo está indicando Substituindo esse resultado na Equação 1 e mantendo o sinal negativo pois a aceleração tanto na equação 1 como na 2 é considerada positiva no sentido descendente temos 2T 75 lb 75 lb 322 péss²2 péss² T 398 lb A potência de saída medida em hp necessária para puxar o cabo à taxa de 2 péss é portanto P T v 398 lb2 péss1 hp550 lbpéss 0145 hp Essa potência de saída exige que seja fornecida ao motor uma potência potência de entrada potência de entrada 1 ε potência de saída 1 085 0145 hp 0170 hp Resposta Observemos que essa potência exigida é instantânea pois a velocidade da caixa se modifica continuamente 145 Forças Conservativas e Energia Potencial Força Conservativa Quando o trabalho realizado por uma força sobre um ponto material que se move de um ponto a outro independe da trajetória seguida pelo ponto material então dizse que a força é conservativa Exemplos de forças conservativas são a força da gravidade e a força exercida por uma mola Força de atrito não é conservativa pois o trabalho depende da trajetória Trajetórias mais longas implicam em trabalhos maiores realizados Energia Potencial Energia potencial é a capacidade de realização de trabalho estando associada à posição do ponto material E a medida da quantidade de trabalho que pode ser realizada por uma força conservativa de uma dada posição até uma referência fixa 21 Dinâmica do Movimento Tridimensional de um Corpo Rígido 451 211 Momentos e Produtos de Inércia 451 Procedimento para Análise Usase a equação da conservação de energia para se resolverem problemas que envolvem velocidade deslocamento e sistemas conservativos Geralmente sua aplicação é mais fácil do que a do princípio do trabalho e energia porque a equação de energia exige a especificação das energias cinética e potencial em apenas dois pontos da trajetória em vez de se determinar o trabalho quando o ponto se desloca por toda a trajetória ligando os dois pontos Para aplicações sugerese o seguinte procedimento Energia Potencial Desenhe dois diagramas mostrando as posições inicial e final do ponto material em sua trajetória Se o ponto material está sujeito a um deslocamento vertical estabeleça uma linha de referência fixa horizontal para medir a energia potencial gravitacional Vg Dados referentes à elevação y do ponto material e a deformação s de molas ligadas ao ponto podem ser determinados a partir da geometria associada aos dois diagramas Lembrese de que Vg Wy onde y é positivo acima da linha de referência e negativo abaixo da linha Lembrese também de que Ve 12Ks² que é sempre positivo Conservação da Energia Aplique a equação T1 V1 T2 V2 Ao se determinar a energia cinética T 12mv² a velocidade v do ponto material deve ser medida num referencial inercial Exemplo 149 A estrutura do pórtico mostrada é usada para testar a resposta de um avião durante um impacto Como mostrado o avião de massa 8 t é suspenso até um ângulo θ 60 e estando ele repouso soltase o cabo AC Determine a velocidade do avião no instante imediatamente anterior ao impacto com o solo θ 15 Qual é o valor máximo da tensão no cabo durante o movimento do avião Despreze o efeito da sustentação provocado pelas asas durante o movimento e as dimensões do avião SOLUÇÃO Como a força do cabo não realiza trabalho ela deve ser obtida pelo uso da equação de movimento Todavia primeiro devemos determinar a velocidade do avião em B 212 Momento Angular 459 Energia Potencial Por conveniência a linha de referência é estabelecida no topo do pórtico Conservação da Energia TA VA TB VB 0 8000 kg 981 ms²20 cos 60 128000 kgvB² 8000 kg 981 ms²20 cos 15 m vB 135 ms Resposta Equação de Movimento Usando os dados fornecidos no diagrama de corpo livre quando o avião está em B Figura 1421b temos ΣFh man T 8000 981N cos 15 8000 kg135 ms² 20 m T 149 kN Resposta 213 Energia Cinética 462 145 Energia Potencial Elástica Energia Potencial Elástica quando uma mola é comprimida ou distendida posição de nãodeformação s 0 Ve 0 Ve 12 k s² Energia potencial elástica 145 Função Potencial Se o ponto material está submetido simultaneamente a forças gravitacionais e elásticas V Vg Ve A medida de V depende da localização do ponto material em relação às referências escolhidas V Vx y z O trabalho realizado por uma força conservativa que se desloca entre dois pontos é medido por U12 V1 V2 146 Conservação da Energia Se o ponto material está submetido simultaneamente a forças conservativas e não conservativas T1 V1 ΣU12não cons T2 V2 Se somente forças conservativas estão agindo no ponto material T1 V1 T2 V2 Para um sistema de pontos materiais ΣT1 ΣV1 ΣT2 ΣV2 SOLUÇÃO Energia Potencial Vamos supor que o cilindro comprime ambas as molas no instante em que a velocidade se anula deformação máxima Tomemos a linha de referência coincidente com a posição inicial do centro de massa do cilindro Figura 1422b Quando a energia cinética se reduz a zero v2 0 A está comprimida em uma distância sA e B sB sA 01 m Conservação da Energia T1 V1 T2 V2 0 0 0 12 kA sA2 12 kB g h sA 012 Wh 0 0 1212000 Nm sA2 15000 NmsA 01m2 981 N075 m sA Rearranjando os termos 13500 sA2 2481 sA 66075 0 Resolvendo a equação e tomandose a raiz positiva temos sA 0331 m Como sB 0331 m 01 m 0231 m que é uma quantidade positiva confirmase a hipótese de que ambas as molas são comprimidas pelo cilindro A outra raiz sA 0148 m não representa a situação física Como s positivo é medido para baixo o sinal negativo indica que a mola estaria esticada 0148 m para anular a velocidade do cilindro 151 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento A equação de movimento para um ponto material de massa m pode ser escrita como F ma m dvdt 151 onde a e v são medidas num ref inercial Rearranjando e integrando entre os limites v1 t1 e v2 t2 t1t2 Fdt mv2 v1 ou t1t2 Fdt mv2 mv1 152 151 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento t1t2 Fdt mv2 mv1 152 princípio do impulso e quantidade de movimento Proporciona um meio direto para cálculo de v2 a partir de v sem necessidade do cálculo da aceleração 214 Equações de Movimento 469 151 Quantidade de Movimento t1t2 Fdt mv2 mv1 152 Cada um dos vetores L mv na equação é denominado quantidade de movimento do ponto material Como m é um escalar positivo o vetor quantidade de movimento tem a mesma direção e sentido de v Seu módulo tem unidades de massa vezes velocidade por exemplo kgms 151 Impulso t1t2 Fdt mv2 mv1 152 A integral I t1t2 Fdt na equação é denominado impulso do ponto material É uma quantidade vetorial que mede o efeito da força durante o intervalo de tempo de sua ação Como o tempo é um escalar positivo o vetor impulso tem a mesma direção e sentido de F Seu módulo tem unidades de força vezes tempo por exemplo Ns 151 Impulso O módulo do impulso I t1t2 Fdt pode ser representado pela área sombreada da curva força versus tempo 215 Movimento Giroscópico 482 151 Equações Escalares mvx t1t2 Fxd t mvx2 154 mvy t1t2 Fyd t mvy2 154 mvz t1t2 Fzd t mvz2 154 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE Usase o princípio do impulso e quantidade de movimento para a resolução de problemas que envolvem força tempo e velocidade pois esses três termos estão envolvidos na formulação Para as aplicações sugerese o seguinte procedimento Diagrama de Corpo Livre Estabeleça o sistema de referência inercial x y z e desenhe o diagrama de corpo livre levando em conta todas as forças que produzem impulsos no ponto material A direção e o sentido das velocidades inicial e final do ponto material devem ser estabelecidos PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE CONTINUAÇÃO Se um vetor é desconhecido suponha que o sentido de seus componentes seja o sentido positivo dos eixos coordenados Como um procedimento alternativo desenhe os diagramas de impulso e quantidade de movimento conforme se discutiu relativamente à Figura 153 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Aplique o princípio do impulso e quantidade de movimento mv1 t1t2 Fdt mv2 de acordo com o sistema de coordenadas escolhido Se o movimento ocorre no plano xy as equações escalares podem ser usadas para obter os diagramas de impulso Lembrese de que cada força no diagrama de corpo livre cria um impulso mesmo que algumas delas não realizem trabalho Forças que são funções do tempo devem ser integradas para se obterem os respectivos impulsos Graficamente o impulso é igual à área sob a curva força contra tempo Se o problema envolve o movimento dependente de vários pontos materiais use o método desenvolvido na Seção 129 para relacionar suas velocidades Certifiquese de que os sentidos positivos adotados são os escritos 216 Movimento Livre de Torques 488 SOLUÇÃO Diagrama de Corpo Livre Observemos a Figura 155b Como a intensidade da força P 20t varia no tempo o impulso tem de ser calculado por integração considerando o intervalo de 2 s As forças peso normal e de atrito são constantes de modo que os respectivos impulsos são dados simplesmente pelos produtos das intensidades das forças e o intervalo de 2 s Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Aplicando as equações 154 na direção x temos v mvx1 t1t2 Fx dt mvx2 50 lb 322 péss²3 péss 02 20t dt 03NC2 s 50 lb2 s sen 30º 50 lb 322 péss²v2 466 40 06NC 50 155v2 A equação para equilíbrio pode ser aplicada na direção y Por quê FY 0 NC 50 cos 30 lb 0 Resolvendo NC 433 lb v2 442 péss Resposta Observação Também podemos resolver o problema usando a equação de movimento Da Figura 155b Fx max 20t 03433 50 sen 30º 50 322 a Usando a cinemática v3v2 dv a dt 02 dv 1288t 7734 dt v 442 péss Resposta Por comparação aplicando o princípio do impulso e quantidade de movimento eliminase a necessidade do uso da cinemática a dvdt resultando num método de solução mais fácil 152 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov para um Sist de Pontos Materiais Rearranjando a eq 155 e integrando entre os limites t1 t2 e v zt2 mvi1 t1t2 FIdt mvi2 156 a quantidade de movimento do sistema no instante t1 mais a somatória dos impulsos das forças externas aplicadas no intervalo t1 a t2 é igual a quantidade de movimento do sistema no instante t2 22 Vibrações 496 221 Vibração Livre sem Amortecimento 496 222 Métodos de Energia 507 223 Vibração Forçada sem Amortecimento 512 224 Vibração Livre com Amortecimento Viscoso 516 225 Vibração Forçada com Amortecimento Viscoso 519 226 Analogias com Circuitos Elétricos 521 A Expressões Matemáticas 527 B Análise Numérica e Computacional 530 C Análise Vetorial 537 D Recapitulação para Exame de Fundamentos de Engenharia 541 RESPOSTAS 555 ÍNDICE 565