Aproximação Linear de Modelos Não Lineares

Aproximação linear de um modelo não linear Se o princípio da superposição de efeitos não se aplica a um dado sistema ele é denominado sistema não linear As não linearidades estão normalmente presentes nos sistemas reais e algumas das mais comuns em sistemas físicos são atrito seco saturação e histerese É comum utilizarse uma aproximação linear do modelo não linear original Isso é feito para se poder analisar o sistema com as inúmeras ferramentas para sistemas lineares tal como a análise de estabilidade e a representação do domínio da frequência A linearização também é muitas vezes usada como uma etapa preliminar no projeto de sistemas de controle Para que a aproximação seja efetiva o erro de modelagem não pode ser elevado A aproximação linear de um modelo não linear normalmente é valida apenas quando o sistema está operando nas proximidades de um ponto de operação e os sinais envolvidos têm pequenas variações em torno deste ponto Uma das formas de se obter um modelo linear aproximado a um modelo não linear num ponto de operação é por meio do truncamento da série de Taylor da função não linear Uma função 𝒚 𝒇𝒙 contínua e diferenciável pode ser expandida representada em uma série de Taylor em torno do ponto de operação 𝒙 𝒚 como segue 𝒚 𝒇𝒙 𝒇𝒙 𝒙 𝒙 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝟐𝒇 𝒅𝒙𝟐 𝒙𝒙 Se a variação ou desvio 𝜟𝒙 𝒙 𝒙 for pequena então os termos de ordem superior podem ser desprezados e a equação anterior resulta na seguinte equação linear 𝜟𝒇 𝒌 𝜟𝒙 onde 𝒌 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙 é uma constante e 𝜟𝒇 𝒇𝒙 𝒇𝒙 é a variação desvio da variável𝒚 em relação à 𝒚 Note que o modelo linear obtido é um modelo incremental ou seja de variáveis de desvios Isso sempre ocorre nos processos de linearização mas é comum que se faça um abuso de notação reescrevendo a equação linear por meio de variáveis absolutas 𝒇 𝒌𝒙 no caso mas sempre lembrando que ela é válida apenas para valores próximos ao ponto de linearização Como ilustração considere a seguinte equação não linear 𝑦 𝑥2 cujo gráfico está representado a seguir e suponha que desejamos obter um modelo linear aproximado em torno do ponto 𝑥 6 Truncando a série de Taylor no termo de primeira ordem 𝒚 𝒇𝒙 𝒙 𝒙 𝒅𝒇 𝒅𝒙 𝒙𝒙 𝜟𝒚 𝟏𝟐 𝜟𝒙 𝒚 𝟑𝟔 𝒙 𝟔𝟏𝟐 Compare o valor obtido com os modelos linear e não linear para 𝒙 𝟔 𝟓 𝟒𝟐 𝟐𝟓 𝟒𝟐 Experimente também linearizar o modelo em outro ponto Como outra ilustração considere a linearização da função 𝑦 𝑥 em torno do ponto 𝒙 𝟗 Para verificação da qualidade da aproximação suponha que desejamos calcular 10 31623 a partir do conhecimento de 9 10 9 1 29 10 9 31666 R1 00043 Aproximação linear de sistemas dinâmicos O caso de maior interesse é aquele cujo modelo não linear é dinâmico O procedimento de linearização pelo truncamento da série de Taylor pode ser generalizado para sistemas dinâmicos de ordem n Para tanto o modelo não linear precisa estar representado no espaço de estados Seja o seguinte modelo não linear genérico no espaço de estado 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛𝑇 sendo 𝑢 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑚𝑇o vetor de entrada 𝑑 𝑑𝑡 𝑥1𝑡 𝑓1𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑚 𝑑 𝑑𝑡 𝑥2𝑡 𝑓2𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑚 𝑑 𝑑𝑡 𝑥𝑛𝑡 𝑓𝑛𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑢1 𝑢2 𝑢𝑚 Definindose as variáveis de desvio dos estados e das entradas 1 1 1 2 2 2 n n n x x x x x x x x x e 1 1 1 2 2 2 m m m u u u u u u u u u e expandindo as funções não lineares 𝑓1 𝑓2 𝑓𝑛 em série de Taylor em torno do ponto 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑢1 𝑢 2 𝑢 𝑚 e desprezando os termos de segunda ordem e superiores resulta 𝑑 𝑑𝑡 𝛥𝑥1 𝑎11𝛥𝑥1 𝑎12𝛥𝑥2 𝑎1𝑛𝛥𝑥𝑛 𝑏11𝛥𝑢1 𝑏12𝛥𝑢2 𝑏1𝑚𝛥𝑢𝑚 𝑑 𝑑𝑡 𝛥𝑥2 𝑎21𝛥𝑥1 𝑎22𝛥𝑥2 𝑎2𝑛𝛥𝑥𝑛 𝑏21𝛥𝑢1 𝑏22𝛥𝑢2 𝑏2𝑚𝛥𝑢𝑚 𝑑 𝑑𝑡 𝛥𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝛥𝑥1 𝑎𝑛2𝛥𝑥2 𝑎𝑛𝑛𝛥𝑥𝑛 𝑏𝑛1𝛥𝑢1 𝑏𝑛2𝛥𝑢2 𝑏𝑛𝑚𝛥𝑢𝑚 onde 𝑎𝑖𝑗e 𝑏𝑖𝑗 são constantes obtidas por meio das seguintes derivadas parciais calculadas nos pontos de linearização 𝑥 𝑢 𝑎𝑖𝑗 𝑓𝑖 𝑥𝑗 𝑥𝑢 e 𝑏𝑖𝑗 𝑓𝑖 𝑢𝑗 𝑥𝑢 Exemplo Considere o problema de se obter um modelo linear aproximado da seguinte equação diferencial não linear que representa o comportamento dinâmico do nível ℎ𝑡 de um tanque com uma vazão de alimentação 𝑢𝑡 e uma vazão de saída proporcional à ℎ𝑡 Considere o ponto de linearização em torno de ℎ 04 m e 𝛼 13 e 𝛽 07 𝑑 𝑑𝑡 ℎ𝑡 𝛼𝑢𝑡 𝛽ℎ𝑡 A equação diferencial não linear já está na forma de estado e 𝑓é função das duas variáveis 𝑢 e ℎ 𝑓 𝛼𝑢𝑡 𝛽ℎ𝑡 O modelo linear aproximado de desvios que estamos buscando tem a seguinte forma 𝛥ℎ 𝑎1𝛥ℎ 𝑏1𝛥𝑢 onde 𝑎1 𝑓 ℎ ℎ 𝑢 𝛽 2ℎ 05534 e 𝑏1 𝑓 𝑢 ℎ𝑢 𝛼 13 Note que o valor de 𝑢 não foi especificado Uma possibilidade é escolher 𝑢 de tal forma que o ponto de linearização ℎ seja mantido em regime permanente Para tanto basta impor variação nula de h na equação diferencial não linear 𝑑ℎ 𝑑𝑡 0 𝛼𝑢 𝛽ℎ 𝑢 𝛽ℎ 𝛼 03406 Substituindo os valores numéricos na equação linear de desvio 𝑑 𝑑𝑡 ℎ ℎ 𝑎1ℎ ℎ 𝑏1𝑢 𝑢 obtemos a equação linear aproximada onde aparecem explicitamente as variáveis absolutas 𝑑 𝑑𝑡 ℎ𝑡 05534 ℎ𝑡 04 13 𝑢𝑡 03406 Linearização com o Octave pkg load symbolic syms h u dh 13u 07sqrth J jacobiandh hu K subs J h 04 Evalk J K 05534 13000 Comparação das repostas linear x não linear a uma entrada u constante function ht tanque2nlindttitfhiu dh 13u 07sqrth dt time step ti initial time tf final time hi initial level h level from ti to tf t time t ti h hi n tftidt for i 1n dh 13u 07sqrthi hi1 hi dh dt ti1 ti dt end end function ht tanque2lindttitfhiu dh a1hihi b1uub dt time step ti initial time tf final time hi initial level h level from ti to tf t time t ti h hi n tftidt a1 072sqrthi b1 13 ub 07sqrthi13 for i 1n dh a1hihi b1uub hi1 hi dh dt ti1 ti dt end end Execução das funções tanque2runm dt 05 ti 0 tf 20 hi 04 u 07sqrthi13 mantém regime u u 0001 u 04 h1t1 tanque2nlindttitfhiu h2t2 tanque2lindttitfhiu figure1 plott1h1rt2h2ob grid legendnao linearlinear Exemplo Obtenha um modelo linear aproximado das seguintes equações de estado não lineares que possuem dois estados x1 x2 e duas entradas u1 u2 Considere o ponto de linearização em torno de 𝑥1 1 e 𝑥2 2 𝑑 𝑑𝑡 𝑥1𝑡 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑢2𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑥2𝑡 𝑥2𝑡 𝑢1𝑡 2 As equações diferenciais não lineares já estão na forma de estado e o modelo linear aproximado de desvios que estamos buscando tem a seguinte forma 𝑑 𝑑𝑡 𝛥𝑥1 𝑎11𝛥𝑥1 𝑎12𝛥𝑥2 𝑏11𝛥𝑢1 𝑏12𝛥𝑢2 𝑑 𝑑𝑡 𝛥𝑥2 𝑎21𝛥𝑥1 𝑎22𝛥𝑥2 𝑏21𝛥𝑢1 𝑏22𝛥𝑢2 Note que os valores de 𝑢1 e 𝑢 2 não foram especificados Uma possibilidade é escolher 𝑢 1 e 𝑢 2 de tal forma que o ponto de linearização 𝑥1 e 𝑥2 seja mantido em regime permanente Para tanto basta impor variação nula de x1 e x2 nas equações diferenciais não lineares 𝑑 𝑑𝑡 𝑥1𝑡 0 𝑥1𝑡 𝑥2𝑡 𝑢 2𝑡 𝑢 2 𝑥2 𝑥1 3 𝑑 𝑑𝑡 𝑥2𝑡 0 𝑥2𝑡 𝑢 1𝑡 2 𝑢 1 𝑥2𝑡 1414 Os valores constantes 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 são obtidos por meio das derivadas parciais no ponto de operação 𝑥1𝑥2𝑢 1𝑢 2 𝑎11 𝑓1 𝑥1 𝑥𝑢 1 2𝑥1 05 𝑏21 𝑓2 𝑢1 𝑥𝑢 2𝑢 1 2828 As demais derivadas parciais são imediatas com constantes triviais e o modelo linearizado de desvio resulta 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 05 1 0 1 0 1 2828 0 d x t x t x t u t u t dt d x t x t x t u t u t dt Na forma matricial o modelo é escrito assim 𝑑 𝑑𝑡 𝛥𝑥1 𝛥𝑥2 05 1 0 1 𝛥𝑥1 𝛥𝑥2 0 1 2828 0 𝛥𝑢1 𝛥𝑢2 Abusando da notação podese escrever 𝑥𝑡 05 1 0 1 𝑥𝑡 0 1 2828 0 𝑢𝑡 Linearização com o Octave Modelo não linear no SS pkg load symbolic syms x1 x2 u1 u2 dx1 sqrtx1 x2 u2 dx2 x2 u12 dx1 dx2 Derivadas parciais dx dx1 dx2 J jacobian dx x1 x2 u1 u2 J Ponto de linearização H NC1 FA FB k subs J x1 x2 u1 u2 1 2 sqrt2 3 k Modelo linearizado dx1 k11x1 k12x2 k13u1 k14u2 dx2 k21x1 k22x2 k23u1 k24u2 A eval k1212 B eval k1234