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Química ·
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
· 2022/1
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Universidade Ferderal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Matemática Curso de Química Licenciatura Bacharelado Disciplina Vetores e Geometria Analítica DEMA0039 Segunda Lista de Exercícios 1 Encontre as equações na forma vetorial paramétrica e simé trica da reta que passa pelos pontos A 1 2 2 e B 2 3 3 2 Encontre as equações da reta que passa pelo ponto A 1 1 1 e é paralela ao vetor v 1 2 2 3 Quais são as equações paramétricas dos eixos coordenados Ox Oy e Oz 4 As equações dos eixos coordenados podem ser colocados na forma simétrica Justique 5 Encontre as equações paramétricas da reta r que passa pela origem e é paralela à reta s de equações paramétricas x 2 2λ y 1 λ e z 5 2λ 6 Sejam A 2 2 0 e B 1 1 3 Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto C 1 1 1 e é paralela à reta que passa por A e B 7 Os pontos X x y z que pertencem a uma reta r são determinadas pelas equações x 2 3 4 y 2 z 1 2 Determine a equação simétrica e as equações paramétricas da reta r Exiba um ponto que pertença à r e um vetor diretor para r 8 Quais são as equações gerais dos eixos coordenados Ox Oy e Oz 1 01 Equações vetorial paramétricas e geral do plano 9 Encontre a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que contém o ponto A 6 2 1 e é paralelo ao vetores u 1 1 1 e v 0 1 1 10 Determine a equação vetorial e as equações paramétricas do plano π nos seguintes casos a π passa pelo ponto A 1 0 0 e é paralelo aos vetores u 1 0 1 e v 0 2 3 b π passa pelo ponto A 1 2 0 e B 0 1 1 e é paralelo ao vetor u 1 3 0 c π que contém os pontos A 1 2 1 B 0 0 1 e C 0 1 1 11 Dado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal obtenha as equações paramétricas e uma equação geral para cada um dos planos coordenados 12 Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto A 1 1 1 e que é normal ao vetor u 1 2 3 13 Encontre um vetor ortogonal aos planos que são paralelos aos vetores u 1 1 1 e v 0 1 1 14 Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto A 1 1 1 e que é normal ao vetor u 1 2 3 15 Seja π um plano cuja equação geral é ax by cz d 0 Mostre que um vetor u m n p é paralelo ao π se e somemte se am bn cp 0 16 Verique se o vetor vecu é paralelo ao plano α com equação geral 4x 6y z 3 0 nos casos a u 1 2 3 b u 0 1 6 c u 3 2 0 d u 3 2 24 17 A equação geral do plano π que é paralelo ou contém o eixo coordenado Ox é da forma by cz d 0 Se a equação do plano π é da forma by cz d 0 então π é paralelo ou contém o eixo coordenado Ox 18 Seja π um plano cuja equação geral é axbyczd 0 Verique se o vetor u a b c é paralelo ao plano π 02 Interseção de duas retas 19 Verique se as retas r e s são concorrentes e se forem obtenha o ponto de interseção a r X 1 1 0 λ1 2 3 s X 2 3 3 µ3 2 1 2 b r x 2 4λ y 4 5λ z 11 s x 2 y 1 2 z c r x 2 3 y 2 4 z s x 4 y 2 z 3 2 20 Determine a equação vetorial da reta denida pelos pontos A 2 1 4 e B r s onde r é dada pelas equações simétricas r x 1 2 y 3 4 z 1 2 e s é dada pelas equações paramétricas x 2λ y 1 2λ z 2 λ λ R 03 Interseção de uma reta com um plano 21 Obtenha caso exista a interseção da reta com o plano π em cada um dos casos abaixo a A reta r tem equação vetorial X 1 1 0 λ1 1 1 e uma equação geral do plano π é x y z 1 0 b A reta r tem equação paramétricas x 2λ y λ z 13λ e o plano π tem equações paramétricas x 2β y 3 β z 1 α β 04 Interseção de dois planos 22 Determine a interseção dos planos π1 e π2 em cada um dos casos abaixo a π1 3x 4y 2z 4 0 e π2 15x 20y 10z 0 b π1 x y 1 3z e π2 6z 2y 2 2x c π1 2x y 3z 3 0 e π2 2x 2y 2z 1 0 05 Posição relativa de retas 23 Verique a posição relativa das seguintes retas a r X 1 1 2 λ3 0 2 λ R e s X 2 1 0 t2 2 0 t R b r X 2 1 3 λ3 1 2 λ R e s X 1 0 2 t6 2 4 t R c r X 2 1 2 λ1 2 3 λ R e s X 1 0 1 t0 1 4 t R 24 Verique a posição relativa da reta r que contém o ponto A 0 1 2 e é paralela ao vetor u 1 1 1 em relação à reta s x 3 2 y 4 2 z 1 4 25 Determine o valor do parâmtro m para o qual as retas r x m 2t y 1 t z 2 t t R e s x 6 y 2 z 3 sejam concorrentes em um ponto e determine esse ponto 26 Verique se as retas r X 1 2 1 t1 3 3 t R e s 2 x 2 1 y 6 z 6 são coplanares 3 06 Posição relativa de reta e plano 27 Escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto A 1 1 2 e é perpendicular ao plano que contém os pontos B 1 2 3 C 4 1 5 e D 2 1 0 28 Dados o plano π x by 2z 6 0 e a reta r x a t y 2 t z 1 2t t R Determine os valores de a e b reais para que a reta esteja contida no plano π 29 Escreva a equação geral do plano que contém o ponto A 2 4 1 é paralelo à reta de equação vetorial X 2 5 3 t1 3 1 t R e é perpendicular ao plano 3x y z 1 0 30 Estude a posição relativa entre a reta r x 1 3 2 z 2 e y 1 e o plano π 2x y 5z 1 0 Determine se existir o ponto de interseção entre ambos 07 Posição relativa entre planos 31 Determine a equação geral do plano que contém o ponto A 1 2 1 e é paralelo ao plano 2x y z 3 0 32 Verique qual é a posição relativa entre os planos π1 5x 2y z 1 0 e π2 2x 3y 2z 2 0 e ache a sua interseção se existir 08 Perpendicularismo e Paralelelismo 33 Determine a equação do plano que contém o ponto A 3 1 2 e é perpendicular à reta de equação vetorial X 1 1 1 λ4 1 5 λ R 34 Escreva na forma simétrica da equação da reta que contém o ponto A 1 2 3 e é perpendicular ao plano 3x y z 4 0 35 Ache uma equação vetorial do plano π1 que contém a reta r x λ y λ z λ2 λ R e é perpendicular ao plano π2 x 2y z 1 0 36 Verique se os planos π1 5x 3y 13z 1 0 e π2 3x 8y 3z 8 0 são perpendiculares 4 37 Verique se as retas r X 1 2 1 λ1 3 3 λ R e s 2 x 2 1 y 6 z 6 são paralelas 09 Medida Angular 38 Determine o ângulo formado pelas retas a r X 0 1 2 λ1 1 2 λ R e s X 3 4 4 µ2 2 4 µ R b r X 0 1 3 λ1 1 2 λ R e s X 1 2 0 µ1 1 0 µ R 39 Determine o ângulo formado pela reta e o plano a r X 0 1 3 λ1 1 0 λ R e π 2x y z 1 0 b r X 0 1 3 λ2 1 0 λ R e π x 2y 4z 1 0 40 Determine o ângulo formado pelos planos a π1 x y 1 0 e π2 y z 2 0 b π1 x y 5 0 e π2 2x y z 2 0 010 Distância entre dois pontos 41 Determine a distância entre os pontos A 1 1 1 e B 3 5 2 42 Mostre que o ponto A 2 3 3 é equidistantes dos pontos B 1 4 2 e C 3 7 5 isto é dA B dA C 011 Distância entre ponto e reta 43 Determine a distância entre o ponto A e a reta r nos seguintes casos a A 1 2 3 e r x 1 2t y 2t z 2 t t R b A 1 1 0 e r 2x y z 0 3x y 2z 1 0 012 Distância entre ponto e plano 44 Determine a distância do ponto ao plano nos seguintes casos a A 1 2 3 e π 3x 4y 5z 1 0 b A 0 0 0 e π x 2λ µ y λ µ z 1 2µ λ µ R 45 Determine a distância da origem O 0 0 0 ao plano que intercepta os eixos coordenados Ox Oy Oz nos pontos A 3 0 0 B 0 2 0 e C 0 0 5 5 46 Determine um ponto A dos eixo das abscissas que equidista do plano π 2x3y6z1 0 e a reta r X 4 3 0 t3 4 0 t R isto é dA π dA r 47 Seja o triângulo ABC de vértices A 3 1 4 B 4 1 0 e C 4 3 5 Calcule a medida da altura relativa ao lado BC 48 Calcule a distância entre o ponto P r s e o plano π 2x y z 1 0 onde r X 1 1 1 λ1 1 1 λ R s X 1 4 0 µ2 1 1 µ R 013 Distância entre duas retas 49 Cacule a distância entre as retas r x y z 2 e s y x 1 z x 3 50 Determine distância entre as retas reversas r x 1 t y t z 3 t R e s x 2 y z 51 Determine se existir a distância entre as retas r x 1 2 y z 2 3 e s X 1 2 1 t4 2 6 t R 52 Dadas as retas r x 1 z 3 2 y 1 e s x 2 y 1 z 4 determine a Se elas são coplanres ou reversas Justique b Se forem reversas calcule a sua distância 014 Distância entre planos 53 Calcule a distância entre os planos a π1 y 2z 1 0 e π2 3x 6z 8 0 b π1 x y z 1 0 e π2 X 0 0 7 λ2 1 1 µ0 1 1 λ µR 6
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Universidade Ferderal do Maranhão Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Departamento de Matemática Curso de Química Licenciatura Bacharelado Disciplina Vetores e Geometria Analítica DEMA0039 Segunda Lista de Exercícios 1 Encontre as equações na forma vetorial paramétrica e simé trica da reta que passa pelos pontos A 1 2 2 e B 2 3 3 2 Encontre as equações da reta que passa pelo ponto A 1 1 1 e é paralela ao vetor v 1 2 2 3 Quais são as equações paramétricas dos eixos coordenados Ox Oy e Oz 4 As equações dos eixos coordenados podem ser colocados na forma simétrica Justique 5 Encontre as equações paramétricas da reta r que passa pela origem e é paralela à reta s de equações paramétricas x 2 2λ y 1 λ e z 5 2λ 6 Sejam A 2 2 0 e B 1 1 3 Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto C 1 1 1 e é paralela à reta que passa por A e B 7 Os pontos X x y z que pertencem a uma reta r são determinadas pelas equações x 2 3 4 y 2 z 1 2 Determine a equação simétrica e as equações paramétricas da reta r Exiba um ponto que pertença à r e um vetor diretor para r 8 Quais são as equações gerais dos eixos coordenados Ox Oy e Oz 1 01 Equações vetorial paramétricas e geral do plano 9 Encontre a equação vetorial e as equações paramétricas do plano que contém o ponto A 6 2 1 e é paralelo ao vetores u 1 1 1 e v 0 1 1 10 Determine a equação vetorial e as equações paramétricas do plano π nos seguintes casos a π passa pelo ponto A 1 0 0 e é paralelo aos vetores u 1 0 1 e v 0 2 3 b π passa pelo ponto A 1 2 0 e B 0 1 1 e é paralelo ao vetor u 1 3 0 c π que contém os pontos A 1 2 1 B 0 0 1 e C 0 1 1 11 Dado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal obtenha as equações paramétricas e uma equação geral para cada um dos planos coordenados 12 Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto A 1 1 1 e que é normal ao vetor u 1 2 3 13 Encontre um vetor ortogonal aos planos que são paralelos aos vetores u 1 1 1 e v 0 1 1 14 Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto A 1 1 1 e que é normal ao vetor u 1 2 3 15 Seja π um plano cuja equação geral é ax by cz d 0 Mostre que um vetor u m n p é paralelo ao π se e somemte se am bn cp 0 16 Verique se o vetor vecu é paralelo ao plano α com equação geral 4x 6y z 3 0 nos casos a u 1 2 3 b u 0 1 6 c u 3 2 0 d u 3 2 24 17 A equação geral do plano π que é paralelo ou contém o eixo coordenado Ox é da forma by cz d 0 Se a equação do plano π é da forma by cz d 0 então π é paralelo ou contém o eixo coordenado Ox 18 Seja π um plano cuja equação geral é axbyczd 0 Verique se o vetor u a b c é paralelo ao plano π 02 Interseção de duas retas 19 Verique se as retas r e s são concorrentes e se forem obtenha o ponto de interseção a r X 1 1 0 λ1 2 3 s X 2 3 3 µ3 2 1 2 b r x 2 4λ y 4 5λ z 11 s x 2 y 1 2 z c r x 2 3 y 2 4 z s x 4 y 2 z 3 2 20 Determine a equação vetorial da reta denida pelos pontos A 2 1 4 e B r s onde r é dada pelas equações simétricas r x 1 2 y 3 4 z 1 2 e s é dada pelas equações paramétricas x 2λ y 1 2λ z 2 λ λ R 03 Interseção de uma reta com um plano 21 Obtenha caso exista a interseção da reta com o plano π em cada um dos casos abaixo a A reta r tem equação vetorial X 1 1 0 λ1 1 1 e uma equação geral do plano π é x y z 1 0 b A reta r tem equação paramétricas x 2λ y λ z 13λ e o plano π tem equações paramétricas x 2β y 3 β z 1 α β 04 Interseção de dois planos 22 Determine a interseção dos planos π1 e π2 em cada um dos casos abaixo a π1 3x 4y 2z 4 0 e π2 15x 20y 10z 0 b π1 x y 1 3z e π2 6z 2y 2 2x c π1 2x y 3z 3 0 e π2 2x 2y 2z 1 0 05 Posição relativa de retas 23 Verique a posição relativa das seguintes retas a r X 1 1 2 λ3 0 2 λ R e s X 2 1 0 t2 2 0 t R b r X 2 1 3 λ3 1 2 λ R e s X 1 0 2 t6 2 4 t R c r X 2 1 2 λ1 2 3 λ R e s X 1 0 1 t0 1 4 t R 24 Verique a posição relativa da reta r que contém o ponto A 0 1 2 e é paralela ao vetor u 1 1 1 em relação à reta s x 3 2 y 4 2 z 1 4 25 Determine o valor do parâmtro m para o qual as retas r x m 2t y 1 t z 2 t t R e s x 6 y 2 z 3 sejam concorrentes em um ponto e determine esse ponto 26 Verique se as retas r X 1 2 1 t1 3 3 t R e s 2 x 2 1 y 6 z 6 são coplanares 3 06 Posição relativa de reta e plano 27 Escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto A 1 1 2 e é perpendicular ao plano que contém os pontos B 1 2 3 C 4 1 5 e D 2 1 0 28 Dados o plano π x by 2z 6 0 e a reta r x a t y 2 t z 1 2t t R Determine os valores de a e b reais para que a reta esteja contida no plano π 29 Escreva a equação geral do plano que contém o ponto A 2 4 1 é paralelo à reta de equação vetorial X 2 5 3 t1 3 1 t R e é perpendicular ao plano 3x y z 1 0 30 Estude a posição relativa entre a reta r x 1 3 2 z 2 e y 1 e o plano π 2x y 5z 1 0 Determine se existir o ponto de interseção entre ambos 07 Posição relativa entre planos 31 Determine a equação geral do plano que contém o ponto A 1 2 1 e é paralelo ao plano 2x y z 3 0 32 Verique qual é a posição relativa entre os planos π1 5x 2y z 1 0 e π2 2x 3y 2z 2 0 e ache a sua interseção se existir 08 Perpendicularismo e Paralelelismo 33 Determine a equação do plano que contém o ponto A 3 1 2 e é perpendicular à reta de equação vetorial X 1 1 1 λ4 1 5 λ R 34 Escreva na forma simétrica da equação da reta que contém o ponto A 1 2 3 e é perpendicular ao plano 3x y z 4 0 35 Ache uma equação vetorial do plano π1 que contém a reta r x λ y λ z λ2 λ R e é perpendicular ao plano π2 x 2y z 1 0 36 Verique se os planos π1 5x 3y 13z 1 0 e π2 3x 8y 3z 8 0 são perpendiculares 4 37 Verique se as retas r X 1 2 1 λ1 3 3 λ R e s 2 x 2 1 y 6 z 6 são paralelas 09 Medida Angular 38 Determine o ângulo formado pelas retas a r X 0 1 2 λ1 1 2 λ R e s X 3 4 4 µ2 2 4 µ R b r X 0 1 3 λ1 1 2 λ R e s X 1 2 0 µ1 1 0 µ R 39 Determine o ângulo formado pela reta e o plano a r X 0 1 3 λ1 1 0 λ R e π 2x y z 1 0 b r X 0 1 3 λ2 1 0 λ R e π x 2y 4z 1 0 40 Determine o ângulo formado pelos planos a π1 x y 1 0 e π2 y z 2 0 b π1 x y 5 0 e π2 2x y z 2 0 010 Distância entre dois pontos 41 Determine a distância entre os pontos A 1 1 1 e B 3 5 2 42 Mostre que o ponto A 2 3 3 é equidistantes dos pontos B 1 4 2 e C 3 7 5 isto é dA B dA C 011 Distância entre ponto e reta 43 Determine a distância entre o ponto A e a reta r nos seguintes casos a A 1 2 3 e r x 1 2t y 2t z 2 t t R b A 1 1 0 e r 2x y z 0 3x y 2z 1 0 012 Distância entre ponto e plano 44 Determine a distância do ponto ao plano nos seguintes casos a A 1 2 3 e π 3x 4y 5z 1 0 b A 0 0 0 e π x 2λ µ y λ µ z 1 2µ λ µ R 45 Determine a distância da origem O 0 0 0 ao plano que intercepta os eixos coordenados Ox Oy Oz nos pontos A 3 0 0 B 0 2 0 e C 0 0 5 5 46 Determine um ponto A dos eixo das abscissas que equidista do plano π 2x3y6z1 0 e a reta r X 4 3 0 t3 4 0 t R isto é dA π dA r 47 Seja o triângulo ABC de vértices A 3 1 4 B 4 1 0 e C 4 3 5 Calcule a medida da altura relativa ao lado BC 48 Calcule a distância entre o ponto P r s e o plano π 2x y z 1 0 onde r X 1 1 1 λ1 1 1 λ R s X 1 4 0 µ2 1 1 µ R 013 Distância entre duas retas 49 Cacule a distância entre as retas r x y z 2 e s y x 1 z x 3 50 Determine distância entre as retas reversas r x 1 t y t z 3 t R e s x 2 y z 51 Determine se existir a distância entre as retas r x 1 2 y z 2 3 e s X 1 2 1 t4 2 6 t R 52 Dadas as retas r x 1 z 3 2 y 1 e s x 2 y 1 z 4 determine a Se elas são coplanres ou reversas Justique b Se forem reversas calcule a sua distância 014 Distância entre planos 53 Calcule a distância entre os planos a π1 y 2z 1 0 e π2 3x 6z 8 0 b π1 x y z 1 0 e π2 X 0 0 7 λ2 1 1 µ0 1 1 λ µR 6