Análise Dimensional em Fenômenos de Transporte

Disciplina Fenômenos de Transporte I Profa Cristiane M Leal Costa ANÁLISE DIMENSIONAL Dimensões Primárias e Secundárias Descrever qualitativamente as características envolvidas no estudo de mecânica dos fluídos Quantidades primárias comprimento massa tempo e temperatura Quantidade primárias Quantidades secundárias p ex velocidade e massa específica Símbolo utilizado para indicar a dimensão da quantidade secundária Quantidade primárias são também denominadas Dimensões básicas Problemas de mecânicas do fluídos 3 dimensões básicas MLT massa comprimento tempo FLT força comprimento tempo Transformar F M ou viceversa pela 2a lei de Newton Tabela das dimensões associadas a algumas quantidades físicas usuais Assunto Análise Dimensional Profa Cristiane M Leal Costa Objetivos Verificar a homogeneidade dimensional das equações Rescrever equações válidas inicialmente em um sistema de unidades modificando o valor numérico de sua cte Dimensional tornandoa válida para o novo sistema de unidades considerado Obtenção de fórmulas monômias Teorema de Bridgman e de relações funcionais entre vários grupos adimensionais Teorema de Buckinghman Similaridade e construção de modelos Aplicações Homogeneidade dimensional Todas as eq teóricas são dimensionalmente homogêneas Exemplo 1 Eq da velocidade de um corpo uniformemente acelerado V Vo at Exemplo 2 3 3 dx d P onde P é uma força e x comprimento Exemplo 3 Quais as dimensões de A e B na expressão 0 BX dt dX A dt X d 2 2 Sendo X comprimento e t tempo Exemplo 4 Qual a dimensão da variável X sendo P pressão e massa específica 3P X Assunto Análise Dimensional Profa Cristiane M Leal Costa Reescrever equações dimensão das constantes das equações Algumas eq verdadeiras contém constantes que apresentam dimensionalidade Forma particular da eq para distância percorrida por um corpo em queda livre 2 e gt2 cte adimensional Entretanto o valor de g no sistema SI é 98 ms2 e 49t2 eq válida somente do SI e a cte é dimensional LT2 Exemplo 5 A força por unidade de área tensão ou pressão que um líq Em movimento exerce sobre a parede de uma tubulação pode ser calculado pela fórmula empírica 00021V2R13 onde é massa específica do líquido lbmft3 V é velocidade média do líq fts e R é o quociente da seção reta pelo perímetro molhado raio hidráulico medido em ft Modificar esta equação para que a mesma dê resultados para no sistema SI dado 1ft 03048m Assunto Análise Dimensional Profa Cristiane M Leal Costa Previsão de equações Teorema de Bridgman e Teorema de Buckingham Teorema de Bridgman Qualquer grandeza secundária pode ser expressa como um produto de uma constante e de potências convenientes das grandezas primárias Seja G uma grandeza física que depende das grandezas A B C Sendo g o valor numérico de G e a b c os valores numéricas de A b C vale a relação g k abc K é uma constante de proporcionalidade e pode ser específica ou universal Específica é quando k depende das propriedades das grandezas envolvidas ou do fenômeno em si viscosidade dx dv Universal não depende do material nem do fenômeno pex energia cinética 2 mv2 1 A análise dimensional não fornece condições para estimar o valor numérico de cte k teoricamente ou experimentalmente Exemplo 6 Estabeleça a equação para a velocidade V de um corpo que cai livremente de uma altura h a partir do repouso A velocidade dependerá da aceleração da gravidade g e da altura h Exemplo 7 Em duto de comprimento L escoa um fluido de viscosidade absoluta e massa específica demonstre que a eq da velocidade de escoamento é dada por V k L11 Assunto Análise Dimensional Profa Cristiane M Leal Costa Exemplo 8 A vazão volumétrica em um vertedor retangular varia diretamente com o comprimento e além de ser uma função da altura de carga H e da aceleração da gravidade g Estabelecer a forma para esta vazão Teorema de Buckingham Em um dado problema físico a variável dependente x1 pode ser escrita em termos de variáveis independentes como x1 fx2 x3 x4 xK onde K representa o número total de variáveis P ex considerando um escoamento em regime permanente de um fluído incompressível e newtoniano num tubo horizontal que apresenta parede lisa Pl f d V Teorema de Buckingham exprime K r grupos de variáveis adimensionais chamado parâmetros onde r é o número de dimensões básicas MLT ou FLT incluídas nas variáveis podendo ser expresso por 1 f2 3 4 K r onde 1 inclui a variável dependente e os parâmetros remanescentes incluem somente variáveis independentes Determinação dos Termos método das variáveis repetidas Passo 1 Faça uma lista com todas as variáveis que estão envolvidas no problema A determinação das variáveis precisa ser realizada a partir do conhecimento experimental do problema e das leis físicas que descrevem o fenômeno que está sendo analisado A relação de variáveis deverá conter aquelas que são necessárias para descrever a geometria do sistema pex diâmetro do tubo aquelas utilizadas para definir qualquer propriedade do fluido tal como a viscosidade dinâmica do fluido a as variáveis que indicam os efeitos externos que influenciam o sistema diferença de pressão que promove o Assunto Análise Dimensional Profa Cristiane M Leal Costa escoamento É importante também que as variáveis sejam independentes porque desejamos manter um número mínimo de variáveis Passo 2 Expresse cada uma das variáveis em função das dimensões básicas MLT ou FLT Passo 3 Determinar o número necessário de termos O número de termos é igual a K r onde K é o número de variáveis do problema e r é o número de dimensões de referência necessário para descrever estas variáveis As dimensões de referências usualmente são iguais as dimensões básicas e podem ser determinadas pela análise das dimensões das variáveis Passo 2 Passo 4 Escolha das variáveis repetidas O número de variáveis repetidas é igual ao número de dimensões de referência Todas as dimensões de referência precisam estar incluídas no grupo de variáveis repetidas e cada variável precisa ser dimensionalmente independente das outras isto significa que as variáveis repetidas não podem ser combinadas para formar um produto adimensional Também não se deve escolher a variável dependente como variável repetida porque usualmente as estas aparecem repetidas em mais de um termo Passo 5 Construa um termo pela multiplicação de uma variável não repetida pelo produto das variáveis repetidas elevadas a um expoente que torne a combinação adimensional Passo 6 Repita o Passo 5 para cada uma das variáveis não repetidas restantes Passo 7 Verifique se todos os termos são adimensionais Assunto Análise Dimensional Profa Cristiane M Leal Costa Este passo é realizado para verificar prováveis erros na obtenção do termo este podendo ser confirmado substituindo as variáveis dos termos pelas suas dimensões Passo 8 Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos e análise o significado da relação obtida Exemplo 9 Determinar a força F de resistência arraste ao avanço de uma esfera lisa mergulhada num fluido Variáveis que influenciam no escoamento dos fluidos classificamse a Comprimento característico condições geométricas diâmetro perímetro molhado raio hidráulico etc b Características cinemáticas e dinâmicas do escoamento velocidade tempo aceleração vazão pressão esforços de cisalhamento módulo de elasticidade coeficiente de compressibilidade etc c Propriedades físicas dos fluídos densidade peso específico viscosidade tensão superficial etc