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Engenharia Mecânica ·
Cálculo
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CVE 0003 - * - CÁLCULO VETORIAL - * - 2011/2\n\nVetores Tangentes, Normal e Binormal\n\nLembre-se que se C é uma curva suave dada pela função vetorial r(t), então r'(t) é contínua e r'(t) ≠ 0. Além disso, o vetor r'(t) é tangente à curva C, e aponta na direção do parâmetro crescente.\nO vetor tangente unitário (ou versor tangente) é dado por\n\nT(t) = r'(t)\n||r'(t)||\n\n e indica a direção da curva C\n\nObservação: Se a curva C é representada pela função vetorial r(s), onde s é o parâmetro comprimento de arco, então ||r'(s)|| = 1. Neste caso, o vetor tangente unitário é dado por\n\nT(s) = r(s).\n\nExemplo\n\n1. Encontre o vetor tangente à elipse r(t) = (2cos t, 3sin t) no ponto P(√2, 3√2/2).\n\n2. Determine o vetor tangente unitário à curva r(t) = (t, t^2, t^3) num ponto qualquer.\n\nProposição: Se r(t) é uma função vetorial com norma constante, então r'(t) e T(t) são ortogonais.\n\nDemonstramos: Precisamos provar que ||r(t)|| = e r'(t) . De fato. A tangente e a normal de um ponto estabelecem um plano sob o qual o ponto está inserido, este mesmo plano também possui uma normal. Uma vez que já estabelecemos uma normal ao ponto e que todos os vetores partidos do ponto, que são perpendiculares à sua tangente, são normais do ponto, estabelecemos pois, a sua binormal, calculando desta forma:\n\nB(t) = T(t) x N(t).\n\nDiferente do caso da normal, o vetor binormal é unitário. De fato, podemos verificar pela fórmula do produto vetorial com referência ao ângulo. O ângulo entre os vetores T e N é reto, o que informa que:\n\n||B(t)|| = ||T(t) x N(t)|| = ||T(t)|| ||N(t)|| sin(π/2) = 1 . 1 . 1 = 1.\n\nDessa forma {T(t), N(t), B(t)} é um conjunto de três vetores unitários mutuamente ortogonais. Pode ser mostrado que cada um desses vetores estão relacionados aos outros dois pela regra da mão direita:\n\nB = T x N, N = B x T, T = N x B.\n\nAlém disso, estes vetores determinam um sistema de coordenadas também tido TNB ou triheiro de Frenet. Tipicamente, o sistema de coordenadas arza determinados pelos vetores unitários T, N e B permanece constante, embora o triheiro TNB varia a medida que um origem move-se ao longo da curva C.\n\nExemplo\n\n3. Determine os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal da hélice circular\n\nr(t) = cos t i + sin t j + t k. Seja C uma curva suave parametrizada por comprimento de arco. A curvatura de C fica definida por:\n\nk(s) = ||dT/ds||,\n\nonde T é o vetor tangente unitário. \n\nUsando a Regra da Cadeia, temos que\n\ndT/dt = ||r'(t)||.\n\nAssim,\n\nComo s = ∫ ||r'(u)||du, segue que ds/dt = ||r'(t)||. Assim,\n\nd/dt||r'(t)||, segue que ||dT/dt|| = ||r'(t)||.\n\nPortanto, a curvatura em termos de um parâmetro qualquer t é calculada por\n\nk(t) = ||r'(t)||.\n\nExemplo\n\n5. Determine a curvatura de uma circunferência de raio “a”.\n\nProposição: Mostre que a curvatura de uma curva dada pela função vetorial r(t) é\n\n||r'(t)|| ∧ r''(t). Exemplo\n6. Determine a curvatura da curva dada por r(t) = (t, t1 + t2). \n7. A curva da função vetorial r(t) = (2 cos t, 3 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π é uma elipse. Determine a curvatura da elipse nos extremos dos eixos maior e menor. \nResposta: A função da curvatura k(t) é \nk(t) = 6 | 4 sin²t + 9 cos²t³ | 3. Nos extremos do eixo menor a curvatura é k(0) = k(π) = , e os extremos do eixo maior a curvatura é k(π/2) = 3/4. \nEm geral, se uma curva C no plano R² tem curvatura k no ponto P, então o círculo de raio ρ = 1/k, tendo em comum uma tangente com C em P e centro no lado côncavo da curva em P, é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. O círculo osculador e a curva C não necessariamente tocam em P, mas têm a mesma curvatura naquele ponto. Neste sentido, o círculo osculador é um círculo aproximado a curva C próximo de P. O raio de curvatura do círculo osculador em P é chamado de raio de curvatura em P e o centro da curva é chamado de centro de curvatura. \nExemplo \n8. Determine o desenho do círculo osculador da parábola y = x² na origem. \n9. Determine a equação geral do círculo de curvatura da elipse r(t) = (2 cos t, 3 sin t) nos pontos (2, 0) e (0, 3). Como ||N|| = 1 e B = -τ · N, temos que ||B'|| = ||τN|| = | − τ ||N|| = |r| = ±τ, ou ainda, τ = ±||B'||. \nExemplo \n10. Encontre a torção da hélice circular r(t) = (cos t, sin t, t), t ≥ 0.\nSe uma curva r(t) está contida em um plano então sua torção é nula em todos os pontos. \nDe fato, podemos supor que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Além disso, vamos supor que a curvatura não seja nula, pois, e o curvatura é nula, então a curva é uma reta. Se a curva está contida em um plano α, então seu plano osculador em qualquer ponto coincide com α. Portanto, o vetor normal ao plano osculador B(t) é constante. Logo, B′(t) = 0 implica que τ = 0.\nhttp://www.atractor.pt/mat/curvtor\nFórmulas de Frenet \nT ′(s) = kN (2) \nN ′(s) = -kT + λN (3) \nB ′(s) = -τN (4) \nDemonstração \nT ′ Uma vez que N · B = 0, derivando obtemos N ′ · B = -N · B ′, logo c = -N · B ′. Lembrando que τ = -N · B ′ vem \nc = τ.\nMultiplicando escalarmente (5) por T, temos \nN ′ · T = aT · T + bN · T + cB · T\n\t= a · 1 + b · 0 + c · 0\n\t= a.\nComo N · T = 0, derivando segue que N ′ · T = -N · T, assim a = -N · T. Usando a equação (2), obtemos \na = -k. \nPortanto, \nN ′ = -kT + λN.\nComponentes Tangencial e Normal da Aceleração \nVocê sabe de sua experiência como passageiro de um automóvel que se a velocidade de um carro aumenta rapidamente, então o seu corpo é jogado para trás contra o encosto do assento. Você também sabe que o carro percorre uma curva na estrada, então o seu corpo é jogado na direção para fora da curva - quanto maior a curvatura na estrada, maior será a força com que você é empurrado. A explicação desses fenômenos pode ser entendida resolvendo-se a velocidade e a aceleração em componentes vetoriais que são paralelos aos vetores tangencial e normal. Portanto, \\( \\mathbf{a} = \\frac{d^2s}{dt^2} \\mathbf{T} + \\frac{(ds/dt)^2}{k} \\mathbf{N}. \\)\n\nOs coeficientes de \\( \\mathbf{T} \\) e \\( \\mathbf{N} \\) em (2) são denotados usualmente por\n\\( a_T = \\frac{d^2s}{dx^2} \\) e \\( a_N = k \\left( \\frac{ds}{dt} \\right)^2 \\)\ne, neste caso, a Fórmula (2) é expressa como\n\\( \\mathbf{a} = a_T \\mathbf{T} + a_N \\mathbf{N} \\)\n\nOs escalares \\( a_T \\) e \\( a_N \\) são chamados de componente escalar tangencial da aceleração e componente escalar normal da aceleração, e os vetores \\( \\mathbf{T} \\) e \\( \\mathbf{N} \\) são chamados de componente vetorial tangencial da aceleração e componente vetorial normal da aceleração.\n\nOs componentes escalares da aceleração explicam o efeito que você experimenta quando um carro arranca rapidamente ou faz uma curva. O crescimento abrupto na rapidez produz grandes valores para \\( \\frac{d^2s}{dt^2} \\), o que resulta numa grande componente escalar tangencial da aceleração; e pela_equação de Newton possui uma grande força tangencial sobre o carro na direção do movimento. Para entender o efeito de provoca uma grande força, observe que a componente escalar normal da aceleração é quando a curva k é a rapidez da \\( \\frac{d^2s}{dt^2} \\) em relação ao carro.\n\nTeorema: Se uma partícula move-se ao longo de uma curva suave \\( C \\), então em dado ponto sobre a curva \\( \mathbf{r} \\) e a aceleração \\( \\mathbf{a} \\) estão relacionadas como: \\( \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{a}}{||\\mathbf{v}||^2} \\mathbf{T} + ||\\mathbf{v}|| \\mathbf{N} \\), \\( k \\) e pelas fórmulas\n\n\\( \\mathbf{v} = \\frac{\\mathbf{\\dot{r}}}{||\\mathbf{\\dot{r}}||^{1/2}} \\)
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CVE 0003 - * - CÁLCULO VETORIAL - * - 2011/2\n\nVetores Tangentes, Normal e Binormal\n\nLembre-se que se C é uma curva suave dada pela função vetorial r(t), então r'(t) é contínua e r'(t) ≠ 0. Além disso, o vetor r'(t) é tangente à curva C, e aponta na direção do parâmetro crescente.\nO vetor tangente unitário (ou versor tangente) é dado por\n\nT(t) = r'(t)\n||r'(t)||\n\n e indica a direção da curva C\n\nObservação: Se a curva C é representada pela função vetorial r(s), onde s é o parâmetro comprimento de arco, então ||r'(s)|| = 1. Neste caso, o vetor tangente unitário é dado por\n\nT(s) = r(s).\n\nExemplo\n\n1. Encontre o vetor tangente à elipse r(t) = (2cos t, 3sin t) no ponto P(√2, 3√2/2).\n\n2. Determine o vetor tangente unitário à curva r(t) = (t, t^2, t^3) num ponto qualquer.\n\nProposição: Se r(t) é uma função vetorial com norma constante, então r'(t) e T(t) são ortogonais.\n\nDemonstramos: Precisamos provar que ||r(t)|| = e r'(t) . De fato. A tangente e a normal de um ponto estabelecem um plano sob o qual o ponto está inserido, este mesmo plano também possui uma normal. Uma vez que já estabelecemos uma normal ao ponto e que todos os vetores partidos do ponto, que são perpendiculares à sua tangente, são normais do ponto, estabelecemos pois, a sua binormal, calculando desta forma:\n\nB(t) = T(t) x N(t).\n\nDiferente do caso da normal, o vetor binormal é unitário. De fato, podemos verificar pela fórmula do produto vetorial com referência ao ângulo. O ângulo entre os vetores T e N é reto, o que informa que:\n\n||B(t)|| = ||T(t) x N(t)|| = ||T(t)|| ||N(t)|| sin(π/2) = 1 . 1 . 1 = 1.\n\nDessa forma {T(t), N(t), B(t)} é um conjunto de três vetores unitários mutuamente ortogonais. Pode ser mostrado que cada um desses vetores estão relacionados aos outros dois pela regra da mão direita:\n\nB = T x N, N = B x T, T = N x B.\n\nAlém disso, estes vetores determinam um sistema de coordenadas também tido TNB ou triheiro de Frenet. Tipicamente, o sistema de coordenadas arza determinados pelos vetores unitários T, N e B permanece constante, embora o triheiro TNB varia a medida que um origem move-se ao longo da curva C.\n\nExemplo\n\n3. Determine os vetores tangente unitário, normal unitário e binormal da hélice circular\n\nr(t) = cos t i + sin t j + t k. Seja C uma curva suave parametrizada por comprimento de arco. A curvatura de C fica definida por:\n\nk(s) = ||dT/ds||,\n\nonde T é o vetor tangente unitário. \n\nUsando a Regra da Cadeia, temos que\n\ndT/dt = ||r'(t)||.\n\nAssim,\n\nComo s = ∫ ||r'(u)||du, segue que ds/dt = ||r'(t)||. Assim,\n\nd/dt||r'(t)||, segue que ||dT/dt|| = ||r'(t)||.\n\nPortanto, a curvatura em termos de um parâmetro qualquer t é calculada por\n\nk(t) = ||r'(t)||.\n\nExemplo\n\n5. Determine a curvatura de uma circunferência de raio “a”.\n\nProposição: Mostre que a curvatura de uma curva dada pela função vetorial r(t) é\n\n||r'(t)|| ∧ r''(t). Exemplo\n6. Determine a curvatura da curva dada por r(t) = (t, t1 + t2). \n7. A curva da função vetorial r(t) = (2 cos t, 3 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π é uma elipse. Determine a curvatura da elipse nos extremos dos eixos maior e menor. \nResposta: A função da curvatura k(t) é \nk(t) = 6 | 4 sin²t + 9 cos²t³ | 3. Nos extremos do eixo menor a curvatura é k(0) = k(π) = , e os extremos do eixo maior a curvatura é k(π/2) = 3/4. \nEm geral, se uma curva C no plano R² tem curvatura k no ponto P, então o círculo de raio ρ = 1/k, tendo em comum uma tangente com C em P e centro no lado côncavo da curva em P, é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P. O círculo osculador e a curva C não necessariamente tocam em P, mas têm a mesma curvatura naquele ponto. Neste sentido, o círculo osculador é um círculo aproximado a curva C próximo de P. O raio de curvatura do círculo osculador em P é chamado de raio de curvatura em P e o centro da curva é chamado de centro de curvatura. \nExemplo \n8. Determine o desenho do círculo osculador da parábola y = x² na origem. \n9. Determine a equação geral do círculo de curvatura da elipse r(t) = (2 cos t, 3 sin t) nos pontos (2, 0) e (0, 3). Como ||N|| = 1 e B = -τ · N, temos que ||B'|| = ||τN|| = | − τ ||N|| = |r| = ±τ, ou ainda, τ = ±||B'||. \nExemplo \n10. Encontre a torção da hélice circular r(t) = (cos t, sin t, t), t ≥ 0.\nSe uma curva r(t) está contida em um plano então sua torção é nula em todos os pontos. \nDe fato, podemos supor que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Além disso, vamos supor que a curvatura não seja nula, pois, e o curvatura é nula, então a curva é uma reta. Se a curva está contida em um plano α, então seu plano osculador em qualquer ponto coincide com α. Portanto, o vetor normal ao plano osculador B(t) é constante. Logo, B′(t) = 0 implica que τ = 0.\nhttp://www.atractor.pt/mat/curvtor\nFórmulas de Frenet \nT ′(s) = kN (2) \nN ′(s) = -kT + λN (3) \nB ′(s) = -τN (4) \nDemonstração \nT ′ Uma vez que N · B = 0, derivando obtemos N ′ · B = -N · B ′, logo c = -N · B ′. Lembrando que τ = -N · B ′ vem \nc = τ.\nMultiplicando escalarmente (5) por T, temos \nN ′ · T = aT · T + bN · T + cB · T\n\t= a · 1 + b · 0 + c · 0\n\t= a.\nComo N · T = 0, derivando segue que N ′ · T = -N · T, assim a = -N · T. Usando a equação (2), obtemos \na = -k. \nPortanto, \nN ′ = -kT + λN.\nComponentes Tangencial e Normal da Aceleração \nVocê sabe de sua experiência como passageiro de um automóvel que se a velocidade de um carro aumenta rapidamente, então o seu corpo é jogado para trás contra o encosto do assento. Você também sabe que o carro percorre uma curva na estrada, então o seu corpo é jogado na direção para fora da curva - quanto maior a curvatura na estrada, maior será a força com que você é empurrado. A explicação desses fenômenos pode ser entendida resolvendo-se a velocidade e a aceleração em componentes vetoriais que são paralelos aos vetores tangencial e normal. Portanto, \\( \\mathbf{a} = \\frac{d^2s}{dt^2} \\mathbf{T} + \\frac{(ds/dt)^2}{k} \\mathbf{N}. \\)\n\nOs coeficientes de \\( \\mathbf{T} \\) e \\( \\mathbf{N} \\) em (2) são denotados usualmente por\n\\( a_T = \\frac{d^2s}{dx^2} \\) e \\( a_N = k \\left( \\frac{ds}{dt} \\right)^2 \\)\ne, neste caso, a Fórmula (2) é expressa como\n\\( \\mathbf{a} = a_T \\mathbf{T} + a_N \\mathbf{N} \\)\n\nOs escalares \\( a_T \\) e \\( a_N \\) são chamados de componente escalar tangencial da aceleração e componente escalar normal da aceleração, e os vetores \\( \\mathbf{T} \\) e \\( \\mathbf{N} \\) são chamados de componente vetorial tangencial da aceleração e componente vetorial normal da aceleração.\n\nOs componentes escalares da aceleração explicam o efeito que você experimenta quando um carro arranca rapidamente ou faz uma curva. O crescimento abrupto na rapidez produz grandes valores para \\( \\frac{d^2s}{dt^2} \\), o que resulta numa grande componente escalar tangencial da aceleração; e pela_equação de Newton possui uma grande força tangencial sobre o carro na direção do movimento. Para entender o efeito de provoca uma grande força, observe que a componente escalar normal da aceleração é quando a curva k é a rapidez da \\( \\frac{d^2s}{dt^2} \\) em relação ao carro.\n\nTeorema: Se uma partícula move-se ao longo de uma curva suave \\( C \\), então em dado ponto sobre a curva \\( \mathbf{r} \\) e a aceleração \\( \\mathbf{a} \\) estão relacionadas como: \\( \\mathbf{a} = \\frac{\\mathbf{v} \\cdot \\mathbf{a}}{||\\mathbf{v}||^2} \\mathbf{T} + ||\\mathbf{v}|| \\mathbf{N} \\), \\( k \\) e pelas fórmulas\n\n\\( \\mathbf{v} = \\frac{\\mathbf{\\dot{r}}}{||\\mathbf{\\dot{r}}||^{1/2}} \\)