Operações com Números Complexos: Parte Real e Imaginária

8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS Número real e número imaginário No século 18 o matemático inglês de ascendência francesa Abraham Moivre introduziu na matemática um número que ele chamou de imaginário cujo símbolo universal é i Este número obedece a seguinte igualdade 1 2 i Portanto 1 i Como sabemos a raiz quadrada de um número negativo não existe fisicamente Esta é a razão de ser chamado de número imaginário Quando este número é usado em eletricidade mudase seu símbolo para j Isto se faz para que não haja confusão com o símbolo da corrente elétrica que também é i Portanto adotaremos como número imaginário o elemento 1 j Quando este número é multiplicado por um número real o resultado se torna imaginário Assim por exemplo embora o número 3 seja um número real o número j 3 é imaginário Um número complexo é aquele que pode ter uma parte real além da parte imaginária Exemplo 53 35 j Z Neste exemplo a parte real é representada pelo número 53 e a imaginária pelo número j35 O número complexo pode ser representado graficamente Existem duas representações gráficas Uma delas é chamada de representação na forma retangular ou cartesiana A outra é a representação na forma polar Representação do número complexo na forma cartesiana Na forma cartesiana a parte real é representada no eixo x e a parte imaginária no eixo y Isto acarreta um ponto P no plano xy que representa o número complexo A fig 610a mostra esta representação cartesiana para o número complexo 53 35 j Z Representação do número complexo na forma polar A forma polar deste mesmo número está representada na fig 610b Neste caso o número complexo é representado pelo módulo e ângulo de um vetor O módulo é o comprimento do seguimento que liga a origem ao ponto P O ângulo é aquele existente entre esse 9 segmento e o eixo x Portanto a forma polar é representada pelo par de parâmetros Z e θ O ângulo θ costuma ser chamado de argumento do número complexo Portanto um número complexo na forma cartesiana possui uma parte real e outra imaginária Na forma polar o número complexo possui módulo e argumento Parte real Parte imaginária 35 53j 53 35 Z θ a b x 53 35 j Z jy 53 y x 0 0 Z Z θ P P Fig 610 Transformação da forma cartesiana para a forma polar Usando o teorema de Pitágoras para o desenho da figura 610b temse 6 35 34 40 4034 53 35 2 2 2 Z Z Usando fórmulas trigonométricas temse 0 66 35 53 tgθ 0 1 33 4 0 66 tg θ ou θ 0 58 rd Generalização da transformação da forma cartesiana para a forma polar Dado o número complexo jB A Z temse 2 2 B A Z A tg 1 B θ 10 Exercício 66 Passar para a forma polar o número complexo 0 3 j Z Solução 3 0 32 Z 0 0 3 0 1 1 tg tg θ Exercício 67 Passar para a forma polar o número complexo 4 3 j Z Solução 5 16 9 4 3 2 2 Z 0 1 1 531 133 3 4 tg tg θ ou θ 0 93 rd Transformação da forma polar para a forma cartesiana Seja a representação na forma polar do número Z mostrada na fig 611 Vemos que a parte real tem o valor A e a parte imaginária possui o valor B B Z θ A B Fig 611 Notamos que Z cosθ A e Z senθ B Portanto A Z cosθ B Z senθ θ θ sen cos j Z Z jB A ou θ θ sen cos j Z jB A 65 11 Exercício 68 Dado um número complexo em que Z 30 e θ 450 determinar sua representação na forma A jB Solução A Z cosθ 21 2 0 707 30 30cos45 0 Z senθ B 21 2 0 707 30 30sen 45 0 21 2 21 2 j jB A Número neperiano O número neperiano é uma constante matemática altamente empregada em diversos ramos da ciência especialmente na engenharia elétrica e eletrônica Esta constante é representada universalmente pela letra e Seu valor é e 2 7183 O número neperiano nasceu a partir dos estudos do matemático escocês John Neper que viveu no século XVI Ele foi também o inventor dos logaritmos Fórmulas de Euler O matemático suíçoalemão Leonard Euler que viveu no século XVII demonstrou as seguintes fórmulas θ θ θ sen cos j e j θ θ θ sen cos j e j Exercício 69 Demonstrar que j e j 2 π Solução sen 2 2 cos 2 π π π j e j Mas 0 cos90 2 cos 0 π 12 e 1 sen90 2 sen 0 π Portanto j j e j 1 0 2 π Exercício 610 Demonstrar que j e j 2 π Solução sen 2 2 cos 2 π π π j e j Mas 0 cos90 2 cos 0 π e 1 sen90 2 sen 0 π Portanto j j e j 1 0 2 π Exercício 611 Demonstrar que e j0 1 Solução sen0 cos0 0 j e j Mas 1 cos0 e 0 sen0 Portanto e j0 1 Teorema Demonstrar que Se jB A Z então 13 θje Z Z onde 2 2 B A Z e A tg 1 B θ Seja o número complexo A jB representado na figura 12 θ jy jx Z A B B Fig 12 Pelo triângulo retângulo dessa figura podemos ver que A Z cosθ 66 B Z senθ jB j Z senθ 67 Somando membro a membro as igualdades 66 e 67 resulta θ θ θ θ θ je Z jsen Z j Z sen Z jB A cos cos Portanto je θ Z jB A 68 Pela figura 612 podemos ver que 2 2 B A Z e A tg 1 B θ Portanto podemos também escrever A e jtg B B A jB A 1 2 2 69 Com relação às igualdade 68 e 69 o lado esquerdo desta igualdade é a expressão de um número complexo na forma cartesiana O lado direito é a expressão matemática do mesmo número na forma polar Informação importante 14 As expressões 68 e 69 só tem validade matemática irrestrita caso a unidade do ângulo θ for dado em radiano Seja por exemplo o número complexo Z que possui Z 30 e θ 450 Como 4 rd 450 π expressase este número na forma abaixo 4 30 π je Z Conjugado de um número complexo Dado um número Z A jB o conjugado desse número é Z A jB Exemplo Se Z 3 j5 então é Z 3 j5 Conjugados na forma polar Se jB A Z temse jB A Z Neste caso A B e jtg B A Z 1 2 2 e A B B e jtg A Z 1 2 2 A B e jtg B A 1 2 2 Portanto os números complexos conjugados na forma polar possuem o mesmo modulo e ângulos com sinais contrários ou seja Se θje Z Z então Z e jθ Z Soma algébrica de números complexos Usamse as mesmas regras da soma algébrica de polinômios Considerase a parte real como se fosse um termo do polinômio e a parte imaginária como outro termo do polinômioDesta maneira a soma de dois números complexos é igual a outro número complexo onde a parte real resultante é a soma das partes reais e a parte imaginária também é a soma das partes imaginárias daqueles números D j B C A jD C jB A A mesma regra se aplica para diferenças entre números complexos 15 D j B C A jD C jB A Multiplicação de números complexos a Os números complexos estão expressos na forma cartesiana Usamse as mesmas regras da multiplicação de polinômios onde cada polinômio possui um termo real e outro imaginário Não se pode esquecer ao se realizar esta operação algébrica que 1 2 j Exercício 613 Multiplicar os números 2 j3 e 4 j5 Solução 3 5 3 4 5 2 4 2 5 3 4 2 2j j j j j 22 7 15 12 10 8 j j j b Os números complexos estão expressos na forma polar Neste caso a operação multiplicação se torna mais fácil Multiplicase os módulos e somamse os expoentes Sejam os números 1 1 1 θje Z Z 2 2 2 θje Z Z 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 θ θ θ θ j j j Z e Z Z e Z e Z Z Exercício 614 Multiplicar 6 30 π je por 6 5 π je Solução 3 6 1 6 1 6 6 6 6 150 150 5 30 5 30 π π π π π π j j j j j e e e e e Multiplicação de um número pelo seu conjugado Quando se multiplica um número complexo pelo seu conjugado resulta um número real cujo valor é igual ao quadrado do módulo do referido número complexo Demonstração 16 Seja jB A Z e jB A Z 2 2 2 2 2 B A j B jAB jAB A jB jB A A Z Z Portanto 2 2 2 Z B A Z Z Vamos repetir a demonstração utilizando a fórmula polar Seja θje Z Z e Z e jθ Z 2 2 0 2 1 Z Z Z e Z e Z e Z Z j j j θ θ Divisão de números complexos a Os números complexos estão expressos na forma cartesiana Seja a divisão jD C jB A Z Multiplicase o denominador e numerador pelo conjugado do denominador Desta maneira chegase ao resultado 2 2 D C AD j BC BD AC jD jD C C jD jB C A Z ou 2 2 2 2 D C AD j BC D C BD AC Z 610 Exercício 615 Dividir os números 2 j3 e 4 j5 Solução Aplicando a expressão 610 resulta 2 2 2 2 5 4 5 2 3 4 5 4 3 5 4 2 5 4 3 2 j j j Z 41 2 41 23 j ou 0 0488 0 561 j Z 17 b Os números complexos estão expressos na forma polar Neste caso também aqui a operação divisão se torna mais fácil Dividese os módulos e subtraise os expoentes Sejam os números 1 1 1 θje Z Z 2 2 2 θje Z Z 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 θ θ θ θ j j j Z e Z e Z Z e Z Z Exercício 616 Dividir 3 30 π je por 6 5 π je Solução 6 6 1 3 1 6 3 6 3 6 6 5 30 5 30 π π π π π π j j j j j e e e e e Propriedade distributiva Teorema A parte real do resultado de uma soma de números complexos é igual à soma das partes reais das parcelas Sejam os números complexos jB A X jD C Y Vemos que Re X A Re Y C C A Y X Re Re Somando X Y resulta D j B C A Y X C A Y X Re 18 ou Y X Y X Re Re Re Exercício 616 Determinar a parte real da soma dos seguintes números complexos 3j4 5j2 4j3 Solução A parte real da soma destes números é igual a 3 5 4 4 O teorema da parte real da soma de números complexos é válido naturalmente quando as parcelas estão na forma polar ou seja β α β α j j j j Y e X e Y e X e Re Re Re Exercício 617 Determinar a parte real da soma 3 4 15 10 π π j j e e Z Solução 7 07 0 707 10 10 cos 4 Re 10 4 π π je 7 50 0 50 15 15 cos 3 Re 15 3 π π je 1457 7 50 7 07 15 Re 10 Re 3 4 π π j j e e Z