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Engenharia Mecânica ·
Métodos Matemáticos
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Disciplina Métodos Matemáticos I Professora Josecley Fialho Góes Data 10 de fevereiro de 2024 Lista de transformada de Laplace aplicações Questão 1 Vigas A deflexão estática yx de uma viga uniforme de comprimento L suportando uma carga wx por unidade de comprimento é determinada a partir dde uma equação diferencial de quarta ordem linear EI d4ydx4 wx onde E é o módulo de elasticidade de Young e I é o momento de inércia de uma seção transversal da viga Nesse casoé um problema de Valor de contorno PVC e não um problema de Valor inicial PVI Assim determine a deflexão da viga quando a carga é dada por wx w0 1 2L x se 0 x L2 0 se L2 x L onde w0 é uma constante Como a viga está fixada em ambas as extremidades as condições de contorno são y0 y0 0 e yL yL 0 Questão 2 Vigas Uma viga tem suas extremidades rotuladas em x 0 e x l Se uma carga concentrada P0 age verticalmente para baixo em x l2 mostre que a deflexão é yx P0 x 48EI 3 l2 4 x2 0 x l2 A deflexão para l2 x l é obtida por simetria ou substituindo x por l x Questão 3 Circuitos Elétricos Lembrando que a equação diferencial para a carga instantânea qt no capacitor em um circuito RLC série é L d2qdt2 R dqdt 1C q Et Utilize a Transformada de Laplace para obter qt quando L 1h R 20Ω C 0005 f Et 150V t 0 q0 0 i0 0 Qual é a corrente it Questão 4 Circuitos Elétricos Um indutor de 3 henrys está em série com um resistor de 30 ohms Suponha que em t 0 a corrente é zero Encontre a corrente num tempo qualquer t 0 a E 150 volts b E 150 sen20t Questão 5 Circuitos Elétricos Dada a equação L didt Rit 1C 0t iτdτ Et Utilize a Transformada de Laplace para obter it quando L 0005 h R 3Ω C 005 f Et 100ut 1 ut 2 t 0 q0 0 i0 0 Qual é a carga no capacitor qt Questao 6 Mecˆanica Uma partıcula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 num tempo qualquer t seja dado por xt 4xt 5xt 80sen5t x0 x0 0 Se em t 0 a partıcula esta em repouso em x 0 encontre seu afastamento num tempo qualquer t 0 Questao 7 Mecˆanica Uma partıcula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 num tempo qualquer t seja dado por xt 4xt 5xt 125t2 x0 x0 0 Se em t 0 a partıcula esta em repouso em x 0 encontre seu afastamento num tempo qualquer t 0 Questao 8 Funcao unitario Resolva o problema dado y 4y 3y 1 ut 2 ut 4 ut 6 y0 0 y0 0 Questao 9 Funcao Delta de Dirac Resolva o problema dado y 7y 6y et δt 2 δt 4 y0 0 y0 0 Questao 10 Sistema de funcoes Utilize a transformada de laplace para resolver o sistema de equacao diferencial indicado a x x y y 2x x0 0 y0 1 b x y t2 x y 4t x0 8 x0 0 y0 0 y0 0 2
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Disciplina Métodos Matemáticos I Professora Josecley Fialho Góes Data 10 de fevereiro de 2024 Lista de transformada de Laplace aplicações Questão 1 Vigas A deflexão estática yx de uma viga uniforme de comprimento L suportando uma carga wx por unidade de comprimento é determinada a partir dde uma equação diferencial de quarta ordem linear EI d4ydx4 wx onde E é o módulo de elasticidade de Young e I é o momento de inércia de uma seção transversal da viga Nesse casoé um problema de Valor de contorno PVC e não um problema de Valor inicial PVI Assim determine a deflexão da viga quando a carga é dada por wx w0 1 2L x se 0 x L2 0 se L2 x L onde w0 é uma constante Como a viga está fixada em ambas as extremidades as condições de contorno são y0 y0 0 e yL yL 0 Questão 2 Vigas Uma viga tem suas extremidades rotuladas em x 0 e x l Se uma carga concentrada P0 age verticalmente para baixo em x l2 mostre que a deflexão é yx P0 x 48EI 3 l2 4 x2 0 x l2 A deflexão para l2 x l é obtida por simetria ou substituindo x por l x Questão 3 Circuitos Elétricos Lembrando que a equação diferencial para a carga instantânea qt no capacitor em um circuito RLC série é L d2qdt2 R dqdt 1C q Et Utilize a Transformada de Laplace para obter qt quando L 1h R 20Ω C 0005 f Et 150V t 0 q0 0 i0 0 Qual é a corrente it Questão 4 Circuitos Elétricos Um indutor de 3 henrys está em série com um resistor de 30 ohms Suponha que em t 0 a corrente é zero Encontre a corrente num tempo qualquer t 0 a E 150 volts b E 150 sen20t Questão 5 Circuitos Elétricos Dada a equação L didt Rit 1C 0t iτdτ Et Utilize a Transformada de Laplace para obter it quando L 0005 h R 3Ω C 005 f Et 100ut 1 ut 2 t 0 q0 0 i0 0 Qual é a carga no capacitor qt Questao 6 Mecˆanica Uma partıcula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 num tempo qualquer t seja dado por xt 4xt 5xt 80sen5t x0 x0 0 Se em t 0 a partıcula esta em repouso em x 0 encontre seu afastamento num tempo qualquer t 0 Questao 7 Mecˆanica Uma partıcula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 num tempo qualquer t seja dado por xt 4xt 5xt 125t2 x0 x0 0 Se em t 0 a partıcula esta em repouso em x 0 encontre seu afastamento num tempo qualquer t 0 Questao 8 Funcao unitario Resolva o problema dado y 4y 3y 1 ut 2 ut 4 ut 6 y0 0 y0 0 Questao 9 Funcao Delta de Dirac Resolva o problema dado y 7y 6y et δt 2 δt 4 y0 0 y0 0 Questao 10 Sistema de funcoes Utilize a transformada de laplace para resolver o sistema de equacao diferencial indicado a x x y y 2x x0 0 y0 1 b x y t2 x y 4t x0 8 x0 0 y0 0 y0 0 2