Estudo sobre Gravimetria e suas Relações Geológicas

14122018 1 BIBLIOGRAFIA Gouvêa L J e Silva C L M 1995 Geofísica de prospecção Vol 1 Editora Cejup Ltda Belém PABrasil 312 pp Silva B C J 1986 Métodos potenciais Gravimetria CPRM Blakely R J 1996 Potential Theory in Gravity Magnetic Applications Cambridge University Press UK 441 pp 1 Introdução 11 O que é a gravimetria 12 Lei de Newton da atração gravitacional 121 Aceleração da gravidade 122 Constante gravitacional 13 Campo gravitacional terrestre 131 Fatores que afetam a aceleração da gravidade 132 Unidades do campo gravitacional terrestre 14 Campo da gravidade e geologia 141 Relação da aceleração da gravidade com a geologia 142 Densidade e contraste de densidade 143 Densidade de alguns materiais terrestres 144 Campo gravimétrico de um modelo simples Método Gravimétrico 1 2 14122018 2 1 INTRODUÇÃO O que é a forca gravitacional A força gravitacional é a mais fraca das interações básicas que ocorrem entre as partículas elementares No diaadia é difícil observar a força gravitacional entre os corpos embora possam ter massas de milhares de kilogramas A gravidade tem grande importância ao se considerar as interações que envolve corpos muito grandes como a lua os planetas as estrelas Num certo sentido podese dizer que a gravidade é que nos mantém na Terra e que mantém a Terra e os outros planetas no sistema solar A força da gravidade foi descoberta por Galileu Galilei em 1590 e quantificado por Sir Isaac Newton em 1687 através da lei da gravitação universal que pode ser enunciada da seguinte forma Toda partícula material no Universo atrai outras com uma força diretamente proporcional ao produto das massas das partículas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas A força da gravidade de um corpo como a Terra atrai todos os outros corpos que estiverem na sua vizinhança Essa força fica cada vez menos intensa quanto mais distante estiver o corpo que vai ser atraído 1 INTRODUÇÃO As primeiras medidas da aceleração da gravidade datam de 1653 quando Huygens descobriu que o valor absoluto da gravidade poderia ser determinado observandose a oscilação de um pêndulo Gravimetria é a área da Geofísica que estuda as variações do campo gravitacional ponto a ponto sobre a superfície terrestre A aplicação do Método Gravimétrico ao estudo da subsuperfície terrestre baseiase em que diferentes distribuições de densidade em subsuperfície causam distorções do campo gravitacional normal que envolve a Terra 11 O que é Gravimetria As distorções dos valores anomalias são então interpretadas como resultado das variações na densidade dos materiais da subsuperfície Na prospecção geofísica a gravimetria é aplicada para o mapeamento geológico localização de depósitos de minérios estruturas armazenadoras de petróleo etc Na geofísica o método gravimétrico consiste em obter medições da aceleração da gravidade em uma serie de pontos sobre a superfície A prospecção geofísica com a gravimetria inicio com Eotvos em 1902 na Hungria utilizando um instrumento desenvolvido por ele para medir as componentes horizontais do gradiente da aceleração da gravidade balança de torção 3 4 14122018 3 2 1 2 r G m m F em que F é a força gravitacional sobre qualquer das duas partículas m1 e m2 são suas massas r é distância entre elas e G é a constante gravitacional cujo valor numérico depende das unidades com que a força a massa e a distância são expressas A lei da gravitação de Newton referese à força entre duas partículas Porem se a Terra fosse uma esfera homogênea com massa M a força por ela exercida sobre um pequeno corpo de massa m a uma distância r do seu centro seria dada por A lei da gravitação universal de Newton estabelece que a força de atração mutua entre duas partículas é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia que as separa isto é 2r F G Mm Uma força de igual intensidade seria exercida pelo corpo sobre a Terra 12 Lei de Newton da atração gravitacional 1 INTRODUÇÃO 121 Aceleração da gravidade A aceleração produzida pela força da gravidade é chamada aceleração devido à gravidade e é denotada por a Quando se faz a medida da gravidade terrestre normalmente não é medida a força gravitacional medise a aceleração gravitacional A aceleração da gravidade é a taxa de mudança da velocidade de um corpo com relação ao tempo sob a influencia da força da gravidade Um valor representativo da aceleração devido à gravidade é 98 ms2 2r G Mm ma F 2r a G M Então combinado a segunda lei de Newton do movimento F ma com a lei da gravitação de Newton é obtida a expressão da aceleração da gravidade Note que esta aceleração é independente da massa do próprio corpo Quando um corpo de massa m que cai livremente é atraído pela Terra de massa M com uma força F dado pela Lei de Newton da gravitação universal esta força é conhecida como forca da gravidade 1 INTRODUÇÃO 5 6 14122018 4 122 Constante gravitacional O valor numérico da constante gravitacional obtido com um instrumento desse tipo é G 6670 x 108 dina cm2 g2 ou G 6670 x 1011 N m2 kg2 O valor numérico da constante gravitacional G pode ser determinado experimentalmente medindose a força de atração gravitacional entre dois corpos com massas conhecidas separados por uma distância também conhecida A balança de torção de Cavendish é um instrumento desenvolvido por Henry Cavendish em 1798 para medir a constante gravitacional Quando duas esferas grandes de massa M são levadas às posições indicadas na Figura as forças de atração gravitacional entre as esferas grandes e as pequenas torcem o sistema em um ângulo movendo o feixe luminoso ao longo da escala 1 INTRODUÇÃO 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Força da gravidade É resultante de todas as forças incluindo a força gravitacional atuando em uma massa pontual Aceleração da gravidade É produzida pela força da gravidade é chamada aceleração devida à gravidade Força gravitacional É prevista pela lei de Newton e se refere à atração entre duas partículas ou massas pontuais 131 Fatores que afetam a aceleração da gravidade Aceleração da gravidade considerando a Terra esférica e homogênea Considerando a Terra esférica e homogênea a massa da Terra pode ser tomada como se estivesse concentrada no seu centro R m M Massa da Terra 60x1027 g ou 60x1024 kg Raio médio da Terra 6370x108 cm ou 6370 km R2 a G M R M Massa da terra Distância entre o centro da massa m e o centro da Terra 11 Então os corpos colocados na proximidade da superfície da Terra são atraídos com uma aceleração dada por 7 8 14122018 5 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Variação da aceleração da gravidade com a altitude e profundidade Considerando a Terra esférica com raio R e homogênea com massa M e um corpo a uma altura h acima da superfície isto é a uma distancia Rh do centro da Terra a aceleração da gravidade pode ser expressa como Sendo hR a equação 13 pode reescrita usando expansão binomial como 2 h R M G a h 12 Dividindo a equação acima pela aceleração da gravidade na superfície eq 11 obtémse 2 2 h R R a a h 13 Portanto o valor da gravidade diminui a medida que o corpo se afasta da superfície da Terra R h a R h a a h 2 1 1 2 14 R h 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Variação da aceleração da gravidade com a altitude e profundidade Considerando um corpo a uma profundidade h abaixo da superfície o corpo será atraído pela massa da Terra fechada dentro de uma esfera com raio Rh 2 3 2 3 4 h R h R G h R M G a h 15 Reescrevendo a aceleração da gravidade na superfície eq 11 como Dividindo a eq 15 pela eq 16 obtémse Logo o valor da gravidade diminui a medida que se aproxima ao centro da Terra R h 3 4 a G R 16 R h a a h 1 17 Se denotarmos a massa dessa porção por M e a densidade da Terra por então a aceleração da gravidade nessa profundidade ah é dada por 9 10 14122018 6 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Variação da aceleração da gravidade devido à forma da Terra Como a Terra não é perfeitamente esférica o seu raio polar é menor do que o raio equatorial a força e a aceleração exercidas sobre o corpo variam ao longo da superfície Tanto a força de atração como a aceleração são quantidades vetoriais que definem campos Por exemplo nas proximidades da Terra esses campos são caracterizados por vetores orientados para o seu centro A força e aceleração da gravidade exercidas sobre um corpo variam ao longo da superfície da Terra Ambas crescem a partir do equador em direção aos pólos A variação da aceleração gravitacional causada pela variação do raio da Terra é cerca de 16 cms2 a F Re raio da Terra no equador Rp raio da Terra nos pólos ae aceleração da gravidade no equador ap aceleração da gravidade nos pólos Re Rp ae ap e R m M Rp R 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Variação da aceleração da gravidade devido à distribuição de densidade não homogeneidade da Terra Corpos de grandes dimensões com distribuição continua de massa podem ser divididas em pequenos elementos de dimensões infinitesimais e somar os efeitos de cada um desses elementos Para esta representação da aceleração da gravidade o origem do referencial é o centro da Terra 1r l referencia do origem 2r 2 1 r r observação de ponto fonte dM em que a distancia é e o elemento de massa sendo o elemento de volume da distribuição de densidade 2 1 r r r r ρ r dv dM ρ r dv v r r dM G a 2 2 1 18 Então a representação mais precisa da aceleração da gravidade eq 11 mas levando em conta à falta de homogeneidade na distribuição de densidade no interior da Terra pode ser reescrita como 11 12 14122018 7 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Essa força depende do raio de rotação l e da velocidade angular de rotação portanto a aceleração centrifuga associada à força centrifuga é definida por ac 0 Pólos ac 34 cms2 Equador T l Velocidade angular de rotação Raio de rotação Período de rotação T 2 Portanto um corpo localizado na superfície da Terra fica então sujeito às acelerações de atração e centrífuga l ac 2 19 l eixo de rotação m l ac 2 Variação da aceleração da gravidade devido à rotação da Terra Devido ao seu movimento de rotação e ao referencial de observação a Terra está sujeita a uma força centrifuga 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Variação da aceleração da gravidade devido à rotação da Terra A aceleração de atração é orientada para o centro da Terra enquanto que a aceleração centrífuga tem uma componente que se orienta em sentido contrário sendo a latitude em que se encontra o corpo Re Equador Rp Pólos gp 983 cms2 Pólos ac Equador ac Pólos ge 978 cms2 Equador A direção de g coincide aproximadamente com a direção do raio terrestre e define o que é conhecido como direção vertical do fio de prumo O vetor gravidade define o campo gravitacional terrestre g l eixo de rotação c cos a a g c a Devido à intensidade da aceleração de atração ser muito maior do que a centrífuga o corpo sobre a superfície da Terra é atraído para o centro da Terra A intensidade da aceleração resultante g denominada de gravidade terrestre é calculada por cos 2 2 l r dM G g V ca cos a g ou 110 13 14 14122018 8 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE Variação da aceleração da gravidade devido à atração da Lua e Sol A gravidade sofre pequenas variações temporais em magnitude e em direção geradas pela ação combinada da Lua e do Sol Variação máxima causada pelo Sol 000008 cms2 Variação máxima causada pela Lua 0000016 cms2 Estes efeitos podem ser diretos e provêm da atração que cada um destes corpos exerce ou indiretos e têm por origem a deformação elástica induzida na Terra À conjugação destes efeitos denominase maré terrestre por semelhança com o fenômeno similar das marés oceânicas Na Figura mostrase o achatamento da Terra causada pela atração combinada da Lua e do Sol e pela rotação da Terra dando assim origem às marés oceânicas e marés elásticas da crosta terrestre 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE 15 16 14122018 9 13 CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE 132 Unidades do campo gravitacional No sistema cgs o campo gravitacional pode ser expresso em cms2 que é também denominada de Gal em homenagem a Galileu O campo gravitacional terrestre é da ordem de 980 cms2 ou 980 ms2 ou também Como unidade apropriada para trabalhos geofísicos de exploração é usado o submúltiplo miliGal ou mGal 2 1 1 cms Gal 2 3 3 10 10 1 cms Gal mGal Os valores de gravidade relacionadas aos corpos mineralizados e as estruturas acumuladoras de petróleo e gás são muito pequenos da ordem de 5 mGal e 10 mGal respectivamente Em estudos em que as variações do campo gravitacional são muito pequenas normalmente é utilizado a unidade gu gravity unit mGal g u 1 10 9800000 0 980000 0 980 0 89 2 g u mGal Gal m s O campo gravitacional g tem unidade da aceleração e no sistema internacional SI tem unidade de ms2 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA 141 Relação da aceleração da gravidade com a geologia A densidade do corpo de minério d2 deve ser maior que a densidade da rocha que a envolve d1 A densidade do material pode ser pensada como sendo um valor numérico que quantifica o número de massas pontuais necessárias para representar o material por unidade de volume do material Considerandose que todas as massas pontuais têm a mesma massa então para representar um corpo de minério de alta densidade precisase maior número de massas pontuais por unidade de volume de que para representar um material com menor densidade Considerase um exemplo geológico simples de um corpo de minério que se encontra abaixo da superfície do terreno A densidade é definida como massa por unidade de volume e as unidades comumente utilizadas para descrever a densidade das substancias são gramas por centímetro cúbico gmcm3 17 18 14122018 10 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA A aceleração da gravidade experimentada por uma bola quando é soltada de uma certa altura pode ser estimada medindo a taxa de mudança com o tempo da velocidade da bola quando cai O magnitude da aceleração que a bola sofre será proporcional ao número de massas pontuais próximas entre si e que estão diretamente abaixo dela A magnitude da aceleração gravitacional varia com o quadrado da distância entre a bola e a massa pontual Então quanto maior o número de massas pontuais próximas entre si estejam localizadas diretamente abaixo da bola maior será a aceleração da bola em queda livre Estimativa da aceleração da gravidade por meio da queda livre de um corpo 141 Relação da aceleração da gravidade com a geologia 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA Deixando cair a bola de varias posições diferentes observase diferenças na magnitude da aceleração da gravidade experimentada pela bola 141 Relação da aceleração da gravidade com a geologia Variações da aceleração gravitacional experimentada por uma bola quando é soltada em diferentes posições sobre o corpo mineralizado Esta diferença na aceleração acontece porque o número de massas pontuais abaixo da bola varia com a posição no qual a bola é soltada em outras palavras é causada por variações da geologia em subsuperfície Um gráfico da aceleração da gravidade em função da posição é geralmente chamado de perfil de gravidade Estes experimentos simples mostram as bases físicas nos quais os estudos de gravidade se baseiam Em geofísica é comum o uso da expressão campo da gravidade como um sinônimo para aceleração da gravidade 19 20 14122018 11 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA 142 Densidade e contraste de densidade Ao contrário do que poderia se pensar a forma da curva que descreve a variação da aceleração da gravidade não é dependente das densidades absolutas das rochas As variações da gravidade dependem somente da diferença de densidade normalmente chamado contraste de densidade entre o corpo de minério e rocha encaixante Isto significa que a variação espacial da aceleração da gravidade gerada no exemplo anterior seria exatamente igual se fosse considerado densidades diferentes para o corpo de minério e rocha encaixante contanto que o contraste de densidade d2 d1 entre o corpo de minério e rocha encaixante seja constante Um exemplo de um modelo que satisfaz esta condição é deixar a densidade da rocha encaixante ser zero e a densidade do corpo de minério seja d2 d1 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA 142 Densidade e contraste de densidade A única diferença nas acelerações da gravidade produzidas pelas duas estruturas mostradas anteriormente é um deslocamento das curvas de gravidade derivadas dos dois modelos A grandes distâncias do corpo de minério a aceleração da gravidade se aproxima de zero no segundo modelo no lugar de um valor de aceleração constante como ocorre no modelo original Assim o modelo que utiliza somente o contraste de densidade do corpo de minério com relação a rocha encaixante contém toda a informação que é possível se obter para determinar a localização e forma do corpo de minério São importantes para a deter minação da posição e forma do corpo de minério a magnitude da diferença na aceleração da gravidade perto e longe do corpo de minério e a forma da variação da aceleração gravitacional com a posição 21 22 14122018 12 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA 143 Variação de densidade de alguns materiais terrestres Pelo visto até agora parece bastante simples estimar a variação de densidade da Terra devido a mudanças locais na geologia porém há várias complicações importantes Uma das complicações esta relacionada com os contrastes de densidade medidos para vários materiais de Terra Densidades de alguns materiais Material Densidade gmcm3 Ar 0 Água 1 Sedimentos 17 23 Arenito 20 26 Folhelho 20 27 Calcareo 25 28 Granito 25 38 Basalto 27 31 Rochas Metamórficas 26 30 A variação relativa na densidade das rochas é bastante pequena 08 gmcm3 Há considerável sobreposição nas densidades medidas Portanto as variações da aceleração da gravidade observada com a posição causada por estruturas geológicas serão bastante pequenas e assim difíceis de serem detectadas Apenas o conhecimento da densidade não é suficiente para determinar tipo de rocha 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA 144 Variação da aceleração da gravidade em um modelo simples Considerase um modelo simples em que a única variação de densidade na subsuperfície é devida à presença de um pequeno corpo de minério Neste exemplo o corpo de minério tem forma esférica com um raio de 10 m localizado a uma profundidade de 25 m abaixo da superfície e com um contraste de densidade com relação à rocha encaixante de 05 gcm3 Com relação aos valores densidades das rochas mostrada antes notase que o contraste de densidade escolhido é bastante grande 23 24 14122018 13 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA 144 Variação da aceleração da gravidade em um modelo simples A anomalia de gravidade produzida por uma esfera é simétrica com relação ao centro da esfera Comparando a aceleração gravitacional produzida pela Terra como um todo 980000 mgals com a amplitude da anomalia produzida pelo corpo de minério representa uma mudança muito pequena no campo gravitacional Terrestre de apenas 1 parte em 40 milhões Observações importantes na aceleração da gravidade calculada O valor de máximo da anomalia é bastante pequeno neste exemplo 0025 mgals A magnitude da anomalia da gravidade é zero a pequenas distâncias na horizontal com relação ao centro da esfera 60 metros 14 CAMPO GRAVITACIONAL E GEOLOGIA Trabalho prático No 1 A componente vertical do campo gravitacional em um ponto localizado no eixo x linha z0 devido uma esfera homogênea de raio r e densidade cujo centro está localizado em uma profundidade z abaixo da superfície terrestre é dada por 3 2 2 2 3 3 4 z x z r gz x sendo a constante gravitacional Fazer um programa em Fortran ou MATLAB para calcular o campo gravitacional para pontos uniformemente distribuídos sobre a linha de medição eixo x Fazer um gráfico perfil que mostre o valor do campo calculado expresso em mGal 25 26 14122018 14 2 Potencial gravitacional 21 Definições 22 Tipos de potencial 221 Potencial Newtoniano 222 Potencial Logarítmico 23 Equações do campo gravimétrico Método Gravimétrico m2 m1 r r 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL A Lei de Newton da gravitação expressa em forma vetorial é A aceleração de m2 devido à presença de m1 pode ser encontrada dividindose F por m2 A aceleração é a mesma para qualquer massa m2 uma vez que distância r seja a mesma a As expressões acima aplicamse a pontos materiais ou seja às situações nas quais as dimensões e forma dos corpos possam ser desprezadas como acontece quando r é muito maior do que as dimensões dos corpos considerados 2 1 r r m m Constante gravitacional Massas pontuais Distância entre m1 e m2 Vetor unitário apontando de m1 para m2 r r m m F 2 1 2 1 r r m m F a 2 1 2 2 O sinal negativo surge devido a força ser sempre de atração e na convenção adotada a direção do vetor unitário é da fonte para o ponto de observação r m2 m1 a 27 28 14122018 15 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont O campo gravitacional é um campo conservativo Em um campo conservativo o trabalho necessário para mover uma massa dentro do campo independe do caminho percorrido importam somente os pontos inicial e final g No caso da Terra podese considerar que ela gera no espaço que a rodeia um campo gravitacional dado por O campo vetorial é uma função do espaço e tempo caracterizado por três componentes em direções ortogonais Exemplo o fluxo de calor a velocidade do fluido r r M g 2 3 Campo 21 DEFINIÇÕES Um campo é a atribuição de uma quantidade mensurável em todo ponto do espaço Os campos podem ser funções tanto escalares como vetoriais O campo escalar é uma função simples do espaço e tempo Exemplos A densidade dentro de um volume de rocha a temperatura de um volume de gás 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont É uma região do espaço onde a força individual pode ser experimentada por uma partícula susceptível à força Exemplo gravitacional magnética elétrica Campo de força Linhas de força Partícula de massa m que parte do ponto Po no tempo t0 e se movimenta através de uma trajetória arbitraria até o ponto P chegando no instante t A energia cinética gasta pelo campo de força para deslocar uma partícula do ponto P0 ao ponto P é definida como o trabalho realizado pelo campo de força Linhas de força Campo de força São linhas imaginárias ao longo da qual se manifesta a ação de um campo A linha de força define a direção do campo de força em um ponto 29 30 14122018 16 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont O potencial em um ponto P em um campo de força é a quantidade de trabalho realizado pelo campo em movimentar uma partícula unitária ex carga unitária massa unitária a partir do infinito onde o potencial é definido como zero ao ponto P Potencial Infinito Linhas de força O potencial no ponto P UP é o trabalho realizado em mover uma massa unitária do infinito até o ponto P através de A e B Em um campo conservativo o potencial em P UP é o trabalho realizado em mover uma massa unitária do infinito até o ponto P através de qualquer trajetória 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont Equipotenciais são linhas ou superfícies sobre as quais o potencial em todos os pontos são iguais Equipotencial Superfícies equipotenciais para duas massas pontuais m1 e m23m1 Superfícies equipotenciais para um simples ponto de massa m Linhas de força 31 32 14122018 17 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont O campo gravitacional também pode ser representado pelo gradiente de uma função potencial escalar como U r g r z y x z y x e e e 4 A função potencial escalar U é denominada potencial gravitacional sendo o gradiente A B C U1 U2 U3 Linhas de força Em um campo potencial conservativo o trabalho realizado em uma trajetória fechada é igual a zero Exemplo a trajetória ABCA O trabalho realizado de A até C ao longo de U1 é também igual a zero A forca F ortogonal as superfícies equipotenciais é igual ao gradiente do potencial U U F O potencial gravitacional de uma coleção de massas é a soma das atrações gravitacionais de massas individuais O potencial U devido a uma distribuição continua da matéria pode ser calculada para pontos fora das fontes por integração O potencial de uma massa pontual ou infinitesimal dm pode ser obtido 5 Como o potencial gravitacional U é aditivo no vácuo todos os materiais terrestres influenciam a gravidade mas devido ao decaimento com o quadrado da distancia os materiais mas próximos ao ponto de medida terão maior influencia dg dr dU r r r dm dg 2 dr r dm dU r 2 1 r dm dU r v r dm U r em que substituindo 8 integrando 6 7 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont 33 34 14122018 18 fazendo onde é a distribuição continua de densidade Se a origem no esta no ponto de integração o deslocamento é r r r v r r dm U r y x z r r r r r g r dv dm A equação 10 é normalmente empregada para calcular o potencial devido a uma dada distribuição de densidade r v r dv r r U r 10 9 onde a integração é efetuada sobre todo o volume v contendo as fontes anômalas com distribuição continua de densidade z U g z A eq 4 permite obter o campo gravimétrico a partir do potencial dado pela eq 10 No entanto em geral os gravímetros medem o modulo da componente vertical de r g 2 POTENCIAL GRAVITACIONAL cont 22 TIPOS DE POTENCIAL De acordo com as características da região de integração v na eq 10 distinguemse 2 tipos de potencial Newtoniano se v é tridimensional e logarítmico se v é bidimensional 221 Potencial Newtoniano Se a região v é finita nas 3 coordenadas de integração em coordenadas cartesianas temse 2 1 2 2 2 dx dy dz z z y y x x y z x U x y z em que 2 12 2 2 r r z z y y x x O campo gravimétrico na direção z é dada por 2 1 2 2 2 dy dz dx z z y y x x y z x z z U g z Como as funções dentro da integral são supostamente continuas então 1 2 1 2 2 2 dy dz dx z z y y x x z y z x g z 11 2 3 2 2 2 dx dy dz z z y y x x z z y z x g z 12 35 36 14122018 19 22 TIPOS DE POTENCIAL cont 222 Potencial Logarítmico Neste caso a região v definindo as fontes é muito alongada na direção y e supostamente apresenta a seção reta arbitraria no plano xz mas simétrica ou uniforme na direção y Em coordenadas cartesianas temse 1 2 1 2 2 2 dy z z y y x x y z dx dz x U x z A integral em y pode ser reescrita dy y a I 2 1 2 2 1 em que 2 2 2 z z x x a y y y que resulta na seguinte indeterminação 2 2 ln a y y I 13 22 TIPOS DE POTENCIAL cont Para levantar a indeterminação consideramse os limites finitos e simétricos em relação ao plano xz 2 2 2 2 2 2 ln lim ln lim ln a L L a L L a y y I L L L L 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 lim ln ln lim L a L L a L a L L a L L I L L 2 2 2 2 1 1 1 lim 1 ln L a L a I L O que mostra que a integral 13 diverge Para contornar a situação basta lembrar que o potencial só é definido em relação a um ponto arbitrário 1 1 ln ln lim 2 2 2 2 2 2 L L L L a L L a L L I L 1 1 ln lim 2 2 2 2 2 2 L L L L a L L a L L I L Seja esse ponto aquele correspondente a a2 1 Então a integral I será calculada em relação a este ponto o que remonta a subtrair o valor do potencial em a21 ou seja 37 38 14122018 20 22 TIPOS DE POTENCIAL cont Realizando a fatoração obtémse Expandindo e em Série de Taylor 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln lim L L L a L a I L 2 2 1 L a 2 1 1 L 16 1 8 1 2 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L a L a L a L a 1 16 1 1 8 1 1 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 L L L L e considerando que no limite L L a podemos desprezar os termos de ordem acima de 1 2 2 2 2 2 1 1 L a L a 2 2 2 1 1 1 1 L L 14 Substituindo 15 e 16 em 14 15 16 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ln lim L L L a L a I L 22 TIPOS DE POTENCIAL cont fazendo algumas simplificações 17 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ln lim L L L a L a I L 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 lim ln 2 1 2 2 2 ln lim L a L a L a L a I L L a a a I 2 ln 1 ln 1 2 2 ln 2 2 Substituindo 17 em 13 temos finalmente 1 ln 2 2 1 2 2 dx dz z z x x x z U x z 18 o campo gravimétrico na direção z é dado por 1 ln 2 2 1 2 2 dx dz z z x x z x z z U g z 2 2 2 dx dz z z x x z z x z g z 19 39 40 14122018 21 Se há fontes então para pontos da fonte a integral tornase singular Se não há fontes então e não há singularidade na integral 23 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO A equação geral do potencial eq 10 é dada por V r dv r r U r Tomando o Laplaciano de ambos os termos V dv r r r U r 1 2 2 20 O volume V pode conter ou não fontes gravimétricas corpos com r r 0 0 r r r 0 x z r r r r 0 r P z V Para isolar esta singularidade isolase cada ponto dentro de uma pequena esfera de raio e volume v A eq 20 pode então ser reescrita 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont r v v V dv r r r dv r r r U r 1 1 2 2 2 A primeira integral é não singular e podese mostrar que ela é igual a zero Para tanto basta mostrar que 0 2 1 r r 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 z z y y x x z y x r r 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 z z y y x x x x z z y y x x x Aplicando a primeira e segunda derivadas parciais em x 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 z z y y x x z z y y x x x x z z y y x x z z y y x x x 21 232 Equação de Laplace 41 42 14122018 22 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 z z y y x x z z y y x x y y z z y y x x z z y y x x y De forma similar 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 z z y y x x z z y y x x z z z z y y x x z z y y x x z Assim 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x r r 0 1 2 r r 22 o r r 0 r 0 r Q P V 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont 0 2 r U 23 Portanto se o volume V não contem fontes ou a equação do campo tornase r r v que é conhecida como equação de Laplace Medição do potencial na região sem fontes gravimétricas O potencial gravitacional deve satisfazer a equação de Laplace nas regiões que não contem massa isto é fora do corpo que causa a anomalia gravimétrica 43 44 14122018 23 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont Se o volume V contem fontes ou é necessário isolar a singularidade da segunda integral em na equação 21 v r r r r Para tanto esse ponto será englobado por uma pequena esfera de raio e volume V r r dv r r r U V 1 2 2 Como é pequeno a distribuição de densidade dentro do volume V pode ser considerada constante r Lembrando que A temse A 2 V r dv r r U r 1 2 24 A equação 21 tornase tendo em vista a eq 22 em o r r 0 r 0 r Q P V Medição do potencial na região com fonte gravimétricas 232 Equação de Poisson 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont Sendo S a área limitando o volume V e o vetor unitário é perpendicular à superfície S De acordo com o teorema de Gauss nˆ r ds r n r r U S 1 ˆ 2 S V F n ds F dv ˆ 25 Aplicando o teorema de Gauss à eq 24 obtémse r r nˆ nˆ nˆ Da figura ao lado mostrase que r r sendo que é o vetor unitário na direção do raio dirigido para fora ˆ ˆ n 26 Representação do volume V que contem a fonte onde o ponto é englobado por uma pequena esfera com raio r 45 46 14122018 24 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont então o operador Como o gradiente em coordenadas esféricas é expresso por 2 2 1 4 S r U r 27 Finalmente como é muito pequeno o elemento da área ds será a própria área da esfera que é conhecida como equação de Poisson As equações 23 e 29 são as equações diferenciais que definem o comportamento do potencial e do campo gravimétrico em todo o espaço 28 sin 1 ˆ ˆ 1 ˆ r r ˆ ˆn 4 2 ds Substituindo 26 27 e 28 em 25 2 2 2 1 4 S r U r 4 2 r U r 29 23 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO 231 Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss S1 S2 nˆ nˆ O fluxo do campo através de uma região é determinado pela integral do campo sobre a superfície que delimita a região Fp Fn F nˆ Superfície S Linha de força O fluxo de um campo vetorial sobre uma superfície é chamado de fluxo do campo O fluxo de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada S pode ser escrito em função de ds S S Fn ds n ds F ˆ Por definição o fluxo resultante numa dada direção é igual à diferença das linhas do campo que entra na superfície S1 com as que saem em S2 47 48 14122018 25 U F nˆ S 23 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO A divergência de um vetor é uma quantidade escalar dada por z F y F x F F div F z y x 231 Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss A taxa relativa na qual as linhas de força de um campo se expandem com a distância é chamada a divergência do campo vetorial A divergência pode ser considerada como uma medida da expansão ou contração de um campo vetorial A integral da divergência de um campo vetorial em um volume do espaço é equivalente à integral da componente normal externa do campo sobre a superfície que limita o volume S V F n ds div F dv ˆ S V F n ds F dv ˆ sendo S a área limitando o volume V e o vetor unitário normal a superfície nˆ O fluxo total que atravessa de uma superfície fechada que limita um volume do espaço é dado pelo fluxo dentro do volume mais o fluxo fora do volume 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont Se não há fontes ou sumidouros do campo dentro do volume fechado então o fluxo dentro e o fluxo fora do volume devem ser iguais mas com sinais opostos 232 Equação de Laplace Se há fontes do campo dentro do volume então a quantidade de fluxo fora do volume excederá a quantidade dentro do volume Se há sumidouros do campo dentro do volume então a quantidade de fluxo fora do volume será menor que a quantidade dentro do volume Em tais circunstancias o fluxo total que atravessa a superfície fechada deve ser zero a qual é simplesmente a condição da continuidade do campo de força Aplicando esta condição de continuidade no teorema da divergência 0 ˆ S V F n ds dv F Se o campo vetorial F é definido pelo gradiente de uma função potencial U então U U F 2 A partir da qual obtémse a equação de Laplace portanto 0 2 dv U V 0 2 U 49 50 14122018 26 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont 232 Equação de Laplace Sendo a função potencial Ufxyz então a equação de Laplace em coordenadas cartesianas é dada por 0 2 2 2 2 2 2 2 z U y U x U U Sendo a função potencial Ufr então a equação de Laplace em coordenadas esféricas é dada por 0 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 U r U r r U r r r U A equação de Laplace fornece a relação entre os gradientes de campos ou seja é possível calcular um conjunto de gradientes a partir de outros gradientes Algumas considerações sobre a equação de Laplace Em particular medidas dos gradientes horizontais e podem ser utilizados x y para calcular o gradiente vertical z 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont 233 Equação de Poisson A equação de Laplace trata com regiões do espaço onde não há fontes nem sumidouros do campo de força Para pontos em regiões do espaço onde há fontes e sumidouros do campo deve ser usado a equação de Poisson Para tais regiões a rede de fluxo ou seja o fluxo dentro da região e o fluxo fora da região não é zero 0 ˆ S F n ds Logo se considerarmos uma partícula de massa m dentro do volume e localizada no centro de uma superfície esférica de raio r temse que Considerando que F é o campo gravitacional a integral da Divergência é S n V g ds dv g m r r m ds g S n 4 4 2 2 Se a superfície fechada contem varias partículas com massa total M então M g ds dv g S n v 4 51 52 14122018 27 22 EQUAÇÕES DO CAMPO GRAVIMÉTRICO cont 233 Equação de Poisson e usando a seguinte identidade obtémse a equação de Poisson No limite quando o volume é muito pequeno v 0 isto é o volume colapsa para um ponto P então podese remover a integração substituindo a densidade no ponto P obtémse 4 2 U V M g 4 4 g Lembrando que o campo pode ser obtido partir gradiente do potencial U g U U 2 Concluise que o potencial gravitacional satisfaz à equação de Laplace no espaço sem fontes e à equação de Poisson na região contendo fontes ou massas 3 Gravidade terrestre 31 Gravidade 32 Superfície equipotencial 33 Geóide 34 Gravidade normal 35 Contribuição dos materiais para o valor da gravidade Método Gravimétrico 53 54 14122018 28 3 GRAVIDADE TERRESTRE 31 Gravidade Os gravímetros medem diferenças na aceleração da gravidade isto é o balanço de acelerações atuando sobre uma massa na superfície da terrestre Como conseqüência da rotação terrestre nesse referencial não inercial aparece uma força centrifuga atuando em todos os corpos terrestres ˆ ˆ 2 2 m r r Mm F ˆ ˆ r m M Massa da Terra e massa do corpo Distância da massa m ao eixo de rotação terrestre Velocidade angular da Terra Vetores unitários conforme mostrados na figura r ˆ M rˆ Eixo de rotação Portanto a força de gravidade atuando na superfície terrestre será Como o sistema de referência para os estudos gravimétricos está na própria Terra esse sistema não é inercial A força gravitacional prevista pela lei de Newton referese à atração entre duas massas A força de gravidade é a resultante de todas as forças além da força gravitacional atuando sobre uma massa 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 31 Gravidade cont A aceleração da gravidade é dada por ˆ ˆ 2 2 r r M m F g Na realidade a expressão acima é só uma aproximação grosseira considerandose a Terra como uma esfera perfeita e homogênea onde se pode substituir a Terra por uma massa pontual M localizada no seu centro 2 2 1 dm r g O potencial gravitacional rigorosamente devia ser de potencial de gravidade é obtido pela integração da aceleração de gravidade d dm dr r U r 2 2 1 2 1 22 r dm r U 30 31 A expressão mais exata é 55 56 14122018 29 A eq 32 é uma relação funcional entre as coordenadas espaciais representados pelo vetor posição ex 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 32 Superfície equipotencial Lembrando que o potencial elementar é expresso por ld r r dm r dU g d ˆ 2 ld g d Se o deslocamento elementar for perpendicular à direção da aceleração então o produto escalar é nulo Conseqüentemente ld g d ld r ˆ r 2 1 2 2 2 z y x r Esta relação funcional é a equação de uma superfície em 3 dimensões tendo a propriedade que a aceleração da gravidade em qualquer ponto dessa superfície é perpendicular a ela Essa superfície é denominada de superfície equipotencial Atribuindose diferentes valores para a constante C obtémse uma família de superfícies equipotenciais tendo a propriedade de não se interceptarem Quanto mais próximas essas superfícies mas forte será a intensidade do campo 0 r dU C U r 32 em que C é uma constante como onde é a latitude 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 33 Geóide O geóide é uma superfície equipotencial terrestre que coincide com o nível dos mares não perturbado por mares ondas etc C r dm U r 2 1 22 Para se obter a equação do geóide basta substituir 31 em 32 r cos C r r dm U r 2 2 2 cos 2 1 r Para um ponto no equador 0 e ra onde a é o raio da Terra a equação do geóide tornase 2 2 2 2 2 2 a r dm r r dm a r 33c A equação do geóide acima define uma superfície que coincide com o nível dos oceanos não perturbados e que continua sob os continentes de tal modo que a atração da gravidade em qualquer ponto é perpendicular a ela 33a 33b Para se determinar a constante C basta conhecer o potencial num ponto da Terra coincidente com o nível médio dos mares e com latitude conhecida 57 58 14122018 30 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 33 Geóide cont O integrando da eq 33c é normalmente expandido em serie e integrado termo a termo ou o potencial pode ser expandido em serie de harmônicos esféricos resultantes da integração da equação de Laplace Normalmente se obtém uma aproximação do geóide retendo na expansão em serie somente os termos mais importantes e desprezando os demais termos resultando assim a equação de um esferóide de referencia que é uma aproximação do geóide Geóide Esferóide Oceano Continente Em escala global o geóide localizase mais afastado do centro da Terra do que o esferóide nas áreas montanhosas continentais por outro lado nos oceanos enquanto o geóide aproximadamente coincide com a superfície da água o esferóide posicionase acima dessa superfície A serie contem infinitos termos o que mostra que a superfície do geóide é extremamente complexa e impossível de se obter matematicamente 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 33 Geóide cont A diferença entre a media do geóide em uma latitude ao redor da Terra mostra o efeito de variações com comprimentos de onda longos Também há variações extremas no geóide sobre a India 80 m pacifico oeste 60m com relação ao elipse de rotação 59 60 14122018 31 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 34 Gravidade normal Tomandose os dois primeiros termos de ordem par da expansão em serie do integrando 1r da eq 33b e derivandose o resultado em relação ao raio r obtémse o valor da gravidade como função da latitude para a superfície do esferóide A expressão resultante conhecida como Teorema de Clairaut é 2 1 2 2 sen sen g g e f f q f 4 1 8 1 2 5 2 e sendo ge uma constante que representa a gravidade no equador geográfico com as constantes e dadas por onde q é a razão entre a aceleração centrifuga e o campo da gravidade no equador e f é o achatamento polar terrestre e p e e e R R R f g R q 2 p e R R Raio equatorial Raio polar 34 diversos valores para ge e têm sido calculados e substituídos na eq 34 com a finalidade de se estabelecerem valores de gravidade ao longo da superfície terrestre 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 34 Gravidade normal cont Em 1930 a União Internacional de Geodésica e Gravimetria adotou a expressão do Teorema de Clairaut como a formula oficial para o cálculo da gravidade Formula Internacional da Gravidade ou IGF30 com as constantes calculadas por Cassinis Heiskanen Moritz 1967 00000059 00052884 Gal 978049 e g Então a formula Internacional da Gravidade IGF30 é 2 0 0000059 0 0052884 978049 1 2 2 sen sen g Em 1971 a União Internacional de Geodésica e Gravimetria adotou uma nova formula denominada de GRS67 Geodetic Reference System1967 Essa formula é o resultado de determinações mais precisas tanto dos valores da gravidade como da forma da Terra 0 000023462 0 005278895 978031846 1 4 2 sen sen g Diferenças entre as duas formulas mGal nos Polos mGal no equador e 3 58 1715 As formulas acima definem os valores normais da gravidade para o esferóide os quais servem de referência para definir as anomalias gravimétricas em trabalhos de prospecção 35 35 61 62 14122018 32 3 GRAVIDADE TERRESTRE cont 35 Contribuição dos materiais para o valor da gravidade Todos os materiais da Terra influenciam o valor da gravidade Menor contribuição Materiais da crosta 03 do valor da gravidade Maior contribuição Materiais do manto e núcleo Materiais dos primeiros 5 km da crosta contribuição aproximada de 005 Estruturas ou corpos geológicos alvos da prospecção gravimétrica produzem variações da gravidade da ordem de 0001 10 mGal Variações de densidades das rochas nos primeiros 5 Km da crosta produzem flutuações 001 100 mGal Na prospecção de petróleo as anomalias estão na ordem de 10 mGal Depósitos de minério raramente produzem anomalias superiores a 5 mGal É necessário portanto que os instrumentos empregados nos levantamentos para prospecção tenham sensibilidade de pelo menos 01 mGal 4 Densidade de rochas e minerais 41 Densidade das rochas 42 Densidade volumétrica e granulométrica 43 Rochas ígneas 44 Rochas metamórficas 45 Rochas sedimentares 46 Densidade de minerais 47 Determinação de densidade das rochas Método Gravimétrico 63 64 14122018 33 4 DENSIDADE DE ROCHAS E MINERAIS Densidade é a quantidade de massa por unidade de volume e geralmente está medido em gcm3 ou Kgm3 41 Densidade das rochas A densidade de uma rocha r depende de Densidade dos minerais formadores da rocha g Densidade do fluido f Porosidade Pode ser obtida através da seguinte relação f g r 1 Em muitos casos os espaços do poros podem estar preenchidos por mais de um tipo de liquido água ou petróleo e determinar uma densidade efetiva para o fluido f tornase mais complicado Em geral é o contraste de densidade horizontal dos materiais da subsuperfície que produz as mudanças na gravidade As mudanças de densidade podem ser resultado de deslocamentos verticais como falhas mudanças na topografia do embasamento discordâncias mudanças de fácies laterais de uma mesma rocha etc 4 DENSIDADE DE ROCHAS E MINERAIS Para a interpretação dos dados gravimétricos devem ser conhecidos os valores das densidades dos materiais geológicos Intervalos de variação da densidade em gcm3 de algumas rochas freqüentemente encontradas na superfície terrestre e densidades médias para essas mesmas rochas A variação pequena na densidade das rochas também implica que as variações espaciais na aceleração da gravidade observada causadas por estruturas geológicas serão bastante pequenas e assim difíceis de serem detectadas A variação relativa da densidade das rochas é bastante pequena e há considerável sobreposição nos valores das densidades Conseqüentemente só o conhecimento da densidade da rocha não será suficiente para determinar o tipo de rocha 65 66 14122018 34 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 42 Densidade volumétrica e densidade granulométrica Quando se trata de densidades de materiais terrestres podese distinguir dois tipos densidade 1 Densidade volumétrica Bulk density 2 Densidade granulométrica grain density As anomalias gravimétricas são causadas por variações espaciais da densidade volumétrica A densidade granulométrica é a densidade dos minerais formadores de rocha na forma pulverizada e não leva em conta os poros e fluidos na rocha Como a densidade volumétrica nem sempre pode ser obtida para a área de estudo é conveniente se tabular valores médios de densidades de rochas e minerais A retirada da amostra do seu ambiente para medidas de densidade em laboratório sempre causa interferência na densidade portanto os valores medidos de densidade medidos no laboratório não fornecem um quadro representativo da densidade volumétrica A densidade volumétrica é aquela em que o material é considerado como um todo constituído de minerais poros e fluidos Em levantamentos geofísicos as determinações de densidade in situ podem ser realizadas a partir de medidas geofísicas em poços perfurados ou sobre a superfície dos terrenos 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 43 Densidade de rochas ígneas A densidade das rochas ígneas são controladas principalmente pelo conteúdo de sílica isto é um aumento na acidez da rocha implica em geral no decréscimo da densidade Rochas ígneas máficas são mais densas que rochas félsicas Rochas ultramáficas são as mais densas Tamanho do cristal Acido Intermédio Básico Grãofino vulcânico Riolito 235279 252 Andesito 240280 261 Basalto 270330 299 Grãogrosso intrusivo Granito 250281 264 Sienito 260295 277 Gabro 270350 303 Um mesmo tipo de rocha ígnea tem menor variação de densidade quando comparado à variação nas rochas sedimentares Tabela 61 Variação da densidade de rochas ígneas A variação da densidade das rochas ígneas é praticamente independente da profundidade de ocorrência Rochas ígneas com elevado grau de fraturamento ou intemperismo apresentam largas faixas de variação As rochas ígneas vulcânicas são normalmente menos densas do que as intrusivas 67 68 14122018 35 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 43 Densidade de rochas ígneas cont Rochas Variação da densidade gcm3 Densidade media gcm3 Obsidiana 220240 230 Riolito 235270 252 Dacito 235280 258 Andesito 240280 261 Granito 250281 264 Granodiorito 267279 273 Sienito 260295 277 Diorito 272299 285 Lavas 280300 290 Diabásio 250320 291 Norito 270324 292 Basalto 270330 299 Gabro 270350 303 Peridotito 278337 315 Piroxenito 293334 317 Ácidas 230311 261 Básicas 209317 279 Tabela 62 Densidades de rochas ígneas 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 44 Densidade das rochas metamórficas Os processos metamórficos que envolvem redução de volume recristalização e formação de novos minerais proporcionam um aumento de densidade nas novas rochas formadas Portanto em geral a densidade aumenta com o grau de metamorfismo As rochas metamórficas básicas a semelhança do que acontece com as rochas ígneas são em geral mais densos Tabela 63 Densidades de rochas metamórficas Rochas Variação da densidade gcm3 Densidade media gcm3 Quartzito 250270 260 Xisto 239290 264 Granulito 252273 265 Filito 268280 274 Mármore 260290 275 Ardósia 270290 275 Gnaisse 259300 280 Anfibolito 290304 296 As rochas metamórficas apresentam a maior variação de densidade provavelmente pelo fato de serem muito heterogêneas com relação à origem composição textura grau de metamorfismo 69 70 14122018 36 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 45 Densidade de rochas sedimentares As rochas sedimentares apresentam grandes variações de densidade que se deve aos seguintes fatores 1 Composição mineral 2 Porosidade 3 Tipo de fluido dos poros 4 Compactação A densidade aumenta com o aumento da profundidade de soterramento aumento de compactação ou seja redução de porosidade A densidade dos arenitos e siltitos aumentam com o preenchimento dos espaços dos poros A densidade dos folhelhos aumenta por compactação e por recristalização em minerais com alta densidade A densidade granulométrica aumenta na seguinte ordem Solo e elúvio arenitos e conglomerados argilas e folhelhos calcários e dolomitas A grande variação da densidade volumétrica se deve principalmente à porosidade com contribuições menores do fluido ar água ou hidrocarboneto presente nos poros Em rochas com cimento calcífero a pressão de soterramento aumenta a dissolução especialmente do carbonato de cálcio o que provoca decréscimo de densidade 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 45 Densidade de rochas sedimentares cont Rochas Variação da densidade Poros com fluido gcm3 Variação da densidade Poros sem fluido gcm3 Densidade media Poros com fluido gcm3 Densidade media Poros sem fluido gcm3 Solo 120240 100200 192 146 Aluvião 196200 150160 198 154 Areia 170230 140180 200 160 Cascalho 170240 140220 200 195 Argila 163260 130240 221 170 Arenito 161276 160268 235 224 Folhelho 177320 156320 240 210 Calcario 193290 174276 255 211 Dolomita 228290 204254 270 230 Tabela 64 Densidades de sedimentos e rochas sedimentares Em geral o contraste de densidade entre rochas sedimentarias adjacentes é menor que 025 gcm3 Esperase que as rochas mais antigas e as localizadas a maiores profundidades sejam as mais densas 71 72 14122018 37 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 46 Densidade de minerais Os minerais metálicos apresentam valores de densidade em geral superiores a 40 gcm3 o mineral blenda o esfalerita é a exceção mais marcante Estes valores são em geral maiores do que os normalmente encontrados em rochas 23 a 30 gcm3 Os minerais não metálicos por sua vez tem valores de densidade geralmente inferiores a 30 gcm3 a barita é uma exceção e seus valores confundemse com os das rochas Apesar dos minerais metálicos apresentarem individualmente valores de densidade bem superiores aos das rochas esses minerais raramente ocorrem em concentração suficiente para que suas densidades individuais representem a do corpo mineralizado a ser prospectado Por exemplo um corpo maciço contendo 50 de sulfetos com densidade de 45 gcm3 encaixado em rocha com densidade igual a 27 gcm3 terá como densidade media o valor 36 gcm3 Portanto embora haja minerais de elevada densidade em um corpo mineralizado existe a possibilidade de que a densidade media do corpo seja muito próxima da densidade da rocha encaixante 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 46 Densidade de minerais cont Mineral Variação da densidade gcm3 Densidade media gcm3 Grafita C 190230 215 Gipsita CaSO42H20 220260 235 Bauxita hidrox de Al 230255 245 Quartzo Si02 250270 265 Diamante C 352 Barita BaSO4 430470 447 Ouro Au 15601940 Cromita FeCr2O4 430460 436 Illmenita FeTiO3 430500 467 Magnetita Fe3O4 490520 512 Hematita Fe2O3 490530 518 Cuprita Cu2O 570615 592 Cassiterita SnO2 680710 692 Blenda ZnS 350400 375 Pirrotita FeS 450480 465 Pirita FeS2 490520 500 Calcocita Cu2S 550580 565 Galena PbS 740760 765 Tabela 65 Densidades de minerais 73 74 14122018 38 4 DENSIDADE DOS MATERIAIS TERRESTRE 47 Determinação da densidade A determinação da densidade das rochas pode ser realizada em laboratório e no seu ambiente natural in situ A densidade pode ser determinadas a partir de Amostras de afloramentos Amostras de furos de sondagens Perfis de poço Medidas de gravidade em poços Velocidade de ondas sísmicas 5 Instrumental e procedimentos de medidas 51 Como fazer medições da gravidade 52 Medições da queda de um corpo 53 Medições da oscilação de um pendulo 54 Medições da deformação de uma mola 55 Procedimento geral para medições gravimétricas Método Gravimétrico 75 76 14122018 39 51 Como fazer medições da gravidade 1 Queda de um corpo A aceleração da gravidade pode ser estimada por meio de medições precisas da distancia e do tempo da queda de um corpo 2 Oscilação de um pendulo A aceleração da gravidade pode ser calculada através de medições do período de oscilação de um pendulo 3 Deformação de uma mola A aceleração da gravidade pode ser calculada por meio de medições da deformação de uma mola sob a ação da força de gravidade 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS 52 MEDIÇÕES DA QUEDA DE UM CORPO Os gravímetros absolutos são instrumentos que medem distancias e tempos e calculam a gravidade absoluta com precisão de 0001 mGal 2 2 tempo distancia 2 tempo 2 1 distancia g g Esses instrumentos medem a intensidade da componente vertical da aceleração da gravidade em um dado ponto Através de medições da distancia e do tempo de queda de um corpo é possível estimar a aceleração da gravidade 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS A distância de queda de um corpo é proporcional ao quadrado do tempo de queda sendo a constante de proporcionalidade a aceleração da gravidade g 77 78 14122018 40 53 MEDIÇÕES DA OSCILAÇÃO DO PENDULO Embora não seja possível determinar o valor de k com bastante precisão os instrumentos baseados neste principio podem estimar as variações da aceleração gravitacional com boa precisão entre dois pontos mesmo sem conhecer o valor exato de k g k T 2 2 2 1 4 k T g O período de oscilação de um pendulo T é proporcional à raiz quadrada da inversa da aceleração da gravidade g A constante de proporcionalidade k depende do comprimento e da distribuição de massa sobre o ponto de pivô do pendulo Os instrumentos baseados neste experimento não são usados na prospecção geofísica devido ao fato de precisar um longo tempo para fazer observações precisas 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS Através de medições do período de oscilação de um pendulo é possível estimar a aceleração da gravidade 54 MEDIÇÕES DA DEFORMAÇÃO DE UMA MOLA O tipo mais comum de gravímetro usado na prospecção geofísica esta baseado em um sistema simples de uma massa pendurada em uma mola A força da gravidade estira a mola em uma quantidade proporcional à aceleração da gravidade A proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleração da gravidade é a magnitude da massa sobre a constante k que representa a rigidez da mola Também não é possível determinar o valo de k com bastante precisão para estimar valores absolutos da aceleração da gravidade k g x m m x k g Os equipamentos deste tipo podem estimar as variações da aceleração da gravidade de um ponto a outro com uma precisão de 001 mGal 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS 79 80 14122018 41 Um gravímetro é um instrumento desenhado para medir as variações espaciais da aceleração da gravidade 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS Mola de metal com condutividade térmica alta para minimizar efeitos térmicos de expansãocontração Termicamente isolado Mola de comprimento zero isto significa que a elongação da mola causada por variação na gravidade pode ser proporcionalmente balanceada por uma tensão aplicada à mola Leitura feita vendo a luz refletida no eyepiece A posição nula é recuperada ajustando parafuso screw do micrômetro A precisão deste gravímetro é de 001 mGal Permite medir variações da gravidade dentro de uma faixa superior a 7000 mGal 541 GRAVÍMETROS BASEADOS NA DEFORMAÇÃO DE UMA MOLA Gravímetro LaCosteRomberg 541 GRAVÍMETROS BASEADOS NA DEFORMAÇÃO DE UMA MOLA 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS Gravímetro Worden Para evitar o problema térmico a mola é feita de cristal de quartzo varas e fibras O quartzo é menos sensível a calor que o metal As peças estão dentro de um recipiente selado a vácuo e com termostato elétrico O modelo para prospecção tem precisão nominal de 001 mGal e uma escala que permite medidas numa faixa mínima de variação cerca de 200 mGal Essa faixa pode ser ampliada para medir variações de cerca de 5200 mGal com o uso de um dispositivo de ajuste reset Uma baixa faixa de leitura significa que é mais comumente usado para estudos locais onde a gravidade muda pouco 81 82 14122018 42 5 INSTRUMENTAL E PROCEDIMENTO DE MEDIDAS Intervalos de amostragem Tectônica global 500000 5000000 m Prospecção de Petróleo 100000 500000 m Prospecção de Minerais 2000 20000 m Procedimento geral para medições terrestres Escolher a estação base e estações de observações Nivelar o gravímetro para medir a componente vertical Anotar o valor amostrado e hora da amostragem Medir a altura do instrumento em relação ao terreno Iniciar a amostragem na estação base e retornar para nova amostragem no fim do dia levantamento em grande escala ou dentro de duas horas levantamento em detalhe Realizar as medições nas estações de observações Levantamentos terrestres Estradas caminhos margens de rios linhas sísmicas picadas Rendimento médio Espaçamento 10 50 m 100 60 estdia sem veículo Espaçamento 5 Km 30 estdia com veículo 55 PROCEDIMENTO GERAL PARA MEDIÇÕES GRAVIMÉTRICAS 6 Variações da gravidade e correções 61 Fatores que afetam a aceleração da gravidade 62 Variações temporais Variação instrumental drift Efeitos das marés Estratégias para correção do drift e das marés Procedimentos de campo para correção do drif e marés 63 Variações espaciais Correção da latitude Correção de elevação ou arlivre Correção de Bouguer ou excesso de massa Correção topográfica ou terreno 64 Significado de anomalia gravimétrica 65 Correção isostática Método Gravimétrico 83 84 14122018 43 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Efeitos das marés Mudanças na aceleração da gravidade causadas pela atração gravitacional da Lua e do Sol Excesso de massa Mudanças na aceleração da gravidade observada causadas por distribuições locais de massas embaixo dos pontos de observação em lugares com elevações altas As variações espaciais na aceleração de gravidade devida as estruturas geológicas são em geral bastante pequenas Outros fatores também causam variações na aceleração gravitacional como variações temporais e variações espaciais 1 VARIAÇÕES TEMPORAIS Drift instrumental Mudanças na aceleração da gravidade causadas pelas variações na resposta do gravímetro com o tempo 2 VARIAÇÕES ESPACIAIS Latitude Mudanças na aceleração da gravidade observada causadas pela forma elipsoidal e a rotação da Terra Elevação Mudanças na aceleração da gravidade observada causadas pelas diferenças na elevação dos pontos de observação Topografia Mudanças na aceleração da gravidade observada relacionadas à variação da topografia próxima ao ponto de observação 61 FATORES QUE AFETAM A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Drift ou variação instrumental Referese à mudança gradual e não intencional no valor de referência com respeito ao qual são feitas as medidas Dados da aceleração da gravidade coletados em um mesmo lugar durante dois dias Tulsa Oklahoma Linha vermelha atrações do sol e da lua Linha verde drift instrumental aprox 012 mGal em 48 horas 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS Para minimizar o efeito da temperatura os gravímetros são construídos com temperatura controlada ou com materiais que são relativamente insensíveis a mudanças de temperatura Mesmo assim os gravímetros podem ter drift até 01 mGal por dia As variações nas propriedades da mola com o tempo podem estar relacionados ao estiramento da mesma ou as mudanças de temperatura 85 86 14122018 44 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Efeitos das marés São variações nas observações da gravidade que resultam da atração da lua e do sol Dados da aceleração da gravidade observados em um mesmo lugar durante dois dias Tulsa Oklahoma Variação cíclica da gravidade com um período de oscilação por volta de 12 horas A amplitude da variação relativa a maré é aproximadamente de 015 mGal 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont A atração gravitacional do sol e da lua distorce a forma da superfície dos oceanos e a forma da Terra Maré do oceano distorção da superfície oceânica metros Maré da Terra sólida distorção da forma da Terra centímetros Esta distorção da Terra varia de um lugar a outro e produz variações mensuráveis na aceleração gravitacional que pode ser até de 02 mGal Devido a mudança da forma da Terra a distância do gravímetro para o centro da Terra também muda 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Estratégias de correção para o drift e as marés As quantidades sob investigação têm valores conhecidos na estação base ou assumemse conhecidos com precisão Os dados da estação base podem ser usados para normalizar os dados de outras estações Estação base É uma estação de referência usada para estabelecer estações adicionais em relação a ela 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont A chave para fazer correções efetivas das porções do drift e das marés é notar que ambos alteram o campo de gravidade observado como funções variando lentamente no tempo Método 1 Uso de dois gravímetros Uma maneira de levar em conta a componente relativa a maré no campo de gravidade é estabelecer uma estação base perto da área de estudo e monitorar o campo de gravidade continuamente neste local enquanto as outras observações da gravidade estejam sendo coletados na área de estudo Este procedimento é raramente usado porque requer de dois gravímetros e conseqüentemente tem maior custo operacional Além disso pode ser usado apenas para remover a componente da maré e não do drift instrumental 87 88 14122018 45 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont Método 2 Uso de um gravímetro Outra maneira mais comum de levar em conta a componente relativa a maré no campo da gravidade é retornar periodicamente à estação base Este procedimento requer só um gravímetro para medir tanto as variações no tempo e as variações espaciais do campo de gravidade Neste caso podem ser combinadas correções para as variações relativas a maré e drift instrumental Podese assumir que as componentes relativas a maré e drift instrumental variam linearmente e predizer os componentes variantes no tempo do campo de gravidade a qualquer hora então as observações da gravidade na estação base podem ser realizadas de forma intermitente 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Procedimento de campo para correção do drift e das marés 1 Estabelecer a localização de uma ou mais estações base gravimétricas circulo amarelo altitude 9625 pés Para aplicar estas correções em um estudo de prospecção gravimétrica pode ser usado o seguinte procedimento em laços nas observações de gravidade 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont 3 O estudo gravimétrico é iniciado registrando a gravidade relativa na estação base 9625 e o tempo na qual é realizada está medida 2 Estabelecer as posições das estações de medição para o estudo gravimétrico círculos azuis identificadas de 158 a 163 4 Depois movese o gravímetro para as estações de medição de 158 a 163 A cada localização medise a gravidade relativa e o tempo na qual é feita a leitura 89 90 14122018 46 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 5 Depois de certo período de tempo normalmente em torno de uma hora retornase à estação base para medir novamente a gravidade relativa e o tempo no qual a observação é feita Procedimento de campo para correção do drif e das marés cont 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont 6 Se necessário retornase para as estações de medida e continuase fazendo as observações da gravidade retornadose à estação base a cada hora 7 Depois de registrar a gravidade na última estação de medida ou ao término do dia retornase à estação base e fazse a leitura final da gravidade 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES As primeiras três colunas da planilha de dados apresentam as observações de campo cruas coluna 1 simplesmente é o número da estação de observação coluna 2 lista a hora do dia em que a leitura foi feita coluna 3 representa a leitura crua do instrumento Planilha de observações gravimétricas e correções de campo Procedimento para correção do drift e das marés 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont Um fator de escala do instrumento deve ser aplicado para converter as observações para gravidade relativa mas neste exemplo assumese um fator de escala de um 91 92 14122018 47 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Procedimento para correção do drift e das marés cont 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont Gráfico das observações de gravidade cruas contra número de estação A base para estas correções será o uso de interpolação linear para gerar uma predição do que deveria ser o componente variante no tempo do campo de gravidade As observações não corrigidas mostram uma tendência aparente de aumento da aceleração da gravidade conforme aumenta o número de estação 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Para calcular a componente variante no tempo do campo de gravidade será usado uma interpolação linear entre as subseqüentes visitas à estação base Procedimento para correção do drift e das marés cont 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont Por exemplo o valor da componente variando temporalmente do campo de gravidade no instante que é ocupado a estação 159 linha cinza escura na tabela é calculado usando as seguintes expressões 0 1 1 5 1 3 1 5 3 g T T T T g g g o o i i o g T g Gravidade observada Tempo Gravidade interpolada Interpolação linear 2801373 1257 1201 2801373 1235 1201 2801485 159 ig 2801441 2801373 56 0 112 34 159 ig Exemplo 93 94 14122018 48 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES Depois de aplicar correções em todas as estações de forma similar à estação 159 as observações da gravidade corrigidas são mostradas no gráfico a seguir Verificações das observações após as correções das variações temporais Procedimento para correção do drift e das marés cont 62 VARIAÇÕES TEMPORAIS cont Gráfico das observações de gravidade corrigidas pelas variações temporais Depois da aplicação das correções todas as leituras da gravidade na estação base devem ser zero Depois da correção não existe mais a tendência aparente de aumentar aceleração gravitacional com o incremento do número da estação 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS Correção da latitude CL A variação da gravidade com a latitude é representada de forma bem precisa pela equação do elipsóide de referencia ou formula GRS67 0 000023462 0 005278895 978031846 1 4 2 sen sen gn Abandonando o terceiro termo da formula GRS67 por ser numericamente muito pequeno obtémse O valor da gravidade normal gn aumenta do equador em direção aos pólos portanto valores obtidos em latitudes diferentes não podem ser comparados sem que antes sejam corrigidos Com esta formula podese estimar as gravidades normais para as latitudes 0 e 1 que são respectivamente as latitudes de referência e da estação de observação isto é 0 005278895 978031846 1 sen2 gn 0 005278895 978031846 1 0 2 0 sen gn 0 005278895 978031846 1 1 2 1 sen gn e 95 96 14122018 49 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS Correção da latitude CL Quando as medidas gravimétricas são tomadas em uma área cuja dimensão NS com relação à estação de referencia é pequena 10 km a aproximação da gravidade com a distancia pode ser obtida derivando a formula GRS67 em relação ao comprimento de arco ou o ângulo da latitude sendo ds r d r é o raio da Terra 2 mGalkm 081 sen CL Estação mais próxima do equador do que a latitude de referência Estação mais próxima dos pólos do que a latitude de referência Subtraindo as formulas para as latitudes 1 e 0 obtémse a correção da latitude Esta formula permite reduzir o valor da gravidade medida em 1 para a latitude de referencia 0 sen 516283sen 0 2 1 2 0 1 n n L g g C mGal cos 0 005278895 2 978031846 sen r rd dg ds dg n n Substituindo o valor do raio da Terra r6371 km obtémse a expressão para a correção de latitude que produz erros menores a 2 A correção da latitude deve ser adicionada ou subtraída do valor da gravidade normal calculada para a latitude de referência 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Correção de elevação ar livre CAL A correção de elevação é empregada para compensar apenas os efeitos da diferença de altitude das estações de observação sem levar em conta a massa em relação ao geóide ou a um nível de referência arbitrário A gravidade em um ponto sobre a superfície terrestre g0 é dada por 2 1 h R M g A altura h é tomada em relação ao nível do mar geóide ou a um outro nível de referência arbitrário A correção de arlivre pode ser estabelecida a partir da aproximação da Terra por uma esfera homogênea de raio igual ao raio médio terrestre 2 0 R M g A gravidade g1 em um ponto situado a uma altura h da superfície terrestre é dada por 97 98 14122018 50 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Correção de elevação ar livre CAL 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 h R R M h R M R g g g Expandindose em serie o denominador da fração localizada entre os colchetes e desprezandose os termos contendo hR2 obtémse 0 3086 mGalm 2 3 h R h M g CAL Estação de observação acima do nível de referência Estação de observação abaixo do nível de referência A diferença de gravidade entre os dois pontos g g1 g0 é dada por h R h R M g 2 2 2 Como em geral R 2h a equação acima reduzse à expressão da correção de ar livre CAL A expressão da correção de arlivre CAL foi deduzida sem levar em conta o efeito da aceleração centrifuga pois sua variação máxima com a altitude é muito pequeno aproximadamente 062x108h mGalm 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Correção de Bouguer excesso de massa CB Para eliminar o efeito da massa localizada entre as estações de medida em um terreno acidentado e o nível do geóide ou outro nível de referencia é aplicada a correção de Bouguer CB A correção de Bouguer aproxima a anomalia de gravidade observada em B devido à diferença de altura entre A e B e o excesso de massa debaixo de B Esta correção é uma aproximação que considera a topografia como sendo plana passando pelo ponto onde a correção esta sendo efetuada Assim a correção de Bouguer é efetuada calculando o campo gravimétrico produzido por uma camada homogênea e infinita em x e y com espessura h 99 100 14122018 51 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Correção de Bouguer excesso de massa CB A expressão da correção de Bouguer CB que representa a atração exercida por um cilindro de raio infinito é dada por mGal ou 0 04191 2 h c h g c B z B Estação de observação abaixo do nível de referência Estação de observação acima do nível de referência A densidade do cilindro deve ser igual a do material entre o geóide ou nível de referencia e a estação de observação Assumese que o excesso de massa pode ser aproximado por um cilindro com espessura h e densidade Sendo as unidades de e h expressados em gcm3 e m respectivamente Corpos situados acima do nível de referencia sofrem a atração da camada de espessura h e conseqüentemente a gravidade nesses pontos é maior que na estação base Esta correção consiste em adicionar ou subtrair ao valor da gravidade a atração de um cilindro de raio infinito e altura igual à altitude da estação no terreno h 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Correção topográfica ou terreno CT A correção de Bouguer nas cotas abaixo do ponto B adiciona massa onde ela fisicamente não existe Esse material exerce atração sobre qualquer massa colocada em B aumentando o valor da gravidade medida no ponto de observação Como mostrado na Figura abaixo na correção de Bouguer CB considerase que acima do nível do ponto B não existe massa e abaixo desse nível adiciona massa onde ela não existe Esses efeitos portanto devem ser subtraídos do valor da gravidade normal reduzida pelas correções CAL e CB ou somados ao valor da gravidade medida no ponto de observação A correção de Bouguer despreza o efeito do material localizado nas cotas acima do ponto B Esse material exerce atração sobre qualquer massa colocada em B reduzindo o valor da gravidade medida no ponto de observação 101 102 14122018 52 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Procedimento para aplicar a correção topográfica ou terreno CT 1 Dividir a região em volta da estação a ser corrigida ponto P na figura ao lado em pequenos setores cilindros com altura h igual à diferença entre a cota média do terreno no setor cilíndrico e a cota do ponto de observação P Foi observado que os dois efeitos deixados pela correção de Bouguer estão diretamente relacionados à topografia ou elevação do terreno e a compensação desses dois efeitos é denominado de correção topográfica ou de terreno A correção topográfica é bastante trabalhosa e requer um mapa topográfico detalhado Esta correção pode ser divida em quatro etapas 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Procedimento para aplicar a correção topográfica ou terreno CT 2 Calcular no ponto sobre o topo do cilindro z20 a atração vertical de um anel cilíndrico com a seguinte expressão i e e i z R R R h R h g 2 2 2 2 2 Ri Re raios interno e externo do cilindro h altura do cilindro Na figura ao lado mostrase o setor cilíndrico usado no cálculo da atração em um ponto do seu eixo A atração vertical de um setor cilíndrico de raio interno Ri e raio externo Re em pontos do seu eixo pode ser obtida calculandose a atração vertical de dois cilindros de raios Ri e Re subtraindose os resultados e dividindo se pelo número de setores que compõem os cilindros 103 104 14122018 53 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Procedimento para aplicar a correção topográfica ou terreno CT 3 Se o anel cilíndrico for dividido em n setores iguais então cada setor produzirá uma atração igual a t R R R h R h n g i e e i z 2 2 2 2 2 Na prática são usados vários anéis cilíndricos concêntricos zonas com a diferença Re Ri sendo aumentada à medida que o afastamento ao centro dos anéis cresce T t g C z T Nos trabalhos de prospecção geofísica raramente são usados setores cilíndricos com raio superior a 300 km Por exemplo na prospecção de depósitos de minério o raio é normalmente inferior a 5 km sendo t uma constante para cada setor 4 Somandose a atração de cada setor em cada um dos anéis obtémse o valor da correção topográfica CT sendo T o somatório de todos as constantes t para cada setor quando a densidade é considerada constante dentro da área onde a correção está sendo aplicada 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 63 VARIAÇÕES ESPACIAIS cont Significado físico das correções CAL CB e CT Correções aplicadas diretamente ao valor medido no terreno Neste caso é escolhido um nível de referência qualquer e os valores medidos no terreno são reduzidos a esse nível a Situação original b correção arlivre c Correção de Bouguer d correção topográfica Correções aplicadas ao valor normal da gravidade para reduzilo ao nível do terreno a Situação original b correção arlivre c Correção de Bouguer d correção topográfica 105 106 14122018 54 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 64 CONCEITO DE ANOMALIA GRAVIMÉTRICA Anomalia significa desvio da normalidade ou do esperado Assim anomalia gravimétrica g é definida como CORREÇÃO ANOMALIA Elipsóide de referência Ar livre Ar livre Bouguer Bouguer simples Topográfica Bouguer completa e o g g g T B AL eq e C C C g g sen sen 1 4 2 e o g g Gravidade observada Gravidade esperada Após todas as correções e se estas foram precisas e corretas o campo gravimétrico resultante será devido a possíveis variações de densidade na subsuperfície Dependendo do campo esperado ou considerado temse diversos tipos de anomalias 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 65 CORREÇÃO ISOSTÁTICA ISOSTASIA O conceito de isostasia baseiase no princípio de equilíbrio de Arquimedes no qual um corpo ao flutuar desloca uma massa de água equivalente à sua própria Excessos de massa na crosta acima do nível dos mares são compensados por deficiências de massa abaixo do nível dos mares O equilíbrio isostático é atingido quando um acúmulo de carga ou perda de massa existente na parte emersa é contrabalançada respectivamente por uma perda de massa ou acúmulo de carga na parte submersa 107 108 14122018 55 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 65 CORREÇÃO ISOSTÁTICA Hipóteses de compensação isostática Os dois modos de compensação isostática de Airy e Pratt são fisicamente equivalentes e ocorrem na natureza Nas duas hipóteses de compensação isostática a superfície terrestre é considerada suficientemente rígida para preservar as feições topográficas e menos densa do que o substrato plástico Modelo de compensação isostática de Airy Modelo de compensação isostática de Pratt 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 65 CORREÇÃO ISOSTÁTICA A Escandinávia encontrase em fase de soerguimento de até 1 cmano retornando ao equilíbrio isostático devido ao desaparecimento do gelo que existia há cerca de 10000 anos Na Groenlândia está ocorrendo está ocorrendo o processo de subsidência devido ao peso da espessa camada de gelo da sua superfície de modo que suas rochas se encontram abaixo do nível do mar Exemplos de falta de equilíbrio isostático 109 110 14122018 56 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 65 CORREÇÃO ISOSTÁTICA Anomalia gravimétrica de Bouguer transcontinental Anomalias de Bouguer negativas são normalmente encontradas sobre regiões continentais montanhosas onde as massas estão compensadas em equilíbrio isostático Então as raízes das montanhas são responsáveis pelas anomalias negativas acima dessas áreas Anomalias de Bouguer positivas são normalmente encontradas sobre as regiões oceânicas Então a proximidade do manto abaixo das bacias oceânicas causa as anomalias positivas acima dessas áreas 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 65 CORREÇÃO ISOSTÁTICA Região com massa isostaticamente compensada Aplicandose a correção isostática toda a massa acima da profundidade de compensação é eliminada resultando em anomalia igual a zero quando há equilíbrio isostático A correção isostática consiste em eliminar esse efeito compensação de massas a traves do conhecimento da espessura da crosta As anomalias de Bouguer em escala continental devidas à compensação de massa na crosta Isostasia podem ser eliminadas por meio da correção isostática 111 112 14122018 57 6 VARIAÇÕES DA GRAVIDADE E CORREÇÕES 65 CORREÇÃO ISOSTÁTICA Região com massa não compensada Aplicandose a correção isostática pode resultar um valor de anomalia diferente de zero porque a profundidade de compensação não está correta Sobre regiões não compensadas ou sem equilíbrio isostático as anomalias Bouguer podem ser positivas ou negativas 71 Introdução 72 Métodos espectrais Condições de Dirichlet A transformada de Fourier 73 Filtragem 74 Espectro de uma anomalia gravimétrica genérica 75 Filtros de continuação 76 Filtros de derivadas verticais 77 Filtros de derivada horizontal 78 Filtros de separação regional residual Suavização ao olho Media móvel Ajuste de polinômios 79 Filtros direcionais 710 Construção de filtros Passabaixa Passaalta Passabanda 711 Filtragem de cascata Método Gravimétrico 7 Processamento de dados gravimétricos 113 114 14122018 58 71 INTRODUÇÃO 7 PROCESSAMENTO A primeira etapa do processamento de dados gravimétricos consiste na aplicação das correções das variações temporais e espaciais do campo gravimétrico com a obtenção da anomalia de Bouguer O mapa de anomalias de Bouguer representa quando as correções foram efetuadas corretamente o campo gravimétrico devido a variações de densidade em subsuperfície Na prospecção geofísica as anomalias de Bouguer podem refletir a superposição dos efeitos produzidos por mais de uma fonte em subsuperfície por exemplo falhas dobras lineações intrusões corpos mineralizados domos de sal irregularidades na superfície do embasamento afloramentos e variações na espessura da camada de intemperismo Conseqüentemente antes da interpretação das anomalias de Bouguer devese eliminar os efeitos das fontes indesejáveis ruídos O processamento pode ser considerado como mais uma correção aplicada à anomalia de Bouguer que visa separar as anomalias produzidas por fontes com características distintas seja com a finalidade de simplificar a interpretação ou seja simplesmente para eliminar a componente da anomalia que não é de interesse Gouvêa e Costa 1995 Figura 71 Representação esquemática de anomalias devidas a um corpo mineralizado e heterogeneidades localizadas próximas à superfície 71 INTRODUÇÃO cont 7 PROCESSAMENTO As pequenas heterogeneidades próximas á superfície afloramentos compactação diferencial variações na espessura da camada de intemperismo fazem com que os valores medidos oscilem muito mais freqüentemente do que os valores produzidos por heterogeneidades maiores e mais profundos As pequenas heterogeneidades próximas a superfície produzem efeitos com altas freqüências em relação aos efeitos dos demais A freqüência de oscilação é quantificada em ciclos por metro freqüência espacial Quanto maior e mais profunda a fonte menor será a freqüência espacial a ela associada 115 116 14122018 59 Gouvêa e Costa 1995 Figura 72 Representação esquemática da superposição de anomalias devidas a um corpo mineralizado sulfetos maciços por exemplo e uma estrutura profunda em subsuperfície 71 INTRODUÇÃO cont 7 PROCESSAMENTO O corpo mineralizado produz um arqueamento localizado no centro do perfil de medidas enquanto a estrutura profunda é responsável pelo declive do perfil Os valores associados à estrutura profunda constituem o que é denominado de anomalia regional A remoção da anomalia regional consiste em filtrar as freqüências associadas à estrutura profunda freqüências mais baixas deixando somente as freqüências relacionadas ao efeito do corpo mineralizado Os valores resultantes da filtragem constituem o que é denominado de residual 71 INTRODUÇÃO 7 PROCESSAMENTO Para a separação das anomalias devem ser conhecidas as características das fontes porem na prática essa informação é somente conhecida parcialmente ou mesmo inferida de modo que a separação pode não ser muito efetiva Figura 73 Ilustração da separação de anomalias residuais e regional 117 118 14122018 60 72 MÉTODOS ESPECTRAIS 7 PROCESSAMENTO Aplicando as técnicas de separação de sinais de freqüência diferente filtragem é possível separarse em parte o efeito das fontes indesejáveis a fim de que se possa interpretar somente as fontes procuradas nos levantamentos A grande restrição do processamento por métodos espectrais reside no fato do sinal e do ruído apresentarem uma certa superposição no seu espectro Os métodos espectrais de filtragem baseiamse na propriedade em que o campo gravimétrico pode ser representado pela Série de Fourier 1 0 0 0 sen cos n n n x n b x n a g g x em que 0 é a freqüência angular fundamental Os coeficientes an e bn são 71 321 sen 2 3210 cos 2 2 2 2 2 n n x dx g x b n n x dx g x a n n em que 2 é a freqüência angular espacial o comprimento de onda A freqüência n0 é conhecida como o nésimo harmônico da freqüência angular fundamental 0 O coeficiente g0 corresponde a um deslocamento por igual das intensidades da função ou seja corresponde a um nível base 72 73 Gouvêa e Costa 1995 Figura 74 Exemplo de decomposição de uma função medida geofísica em uma serie de componentes de diferentes freqüências 72 MÉTODOS ESPECTRAIS cont 7 PROCESSAMENTO Uma medida geofísica pode ser aproximada por uma superposição de ondas elementares parte das quais correspondendo às informações desejadas anomalia parte às informações indesejadas ruído 119 120 14122018 61 7 PROCESSAMENTO 721 Condições de Dirichlet 3 A função gx deve possuir um número finito de máximos e mínimos 4 A integral deve convergir g x dx Existem 4 condições conhecidas como condições de Dirichlet para que uma função possa ser representada pela equação 71 1 A função gx deve ser periódica 2 A função gx deve ser pelo menos seccionalmente continua ter um número finito de descontinuidades finitas No caso do campo gravimétrico a condição 2 é automaticamente satisfeita o campo é o gradiente do potencial que é uma função harmônica que tem 1as e 2as derivadas continuas A condição 4 é satisfeita como conseqüência da condição 2 A condição 3 decorre do fato de que os máximos e mínimos em gx são provocados por variações na densidade volumétrica dos materiais que são sempre finitas A condição 1 não é satisfeita mas este fato tem pouca importância uma vez que se gx não é periódica mas definida em um dado intervalo a serie 71 ainda converge para gx no intervalo Fora do intervalo a serie representa a repetição de gx Na prática o interesse é que gx possa ser expressa por 71 apenas no intervalo da amostragem a extensão periódica fora do intervalo tem pouca importância para fins de processamento exceto pelo efeito de borda introduzido 7 PROCESSAMENTO 722 A Transformada de Fourier Os métodos espectrais consistem em analisar e modificar o espectro do campo gravimétrico gx de modo a realçar determinadas características e reduzir ou eliminar outras Para isto a transformada de Fourier de gx é obtida dx g x e F ix desenvolvendo x i x e i x sen cos xdx g x x dx g x F sen cos Substituindo 71 em 75 74 75 xdx x n b x n a g i xdx x n b x n a g F n n n n n n sen sen cos cos sen cos 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 sen sen sen cos sen cos sen cos cos cos n n n n n n xdx x n b xdx x n a i xdx ig xdx x n b xdx x n a xdx g F 76 121 122 14122018 62 7 PROCESSAMENTO 722 A Transformada de Fourier cont Devido às propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos as integrais são nulas para todo n Portanto a eq 76 resulta em x dx x n a xdx x n b n n sen cos cos sen 0 0 senxdx e 1 0 0 0 sen sen cos cos cos n n n xdx x n ib xdx x n a xdx g F 77 A primeira integral da equação 77 é cos 1 x dx I 77a em que é a função de Dirac A segunda integral da equação 77 pode ser escrita utilizando as relações de Euler dx e e e e xdx x n I i x i x x in x in 2 2 cos cos 0 0 0 2 dx e e e e e e e e I i x x in i x x in i x x in x i x in 0 0 0 0 4 1 2 dx e e dx e e I x i n x i n x i n x n i 2 2 1 2 2 1 2 0 0 0 0 x dx n x dx n I cos 2 1 cos 2 1 0 0 2 2 1 2 1 0 0 2 n n I 77b dx i e e i e e xdx x n I i x i x x in x in 2 2 sen sen 0 0 0 3 dx e e e e e e e e I i x x in i x x in i x x in x i x in 0 0 0 0 4 1 3 dx e e dx e e I x i n x i n x i n x n i 2 2 1 2 2 1 3 0 0 0 0 x dx n x dx n I cos 2 1 cos 2 1 0 0 3 2 1 2 1 0 0 3 n n I 7 PROCESSAMENTO 722 A Transformada de Fourier cont 77c Substituindo 77a 77b e 77c em 77 1 0 0 0 0 0 2 2 n n n n n ib n n a g F 78 A eq 78 mostra que 2 2 0 n n i b a F n e 0 0 g F A terceira integral da eq 77 pode ser escrita utilizando as relações de Euler 123 124 14122018 63 Portanto o termo eix na transformada de Fourier atua como um operador extraindo da função gx somente as componentes com freqüência ie F F 7 PROCESSAMENTO 722 A Transformada de Fourier cont A função F é em geral complexa Em que a função F é o espectro de amplitude e a função é o espectro de fase Utilizando a identidade de Euler temos que F A iB assim Re n0 F 2 n a n0 0 n Im n0 F 2 nb n0 0 n 2 nb 2 2 B A F e A B arctg 79 710 73 FILTRAGEM 7 PROCESSAMENTO O processo de filtragem de dados gravimétricos pode ser esquematizado por gx T F D G G K G T F I x g O dado gravimétrico filtrado gx resulta das seguintes transformações Transformação de gx para o domínio das freqüências G através da transformada de Fourier direta T F D Multiplicação do espectro dos dados gravimétricos G pelo filtro K que modifica o espectro original conservando as componentes de interesse e eliminando as outras resultando assim o espectro filtrado G Aplicando a transformada inversa de Fourier T I F no espectro G obtémse os dados gravimétricos filtrados no domínio do espaço gx Figura 75 Ilustração do processo de filtragem de anomalias devidas a 2 tipos de fontes gravimétricas corpo mineralizado e heterogeneidades próximas à superfície em que é pressuposto que os 2 tipos de anomalias têm características diferentes no domínio das freqüências T F D x g x altas freqüências G altas freqüências baixas freqüências c 125 126 14122018 64 73 FILTRAGEM cont 7 PROCESSAMENTO Neste exemplo supõese também que as anomalias devidas as heterogeneidades superficiais possuem componentes com freqüências maiores que c e a anomalia do corpo mineralizado só possua componentes com freqüências menores que c Esta suposição é falsa na maioria dos casos práticos sendo portanto esta a grande limitação dos métodos espectrais de filtragem G c K Filtro Ideal Conserva c Rejeita c c 1 G c G c x g x Anomalia devida ao corpo mineralizado x T F I 74 ESPECTRO DE UMA ANOMALIA GRAVIMÉTRICA GENÉRICA 7 PROCESSAMENTO Para um entendimento claro do processo de filtragem de dados de campo potencial ie G GK é imprescindível ter um bom entendimento das propriedades da função G que é o espectro do campo potencial gx O campo potencial gx que é o gradiente de uma função harmônica que é uma solução da equação de Laplace será responsável pela maior parte das propriedades de G que serão úteis no processamento Identidades de Green As identidades de Green são uma serie de relações entre funções harmônicas e suas derivadas através de uma região que pode ser fechada por uma superfície continua Elas são usadas para especificar formas em que funções harmônicas individuais podem ser determinadas a partir de medições de outras quantidades relacionadas ou quantidades de outros lugares na região Por exemplo gradientes da função na superfície fechada podem ser usadas para determinar valores da função em pontos no interior da região Em particular podem ser utilizadas medidas do campo sobre uma superfície para calcular valores do campo em outra superfície fornecendo assim uma forma para levar a cabo as continuações de campos potenciais 127 128 14122018 65 7 PROCESSAMENTO Identidades de Green Dadas duas funções continuas f e h com derivadas parciais de primeira ordem continuas A função h tem derivadas parciais de segunda ordem também continuas numa região fechada R limitada por uma superfície S Por meio da aplicação do Teorema de Divergência podese mostrar A eq 711 é denominada de primeira identidade de Green R s h dv f h f n ds h f 2 711 R s f dv h h f n ds h f n h f 2 2 712 e ds r r n f n r r ds f r dv r f P f s s R 1 4 1 1 4 1 4 1 2 Sendo a equação 712 a segunda identidade de Green e a equação 713 a terceira identidade de Green 713 Se f e h são funções continuas e com primeiras e segundas derivadas parciais continuas temse Figura 76 Região R onde se encontram localizados o ponto genérico P e o ponto de integração Q O P r r r r R Q 7 PROCESSAMENTO Camada equivalente Para a demonstração da existência da camada equivalente em gravimetria podese considerar que a função f é o potencial gravimétrico U Logo lembrando que 2U0 então a equação da 3o identidade de Green eq 713 tornase Sendo a função h também harmônica ie2h0 a 2o identidade de Green tornase ds n h U n h U s 4 1 0 714 715 Combinando a segunda e terceira identidades de Green eqs 715 de 714 para funções harmônicas U e h obtémse ds r r n U n U r r P U s 1 1 4 1 ds h r r n U n U h r r P U s 1 1 4 1 716 ds n U h r r P U s 1 4 1 717 Se a função h for tomada como uma função de Green de segunda espécie isto é tal que a sua derivada em qualquer ponto de S seja igual e de sinal contraio à derivada de em S então a eq 716 tornase 129 130 14122018 66 7 PROCESSAMENTO Camada equivalente cont Figura 96 Ilustração da região R no semiespaço e o hemisfério de raio infinito A função U é harmônica no semiespaço z0 e considerase com valores conhecidos sobre a superfície z0 Particularizando a região R como o espaço sem fontes limitada por um plano e um hemisfério de raio infinito temse que a função de Green h é igual a e 1 2 12 2 2 1 1 r r d z y y x x h 2 12 2 2 1 1 d z y y x x r r 718 hemisfério de raio infinito O d P x y y z x Q x y d T r r 1r r r 0 x y z 0 2 U h 1 fontes O ponto T é o ponto imagem do ponto P tal que as distancias PQ e TQ são iguais quando o ponto Q está sobre a superfície z0 Substituindo 718 em 717 e levando em conta que a superfície S é agora o plano xy0 e conseqüentemente temse 7 PROCESSAMENTO Camada equivalente cont z n ˆ ˆ dxdy z U r r r r P U z z 0 0 1 1 1 4 1 ou dxdy z U r r P U z 0 1 2 1 719 Por outro lado tomando da expressão genérica do potencial gravimétrico utilizada para calcular o potencial devido a uma distribuição arbitraria de densidade expressa por r dv r r r U V 720 e particularizando a distribuição de densidade tridimensional como uma distribuição superficial de densidade confinada a um plano xy0 o volume V em 720 que limita as fontes tridimensionais se reduz ao plano r r A eq 719 é o potencial no ponto P devido a uma distribuição tridimensional arbitraria de fontes r dxdy r r U r 721 131 132 14122018 67 7 PROCESSAMENTO Camada equivalente cont Portanto da comparação das equações 719 e 723 podese concluir Assim a partir das eqs 719 e 721 a substituição da geometria complexa das fontes de anomalias por uma distribuição de densidade no plano z0 camada fina é dada por 0 2 1 z z U r substituindo 722 na equação 721 temse dxdy z U r r r U z 0 1 2 1 723 722 O potencial devido a uma distribuição tridimensional arbitraria de fontes eq 719 é exatamente igual ao potencial devido a uma distribuição bidimensional de densidade chamada camada equivalente eq 723 Essa distribuição bidimensional de densidade é dada pela eq 722 e é igual ao campo gravimétrico na camada equivalente plano z0 dividido por 2 7 PROCESSAMENTO Espectro do campo gravimétrico As propriedades do espectro do campo gravimétrico G podem ser mostradas partindo da equação do potencial gravimétrico em coordenadas cartesianas xyz devido a distribuições de densidade no semi espaço inferior expressa como 0 2 1 2 2 2 dx dy dz z z y y x x y z x U x y z 724 A integral dupla em x e y na eq 724 pode ser escrita na forma de uma convolução bidimensional 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 z z y x x y z dx dy z z y y x x y z x O teorema de convolução estabelece que se duas funções são convolvidas no domínio dos espaços então as suas transformadas de Fourier são multiplicadas no domínio das freqüências Então levando em conta 725 a eq 724 pode ser escrita 0 2 1 2 2 2 1 dz z z y x x y z U x y z 926 725 133 134 14122018 68 7 PROCESSAMENTO Espectro do campo gravimétrico cont Aplicando a transformada de Fourier dupla em x e y a ambos lados da eq 726 727 onde sendo 2TX e 2TY as freqüências espaciais nas direções x e y respectivamente TX e TY são os períodos nas direções x e y respectivamente 0 2 1 2 2 2 1 dz z z y x x y z U x y z 729 dxdy U x y z e x y z U y x i dxdy e x y z y z x y x i dxdy e z z y x z z y x y i x 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 728 Battacharyya 1966 Geophysics v 31 p97121 mostrou que a transformada de Fourier da eq 728 é expressa como 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 z z y i x e dxdy e z z y x Para eliminar a integral em z na eq 731 utilizase o conceito da camada equivalente 7 PROCESSAMENTO Espectro do campo gravimétrico cont Levando em conta as eqs 729 e 728 a eq 727 pode ser escrita como 730 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2 dz e x y z x y z U z z 731 Assim o campo gravimétrico a partir da eq 730 resulta em 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2 dz e x y z z G z z z 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2 dz e z x y z G z z z 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 dz z e e x y z G z z z 0 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 dz e e x y z G z z z 0 2 2 1 2 2 dz e x y z G z z z como normalmente se mede a componente vertical do campo gravimétrico gz ela pode ser obtida aplicando sendo z U x y z g z z z g G 135 136 14122018 69 7 PROCESSAMENTO Espectro do campo gravimétrico cont 2 1 2 2 2 dx dy z d y y x x y d x U x y z Assim na equação do potencial gravimétrico eq 724 a distribuição tridimensional de densidade xyz pode ser substituída por uma distribuição bidimensional xyd localizada a uma profundidade d Então a eq 724 em termos da distribuição xyd é escrita como Através do mesmo processo empregado para transformar a eq 724 para o domínio das freqüências eq 731 a eq 732 no domínio das freqüências é expressa como 732 2 1 2 2 2 z d z e x y d G 733 A equação acima é a expressão do espectro do campo gravimétrico em termos da camada equivalente e é valida para qualquer campo gravimétrico 7 PROCESSAMENTO Espectro do campo gravimétrico cont A análise da eq 733 permite obter expressões para os seguintes filtros no domínio das freqüências 1 Continuação para cima 2 Continuação para baixo 3 Derivadas verticais do campo 4 Derivadas horizontais do campo Os filtros que separam anomalia regional da anomalia residual fontes extensas e profundas de fontes pequenas e rasa podem ser obtidas através da determinação da freqüência de corte ótima a partir da análise da eq 733 e de outras informações a priori sobre as fontes 137 138 14122018 70 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO Substituindo a expressão r dada em 722 na equação do espectro do campo gravimétrico eq 733 e levando em conta que gzUz e considerando que a camada equivalente na eq 733 está situada em zd ao invés de z0 obtémse 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 z d z z d z e x y d g e x y d G 2 1 2 2 z d z z e x y d g z G 2 1 2 2 z d z z d e G z G 734 sendo g z x y d é o campo gravimétrico ao nível da camada equivalente d Gz é a transformada de Fourier de gz A eq 734 mostra que no domínio das freqüências o campo gravimétrico em todo o espaço onde não há fontes Gzz pode ser obtido a partir do campo no plano zd Gzd através de uma operação de filtragem com o filtro expresso por 2 1 2 2 e h K 735 onde h é a distancia entre o plano de observação zd e o plano onde se quer obter o campo Se h é negativo d z a continuação é para baixo Se h é positivo z d a continuação é para cima 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont 3 6 9 12 15 18 21 24 27 k 0 Filtro de continuação para cima h 1x x intervalo de amostragem Contornos em decibel Fv em db 20 log10 Fv A eq 735 mostra que os filtros de continuação têm as seguintes propriedades O filtro tem simetria radial e pode ser representado por um perfil em 0 O espectro do filtro é uma exponencial com parâmetro h O filtro de continuação para cima é uma exponencial negativa ou seja todas as freqüências são atenuadas mas as altas freqüências são atenuadas mais que as baixas freqüências 139 140 14122018 71 7 PROCESSAMENTO O filtro de continuação para baixo é uma exponencial positiva ou seja todas as freqüências são realçadas mas as altas freqüências são realçadas mais que as baixas freqüências 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Filtro de continuação para baixo h 1x x intervalo de amostragem Contornos em decibel Fv em db 20 log10 Fv v 3 9 12 15 18 21 24 27 6 k 0 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont O filtro K de continuação para cima no domínio dos espaços pode ser obtido facilmente através da eq 729 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 h e h y x em que o símbolo significa um par de transformados de Fourier Logo derivando ambas as expressões com relação a h e dividindo por 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 h e h h y x h 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 e h h y x h Lembrando que o filtro de continuação é dado por 735 2 1 2 2 e h K Obtémse o filtro de continuação para cima no domínio dos espaços 3 2 2 2 2 2 h y x h k x y h 736 737 141 142 14122018 72 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Assim as operações de filtragem no domínio das freqüências e no domínio dos espaços são equivalentes K G G z z com dado por 735 K k x y x y g x y g z z com dado por 737 para h 0 x y k No filtro de continuação para baixo h deve ser negativo então não há uma expressão analítica para o operador kxy no domínio dos espaços Para esta operação de filtragem um operador discreto knxmy pode ser obtido pela transformação numérica de K Aplicações dos filtros de continuação para cima São empregados para se obter uma visualização do campo gravimétrico produzido por grandes feições uma vez que a grandes distancias das fontes o efeito de fontes pequenas é desprezível São empregados para redução de levantamentos realizados em níveis diferentes mais comumente no levantamentos aerogravimetricos a um nível comum 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Exemplo de aplicação do filtro de continuação para cima Anomalia de Bouguer completa com intervalo de contornos 2 mGal Palowski 1995 10 Km 10 Km Anomalia de Bouguer completa depois da continuação para cima de 1000 m Intervalo de contornos 2 mGal Palowski 1995 143 144 14122018 73 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Aplicações dos filtros de continuação para baixo São normalmente empregados para se aumentar a resolução de campo gravimétrico Podem também ser empregados para fornecer uma indicação sobre a profundidade das fontes Uma restrição importante é que o filtro de continuação para baixo só pode ser aplicado para se obter o campo até um nível igual ao topo das fontes Além desse ponto a equação de Laplace não é mais valida Uma regra pratica é que os dados só devem ser continuados até uma profundidade equivalente a 23 da profundidade do topo das fontes Na prática devido a presença de ruídos de altas freqüências nos dados observados o filtro de continuação para baixo amplifica demasiadamente esse ruído de modo a surgirem oscilações no campo continuado para baixo a níveis muito acima do topo das fontes Outra regra pratica é tentar eliminar o ruído de alta freqüência do campo G antes de multiplicálo pelo filtro de continuação para baixo 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Representação esquemática da aplicação do filtro de continuação para baixo x T F D G Sinal ruído de alta freqüência Espectro do campo observado k Filtro de continuação para baixo Campo verdadeiro g x Campo contaminado por ruído de alta freqüência Campo observado x T F I G Sinal continuado para baixo Ruído altamente amplificado Espectro do campo filtrado g x x Oscilações devidas à amplificaçãodo ruído Campo filtrado 145 146 14122018 74 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Exemplo de procedimento para eliminar o ruído de altas freqüências G1 c x x G1 k2 c k1 1 G2 Ampliação do ruído eliminada G c G2 oscilações suprimidas g x x T F I O espectro do campo G é multiplicado por um filtro ideal de passa baixa e posteriormente por um filtro de continuação para baixo 7 PROCESSAMENTO 75 FILTROS DE CONTINUAÇÃO cont Exemplo de aplicação do filtro de continuação para baixo Oldham 1967 147 148 14122018 75 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE DERIVADAS VERTICAIS d d G e x y g y x i z z Sendo gzxy o campo gravimétrico observado e Gz a sua transformada temos Substituindo Gz pela expressão do campo gravimétrico em termos da camada equivalente 733 d d e x y d e x y g y x i z d z 2 1 2 2 2 738 Tomando a derivada em relação a z de ambos os lados de 738 d d e z e x y d x y g z y x i z d z 2 1 2 2 2 d d e x y d e x y g z y x i z d z 2 1 2 2 2 2 1 2 2 d d e G x y g z y x i z z 2 1 2 2 739 741 Da eq 740 resulta o seguinte par de transformadas 2 1 2 2 z z G x y g z 740 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE DERIVADAS VERTICAIS cont Derivando a eq 739 novamente com relação a z d d e z e y d x x y g z y x i z d z 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 d d e G x y g z y x i z z 2 2 2 2 743 Da eq 742 resulta o seguinte para de transformadas 2 2 2 2 z z G x y g z 742 As eqs 741 e 743 permitem formular individualmente uma regra geral para o par de transformadas envolvendo a derivada vertical de ordem n do campo gravimétrico n z z n n G x y g z 1 2 2 2 744 As eq 744 mostra que a operação n nz no domínio dos espaços corresponde a uma multiplicação pelo fator 2 212n no domínio das freqüências 149 150 14122018 76 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE DERIVADAS VERTICAIS cont Como a multiplicação do espectro Gz por uma função no domínio das freqüências é uma filtragem concluise que a operação derivação pode ser obtida através de uma filtragem com filtro 743 Observe que tanto os filtros de continuação como os filtros de derivada vertical são reais no domínio das freqüências Então escrevendo a expressão geral de um filtro no domínio das freqüências como n K 1 2 2 2 Observase que para K ser real só pode assumir valores 0 ou Assim como os filtros de continuação os filtros de derivada vertical apresentam simetria radial e i K K Se for igual a 0 o filtro não modifica a fase do espectro original mas somente a amplitude Se for igual a o filtro produz uma reversão de fase uma vez que nesse caso K K 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE DERIVADAS VERTICAIS cont A reversão de fase significa que além da modificação produzida pela amplitude do filtro K há uma multiplicação por 1 o que remonta a inverter as amplitudes originais dos harmônicos contidos no sinal original O problema da reversão de fase é que ocorre apenas para algumas freqüências de modo que não é trivial detectar ou mesmo compensar a distorção introduzida no mapa filtrado Se a reversão de fase ocorresse para todas as freqüências o caso não seria tão serio já que uma vez identificado o problema seria suficiente multiplicar todo o mapa filtrado por 1 g x g x x x 151 152 14122018 77 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE DERIVADAS VERTICAIS cont Os filtros de derivadas verticais também amplificam as altas freqüências portanto os ruídos de altas freqüência devem ser suprimidos antes da aplicação de um filtro de derivada vertical O filtro de derivada mais comumente empregado em geofísica é o de 2o derivada vertical Isto porque para corpos cuja espessura é pequena comparada com a profundidade o contorno zero da 2o derivada vertical pontos de inflexão do campo coincide com os limites horizontais do corpo Esta figura ilustra a resposta espectral do filtro de segunda derivada vertical que é mais parecida com um filtro de passafaixa K 2o derivada ideal Filtro utilizado na prática atenuamse al altas freqüências 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE DERIVADAS VERTICAIS cont A principal utilidade do filtro de 1a derivada é realçar a diferença de textura nos campos produzidos por regiões distintas em termos da presença e distribuição de fontes Os mesmos problemas com amplificação de ruído ocorrem mas em escala menor comparados com os filtros de 2a derivada Filtros de derivadas verticais de ordem acima de 2o são raramente empregados x g x x Separação entre duas áreas texturalmente diferentes é realçada g x z Os filtros de 1a derivada vertical têm sido menos freqüentemente empregados em métodos potenciais Os filtros de 1a derivada vertical para realce de textura têm sidos mais utilizados em magnetometria que em gravimetria 153 154 14122018 78 7 PROCESSAMENTO 77 FILTROS DE DERIVADAS HORIZONTAL Das propriedades da Transformada de Fourier sabemos que se fx tem transformada F então i F dx f x d F i f x dx d n n n No caso do campo gravimétrico gxy é uma função de duas variáveis de modo que podemos calcular a derivada nas direções x e y z n z n n G i x y g x z n z n n G i x y g y Os filtros de derivadas horizontais têm sido pouco usados nos métodos potenciais e na magnetometria mais que na gravimetria para esquemas de interpretação que utilizam além do campo total as primeiras derivadas horizontais Raramente são utilizados filtros de derivadas horizontais de ordem superior a 1 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL Campo regional pode ser definido como aquilo que se tira do campo observado para que o que restou fique parecido com uma anomalia Numa definição mais objetiva o campo regional é considerado como sendo o campo produzido por variações de densidade muito suaves dentro da área de observação x Variação suave do campo devido à variação na espessura da crosta Anomalias devidas às intrusões intrusões CROSTA MANTO 267 303 g x Exemplo variações na espessura da crosta podem causar variações muito suaves no campo dentro de uma área com centenas de kilometros de comprimento 155 156 14122018 79 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Em geral considerase como sendo parte do campo regional todos os sinais com comprimentos de onda muito maiores que as feições em que nós estamos interessados O campo regional contém informações sobre fontes que são maiores ou mais profundos que aqueles que são alvo do estudo A diferença entre as observações originais e o campo regional é chamado de campo residual O campo residual contém os sinais de interesse mais sinais de fontes com comprimentos de onda mais curtos que incluem qualquer ruído de alta freqüência Há vários métodos para fazer a separação entre regional e residual Esses métodos podem ser divididos em dois grupos 1 os que são aplicados no domínio do espaço e 2 os que são aplicados no domínio de freqüência espacial número de onda Os métodos no domínio do espaço incluem a simples técnica gráfica ajuste dos dados e vários tipos de convolução espacial Os métodos no domínio de freqüência espacial número de onda envolvem vários tipos de filtragens 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Técnicas gráficas É uma técnica subjetiva em que o interprete usa sua habilidade experiência e conhecimento dos parâmetros do sinal baseado informações geológicas para determinar que comprimentos de onda serão removidos Para realizar a separação o interprete faz uma suavização traçando a tendência regional do campo desprezandose as oscilações de pequena extensão Esta técnica é bastante subjetiva e só deve ser usada como uma estimativa muito rápida e grosseira regional Campo observado gz x regional Campo observado Amplitude residual Largura residual gz x Suavização gráfica de um perfil de anomalia de Bouguer para separar o campo regional e residual 157 158 14122018 80 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Perfis observados gravimétrico observado anomalia de Bouguer completa anomalia residual e porosidade Seção Geológica Perris Valley California 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Exemplo de separação regional residual em mapas de contornos Suavização gráfica de um mapa de contornos de Bouguer linhas cheia no mapa 1 para obter o mapa gravimétrico regional linhas tracejadas no mapa 2 Da subtração dos valores regionais dos correspondentes valores interpolados do mapa de Bouguer resulta o mapa 3 que corresponde as anomalias locais residual Mapa 1 Mapa 2 Mapa 3 159 160 14122018 81 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Ajuste dos dados Este método envolve o ajuste dos dados observados com uma função matemática fxy que pode ser um polinômio splining ou outros O ajuste de polinômios consiste em se ajustar pelo método dos mínimos quadrados polinômios de ordem n na variável independente Quanto menor n maiores serão as feições preservadas eliminandose as outras menores Um critério para essa escolha consiste em se ajustar vários polinômios aos dados observados com n12 N Plotase um gráfico do resíduo contra n e observase o valor de n para o qual há uma variação brusca na curva interpolada entre os valores do resíduo n 1 2 3 4 5 6 7 Mudança brusca do gradiente Adotase n 4 N i i n i z n P x x g R 1 2 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Exemplo de ajuste de polinômios Mapas de contornos que ajustam o mapa do campo gravimétrico de Bouguer Mapas de contornos residuais do campo gravimétrico 161 162 14122018 82 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Exemplo de ajuste de polinômios Perfis do gravimétrico observado anomalia de Bouguer Ilustração do aumento do ajuste e diminuição do campo residual 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Convolução espacial A família principal de tais operadores estão baseados na media móvel de pontos compreendidos em um único circulo ou círculos múltiplos Este tipo operadores requerem que os dados sejam distribuídos em uma malha regular Foram desenvolvidos vários tipos de operadores espaciais quando convolvidos com os dados observados resultam em separação de anomalias A escolha do raio do circulo é critica para a eficiência do filtro que pode ser realizada repetindo o processo 4 4 3 2 1 z z z z R z g g g g g Campo regional Campo residual R z z res z g g g Esta operação também é denominado de convolução discreta espacial Quanto maior o raio serão preservadas as freqüências menores campo regional 163 164 14122018 83 7 PROCESSAMENTO 76 FILTROS DE SEPARAÇÃO REGIONALRESIDUAL cont Analise espectral A separação de anomalias é mais freqüentemente realizada aplicando filtros em dados que foram transformados ao domínio da freqüência número de onda A anomalia filtrada ou separada dos dados é então transformado ao domínio do espaço para inspeção visual T F D x g x altas freqüências G altas freqüências baixas freqüências c K Filtro Ideal Conserva c Rejeita c c 1 x g x T F I x G c BIBLIOGRAFIA Gouvêa L J e Silva C L M 1995 Geofísica de prospecção Vol 1 Editora Cejup Ltda Belém PABrasil 312 pp Silva B C J 1986 Métodos potenciais Gravimetria CPRM Blakely R J 1996 Potential Theory in Gravity Magnetic Applications Cambridge University Press UK 441 pp 165 166