Limite de Funções e Séries Critério Sequencial e Leibniz

1 40pts Faça o que se pede nos itens abaixo abaixo a 15 pts Use o critério sequencial para mostrar que não existe o limite lim x cosπsenx b 15 pts Use o critério sequencial para mostrar que não existe o limite lim x0 12sen1x c 10 pts Responda podemos afirmar que existe o limite lim x 1x cosπsenx Justifique Solução a Considere as duas sequências dadas pelos termos gerais xn2nπ e yn2nπ π2 Como o limite a ser discutido é no infinito observamos que lim n xn e também lim n yn Temos que senxn sen2nπ sen0 0 n Daí cosπsenxn cosπ0 1 Como essa sequência de imagens é constante igual a 1 seu limite é 1 Temos que senyn sen2nπ π2 senπ2 1 n Daí cosπsenyn cosπ1 1 Como essa sequência de imagens é constante igual a 1 seu limite é 1 Logo temos duas sequências com limite infinito tais que as sequências das suas imagens pela função têm limites diferentes Pelo critério sequencial isto implica que não existe o limite no infinito para a função cosπsenx b Considere as duas sequências dadas pelos termos gerais an1xn12nπ e bn 1yn 12nππ2 Sabemos o limite dessas sequências lim n an 0 e também lim n bn 0 Temos que sen1an sen2nπ 0 e que sen1bn sen2nππ2 1 para todo n Substituindo na função teremos 12sen1an 12 e 12sen1bn 13 Logo temos duas sequências com limite zero tais que as sequências das suas imagens pela função têm limites diferentes Daí pelo critério sequencial não existe lim x0 12sen1x c Sabemos que lim x 1x 0 Sabemos também que 1 cosπsenx 1 ou seja esta é uma função limitada Pelo teorema do confronto vale que lim x0 1x cosπsenx0 2 30pts Considere a função g definida em 03 onde gx13 x a 10 pt Fixado qualquer K0 mostre que se 3 1K x 3 então gx K b 10 pt Mostre que gx gy gxgyx y Solução a Por hipótese 3 1K x 3 Subtraindo 3 temos 1K x 3 0 Segue que 0 3 x 1K Daí K 13 x Como 0 3 x vale que K 13 x gx b Teremos que gx gy 13 x 13 y 3 y 3 x3 x3 y x y13 x3 y x ygxgy 3 30pts Seja p 0 fixado Considere a série lim n Σ k2pn 1k 2pk2 p2 a 15 pt Use o critério de Leibniz para determinar se a série dada é convergente b 15 pt Determine se a série converge absolutamente Em caso afirmativo calcule o limite da convergência absoluta quando p12 a Temos p 0 fixado O termo geral da série é ak 1k 2pk2 p2 segue daí que a série é alternada Para discutir sua convergência verificaremos as condições do critério de Leibniz Temos que se k m então 2pk2 p2 2pm2 p2 Daí o termo 2pk2 p2 é decrescente Além disso lim k 2pk2 p2 0 Satisfeitas essas condições pelo critério de Leibniz a série alternada é convergente b Para convergência absoluta devemos analisar o somatório de ak Como p 0 é fixado temos que 2pk2 p2 2pk2 2p 1k2 Sabemos que a série lim n Σ k2pn 1k2 converge Pelo teste da comparação temos que lim n Σ k2pn 2pk2 p2 converge Se p 12 temos lim n Σ k1n 1k2 14 lim n Σ k1n 1k 12 1k 12 lim n 112 1n 12 2