Resumo - Espaço de Estados - 2024-1

Representacdo de Modelos de Sistemas Dinadmicos: Espaco de Estados 1 rw 02 Representagao De o o aA o Modelos de Sistemas Dinamicos: - Espacgo de Estados 1 INTRODUGAO Conforme ja foi mencionado, o modelo matemdtico de um sistema din@mico é obtido a partir da aplicagdo de Leis Fisicas e de Equagées Constitutivas dos elementos que compdem o sistema, o que conduz, normalmente, a um sistema de equacgées diferenciais e/ou equacgdes algébricas. Tal sistema de equagédes, usualmente, é representado de trés maneiras: (1) Representacgdo no Espago de Estados (2) Representagdo por Equagdo I/O (Input/Output = Entrada/Saida) (3) Representagdo por Matriz de Transferéncia Na aula de hoje veremos o primeiro tipo de representacdo. 2 REPRESENTACGAO NO ESPACO DE ESTADOS E um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Varidveis de Estado. Nesta representacgdo, um modelo matemdtico descrito por uma equagdo diferencial de ordem n é substituido por um sistema de n equacgées diferenciais, todas de 1° ordem. Se o modelo matemadtico for descrito por m equagées diferenciais de ordem n, entdo ele serd substituido por um sistema de m x n equagées diferenciais de 1° ordem. A representacdo no espaco de estados é particularmente util na andlise e no projeto de sistemas de controle. Ela possui as seguintes caracteristicas: M Usa o dominio do tempo HM Quaisquer condigées iniciais M Aplicabilidade mais ampla: sistemas lineares e ndo-lineares sistemas invariantes no tempo e variantes notempo sistemas SISO (Single Input, Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) M Interpretacdo fisica mais abstrata RepresentacGo de Modelos de Sistemas Dinamicos: Espaco de Estados 2 A seguir, apresentaremos os fundamentos do método a partir de exemplos simples. Exemplo 1: Representagdo de um sistema mecdnico de 2° ordem com um grau de liberdade, sendo a entrada u(t), que é a forca externa aplicada sobre a massa m, e a Saida y(t), que é o deslocamento medido a partir da posigdo de equilibrio estatico. Modelo matemético: dado pelaEDOL my+cy+ky = u(t) Duas questdes aparecem: Qi > Quantas varidveis de estado sdo necessdrias? A quantidade de varidveis de estado é igual a quantidade de condigées iniciais. Como o sistema é de 2° ordem, ele possui duas condigées iniciais, logo necessita de duas varidveis de estado para descrever completamente a dindmica do sistema. Q2 > Quais sao as varidveis de estado do problema? Sdo as correspondentes as condicédes iniciais do problema. No caso, as varidveis de estado sdo entdo, o deslocamento y(t) e a velocidade y(t). Obs.: é importante ndo confundir varidve/ de estado (ente matematico) com varidvel fisica. Por exemplo, consideremos um sistema dindmico descrito pelo sistema de equagées diferenciais abaixo, onde x;, x2 e suas derivadas sdo varidveis fisicas: Nesse caso, existem 3 varidveis de estado: duas para a coordenada x; e uma para a coordenada x2: X1= X1 X2 = X2 v L, deslocamento (fisico) v L, deslocamento (fisico) varidvel de estado varidvel de estado (matemdtica) (matemdatica) X3 = X1 L, velocidade (fisica) varidvel de estado (matemdatica) Voltemos ao exemplo 1. As varidveis de estado serdo x; e x2: x1=Y X25 y Derivando, obtemos: Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 3 m u 1 c y) m ( ky 1 x y x . 2 . . 1 . + − − = = Vemos que a primeira equação não depende da dinâmica do sistema, enquanto que a segunda depende. Em termos de variáveis de estado: m u 1 m x c m x k x x x 2 1 2 . 2 1 . + − − = = que são as equações de estado. Sob forma matricial: u m 1 0 x x m c m k 1 0 x x 2 1 2 . 1 .         +             − = −         A equação de saída, y = x1, pode ser escrita [ ] [ ]     = = 2 1 x 0 x 1 y y Essas duas últimas equações matriciais são, respectivamente, a equação de estado e a equação de saída. Em forma padrão: Du Cx y Bu Ax x . + = + = onde [ u(t)] x x x x 1 . 1 . . 2 1 =         =    =  u x x [ ] [ ] 0 0 1 m 1 0 m c m k 1 0 = =         =         − = − D C B A Exemplo 2: Representação de um sistema de 2a ordem com dois graus de liberdade. Seja o sistema mecânico da fig. 1. Fig. 1 Sistema mecânico com 2 GDL Pedem-se: (a) variáveis de estado e equação de estado; (b) supondo que as entradas do sistema sejam f1(t) e f2(t) e que a saída seja x1, obter a equação da saída. (c) repetir o item (b), porém agora as saídas são x1 e 1 . x . Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 4 Solução Modelo matemático: é dado pelo sistema de EDOL's f (t) k x k x c x c x x m f (t) k x k )x (k c x c )x (c x m 2 2 2 1 2 2 . 2 1 . 2 2 .. 2 1 2 2 1 2 1 2 . 2 1 . 2 1 1 .. 1 = + − + − = − + + − + + (a) Como cada equação diferencial é de 2a ordem, existem quatro condições iniciais e, portanto, quatro variáveis de estado: 2 . 4 1 . 3 2 2 1 1 x x x x x x x x = = = = Derivando e usando as equações diferenciais do modelo matemático, obtemos, após manipulações algébricas: m f (t) 1 m x c m x c m x k m x k x m f (t) 1 m x c x m c c m x k x m k k x x x x x 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 4 . 1 1 4 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 3 . 4 2 . 3 1 . + − + − = + + + − + + − = = = Notemos que as duas primeiras equações não dependem da dinâmica do sistema, enquanto que a duas últimas dependem. Em forma matricial: 2x1 2 1 4x2 2 1 4x1 4 3 2 1 4x4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 4x1 4 . 3 . 2 . 1 . f (t) (t) f m 1 0 0 m 1 0 0 0 0 x x x x m c m c m k m k m c m c c m k m k k 1 0 0 0 0 1 0 0 x x x x                         +                               − − + − + − =                 ou seja, Bu Ax x . + = onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados. (b) Considerando x1 como saída, i.é., y = x1, a equação de saída é [ ] [ ] [ ] 2x1 2 1 x2 1 4x1 4 3 2 1 1x4 1x1 (t) f f (t) 0 0 x x x x 0 0 0 1 y       +             = ou seja, y = Cx + Du onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados. Representacdo de Modelos de Sistemas Dinadmicos: Espaco de Estados 5 (d) Considerando como saidas x; e X1: xy | C 0 0 O Xp t O fo y= = + 3 lag [9 0 1 0 axa} %3 0.0 2x2 f(t) 2x1 X4 Jax onde os vetores e matrizes podem ser facilmente identificados. FORMALIZACAO_ DO METODO Definigées: Estado de um sistema dina@mico: menor conjunto de varidveis (denominadas varidveis de estado) independentes tal que o conhecimento dessas varidveis no instante t = to, juntamente com o conhecimento da entrada para t = to, determina completamente o comportamento do sistema para t = to. Portanto, o estado para t = to ndo depende do estado e da entrada para t < to. No caso de sistemas lineares invariantes no tempo, usualmente escolhemos to = 0. Varidveis de estado de um sistema dindmico: sdo as n varidveis que compoem o menor conjunto de varidveis que determinam o estado do sistema. E importante notar que essas varidveis ndo representam necessariamente quantidades fisicas e que o conjunto de varidveis de estado de um determinado sistema dindmico nado @ Unico. Tendo em vista que as varidveis de estado sdo independentes, uma varidvel de estado ndo pode ser expressa como funcio algébrica de outra(s) varidvel(eis) de estado. Vetor de estado de um sistema dindmico: é 0 vetor x(t) cujas componentes sao as n varidveis de estado. Um vetor de estado x(t) determina univocamente o estado do sistema para qualquer instante t > to, uma vez que o estado em t = to seja dado e a entrada u(t) para qualquer instante t > to seja especificada. Espago de estado: é 0 espago n-dimensional cujos eixos coordenados sdo as varidveis de estado X1, X2, .. , Xn. Portanto, qualquer estado pode ser representado por um ponto no espago de estado. Assim, no sistema do exemplo 3, temos as varidveis de estado x; = y e X2 = y, logo o espaco de estados é bidimensional, podendo ser localizado num plano com eixos x; e X2. Equagées do espago de estados Trés tipos de varidveis aparecem na modelagem de sistemas dindmicos por espago de estados: M@ varidveis de entrada M@ varidveis de saida M@ varidveis de estado Seja o sistema dinamico da fig. 2, 0 qual possui r varidveis de entrada: u(t), u2(t), ... , u(t) m varidveis de saida: y(t), ya(t), ... , Ym(t) n varidveis de estado: x,(t), x2(t), ... , Xn(t) Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 6 Então, o sistema pode ser descrito por n equações diferenciais de 1a ordem, que são as equações de estado: (1) onde f1, f2, ... , fn são não lineares, em geral. Por outro lado, as saídas do sistema são funções das variáveis de entrada, das variáveis de estado e do tempo, constituindo as equações de saída: (2) onde g1, g2, ... , gn são não lineares, em geral. Definindo de saída vetor y (t) ... y (t) (t) y t) ( vetor de entrada u (t) ... u (t) (t) u t) ( vetor de estado x (t) ... x (t) (t) x t) ( mx1 m 2 1 rx1 r 2 1 nx1 n 2 1 =               = =               = =               = y u x as equações de estado e de saída podem ser escritas sob forma matricial compacta como (3) Fig. 2 Sistema com r entradas e m saídas Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 7 Se as funções vetoriais f e g envolvem o tempo t explicitamente, então o sistema é dito variante no tempo. Caso particular: o sistema é variante no tempo e linear. Neste caso: (4) onde A(t) é a matriz de estado n x n B(t) é a matriz de entrada n x r C(t) é a matriz de saída m x n D(t) é a matriz de transmissão direta m x r Se o sistema é variante no tempo e não-linear, as equações de estado e de saída, em certos casos, podem ser linearizadas em torno de um estado de operação, de modo a permitir o uso das equações de estado e de saída para um sistema linear. Por outro lado, se as funções vetoriais f e g não envolvem o tempo t explicitamente, então o sistema é dito invariante no tempo e, nesse caso, as equações de estado e de saída podem ser simplificadas para: Caso particular: o sistema é invariante no tempo e linear. Neste caso: (5) (6) onde agora as matrizes A, B, C e D são matrizes constantes. Não Unicidade das Variáveis de Estado Podemos mostrar que o conjunto de variáveis de estado não é único, ou seja, podemos selecionar um conjunto diferente de variáveis de tal modo que o modelo do sistema possa ser representado por um conjunto de equações semelhante ao das eqs. (6). Consideremos um sistema dinâmico para o qual um conjunto de n variáveis de estado x(t) = [x1, x2, ..., xn]T No nosso curso, trataremos apenas de sistemas invariantes no tempo e lineares. Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 8 foi escolhido adequadamente e para o qual a representação no espaço de estados é dada pelas eqs. (6). Consideremos, também, um outro conjunto de variáveis x*(t) = [x1 *, x2 *, ..., xn *]T relacionado ao primeiro pela transformação matricial x = P x* (7) onde P é uma matriz n x n não singular (determinante não nulo), com elementos constantes. Substituindo a eq. (7) na eq. (6): Du CPx y Bu APx x P + = + = * * . * Pré-multiplicando a primeira equação por P-1, obtemos Du CPx y Bu P APx P x + = + = − − * 1 * 1 . * (8) Definindo: P-1AP = A* P-1B = B* C P = C* ficamos com Du C x y B u A x x + = + = * * * * * . * (9) que está precisamente na mesma forma da eq. (6), logo representa também o mesmo sistema dinâmico, porém utilizando um outro conjunto de variáveis de estado, o que vem demonstrar que o conjunto de variáveis de estado não é único. Desacoplamento das Variáveis de Estado Na maioria dos casos, as variáveis de estado estão acopladas, conforme ilustra o exemplo 4, no qual podemos ver que a matriz de estado A é uma matriz cheia (ou seja, não é uma matriz diagonal ou triangular), o que denuncia a presença de uma variável de estado em mais de uma equação. Tal fato se chama acoplamento e, matematicamente, significa que as equações não podem ser tratadas separadamente, a não ser que consigamos desacoplá-las. Para desacoplar as equações de estado, podemos usar a transformação matricial x = P x* (10) onde P é a matriz modal associada com a matriz A, ou seja, P é a matriz cujas colunas são os autovetores da matriz A. Da Álgebra Linear sabemos que P-1 A P = Λ (11) Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 9 onde Λ é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os autovalores da matriz A. Então, as equações de estado que utilizam um vetor de estados x* que satisfaça a transformação da eq. (10) tomam a forma especial (acompanhar pela eq. (8)) Du CPx y B u P x x + = + = − * 1 * . * Λ (12) o que garante o desacoplamento das equações de estado, já que a matriz Λ é diagonal. Exemplo 3: Seja um sistema dinâmico cujo modelo matemático é a EDOL f(t) 4x 5x x . .. = + + , onde f(t) é a entrada e x(t) é a saída. Pedem-se: (a) representação no espaço de estados; (b) desacoplar as equações de estado. Solução (a) Variáveis de estado: x1 = x x2 = . x Derivando: f(t) 4x 5x x x x x x . .. 2 . 2 . 1 . + − = − = = = e as equações de estado são f(t) 5x 4x x x x 2 1 2 . 2 1 . + − − = = que podem ser colocadas na forma matricial Bu Ax x . + = : 1 f(t) 0 x x 5 4 1 0 x x 2 1 2 . 1 .    +          − = −         Equação da saída: y = x = x1 que pode ser colocada na forma matricial y = Cx + Du: [ ] [ ][ 0 f(t ]) x 0 x 1 y 2 1 +     = (b) Autovalores e autovetores da matriz A =     − − 5 4 1 0 Usando o método clássico, o MatLab ou a HP48: λ1 = - 4    = − 4 1 1v λ2 = - 1     = − 1 1 v2 Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 10 Matriz modal: P =     − − 1 4 1 1 Diagonalização: Λ = P-1 A P =       −  = −      − −       − −       − − − 1 0 0 4 1 4 1 1 5 4 1 0 1 4 1 1 1 Aplicando as eqs. (12): [ ] [ ] [ ][ 0 f(t ]) 1 4 1 1 0 1 1 f(t) 0 1 4 1 1 * 1 * . * +       − − =         − + −     = − x y x x -1 0 0 4 - Finalmente: [ ] [ ] * * . * 1 1 )t(f 13 3 1 x y x x − =         +     = -1 0 0 4 - Verificamos, pois, que com a adoção das variáveis de estado x* as equações de estado se tornam desacopladas. EXERCÍCIOS 1 Dada a equação diferencial de 3a ordem 2f(t) x x 2x x . .. ... = + + + , representá-la no espaço de estados. Resp.:           =           − − − = 2 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0 B A 2 Dado o sistema mecânico rotacional da figura cujo modelo matemático é dado pelo sistema de equações diferenciais Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados 11 0 K ) (K K J T K K ) (K J 2 3 2 1 2 2 .. 2 2 2 1 2 1 1 .. 1 = θ + θ + − θ = θ θ − + + θ pedem-se: (a) representação no espaço de estados, sendo T(t) a entrada e θ1(t) a saída; (b) representação no espaço de estados, sendo T(t) a entrada e θ1(t) e θ2(t) as saídas. Resp.: (a) [ ] [ ] 0 0 0 0 1 0 J 1 0 0 0 0 J K K J K 0 0 J K J K K 1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 = =               =                   + − + = − D C B A