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Engenharia de Energias Renováveis ·
Álgebra Linear para Engenharia
· 2022/2
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Use o botão abaixo para reportar erros ou dar sugestões. × Álgebra Linear - Um Livro Colaborativo 8.2 Autovalores, autovetores e autoespaços associados Associados com uma transformação linear estão os seus autovetores, que, como veremos, são direções especiais para esta transformação . Por esta razão, são também conhecidos como vetores próprios ou vetores característicos de . Aparecem em muitas aplicações, pois nos ajudam a entender mais profundamente a transformação linear . Dada uma matriz quadrada de ordem , com entradas reais, nós dizemos que um número é um autovalor de quando existe um vetor não nulo tal que (8.3) Neste caso, é dito um autovetor de associado a . Geometricamente, é um vetor que não muda de direção quando aplicamos a matriz . No entanto, quando permitimos que seja um número complexo, esta interpretação geométrica é perdida. Ver também animação em wikipedia.org (https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Matrix_examples) Exemplo 71. Considere a matriz (8.4) Temos que é um autovalor desta matriz, porque o vetor (8.5) Assim, podemos dizer que é um autovetor de associado ao autovalor . Colocando de outra maneira, podemos dizer também que (8.6) Neste caso, concluimos também que é um autovalor de Observamos que, se for um autovetor de uma matriz associado a um autovalor , então qualquer múltiplo escalar também é um autovetor de associado a : (8.7) Da mesma maneira, se dois vetores e forem autovetores associados a um mesmo autovalor , então a soma também é um autovetor associado a : (8.8) (s11- cadeias_de_markov_como_introdux00e7x00e3o_a_autovalores_e_autovetores.html) (main.html#s11- autovalores_autovetores_e_autoespax00e7os_associados.html) é 08/12/2022 14:40 Página 1 de 5 Logo, concluimos que o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor , união com o vetor nulo, forma um subespaço vetorial de , denominado autoespaço associado ao autovalor : (8.9) Vamos analisar uma forma de encontrar os autovalores de uma matriz de forma sistemática. Temos as seguintes equivalências: Esta última equação pode ser utilizada para encontrar os autovalores: são as raízes do polinômio característico (8.10) A equação é também chamada de equação característica. Observe, pelas propriedades dos determinantes, que é de fato um polinômio e tem grau , que é igual a ordem da matriz . É assim consequência do Teorema Fundamental da Álgebra que existem no máximo autovalores reais (já que um polinômio de grau possui exatamente raízes complexas). Exemplo 72. Vamos encontrar os autovalores de (8.11) Precisamos calcular (8.12) que tem raízes (8.13) Portanto, tem dois autovalores reais: e . Exemplo 73. Encontrar os autovalores de (8.14) Precisamos calcular As possíveis raízes racionais desse polinômio só podem ser os divisores do termo independente acima: . Verificamos que é raiz. Logo, dividindo por : (8.15) Portanto, os autovalores de são e . Observamos que é uma raiz de multiplicidade do polinômio característico. Um grande problema é que, em geral, encontrar raízes de polinômios é difícil. De fato, mesmo quando o grau do polinômio é baixo, encontrar raízes de polinômios pode ser bastante complicado. Já há muito tempo é conhecido (main55.html#fn1x9) que polinômios de grau ou mais podem não possuir fórmulas para cálculo de raízes a partir de radicais. ç é é ê ç ã ã ã é í 1 08/12/2022 14:40 Página 2 de 5 Por outro lado, uma vez que os autovalores são conhecidos, encontrar os autovetores é um cálculo direto: basta resolver o sistema linear homogêneo (8.16) Isto é o mesmo que dizer que o autoespaço associado a é o espaço nulo . Vejamos como encontrar os autoespaços das matrizes dos exemplos anteriores. Exemplo 74 (de volta ao Exemplo 72). Para encontrar os autovetores de (8.17) associados com o autovalor , vamos resolver o sistema homogêneo: (8.18) Já que o sistema é homogêneo, não é necessário escrever a última coluna de zeros na matriz aumentada associada (no entanto, é necessário lembrar que há uma coluna de zeros). Por escalonamento (8.19) Em forma vetorial paramétrica: (8.20) Para encontrar os autovetores associados a , resolvemos (8.21) Em forma vetorial paramétrica: (8.22) Exemplo 75 (de volta ao Exemplo 73). Vamos encontrar os autovetores de (8.23) associados com o autovalor , vamos resolver o sistema homogêneo: (8.24) Por escalonamento, (8.25) Em forma paramétrica, os autovetores são á á 08/12/2022 14:40 Página 3 de 5 (8.26) associados com o autovalor , vamos resolver o sistema homogêneo: (8.27) Por escalonamento, (8.28) Em forma paramétrica, os autovetores são (8.29) Observamos que, nos exemplos anteriores, a dimensão do autoespaço associado ficou igual à multiplicidade do autovalor. Isto nem sempre é verdade. Como exercício, verifique que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor da matriz (8.30) é igual a , embora a multiplicidade do autovalor seja . De forma geral, chamamos a multiplicidade do autovalor de multiplicidade algébrica, enquanto que a dimensão do autoespaço associado é chamada de multiplicidade geométrica. Exercícios resolvidos Esta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em (https://github.com/reamat/AlgebraLinear/blob/master/Semana10/semana10.tex) e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui (../../participe.html). Exercícios Esta seção carece de exercícios. Clique em (https://github.com/reamat/AlgebraLinear/blob/master/Semana10/semana10.tex) e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui (../../participe.html). (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pt_BR) Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição- CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0) (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pt_BR). Página gerada em 19/8/2020 às 17:34:13. á × × (s11- cadeias_de_markov_como_introdux00e7x00e3o_a_autovalores_e_autovetores.html) (main.html#s11- autovalores_autovetores_e_autoespax00e7os_associados.html) Recursos Álgebra Linear (../../AlgebraLinear/index.html) Cálculo (../../Calculo/index.html) Cálculo Numérico (../../CalculoNumerico/index.html) Computação Científica (../../ComputacaoCientifica/index.html) Transformadas Integrais (../../TransformadasIntegrais/index.html) Repositórios (https://github.com/reamat) Projeto Página Inicial (../../index.html) Participar (../../participe.html) Fórum (../../forum.html) (../../aviso.php) Informe erros ou (https://github.com/reamat/AlgebraLinear/blob/master/Semana10/semana10.tex) edite você mesmo! × 08/12/2022 14:40 Página 4 de 5 UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Contato: reamat@ufrgs.br (mailto:reamat@ufrgs.br). Organizadores (../../organizadores.html) Perguntas frequentas (../../perguntas_frequentes.html) IME - UFRGS Página do IME (https://www.ufrgs.br/ime/) Página da UFRGS (http://www.ufrgs.br) 08/12/2022 14:40 Página 5 de 5
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Considere a matriz (8.4) Temos que é um autovalor desta matriz, porque o vetor (8.5) Assim, podemos dizer que é um autovetor de associado ao autovalor . Colocando de outra maneira, podemos dizer também que (8.6) Neste caso, concluimos também que é um autovalor de Observamos que, se for um autovetor de uma matriz associado a um autovalor , então qualquer múltiplo escalar também é um autovetor de associado a : (8.7) Da mesma maneira, se dois vetores e forem autovetores associados a um mesmo autovalor , então a soma também é um autovetor associado a : (8.8) (s11- cadeias_de_markov_como_introdux00e7x00e3o_a_autovalores_e_autovetores.html) (main.html#s11- autovalores_autovetores_e_autoespax00e7os_associados.html) é 08/12/2022 14:40 Página 1 de 5 Logo, concluimos que o conjunto de todos os autovetores associados a um autovalor , união com o vetor nulo, forma um subespaço vetorial de , denominado autoespaço associado ao autovalor : (8.9) Vamos analisar uma forma de encontrar os autovalores de uma matriz de forma sistemática. Temos as seguintes equivalências: Esta última equação pode ser utilizada para encontrar os autovalores: são as raízes do polinômio característico (8.10) A equação é também chamada de equação característica. Observe, pelas propriedades dos determinantes, que é de fato um polinômio e tem grau , que é igual a ordem da matriz . É assim consequência do Teorema Fundamental da Álgebra que existem no máximo autovalores reais (já que um polinômio de grau possui exatamente raízes complexas). Exemplo 72. Vamos encontrar os autovalores de (8.11) Precisamos calcular (8.12) que tem raízes (8.13) Portanto, tem dois autovalores reais: e . Exemplo 73. Encontrar os autovalores de (8.14) Precisamos calcular As possíveis raízes racionais desse polinômio só podem ser os divisores do termo independente acima: . Verificamos que é raiz. Logo, dividindo por : (8.15) Portanto, os autovalores de são e . Observamos que é uma raiz de multiplicidade do polinômio característico. Um grande problema é que, em geral, encontrar raízes de polinômios é difícil. De fato, mesmo quando o grau do polinômio é baixo, encontrar raízes de polinômios pode ser bastante complicado. Já há muito tempo é conhecido (main55.html#fn1x9) que polinômios de grau ou mais podem não possuir fórmulas para cálculo de raízes a partir de radicais. ç é é ê ç ã ã ã é í 1 08/12/2022 14:40 Página 2 de 5 Por outro lado, uma vez que os autovalores são conhecidos, encontrar os autovetores é um cálculo direto: basta resolver o sistema linear homogêneo (8.16) Isto é o mesmo que dizer que o autoespaço associado a é o espaço nulo . Vejamos como encontrar os autoespaços das matrizes dos exemplos anteriores. Exemplo 74 (de volta ao Exemplo 72). Para encontrar os autovetores de (8.17) associados com o autovalor , vamos resolver o sistema homogêneo: (8.18) Já que o sistema é homogêneo, não é necessário escrever a última coluna de zeros na matriz aumentada associada (no entanto, é necessário lembrar que há uma coluna de zeros). Por escalonamento (8.19) Em forma vetorial paramétrica: (8.20) Para encontrar os autovetores associados a , resolvemos (8.21) Em forma vetorial paramétrica: (8.22) Exemplo 75 (de volta ao Exemplo 73). Vamos encontrar os autovetores de (8.23) associados com o autovalor , vamos resolver o sistema homogêneo: (8.24) Por escalonamento, (8.25) Em forma paramétrica, os autovetores são á á 08/12/2022 14:40 Página 3 de 5 (8.26) associados com o autovalor , vamos resolver o sistema homogêneo: (8.27) Por escalonamento, (8.28) Em forma paramétrica, os autovetores são (8.29) Observamos que, nos exemplos anteriores, a dimensão do autoespaço associado ficou igual à multiplicidade do autovalor. Isto nem sempre é verdade. Como exercício, verifique que a dimensão do autoespaço associado ao autovalor da matriz (8.30) é igual a , embora a multiplicidade do autovalor seja . De forma geral, chamamos a multiplicidade do autovalor de multiplicidade algébrica, enquanto que a dimensão do autoespaço associado é chamada de multiplicidade geométrica. Exercícios resolvidos Esta seção carece de exercícios resolvidos. Clique em (https://github.com/reamat/AlgebraLinear/blob/master/Semana10/semana10.tex) e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui (../../participe.html). Exercícios Esta seção carece de exercícios. Clique em (https://github.com/reamat/AlgebraLinear/blob/master/Semana10/semana10.tex) e inicie a editá-la agora mesmo. Veja outras formas de participar clicando aqui (../../participe.html). (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pt_BR) Este texto é disponibilizado nos termos da licença Creative Commons Atribuição- CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada (CC-BY-SA 3.0) (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.pt_BR). Página gerada em 19/8/2020 às 17:34:13. á × × (s11- cadeias_de_markov_como_introdux00e7x00e3o_a_autovalores_e_autovetores.html) (main.html#s11- autovalores_autovetores_e_autoespax00e7os_associados.html) Recursos Álgebra Linear (../../AlgebraLinear/index.html) Cálculo (../../Calculo/index.html) Cálculo Numérico (../../CalculoNumerico/index.html) Computação Científica (../../ComputacaoCientifica/index.html) Transformadas Integrais (../../TransformadasIntegrais/index.html) Repositórios (https://github.com/reamat) Projeto Página Inicial (../../index.html) Participar (../../participe.html) Fórum (../../forum.html) (../../aviso.php) Informe erros ou (https://github.com/reamat/AlgebraLinear/blob/master/Semana10/semana10.tex) edite você mesmo! × 08/12/2022 14:40 Página 4 de 5 UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Contato: reamat@ufrgs.br (mailto:reamat@ufrgs.br). Organizadores (../../organizadores.html) Perguntas frequentas (../../perguntas_frequentes.html) IME - UFRGS Página do IME (https://www.ufrgs.br/ime/) Página da UFRGS (http://www.ufrgs.br) 08/12/2022 14:40 Página 5 de 5