Prova 1 - Matemática 1 2022 1

6) Encontre a declividade e a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x^2 - 3x + 1 no ponto (1, -1). Encontre as interseções desta reta tangente com os eixos X e Y. [Exercício 6, página 159 do texto de S T Tan] 7) A relação preço-demanda para relógios da marca Sicard é dada por p = p(x) = 50 / (1/100 * x^2 + 1) onde x (medido em unidades de milhar) é a quantidade demandada semanalmente e p (medido em dólares) é o preço cobrado por unidade. a) Determine p'(x) = dp/dx (x) e p'(5), p'(10) e p'(15) b) Conclua que, quanto maior a demanda, menor será o preço cobrado, usando o sinal de p'(x). c) Encontre a Receita (Lucro bruto): R(x) = xp(x) d) Sendo o Custo de fabricação de x unidades demandadas dado por C(x) = 25/1000 * x^3 - 35/100 * x^2 + 10x + 30 encontre o Lucro (líquido) semanal da venda dos relógios, isto é L(x) = R(x) - C(x) e) Encontre o Lucro marginal (L'(x) = dL/dx (x)) e encontre L'(5), L'(10) e L'(15). [Inspirado no exercícios 56, 57 e 58 da página 183, do texto de S T Tan] 4) Incentivado pela publicidade da testosterona como um elixir antienvelhecimento, o uso do hormônio por homens a partir de sua meia-idade aumentou drasticamente. O número total de prescrições de testosterona de 1999 a 2002 é dado por N(t) = -358/10 * t^3 + 202t^2 + 878/10 * t + 648 (0 <= t <= 3), onde N(t) é medido em milhares e t é medido em anos, sendo t = 0 correspondente ao início de 1999. a) Determine o número de prescrições de testosterona no início de 2000 e 2002. b) Determine a taxa de variação de prescrições de testosterona, com respeito ao tempo (dN/dt (t) = N'(t)), no período mencionado. c) Determine a taxa de variação de prescrições de testosterona, com respeito ao tempo, no início de 2000 e 2002. Fonte: IMS Health [Inspirado no exercício 51, página 158 do texto de S T Tan] 5) Seja f(x) = {x^2 - 1, se -2 <= x < 1; t^3, se 1 <= x <= 2} a) Encontre lim_(x→1^-) f(x) e lim_(x→1^+) f(x) e responda se existe lim_(x→1) f(x) b) A função f(x) pode ser contínua em x = 1? Explique. [Exercício 5, página 159 do texto de S T Tan] 2) Desde a fundação da Comissão para Igualdade de Oportunidades de Emprego e aprovação de leis de equiparação salarial, a diferença entre os salários de homens e mulheres tem diminuído gradualmente. No início de 1990 (t = 0), os salários das mulheres eram em média 68% dos salários dos homens. Por outro lado, estima-se que os salários das mulheres eram em média 80% dos salários dos homens no início de 2000 (t = 10). Se tal diferença continuar a diminuir linearmente (segundo uma reta) que porcentagem do salário dos homens o salário das mulheres atingirá no início de 2004? Journal of Economics Perspectives. [Exercício 73, página 44 do texto de S T Tan] 3) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O navio A navega para o Norte com a velocidade de 40 Km/h, enquanto o navio B navega para o Leste a uma velocidade de 30 Km/h. a) Encontre uma expressão em termos do tempo t (em horas) dando a distância entre os dois navios. b) Usando a expressão obtida em (a), encontre a distância entre os dois navios 2 horas depois de ambos deixarem o porto. c) Encontre a taxa de variação da distância com respeito ao tempo (velocidade) entre os dois navios em termos do tempo t. [Inspirado pelo exercício 41, página 31 do texto de S T Tan] Matemática 1 – 1ª Avaliação – 2022/1 – Marcio As referências ao texto MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA de S T Tan foram retiradas da tradução ao português da 9ª edição Norte Americana. 1) A década de 1980 vivenciou uma mudança na direção de técnicas conservadoras de dissuasão, em oposição às políticas penais mais liberais e correções apoiadas pelas comunidades que se popularizaram nas décadas de 1960 e 1970. Como consequência, as prisões se tornaram mais lotadas e aumentou o déficit entre o número de pessoas encarceradas e a capacidade carcerária. O número de detentos (em milhares) em prisões estaduais e federais é aproximado pela função N(t) = \frac{35}{10}t^2 + \frac{267}{100}t + \frac{4362}{10} \quad (0 \leq t \leq 10), onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo ao início de 1983. O número de vagas projetadas para as prisões é de C(t) = \frac{243}{100}t + 365 \quad (0 \leq t \leq 10), onde C(t) é medido em milhares e t tem o mesmo significado. a) Encontre a expressão para o déficit entre o número de detentos e o número de vagas projetadas no tempo t. OBS: Déficit: D(t) = N(t) - C(t) (indica o número de vagas carcerárias a menos do que as necessárias). b) Encontre o déficit no início de 1983 e no início de 1986. c) Justifique por que o déficit continuará a crescer, mesmo com o crescimento no número de vagas no período indicado pelo modelo, usando o sinal de uma derivada (\frac{dD}{dt}(t) = D'(t)). Fonte: US Department of Justice [Inspirado no Exercício 67, página 74 do texto de S T Tan] Questão 1 A) Temos: 𝐷 = 𝑁 − 𝐶 𝐷 = 35 10 𝑡2 + 276 100 𝑡 + 4362 10 − 243 100 𝑡 − 365 𝑫 = 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝒕𝟐 + 𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟎𝒕 + 𝟕𝟏𝟐 𝟏𝟎 B) Para 𝑡 = 0 (1983), temos: 𝐷 = 35 10 0 + 33 100 0 + 712 10 𝑫 = 𝟕𝟏,𝟐 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔 Para 𝑡 = 3 (1986), temos: 𝐷 = 35 10 9 + 33 100 3 + 712 10 𝑫 = 𝟏𝟎𝟑,𝟔𝟗 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔 C) Derivando o déficit, temos: 𝐷′ = (35 10 𝑡2 + 33 100 𝑡 + 712 10 ) ′ = 35 10 2𝑡 + 33 100 = 70 10 𝑡 + 33 100 Note que a derivada obtida é superior a zero para 𝑡 ≥ 0 Logo, o déficit deverá continuar crescendo Questão 2 Seja a seguinte função linear relacionando a porcentagem 𝑝 como o tempo 𝑡: 𝑝 = 𝑎𝑡 + 𝑏 Pelos dados, temos: 68 = 𝑎 ∗ 0 + 𝑏 80 = 10𝑎 + 𝑏 Assim, temos: 𝑏 = 68 𝑎 = 80 − 𝑏 10 𝑎 = 80 − 68 10 𝑎 = 1,2 Logo, a equação é dada por: 𝑝 = 1,2𝑡 + 68 Assim, para 𝑡 = 14 (ano 2004), termos: 𝑝 = 1,2 ∗ 14 + 68 𝒑 = 𝟖𝟒,𝟖% Questão 3 A) Como as trajetórias fazem um ângulo de 90° entre si, temos que a distância entre os navios será dada por: 𝐷 = √𝑥𝐴 2 + 𝑥𝐵 2 Mas, pelo enunciado, temos: 𝑥𝐴 = 40𝑡 𝑥𝐵 = 30𝑡 Logo, temos: 𝐷 = √402𝑡2 + 302𝑡2 𝑫 = 𝟓𝟎𝒕 B) Para 𝑡 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, temos: 𝐷 = 50 ∗ 2 𝑫 = 𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒎 C) Derivando, temos que a velocidade relativa será dada por: 𝑣𝑟𝑒𝑙 = 𝐷′ = (50𝑡)′ 𝒗𝒓𝒆𝒍 = 𝟓𝟎 𝒌𝒎 𝒉 Questão 4 A) Para 𝑡 = 1 (2000), temos: 𝑁(1) = − 358 10 13 + 202 ∗ 12 + 878 10 1 + 648 𝑵(𝟏) = 𝟗𝟎𝟐 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔 Para 𝑡 = 3 (2002), temos: 𝑁(3) = − 358 10 33 + 202 ∗ 32 + 878 10 3 + 648 𝑵(𝟏) = 𝟏𝟕𝟔𝟐,𝟖 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔 B) Temos: 𝑁′ = (−358 10 𝑡3 + 202 ∗ 𝑡2 + 878 10 𝑡 + 648) ′ = −358 10 3𝑡2 + 202 ∗ 2𝑡 + 878 10 = − 1074 10 𝑡2 + 404 ∗ 𝑡 + 878 10 C) Para 𝑡 = 1 (2000), temos: 𝑁′(1) = − 1074 10 12 + 404 ∗ 1 + 878 10 𝑵′(𝟏) = 𝟑𝟖𝟒,𝟒 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔/𝒂𝒏𝒐 Para 𝑡 = 3 (2002), temos: 𝑁′(3) = − 1074 10 32 + 404 ∗ 3 + 878 10 𝑵′(𝟑) = 𝟑𝟑𝟑,𝟐 𝒎𝒊𝒍𝒉𝒂𝒓𝒆𝒔/𝒂𝒏𝒐 Questão 5 A) Quando 𝑥 se aproxima de 1, com valores menores do que 1, temos 𝑓 = 𝑥2 − 1 Logo, o limite vale (1)2 − 1 = 0 Quando 𝑥 se aproxima de 1, com valores maiores do que 1, temos 𝑓 = 𝑥3 Logo, o limite vale (1)3 = 1 Como ambos os limites laterais são diferentes entre si, concluímos que o limite para x tendendo a 1 não existe B) Não pode, pois a função possui um salto nesse ponto (descontinuidade), uma vez que os limites laterais são diferentes entre si Questão 6 Temos a função: 𝑓 = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 Logo, a declividade é dada por: 𝑓′ = (𝑥2 − 3𝑥 + 1)′ 𝑓′ = 2𝑥 − 3 𝑓′(1) = −1 Assim, a equação da reta tangente no ponto 𝑥 = 1 é dada por: 𝑦 = 𝑓′(1)(𝑥 − 1) + 𝑓(1) 𝑦 = −1(𝑥 − 1) − 1 𝑦 = −𝑥 + 1 − 1 𝒚 = −𝒙 A interseção com os eixos X e Y acontece na origem, no ponto (0,0) Questão 7 A) Temos: 𝑝 = 50 𝑥2 100 + 1 Logo, temos: 𝑝′ = ( 50 𝑥2 100 + 1 ) ′ = 50 ( 1 𝑥2 100 + 1 ) ′ = 50 ( − 1 ( 𝑥2 100 + 1) 2 ) ( 𝑥2 100 + 1) ′ = − 50 ( 𝑥2 100 + 1) 2 ( 𝑥2 100) ′ = − 50 ( 𝑥2 100 + 1) 2 2𝑥 100 𝒑′ = − 𝒙 ( 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 Logo, temos: 𝒑′(𝟓) = − 𝟓 ( 𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 = −𝟑, 𝟐 𝒑′(𝟏𝟎) = − 𝟓 (𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 = −𝟏, 𝟐𝟓 𝒑′(𝟏𝟓) = − 𝟓 (𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 = −𝟎,𝟒𝟕𝟑𝟒 B) Note que, no item anterior, sempre tivemos 𝑝′ < 0 Isto indica que o preço diminui com o aumento de 𝑥 C) Temos: 𝑅 = 𝑥𝑝 𝑹 = 𝟓𝟎𝒙 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 D) Temos: 𝐿 = 𝑅 − 𝐶 𝑳 = 𝟓𝟎𝒙 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 − 𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 + 𝟑𝟓 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟑𝟎 E) Temos: 𝐿′ = ( 50𝑥 𝑥2 100 + 1 − 25 1000 𝑥3 + 35 100 𝑥2 − 10𝑥 − 30) ′ 𝐿′ = (𝑝𝑥)′ − 25 1000 3𝑥2 + 35 100 2𝑥 − 10 𝐿′ = 𝑥𝑝′ + 𝑥′𝑝 − 25 1000 3𝑥2 + 35 100 2𝑥 − 10 𝐿′ = 𝑥𝑝′ + 𝑝 − 75 1000 𝑥2 + 70 100 𝑥 − 10 𝑳′ = − 𝒙𝟐 ( 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 + 𝟓𝟎 𝒙𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 − 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎𝒙 − 𝟏𝟎 Assim, temos: 𝑳′(𝟓) = − 𝟓𝟐 ( 𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 + 𝟓𝟎 𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 − 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟓𝟐 + 𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟓 − 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓,𝟔𝟐𝟓 𝑳′(𝟏𝟎) = − 𝟏𝟎𝟐 (𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 + 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 − 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐 + 𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎,𝟓 𝑳′(𝟏𝟓) = − 𝟏𝟓𝟐 (𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏) 𝟐 + 𝟓𝟎 𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 − 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟓𝟐 + 𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟐𝟐,𝟐𝟗𝟐 Se esta solução ajudou você, favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido. 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