Lista 1 - Álgebra Linear - 2023-2

Primeira lista de exercicios. 1. Em cada um dos casos abaixo, sendo A a matriz aumentada de um sistema (com a;;,b;,n € R), 0 que se pode dizer sobre as solucoes desse sistema? (a) A- di a2 443 by 21 22 23 bg (b) ay, Ai. by A- az, a2 be a3 432 b3 a4, G42 b4 (c) a1 A412 43 O A= a2, G22 3 O a31 432 433 O (d) a1 a2 Nay by A= | aa a2 Nag. be 31 432 NA32_ bg 2. Determine valores de k € R para que o sistema cuja matriz aumentada é 1 -2 k —l aa|2 —2 342k 2 ~ | 4 —10 kh? k-9 , 0 2 3 2k tenha: (a) solugdo tinica; (b) infinitas solugoes; (c) nenhuma solugao. Qi. 12 13 Ay, +aa1k ay2+ 422k ay13 + do3k 3. Se det | dg, G2 d93 | = —2, determine det a31 a39 433 , onde k éum 31 432 433 ayik — az, ay2k — a2 a13k — agg numero real qualquer, sem calcular os determinantes envolvidos (use as propriedades de determi- nante). 4. Seja A = [A Az As] e B(k) = [B, By Bs], matrizes 3 x 3, onde A; e B; sao, respectivamente, as colunas da matriz A e as colunas da matriz B. Suponha que A é invertivel e que By = Ay + Ao, Box, = 5AY + kA» e Bz = 2A» + 3A3, onde & é um numero real. (a) Determine um valor para k tal que B(k) seja invert´ıvel. Determine um valor para k tal que B(k) n˜ao seja invert´ıvel. (b) Escolha um valor para k. Para esse valor de k escolhido, o sistema B(k)X = A1 tem solu¸c˜ao? Se sim, exibir uma solu¸c˜ao. 5. (a) Determine, se existir, a inversa da matriz A =   3 −2 −4 0 0 1 0 1 2   . (b) Escreva a matriz A, do item anterior, como produto de matrizes elementares, explicitando estas matrizes. 6. Determine para quais valores de a ∈ R o sistema        x + y + 3z = 4 x + (2a + 1)y + 4z = 7 2x + (2a + 2)y + 8z = 12 x + ay + (3 + a)z = a + 4 possui: (a) solu¸c˜ao ´unica; (b) infinitas solu¸c˜oes; (c) nenhuma solu¸c˜ao. 7. Use as propriedades de determinante para provar que det   1 1 1 a + b a + c a + d a2 + ab + b2 a2 + ac + c2 a2 + ad + d2   = det   1 1 1 b c d b2 c2 d2   . 8. Calcule a inversa da matriz A tal que AB = R, onde B =   −1 0 −5 6 1 3 −1 −3 0 1 2 3 0 1 −2 −2   R =   2 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 2 0 0 1   . 9. (a) Use matrizes elementares para escrever a matriz A =   1 3 2 1 2 5 6 2 −3 −2 7 −3 1 3 2 2   na forma A = BC, onde B ´e triangular inferior e C ´e triangular superior (OBS: uma matriz n × n ´e triangular inferior se todos os valores acima da diagonal principal s˜ao nulos; uma matriz n×n ´e triangular superior se todos os valores abaixo da diagonal principal s˜ao nulos). (b) Calcule detA. 2 10. Considere a matriz A =     1 2 0 1 2 1 1 1 0 3 −1 1 −3 1 −4 0 1 −1 0 0     e B =     2 7 −3 4 2 1 3 −1 1 2 1 2 0 1 2 2 6 −2 3 3    . Verifique se A e B s˜ao equivalentes por linha. A e B s˜ao equivalentes? 11. Se A ´e uma matriz n×n e tem inversa `a esquerda (ou seja, existe uma matriz C tal que CA = Id), por que A ´e invers´ıvel? 12. Considere o sistema abaixo x + ky + kz = −k kx + y + z = k kx + y + kz = k. Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem a) uma ´unica solu¸c˜ao, b) infinitas solu¸c˜oes e c) n˜ao tem solu¸c˜ao. Depois disso, determine as posi¸c˜oes pivˆo da matriz aumentada do sistema em fun¸c˜ao de k. 13. Seja A =   2 1 −1 1 1 0 2 3 −1  . Encontre a inversa de A e escreva A como um produto de matrizes elementares. 14. Verifique se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dˆe um contra-exemplo. (a) Se o sistema linear AX = 0 possui mais de uma solu¸c˜ao ent˜ao AX = B possui pelo menos uma solu¸c˜ao. (b) Se X1 ´e uma solu¸c˜ao de AX = 0 e Y1 ´e uma solu¸c˜ao de AX = B ent˜ao 2X1 + 3Y1 ´e solu¸c˜ao de AX = B. (c) Se A ´e matriz 4 × 7, ent˜ao AX = 0 possui infinitas solu¸c˜oes. (d) Se An×n ´e sim´etrica ent˜ao AB = BA para toda matriz Bn×n 15. Dada a matriz A, abaixo, encontre B tal que o sistema AX = B n˜ao tenha solu¸c˜ao. Indique um procedimento para encontrar tal B no caso geral de uma matrix m × n com n´umero de posi¸c˜oes pivˆos menor que m. A =     2 1 1 −1 −1 1 0 2 3 0 0 0 −1 2 0 4     . 16. Considere o sistema abaixo x + y + kz = 1 x + y + 2z = 2 kx + y + z = 2 − k. 3 Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem a) uma ´unica solu¸c˜ao, b) infinitas solu¸c˜oes e c) n˜ao tem solu¸c˜ao. Depois disso, determine as posi¸c˜oes pivˆo da matriz aumentada do sistema em fun¸c˜ao de k. 17. Seja A =   1 0 1 1 1 2 −1 1 1  . Determine se A ´e invers´ıvel. Se for, escreva A, explicitamente, como um produto de matrizes elementares. 18. Verifique se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dˆe um contra-exemplo. (a) Sejam A,B e C matrizes. Se BC = CB e AC = CA, ent˜ao (AB)C = C(AB). (b) Se o n´umero de equa¸c˜oes de um sistema linear homogˆeneo ´e menor que o n´umero de inc´ognitas ent˜ao o sistema tem solu¸c˜ao n˜ao nula. (c) Se A ´e matriz 5 × 4, ent˜ao AX = 0 possui infinitas solu¸c˜oes. (d) Se A ´e uma matriz 4 × 3 e B ´e 3 × 4, ent˜ao AB n˜ao ´e invert´ıvel. (e) Sejam A e B matrizes n × n tais que BA ´e invers´ıvel. Ent˜ao, A ´e invers´ıvel. 19. Considere um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema ´e         1 1 0 1 1 0 (α − 1)α α 0 α + 1 0 0 α(α2 − 1) 0 α − 1 0 0 0 (α + 1)α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         . Determine, se existirem, os valores de α ∈ R para os quais o sistema tenha uma ´unica solu¸c˜ao, infinitas solu¸c˜oes e nenhuma solu¸c˜ao. Nos casos em que o sistema tiver solu¸c˜ao, determine o conjunto solu¸c˜ao. 20. Seja AX = B um sistema linear tal que uma forma escalonada da matriz aumentada desse sistema ´e         1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 α(α2 − 1) 0 0 α + 1 0 0 α 0 α2 − 1 0 0 0 (α + 1)α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         , onde ∗ ´e um n´umero real qualquer. Determine, se existirem, os valores de α ∈ R para os quais o sistema tenha uma ´unica solu¸c˜ao, infinitas solu¸c˜oes e nenhuma solu¸c˜ao. 21. Para cada t ∈ R, considere a matriz A(t) =   1 0 0 0 0 t 0 0 0 0 t 1 0 0 1 1   4 (a) Determine o(s) valor(es) de t ∈ R para o(s) qual(quais) a matriz A(t) ´e invert´ıvel; (b) Para (o)s valor(es) de t encontrado(s) no item anterior, determine a inversa de A(t). 5