Atividade 2

ANTÓNIO MANUEL ÁGUAS BORRALHO ISABEL CRISTINA RODRIGUES LUCENA MARIA AUGUSTA RAPOSO DE BARROS BRITO AVALIAR PARA MELHORAR AS APRENDIZAGENS EM MATEMÁTICA ORGANIZADORES Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha Maria José Freitas Mendes Miguel Chaquiam BELÉM PARÁ 2015 António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 2 Diretoria Regional da SBEMPA Diretora MARIA LÚCIA PESSOA CHAVES ROCHA ViceDiretora MARIA JOSÉ DE FREITAS MENDES 1º Secretário VERA LÚCIA GOUVÊA SMITH DA SILVA 2º Secretário ISABEL CRISTINA RODRIGUES DE LUCENA 3º Secretário ALAILSON SILVA DE LIRA 1º Tesoureiro JOÃO CLÁUDIO BRANDEMBERG 2º Tesoureiro RITA SIDMAR ALENCAR GIL Comitê Científico ADILSON OLIVEIRA DO ESPIRITO SANTO MIGUEL CHAQUIAM PEDRO FRANCO DE SÁ RAIMUNDO OTONI MELO FIGUEIREDO Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Belém Pará Brasil B737a Borralho António Manuel Águas Avaliar para melhorar as aprendizagens em matemática António Borralho Isabel Cristina Rodrigues Lucena Maria Augusta Raposo de Barros Brito Organizado por Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha Maria José de Freitas Mendes e Miguel Chaquiam Belém SBEMPA 2015 Coleção Educação Matemática na Amazônia 4 70 p ISBN 9788598092249 V 7 ISBN 9788598092171 Coleção 1 Matemática Avaliação I Borralho Antônio II Lucena Isabel Cristina Rodrigues III Brito Maria Augusta Raposo de Barros IV Rocha Maria Lúcia Pessoa Chaves V Mendes Maria José de Freitas VI Chaquiam Miguel VII SBEMPA VIII Título CDD 5107 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 3 APRESENTAÇÃO A publicação da quarta versão da Coleção Educação Matemática na Amazônia iniciada em 2010 pela SBEMPA Sociedade Brasileira de Educação Matemática durante a realização do IX EPAEM IX Encontro Paraense de Educação Matemática consolida o movimento de educação matemática em nossa região Essa publicação materializa o sonho de disponibilizar um espaço de divulgação da produção de conhecimentos no campo da educação matemática voltados à região Amazônica Consideramos importante apresentar aos estudantes de nível superior e professores da educação básica e superior da Amazônia um conjunto de obras diversificadas tendo em vista os avanços dos estudos sobre o campo da Educação Matemática nos diversos centros de estudos do país e mais recentemente na região Norte e principalmente em Belém do Pará Nesse sentido foram organizados os 11 volumes da Coleção IV Educação Matemática na Amazônia Uma das metas estabelecidas pela Diretoria Regional da SBEMPA é publicar a versão eletrônica desta coleção para ser disponibilizada gratuitamente por meio do site da SBEMPA bem como dar seguimento ao projeto da revista com a publicação da revista eletrônica intitulada Educação Matemática na Amazônia em Revista Neste volume os autores abordam um tema pertinente e de suma importância para o trabalho docente a avaliação Buscam aprofundamentos de estudos a fim de dirimir dúvidas esclarecer equívocos ampliar conceitos formar pensamento crítico articulações com o currículo e principalmente discutir as práticas avaliativas visando a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem Discutem a natureza das avaliações sob o foco das provas externas nacionais e internacionais em larga escala e das avaliações possíveis de serem realizadas no dia a dia Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha Maria José Freitas Mendes Miguel Chaquiam Organizadores António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 4 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 5 AVALIAR PARA MELHORAR AS APRENDIZAGENS EM MATEMÁTICA ANTÓNIO MANUEL ÁGUAS BORRALHO ISABEL CRISTINA RODRIGUES LUCENA MARIA AUGUSTA RAPOSO DE BARROS BRITO António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 6 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 7 SUMÁRIO AVALIAR PARA MELHORAR AS APRENDIZAGENS EM MATEMÁTICA 09 PARA INÍCIO DE CONVERSA 09 AVALIAÇÃO E CURRÍCULO 12 ASPECTOS TEÓRICOS SOBRE AVALIAÇÃO 14 SOBRE O DOMÍNIO CIENTÍFICO DA AVALIAÇÃO 14 CONCEPÇÕES DE AVALIAÇÃO 15 AVALIAÇÃO FORMATIVA E SOMATIVA NA CONCEPÇÃO E DESENVOLVIMENTO CURRICULARES 21 DESENVOLVIMENTOS RELEVANTES NO DOMÍNIO DA EDUCAÇÃO 21 DESAFIOS DA EDUCAÇÃO ESCOLAR 22 CONCEPÇÕES DE AVALIAÇÃO SOMATIVA E FORMATIVA 29 PRÁTICAS DE SALA DE AULA RELAÇÃO ENTRE AVALIAÇÃO FORMATIVA E SOMATIVA 34 A PROVA 34 OS RELATÓRIOS 37 AS COMPOSIÇÕES 38 O PORTFÓLIO 41 AS RUBRICAS 42 PRÁTICAS RELAÇÃO ENSINOAPRENDIZAGEMAVALIAÇÃO 44 EXEMPLO 1 46 EXEMPLO 2 55 PALAVRAS FINAIS OS DESAFIOS A VENCER 64 REFERÊNCIAS 67 SOBRE OS AUTORES 70 António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 8 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 9 AVALIAR PARA MELHORAR AS APRENDIZAGENS EM MATEMÁTICA PARA INÍCIO DE CONVERSA Todas as pessoas expressam alguma forma de avaliar o que dizem o que fazem o que pensam o que veem o que sentem individual ou coletivamente Isto é próprio da condição humana Talvez por conta dessa condição avaliação tem sido um dos mais complexos conceitos a ser compreendido e desenvolvido por meio de práticas coerentes Há pelo menos um grupo dentre o universo de humanos que vive esta complexidade de maneira marcante os professores Professor é quase sinônimo de avaliador Constantemente são tomados a avaliar o que fazem em suas práticas de ensino as aprendizagens dos alunos a maneira como avaliam aos outros e a si mesmo dentre outras desse universo educativo Portanto em se tratando do trabalho docente o tema avaliação é de extrema relevância É pertinente buscarmos aprofundamentos de estudos a fim de dirimirmos possíveis dúvidas esclarecer equívocos ampliar conceitos formar pensamento crítico e principalmente incomodarse com práticas de avaliação inadequadas do ponto de vista da melhoria das aprendizagens dos alunos Um incômodo que leve a algum tipo de transformação em direção a melhor qualidade da aprendizagem matemática realizada por meio do ambiente escolar Atualmente é comum que o termo avaliação logo seja associado aos resultados de testes e provas Parte dessa associação referese ao momento que vivemos mundialmente sob o foco das provas externas larga escala nacionais e internacionais No Brasil e em particular no estado do Pará os dados são alarmantes António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 10 1 Fraco desempenho dos alunos brasileiros em estudos de avaliação internacional PISA1 Programme for International Student Assessment que busca medir conhecimento e habilidade em leitura matemática e ciências de estudantes dos países membro da Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico OCDE como de países parceiros Mostra o Brasil na 38ª posição entre os 44 países que testaram habilidades de estudantes de 15 anos em resolver problemas estruturas de raciocínio e de lógica relacionados à situação do cotidiano Embora tenha havido uma ténue evolução positiva desde 2000 até 2012 2 Fraco desempenho dos alunos do Estado do Pará em avaliações nacionais Por exemplo em 2013 a Prova Brasil2 destinada ao Ensino Fundamental mostra resultados referentes as esferas municipal e estadual indicando que cerca de 13 dos alunos de 5º ano que realizaram a prova de matemática em todo Brasil alcançaram os níveis de 7 a 9 da escala de proficiência a escala vai de 1 a 10 e ainda considera níveis abaixo de 1 enquanto que a média em Belém não chegou a 3 considerando esses mesmos níveis 7 a 9 Ao que se refere ao 9º ano os últimos níveis da escala de 6 a 9 foram alcançados por quase 8 de alunos em termos de Brasil Tomando este mesmo parâmetro o resultado em Belém não chega a 25 o percentual de alunos que alcançaram tais níveis Fonte INEP 2015 3 Forte incidência para que a avaliação do desempenho dos alunos seja muito centrada em provas externas avaliação de larga escala 4 Forte incidência de práticas de treinamento para realização de testes ou inclusão de testes externos de esfera municipal e estadual com vista a melhoria do desempenho nas avaliações nacionais 1 Programa de avaliação comparada aplicada a estudantes na faixa dos 15 anos idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países É aplicado a cada três anos voltado para leitura ciências e matemática 2 A Prova Brasil é avaliação para diagnóstico em larga escala desenvolvida pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira InepMECTêm o objetivo de avaliar a qualidade do ensino oferecido pelo sistema educacional brasileiro a partir de testes padronizados e questionários socioeconômicos Ministério da Educação Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 11 Sobre o que está posto nos itens 1 e 2 e análises similares há grande divulgação em veículos de comunicação O fraco desempenho é sempre evidenciado em reportagens artigos científicos ou publicações mais voltadas aos professores da Educação Básica por meio de reuniões realizadas pelas Secretarias de Educação ou pelas próprias escolas Porém há pouco investimento em discutirproblematizar sobre a altíssima ênfase que a gestão da Educação Pública tem dado às provas externas como a principal fonte de resultados sobre o desempenho dos alunos e consequentemente da estimulação inequívoca de práticas de treinamento ou inclusão de provas municipais e estaduais intercaladas às provas nacionais como tentativas de melhorar os baixos índices de desempenho Antes de mais nada é preciso entender que existe diferenças cruciais entre a natureza das avaliações externas e das avaliações possíveis de serem realizadas no dia a dia da sala de aula sob o acompanhamento do professor e em interação com os alunos É indiscutível que as avaliações externas não podem tomar o lugar das avalições internas pois somente essas são possíveis de serem realizadas cotidianamente sob o planejamento e na interlocução e atenção de alunos e professores No entanto as avaliações externas possuem relevância quando se ocupam a diagnosticar em estado macro o desempenho de alunos tomando como parâmetro níveis de proficiência em determinada área de conhecimento Com isto podemos compreender que a natureza das avaliações internas deve estar para o aprimoramento das aprendizagens avaliação formativa enquanto que a natureza das avaliações externas está mais para um diagnóstico pontual baseada em um determinado resultado traduzido em índices classificatórios e quantitativos avaliações somativas Retornando ao raciocínio anterior sobre os dados alarmantes da aprendizagem matemática em especial no Estado do Pará são os itens 3 e 4 supracitados que nos interessam mais discutir Pois mesmo com o alto investimento na criação de outras provas demandadas pelo planejamento da educação escolar próprias das esferas públicas do Estado do Pará provas estas inspiradas no modelo Prova Brasil e ainda o frequente incentivo para o treinamento de alunos por meio dos seus respectivos António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 12 professores ao exercício de atividades semelhantes às questõesitens das provas nacionais tem demonstrado ser uma alternativa pouco exitosa para a melhoria das aprendizagens em matemática Ou seja o investimento contundente em práticas avaliativas de natureza somativa e em práticas de treinamento para testes não tem alterado o quadro desconfortável em termos de índices nacionais referente ao fraco desempenho em matemática dos alunos do Pará AVALIAÇÃO E CURRÍCULO No Brasil é possível identificar subsídios legais indicando que a configuração de currículos escolares seja objeto de atenção das escolas Tais currículos devem ser abalizados por diretrizespolíticas nacionais exemplos Parâmetros Curriculares Nacionais 1997 Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais para a Educação Básica 2013 Plano Nacional de Educação 2014 e por propostas curriculares estaduais em coerência com as orientações nacionais Porém os documentos são registros escritos e não obrigatoriamente práticas já consolidadas Os documentos orientam mas não garantem a ação Há de se investir nas práticas docentes para que o currículo ultrapasse o comprometimento com objetivos pautados em memorização de informações e de rotinas didáticas para alcance de resultados postos em exercícios padronizados e rotineiros que embora não estejam escritos estão presente na prática de muitas salas de aulas Para transformar esta usualidade não desejável para um currículo nestes tempos é fundamental ter clareza sobre as relações que a avaliação tem com um currículo mais afeito ao enfrentamento dos desafios postos à sociedade atualmente É essencial que a avaliação esteja a serviço das aprendizagens O currículo orienta mas a avaliação acompanha as aprendizagens Portanto é necessário que a avaliação esteja alinhada às exigências curriculares atuais e sobretudo que as práticas docentes estejam coerentes com elas Distanciarse de um currículo apoiado em memorizações e atividades de rotina para estar mais próximo à preparação dos alunos para situações complexas para colaborarem uns com os outros sob a Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 13 diversidade cultural para comunicarem as aprendizagens tidas por linguagens múltiplas para assumirem a tecnologia e a informação como possibilidades para as aprendizagens para o exercício da cidadania do senso crítico da ação participativa e propositiva requer considerar um currículo que em síntese 1 medie o desenvolvimento de projetos de experiências investigativas 2 referencie a relevância da comunicação oral e escrita da integração e mobilização de conhecimentos da seleção e partilha de informação 3 promova o desenvolvimento de processos complexos de pensamento em contextos diversos 4 assuma a avaliação formativa como cerne do currículo 5 realize na prática pedagógica a integração ensinoaprendizagem avaliação 6 considere a articulação da avaliação formativa com a avaliação somativa de demandas interna e externa à escola Portanto os objetivos e metodologias que farão parte do currículo precisam propagar pela as aprendizagens diversas dos alunos oportunizadas no contexto do ensinoavaliação postas nas práticas escolares e de sala de aula António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 14 ASPECTOS TEÓRICOS SOBRE AVALIAÇÃO SOBRE O DOMÍNIO CIENTÍFICO DA AVALIAÇÃO A fim de entender um pouco melhor sobre esta situação recorremos aos estudos científicos que lidam com o tema avaliação mundo a fora Um deles foi eminentemente relevante para refletirmos e pensar a possibilidade de mudanças de práticas de enfrentamento aos desafios mencionados O estudo realizado por Black e Wiliam 19983 evidenciou três resultados que são de referência incontornável a as práticas sistemáticas de avaliação formativa melhoram significativamente as aprendizagens de todos os alunos b os alunos que mais se beneficiam de tais práticas são os que revelam mais dificuldades de aprendizagem c os alunos que frequentam aulas em que a avaliação predominante é de natureza formativa obtêm melhores resultados em exames e provas de avaliação externa do que os alunos que frequentam aulas em que a avaliação é essencialmente somativa Vamos considerar item por item dessas três sínteses postas por Black e Willian 1998 para nossa reflexão Do item a é possível concluir que os estudos científicos já apresentam indicações que a avaliação e mais especificamente a avaliação de natureza formativa melhoram as aprendizagens Avaliar para melhorar aprendizagens é qualitativamente melhor que avaliar para classificarselecionar alunos As práticas sistemáticas e não pontuais de 3 Realizaram revisão de literatura sobre práticas de avaliação formativa em sala de aula a partir da análise de 681 artigos e capítulos publicados de estudos desenvolvidos entre 1988 a 1997 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 15 avaliação formativa melhoram as aprendizagens de alunos em geral sejam os alunos com mais ou com menos dificuldades de aprendizagem O item b destaca que os alunos que revelam mais dificuldades de aprendizagem são os que se sobressaem na melhoria de suas aprendizagens Ora se ao vivenciarem práticas sistemáticas de avaliação formativa há melhoria de aprendizagens mesmo entre os alunos que mais apresentam dificuldades é de se esperar que essas aprendizagens possam também refletir melhores resultados em outros modelos avaliativos Sim O item c confirma que os melhores resultados em exames e provas de avaliação externa são de alunos que possuem frequência que foram alvos de práticas avaliativas de natureza formativa Alunos que passaram por experiências com avaliações formativas consequentemente conseguem melhores resultados que os alunos expostos às avaliações de natureza somativa Portanto as práticas de treinamento para realizar avaliações eminentemente somativas estão na contramão da melhoria das aprendizagens e como não podia deixar de ser da melhoria dos famigerados índices de desempenho escolar retratados pelas avaliações externas Mas em se tratando do aspecto conceitual o que significa avaliação formativa Quais as principais diferenças entre avaliação formativa e somativa É possível a implementação de práticas de avaliação formativa nas escolas públicas brasileiras Quais os desafios Vamos por parte Iniciaremos por discernir algumas concepções sobre avaliação que norteiam práticas avaliativas de professores umas em mais outras em menos ocorrências CONCEPÇÕES DE AVALIAÇÃO É possível constatarmos muitos usos do termo avaliação nos mais diversos contextos das vivências profissionais de professores tipo preciso realizar uma avaliação para saber em qual nível meus alunos estão já marcaram a semana de avaliação na minha escola final do mês reuniremos o Conselho Escolar para a avaliação da minha turma o MEC António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 16 iniciará as avaliações nacionais no segundo semestre dentre outras E agora O que significa avaliação em meio a esses diversos usos Há diferentes significados postos para avaliação e que estão relacionados às diferentes práticas avaliativas Por vezes a falta de clareza sobre essas diferenciações causa confusões e mau uso do termo avaliação por exemplo assumir um único instrumento usado para avaliar aprendizagens de alunos como é o caso das provas de disciplinas escolares como a própria avaliação das aprendizagens na referida disciplina é restringir a avaliação a um de seus instrumentos É fundamental distinguirmos os signifcadosconceitos pertinentes ao termo avaliação a fim de se compreender nossas próprias práticas avaliativas Em contextos escolares ainda é muito comum ver a avaliação associada à medida da diferença entre aquilo que o professor ensina e o que o aluno aprende Buscase uma congruência entre o que se ensina e o que se aprende O que é levado em conta nesse tipo de concepção são os resultados apresentados pelos alunos preferencialmente via instrumento pontual a ser utilizado em calendário específico A expectativa é que esses resultados expressem os modelos dados pelo professor Não há consideração dos processos de aprendizagens que explicitam as maneiras como os alunos têm aprendido Se os alunos erram isso significa que não estudaram com suficiência indica que não aprenderam e esse insucesso é tão somente de responsabilidade desses alunos A Avaliação como congruência fortalece práticas de classificações seleções e certificações Essa concepção é muito antiga e talvez por isso mesmo pouco problematizada no universo escolar Parece que há um certo costume em têla no cotidiano das práticas docentes e portanto uma acomodação frente aos problemas causados pela vida que é dada a esse tipo de concepção na escola Em se tratando de matemática então Alguns de nós conseguimos lembrar por meio de nossos antepassados dos exames admissionais onde a avaliação da aprendizagem em matemática era realizada de forma oral e escrita dentro de um calendário específico referentes a pontos conteúdos previamente definidos em âmbito nacional e trabalhados rigorosamente pelas escolas a fim de preparar os alunos para o dia do exame A depender da classificação do aluno da pontuação obtida poderia receber uma certificação de aptidão para o próximo nível de ensino Atualmente estes fatos são mais que lembranças Existem Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 17 pesquisas no campo da Educação Matemática de forma crítica tal como apresentam Valente Ficher Bertoni 2012 no livro Avaliação em Matemática que informam problematizam e que possibilitam reflexões sobre as práticas avaliativas do século XIX e primeiras décadas do século XX frente ao momento presente Porém em contextos escolares também há um outro tipo de concepção de avaliação que está mais para verificação de parâmetros de diagnóstico quanto ao nível de conhecimentodesempenho dos alunos do que para medição de diferenças entre as metas dos professores e os resultados dos alunos Temos então a concepção de avaliação como interpretação O foco maior da avaliação nestes termos é com a análise das produções dos alunos tomando como parâmetro alguns critérios definidos por professores e alunos Por essa concepção entendemos que o aluno elabora seus conhecimentos a partir da interação com suas aprendizagens A perspectiva da aprendizagem está para os aspectos cognitivistas Ao analisar as aprendizagens dos alunos baseado nos objetivos prévios por meio de critérios definidos em conjunto entre professor e alunos pode gerar compreensões mais justas sobre as ocorrências estabelecidas no processo de aprendizagem e ensino Com isto a tomada de decisões frente aos resultados é mais consistente Não há espaço para classificações estanques É possível de vermos presente esse tipo de concepção na prática quando nos deparamos com pareceres que descrevem e interpretam aprendizagens sem preocuparemse com seleções e certificações aos alunos mas dando relevância para compreensões plausíveis sobre as aprendizagens ocorridas a fim de planejar e organizar novas ações em prol da superação das prováveis dificuldades Ao interpretar e diagnosticar detectando dificuldades e avanços dos alunos e ainda percebendo que o ensino deve ser alvo de transformações em função de um melhor resultado a concepção de avaliação também está para a regulação das aprendizagens Interessa mais saber como os alunos pensam e menos se apresentam resultados corretos Portanto o erro dos alunos tornase fundamental para as análises interpretativas tanto do professor quanto dos próprios alunos O erro perde o papel de indicador de António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 18 fracasso como é tido na concepção da avaliação como congruência relacionada a medição e assume um sentido basilar para as tomadas de decisões do professor a fim de regular o ensino que faz em função do alcance da melhoria das aprendizagens No fundo podemos afirmar que a primeira perspectiva assume a avaliação para medirverificar a segunda para ajuizar e a última para melhorar Não estamos a assumir que alguma perspectiva é melhor que outra pois cada uma delas tem propósitos diferentes mas as duas primeiras serão assentes em critérios para ser objetiva sobretudo quantitativa centrada nos resultados e onde a participação dos intervenientes é variável A terceira perspectiva de avaliação assume que esta é subjetiva mais de natureza qualitativa e focada nos processos de ensino e aprendizagem e em geral é participada pelos seus intervenientes De nossas experiências enquanto professores da Educação Básica e com alguns colegas que atualmente continuam atuando nesse nível de ensino podemos considerar que a avaliação comumente requerida para os registrosdocumentos escolares deve estar baseada em critérios definidos de maneira mais objetiva possível ser quantificável e estabelecer resultados classificatórios Porém isto não elimina uma outra forma de estruturação da avaliação baseada mais na experiência cotidiana do professor mais subjetiva focada em processos e aspectos qualitativos das aprendizagens É comum elaborarmos diagnósticos de aprendizagens de nossos alunos no decorrer das aulas por meio da observação de atitudes olhares falas gestos registros enfim manifestações diversas dos alunos que nos permitem inferir sobre o andamento das aprendizagens cotidianamente Por vezes esse tipo de avaliação informal assim denominada por Villas Boas 1993 pode ser combinada com a avaliação baseada em critérios a fim de fornecer informações importantes sobre os processos de aprendizagem A identificação de problemas ou dificuldades que os alunos possam ter pode ser feita somente pela combinação de informações VILLAS BOAS 2008 p32 Entendemos que considerar tanto as avaliações baseadas em critérios formais quanto aquelas baseadas na experiência vivida no dia a Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 19 dia da sala de aula ambas amparadas por sistematizações que possibilitem o acompanhamento de aprendizagens podem dizer melhor das aprendizagens realizadas pelos alunos Assim a avaliação não estará a serviço da burocracia institucional apenas mas sobretudo para assumir um compromisso com a melhoria da qualidade das aprendizagens dos alunos No entanto a avaliação educacional e das aprendizagens em particular deve estar sustentada em alguns princípios Destacamos os seguintes O princípio da coerência com os objetivos e metodologias previstas no currículo de modo a espelhar as várias experiências de aprendizagem vividas pelos alunos O princípio da integração pois deverá ser parte integrante da aprendizagem e do ensino sendo assim um processo contínuo e ela própria geradora de situações de aprendizagem e de ensino Um outro princípio será o do carácter positivo ou seja a avaliação deve dirigirse para o que o aluno já sabe ou já consegue fazer ao invés de se dirigir para aquilo que ele ainda não sabe e portanto as tarefas de avaliação devem permitir ao aluno mostrar o que melhor sabe fazer O princípio da generalidade proporciona que o aluno deve ser visto como um todo e não como um elemento dentro do coletivo para que o professor possa elevar ao máximo as potencialidades e os desempenhos de cada um dos seus alunos A diversidade é um outro princípio que deve estar subjacente ao processo de avaliação ou seja é preciso recorrer a variadas fontes de evidência das aprendizagens dos alunos lutando pela obtenção de informações convergentes sobre o desenvolvimento das competências dos alunos Finalmente o princípio da postura onde deve prevalecer que a avaliação deve decorrer de forma natural com confiança mútua partilha dos critérios de avaliação minimização das situações de angústia e de ansiedade e onde as críticas e sugestões devem ser encaradas como pontos de partida para uma melhoria das aprendizagens e do ensino MENINO e SANTOS sd p2 As concepções podem em mais ou menos grau articularemse com avaliações de natureza somativa ou formativa já mencionadas António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 20 anteriormente Vamos aprofundar um pouco mais nosso conhecimento sobre os significados da natureza das avaliações Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 21 AVALIAÇÃO NA CONCEPÇÃO E DESENVOLVIMENTO CURRICULARES DESENVOLVIMENTOS RELEVANTES NO DOMÍNIO DA EDUCAÇÃO Nas últimas décadas temos assistido a desenvolvimentos muito significativos na área da educação e que têm implicações relevantes no ensino e na aprendizagem da Matemática Na área das teorias da aprendizagem percebeuse muito claramente que é também fruto de uma construção social onde a interação social contribui consideravelmente para melhores e mais significativas aprendizagens Percebeuse também a natureza dinâmica da inteligência e da existência de várias inteligências cognitiva emocional espacial musical teoria das inteligências múltiplas GARDNER 1984 Então houve a necessidade de olharinvestigar para a inteligência de uma forma holística Na área do currículo a sua evolução foi para uma construção e visão mais sociocrítica evidenciando o papel de professores e alunos na construção da aprendizagem e a centralidade da seleção e avaliação de tarefas mais complexasdesafiantes Nas teorias da avaliação a ênfase na avaliação formativa com predominância na autoavaliação e autoregulação das aprendizagens e onde o feedback surge com principal destaque Nas concepções de escola onde está se deve assumir como organização complexa centro das transformações e como comunidade de aprendizagem de elevado potencial educativo e formativo A nível do papel dos professores e alunos também houve desenvolvimentos muito significativos Os professores como intelectuais investigadores e profissionais reflexivos sobre a sua própria prática Os alunos no centro dos processos de ensino como pessoas que constroem António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 22 socialmente as aprendizagens e participantes ativos nesse mesmo processo Portanto estes desenvolvimentos tão significativos fazem que se perspective o ensino e a aprendizagem de um modo muito distinto que há 40 ou 50 anos atrás DESAFIOS DA EDUCAÇÃO ESCOLAR Perante estes desenvolvimentos tão relevantes a educação escolar tem enormes desafios também fruto da evolução das sociedades e da ciência Entre muitos outros desafios convêm destacar os seguintes ao nível das aprendizagens e ao nível do desenvolvimento curricular e da avaliação Ao nível das aprendizagens os principais desafios que teremos que enfrentar e que muitos deles não serão propriamente novos é assumir um currículo centrado nas aprendizagens não exclusivamente no ensino e partir do pressuposto que todos os alunos podem aprender pese embora aprendam de forma diferenciada Mas quando nos referimos à aprendizagem é uma aprendizagem direcionada para a compreensão Para tal teremos que ter os alunos como participantes ativos nos processos de construção das suas próprias aprendizagens onde essas aprendizagens devem ser encaradas como construções sociais sendo estas muito determinadas social e culturalmente Portanto será necessário dar muita atenção aos processos de aprendizagem e não apenas aos produtos de aprendizagem De acordo com os desenvolvimentos mais recentes nesta área uma das formas de se conseguir implementar estes desafios é desenvolver o currículo em torno de tarefassequências de tarefas matemáticas desafiantes em contextos matemáticos e não matemáticos o que leva a um outro desafio para os professores seleção das tarefas de aprendizagem A propósito de tarefas será importante num primeiro momento clarificar dois conceitos atividade e tarefa O termo atividade é muito usado na área da educação matemática O seu uso estará relacionado com o fato de que o aluno deve desempenhar um papel ativo no processo de aprendizagem No entanto a utilização deste termo tem servido para Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 23 designar coisas muito distintas como exercício projeto problema raciocínio investigação modelação entre outras É preciso ter em atenção que o conceito de atividade desempenha um papel crucial numa teoria educacional designada precisamente por teoria da atividade construída por psicólogos e educadores soviéticos Vygotsky Leontev e Galperin e desenvolvida por Christiansen e Walther 1986 no que respeita à aprendizagem da Matemática Esta teoria distingue claramente entre atividade e tarefa A atividade humana realizase através de um sistema de ações que são processos dirigidos para objetivos causados pelo motivo da atividade A atividade é realizada através destas ações que podem ser vistas como as suas componentes A atividade existe apenas nas ações mas atividade e ações são entidades diferentes Por isso uma ação específica pode servir para realizar diferentes atividades e a mesma atividade pode dar origem a diferentes objetivos e desse modo iniciar diferentes ações Uma tarefa é então o objetivo de uma ação p 255256 Atividade e tarefa são noções que constituem categorias didáticas básicas Uma atividade pode incluir a execução de várias tarefas A atividade que pode ser física ou mental está relacionado essencialmente com o aluno e referese àquilo que ele faz num dado contexto Por outro lado a tarefa representa apenas o objetivo de cada uma das ações em que a atividade se desdobra e é exterior ao aluno embora possa ser decidida por ele Efetivamente as tarefas são normalmente mas não necessariamente propostas pelo professor mas uma vez propostas têm de ser interpretadas pelo aluno e podem dar origem a variadas atividades muito ou a nenhuma atividade Do ponto de vista de Christiansen e Walther 1986 a proposta de tarefas e a organização da sua resolução na sala de aula constituem a principal forma como se ensina e aprende Matemática A tarefa proposta tornase o objeto da atividade dos alunos e a proposta de tarefas em conjunto com as ações a elas respeitantes realizada António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 24 pelo professor constitui o principal método pelo qual se espera que a Matemática seja transmitida aos alunos p 224 Assim a aprendizagem resulta da atividade e não das tarefas e o mais determinante são as atitudes e concepções dos intervenientes As tarefas são ferramentas de mediação fundamentais no ensino na aprendizagem e na avaliação da Matemática Uma tarefa pode ter ou não potencialidades em termos de conceitos e processos matemáticos que pode ajudar a mobilizar Ou seja pode proporcionar atividades diversas conforme o modo como for proposta a forma de organização do trabalho dos alunos o ambiente de aprendizagem Por outro lado uma atividade corresponde a uma ou mais tarefas realizadas no âmbito de uma situação concreta É pela sua atividade e pela sua reflexão sobre essa atividade que o aluno aprende o professor ensina e se avalia mas é importante ter presente que esta depende de dois elementos muito importantes a a tarefa proposta e b a situação didática criada pelo professor As tarefas que o professor propõe na sala de aula marcam de forma vincada o ensino que este leva a cabo O NCTM 1994 indica que o professor de Matemática deve colocar tarefas aos alunos que sejam baseadas i em matemática correta e significativa ii no conhecimento das compreensões interesses e experiências dos alunos e iii no conhecimento das diversas maneiras como alunos aprendem matemática Tratase de caraterísticas importantes Para saber de que modo podem ser concretizadas tem sido desenvolvido tipologias de tarefas e discutido o modo de as operacionalizar na sala de aula No seu trabalho de planejamento o professor considera habitualmente diversos tipos de tarefa Ponte 2005 refere que essa diversificação é necessária porque cada tipo de tarefa desempenha o seu papel relativamente à aprendizagem a As tarefas de natureza mais fechada exercícios problemas são importantes para o desenvolvimento do raciocínio matemático nos Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 25 alunos uma vez que este raciocínio se baseia numa relação estreita e rigorosa entre dados e resultados b As tarefas de natureza mais acessível explorações exercícios pelo seu lado possibilitam a todos os alunos um elevado grau de sucesso contribuindo para o desenvolvimento da sua autoconfiança c As tarefas de natureza mais desafiante investigações problemas pela sua parte são indispensáveis para que os alunos tenham uma efetiva experiência matemática d As tarefas de cunho mais aberto são essenciais para o desenvolvimento de certas capacidades nos alunos como a autonomia a capacidade de lidar com situações complexas etc p 26 A figura 1 esquematiza estas ideias de modo a termos uma representação mais clara da tipologia de tarefas Figura 1 Tipologia de tarefas No que se refere aos contextos e à complexidade do trabalho a realizar Ponte 2005 considera que se devem também diversificar as tarefas a propor aos alunos Propõe que António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 26 para que os alunos se apercebam do modo como a Matemática é usada em muitos contextos e para tirar partido do seu conhecimento desses contextos é fundamental que lhes seja proposta a realização de tarefas enquadradas em contextos da realidade tarefas de aplicação e de modelação p 26 Aponta no entanto que os alunos podem também sentirse desafiados por tarefas formuladas em contextos matemáticos investigações problemas explorações e a sua realização permitelhes perceber como se desenvolve a atividade matemática dos matemáticos profissionais p 26 E destaca igualmente o papel preponderante das tarefas de longa duração os projetos no desenvolvimento de diversos objetivos curriculares p 26 Mais do que tarefas isoladas o professor tem de organizar para os seus alunos sequências de tarefas adequadas de modo a estes possam atingir os objetivos de aprendizagem previstos Sobre este tema Ponte 2005 refere que para além da diversificação das tarefas é importante que estas proporcionem um percurso de aprendizagem coerente que proporcione aos alunos a construção dos conceitos a compreensão dos procedimentos o conhecimento das formas de representação relevantes e das conexões de cada conceito dentro da Matemática e com outros domínios Indica que para isso é preciso fazer escolhas e estabelecer percursos de ensino com tarefas cuidadosamente selecionadas A Figura 2 retrata esquematicamente a centralidade das tarefas neste processo de ensino avaliação e aprendizagem onde uma das cruciais tarefas do professor será a adequada seleção de tarefas ou sequência de tarefas as quais terão em consideração as concepções o papel os conhecimentos e as ações do professor e dos alunos Essas tarefassequência de tarefas deverão estar devidamente enquadradas nos diversos domínios currículo de modo a proporcionar o desenvolvimento desse mesmo currículo Assim em função do papel e das ações do professor e dos alunos no trabalho a partir das tarefas são proporcionados ambientes de sala de aula mais ou menos propícios às aprendizagens à avaliação e ao ensino Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 27 Figura 2 Centralidade das tarefas A maneira como as tarefas são trabalhadas na sala de aula tem uma influência decisiva na aprendizagem dos alunos Stein e Smith 1998 abordam este assunto propondo um quadro relativo à realização das tarefas matemáticas na sala de aula no qual distinguem três fases Figura 3 i as tarefas como aparecem nos materiais curriculares ii tarefas como são apresentadas pelo professor iii tarefas como são realizadas pelos alunos É na combinação destas três fases que ocorrem as aprendizagens dos alunos António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 28 Figura 3 Fases das tarefas na sala de aula STEIN E SMITH 1998 O que estes autores argumentam é que muitas vezes a natureza da tarefa mais desafiante ou menos desafiante muda quando se passa de uma fase para outra Ou seja a tarefa que o professor propõe aos alunos muitas vezes escrita no quadro e comentada com alguma informação oral não é a exatamente a mesma que aparece nos materiais curriculares principalmente o manual do aluno Por outro lado por distintas de interpretações ou por terem tido informações adicionais do próprio professor ou de outras fontes a tarefa que os alunos fazem muitas vezes não é a mesma que o professor apresentou no início PONTE 2014 p 25 Existem vários fatores que contribuem para o sucesso ou fracasso de uma tarefa mas destacamse os fatores associados à manutenção de níveis cognitivos elevados ou com o seu declínio Alguns alunos são capazes de se envolver profundamente na resolução de uma tarefa aberta ou de nível cognitivo elevadodesafio elevado enquanto outros necessitam de algum apoio adicional do professor Dosar esse apoio mantendo as potencialidades da tarefa constitui um desafio adicional para o professor Portanto o grande desafio da educação escolar será transitar de um ensino de elites homogêneas transmissivo uniforme e expositivo centrado no professor para um ensino de massas heterogêneas diferenciado interativo e centrado no aluno Ao nível curricular e da avaliação será necessário assumir o currículo como meio para o desenvolvimento de projetos de experiências e de investigações onde a relevância da escrita da comunicação da integração Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 29 e mobilização de conhecimentos e da seleção e partilha de informação deverá assumir papel de destaque Neste âmbito o currículo e a avaliação deverão ser dois elementos cruciais de desenvolvimento de processos complexos de pensamento em múltiplos contextos A integração ensino aprendizagemavaliação deverá ser interiorizada como três processos articulados e não como independentes O que se passa nas nossas salas de aula é que os processos de ensino e aprendizagem de alguma forma apresentam alguma articulação mas a avaliação é um processo externo aos outros dois Um outro desafio será considerar a avaliação formativa no cerne de um currículo orientado para regular e melhorar as aprendizagens onde a articulação entre a avaliação formativa e a avaliação somativa interna e externa se torna algo altamente desafiante CONCEPÇÕES DE AVALIAÇÃO SOMATIVA E FORMATIVA Esses termos avaliação somativa e avaliação formativa não são novos e provavelmente temse desgastado ao longo do tempo Há uma certa confusão na compreensão desses tipos de avaliação sobre suas funções interesses e usos É provável nos dias de hoje que a avaliação formativa seja reconhecida como aquela que indica o grau de envolvimento dos alunos nas atividades de ensino requeridas pelo professor Assim avaliação formativa seria identificar o percentual de frequência às aulas o comportamento dos alunos se perguntam se respondem se são concentrados se são dispersos se fazem silêncio quando necessário etc o cumprimento das tarefas e dos prazos entre outros similares Se este é o entendimento mais comum é necessário esclarecer que essa expressão foi sendo construída ao longo dos tempos em meio às reflexões teóricas e as práticas docentes Linda Allal em 1986 citou em seu artigo que foi Michael Scriven renomado professor de universidades em vários países quem em 1967 usou o termo avaliação formativa para dizer sobre a avaliação dos meios de ensino tais como currículos métodos manuais dentre outros Em dado momento a avaliação formativa foi referida como um tipo de avaliação a ocorrer após o processo de ensino aprendizagem nomalmente através do chamado teste formativo também António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 30 conhecido como o que não conta para a nota Fernandes 2008 Porém seguramente a base de entendimento que nos reportamos para avaliação formativa aqui está longe deste conceito Quando mencionamos o termo avaliação formativa o compromisso é melhorar aprendizagens portanto o que interessa são as percepções ações e reflexões da aprendizagem e do ensino em processo diário nas suas relações A avaliação formativa está diretamente relacionada para o cotidiano das aulas para a maneira que se planeja e organiza o ensino para as estratégias de ensino e as manifestações dos alunos sobre elas para a qualidade e diversidade de instrumentos de avaliação usados nos processos de ensinoaprendizagem Na avaliação formativa não há compromissos com a padronização de uma aprendizagem comum entre os alunos com propósito de comparações e classificações Há o respeito à aprendizagem que é possível a cada um Há atenção especial para com os erros e as dúvidas indicadores de reflexões para que o professor tome posiçõesdecisões coerentes para o aperfeiçoamento de aprendizagens e de ensino e não para pontuações Há o entendimento de que as aprendizagens podem ser aperfeiçoadas coletivamente na interação entre professoraluno e aluno aluno no registro e comunicação de raciocínios na prática da autoavaliação constante do aluno e do professor e na participação dos alunos na avaliação de suas próprias aprendizagens regulação Nesta perspectiva a avaliação formativa servirá para apoiar o desenvolvimento das pessoas onde os professores partilham o poder de avaliar com o objetivo de integrararticular ensino aprendizagem e avaliação Então o principal propósito da avaliação avaliação formativa será melhorar as aprendizagens e para tal o feedback avaliativo é central bem como os contextos a participação a negociação e os processos cognitivos e sociais na aula A avaliação formativa encarada desta forma permitirá uma articulação entre uma visão que destaca processos cognitivos internos aos alunos metacognição autoregulação auto controle autoavaliação e uma visão que destaca o currículo as tarefas e o feedback relevância ao papel do professor que deve proporcionar feedback de elevada qualidade Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 31 Entretanto a prática da avaliação é que pode dar a conhecer mais sobre a qual caracterização essa avaliação pertence E ainda a clarificação de conceitos sobre origens significados métodos problematizações do que tange a avaliação formativa por parte do professor pode auxiliálo na melhoria de suas práticas Fernandes 2006 p 22 evoca que Mudar e melhorar práticas de avaliação formativa implica que o seu significado seja claro para os professores tanto mais que são muito fortes e complexas as suas relações com os processos de ensino e de aprendizagem Há de se conhecer bem para discernir para optar para sugerir para inferir mudanças nas práticas de avaliação São as práticas que mais fortemente indicam a caracterização da avaliação formativa ou somativa Os efeitos são diferenciáveis entre esses tipos de avaliação A avaliação somativa tem como resultante descrever a aprendizagem alcançada em um determinado momento para informar resultados aos pais ou responsáveis a outros professores aos próprios alunos e em forma concisa a outras partes interessadas tais como direção ou conselhos escolares Tem um papel importante na educação global no que diz respeito ao progresso dos alunos mas não no ensino do diaadia como faz a avaliação formativa HARLEN JAMES 1997 O desafio maior é articular esses propósitos importantes à educação global com a melhoria de aprendizagens por meio da prática da avaliação formativa Vejamos a síntese a seguir na Figura 4 Figura 4 Síntese avaliação somativa X avaliação formativa António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 32 Fernandes 2008 p69 grifo nosso faz uma síntese da literatura de estudos e pesquisas sobre avaliação nos últimos anos e e partir de então elenca alguns itens necessários de atenção São itens que identificam problemas e insuficiências nas práticas de avaliação Vejamos a a convicção por parte de muitos professores de que através dos testes estão a avaliar aprendizagens profundas com compreensão quando a investigação sugere que o que se está realmente a testar são de modo geral mais procedimentos rotineiros e algorítmicos e menos competências no domínio da resolução de problemas b a correção e a classificação de testes e de quaisquer outras tarefas avaliativas dão em geral poucas ou nenhumas orientações aos alunos para melhorar reforçando as suas baixas expectativas e o baixo nível das aprendizagens c a tendência para se pensar que a avaliação desenvolvida pelos professores nas salas de aula é de natureza essencialmente formativa apesar da análise da realidade ter vindo a demonstrar que poucas vezes será efetivamente assim d a avaliação formativa é por muitos considerada irrealista nos contextos das escolas e das salas de aula e as suas diferenças com a avaliação somativa e certificativa são cada vez mais ténues e a confusão entre a avaliação formativa e a avaliação certificativa ou somativa é um problema que parece indiciar que existirão poucas práticas de avaliação genuinamente formativas eou que os professores estão submersos em demasiadas avaliações para responder às exigências de ambas f a função certificativa e classificativa da avaliação a atribuição de notas está claramente sobrevalorizada em detrimento da função destinada a analisar o trabalho dos alunos para identificar necessidades e para melhorar as aprendizagens g a tendência particularmente ao nível do ensino básico para solicitar aos alunos uma quantidade por vezes exagerada de trabalhos descuidando a sua qualidade e a sua relação com o desenvolvimento dos processos mais complexos de pensamento dos alunos h a tendência para comparar os alunos uns com os outros levandoos a crer que um dos propósitos principais da aprendizagem é a competição em vez do crescimento pessoal Nestas condições o feedback avaliativo acaba por reforçar junto dos alunos com mais dificuldades a ideia de que não são Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 33 competentes podendo leválos a crer que não são capazes FERNANDES 2006 p30 grifo nosso Alguns desses problemas e insuficiências esbarram na prerrogativa de que há uma certa exigência legal para que tenhamos instaurados nas escolas práticas que reforçam tais problemas É comum ouvirmos relato de professores que indicam que a cobrança das respectivas direções escolares por semanas de provas e por quantidade de trabalhos para efeito de notas por exemplo faz com que as práticas avaliativas permaneçam as mesmas Porém é preciso esclarecer que a escola é feita por pessoas e atentando para o aspecto legal o Projeto Político Pedagógico PPP de cada escola é que em última instância pode definir as práticas de avaliação desejáveis naquele ambiente Sabemos que a escola certifica Essa é uma exigência legal No entanto não se pode resumir as práticas avaliativas internas ao contexto somativo como única maneira de consolidar a certificação Há de se pensar estratégias que corroborem com a articulação entre o que eminentemente pode contribuir com a melhoria das aprendizagens ponto altamente relevante para o PPP de uma escola e com os resultados exigidos pelos sistemas de notas Há de se agir coletivamente para o planejamentodesenvolvimentoreflexão de práticas docentes recorrentes que concebam o ensinoaprendizagemavaliação continuamente articulados tendo como meta a aprendizagem dos alunos António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 34 PRÁTICAS DE SALA DE AULA RELAÇÃO ENTRE AVALIAÇÃO FORMATIVA E SOMATIVA Efetivamente as práticas de avaliação somativa nas salas de aula são as mais predominantes no processo avaliativo das aprendizagens e a avaliação surge como um processo à parte dos processos de ensino e de aprendizagem Deste ponto de vista estas práticas avaliativas não contribuem para a melhoria das aprendizagens pois não fornecem aos alunos e aos professores boas orientações para melhorar O principal propósito da avaliação das aprendizagens terá que ser a melhoria dessas mesmas aprendizagens e se assim não for a avaliação não cumpre o seu principal objetivo Mas na abordagem da avaliação e das práticas avaliativas tornase incontornável falar nos instrumentos de avaliação e que estão profundamente relacionados com as estratégias de avaliação Cada instrumento de avaliação com as suas vantagens e desvantagens fornece nos informações sobre as aprendizagens e o ensino e teremos que ter consciência da natureza dessa informação Assim a diversificação de instrumentos de avaliação é crucial para que tenhamos informação de diversa natureza e assim podermos ter uma clara e mais objetiva percepção das aprendizagens e do ensino Contudo convém deixar claro que que a avaliação não se reduz à aplicação de uns tantos instrumentos de avaliação como muitas vezes acontece Façamos a análise a alguns instrumentos de avaliação A PROVA A prova escrita é o instrumento predominante e muitas vezes exclusivo da avaliação dos alunos Estes são práticos e consistentes com as expetativas dos alunos e dos responsáveis e a informação obtida das aprendizagens dos alunos permite ter uma visão global do estado da arte e identificar casos críticos Mas esta informação é claramente insuficiente Se são escritos não avaliam o desempenho oral dos alunos como eles participam numa discussão como eles argumentam e comunicam matematicamente Se são individuais como normalmente o Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 35 são não avaliam a capacidade de os alunos interagirem uns com os outros e de aprenderem uns com os outros Sendo sem consulta não avaliam a capacidade de os alunos efetuarem investigações eou buscarem informação necessária à execução de uma tarefa mais complexa Sendo com tempo limitado não avaliam a capacidade de persistência dos alunos nem o seu gosto empenho e aptidão para levar a cabo investigações Convém afirmar que as provas escritas não acrescentam muito mais informação sobre os alunos em relação àquela que o professor já possui No entanto pequenas mudanças nas perguntas típicas das provas escritas usuais podem fazer uma grande diferença Por exemplo a pergunta focar se num dos erros mais comuns dos alunos ajudandoos a superálos Figura 5 ou convidar os alunos a analisar a resposta de um colega e a avaliála Alterações como esta permitem aumentar a qualidade da informação recolhida sobre a aprendizagem do aluno Vejamos um exemplo Pode ser substituída por x2x412 da seguinte maneira Figura 5 Exploração de erros mais comuns dos alunos António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 36 Um outro instrumento mas que apresenta um grande potencial é a prova escrita em duas fases Normalmente a primeira fase é realizada na sala de aula com tempo limitado e sem indicações do professor embora possa ser realizada com consulta e a segunda fase em casa com mais tempo beneficiando de comentários do professor e de ajuda de terceiros se necessário Assim um teste em duas fases deve incluir perguntas de resolução relativamente breve mesmo incluindo justificações resoluções de problemas e explicações e perguntas de carácter mais aberto e desafiante que requerem alguma investigação e respostas mais elaboradas A segunda fase constitui uma oportunidade para os alunos poderem refletir sobre o trabalho que fizeram e o possam aperfeiçoar mas atitude e o comportamento do professor são fundamentais para convencer os alunos sobre a natureza e objetivos da segunda fase Para esta segunda fase os comentários eou sugestões feedback que o professor dá ao aluno após apreciar o trabalho feito durante a primeira fase são cruciais e devem ter em conta cada resposta individual e uma conjectura sobre a motivação e a possibilidade de progresso na resolução do problema de cada aluno Figura 6 Além disso por serem de natureza personalizada promovem uma maior aproximação entre o professor e os alunos O resultado obtido através de um instrumento de avaliação desta natureza pode e deve ser uma classificação mas esta terá que ter em consideração o desempenho nas duas fases e a evolução evidenciada pelo aluno Embora estejamos perante uma avaliação somativa no entanto todo o processo tem um cunho muito profundo de avaliação formativa Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 37 Figura 6 Exemplo de tarefa para prova em duas fases OS RELATÓRIOS Os relatórios escritos que os alunos podem produzir sobre alguma tarefa matemática é um o utro tipo de instrumento que fornece informação de natureza muito distinta Estes relatórios ajudam os alunos a comunicar o seu trabalho numa tarefa realizada de carácter investigativo ou não e a refletir sobre esse mesmo trabalho ajudandoos também a estruturar e a consolidar os seus conhecimentos a melhorar o seu espírito crítico a capacidade de autoavaliação e sentido de responsabilidade e a adotar uma atitude mais positiva em relação à Matemática Figura 7 Podem ser realizados de forma individual ou em grupo dentro ou fora da sala de aula e com ou sem guião Esta combinação poderá ser em função da estratégia de avaliação que se pretenda implementar e os dados produzidos terão natureza diferente António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 38 Figura 7 Relatório escrito AS COMPOSIÇÕES As composições matemáticas são um outro tipo de instrumento que permitem produções escritas dos alunos e que podem ajudálos a estabelecer relações entre a matemática e a realidade a vida do diaadia ou outras disciplinas ou relações entre várias ideias matemáticas As composições matemáticas podem ser curtas resposta restrita ou extensas ensaios Para as composições matemáticas curtas os enunciados devem ser precisos para que indiquem aos alunos exatamente o que se lhes pede ou seja o conteúdo da resposta é muito balizado pelo âmbito do tópico da questão ou então por limitações à forma da resposta Figura 8 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 39 Figura 8 Composição matemática curta As composições extensas relacionamse normalmente com o desenvolvimento de um tema Figura 9 e não com o reproduzir ou o resumir de um texto Podem também ser baseados num comentário a um trabalho já realizado António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 40 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 41 Figura 9 Composição matemática extensa O PORTFÓLIO O portfólio é outro instrumento bastante interessante para retratar as aprendizagens dos alunos ao longo de um determinado período de tempo Portfólio é um dossier onde os alunos vão colocando os melhores produtos justificando a sua integração e onde a reflexão sobre as aprendizagens é obrigatória Portanto tratase de um instrumento que testemunha o progresso e o produto das aprendizagens Assim durante o processo de construção do portfólio poderemos ter uma informação bastante detalhada das aprendizagens incluindo as dificuldades e do ensino e a partir de uma reflexãodiscussão e feedback sobre os produtos integrados no portfólio os alunos poderão regular as suas próprias aprendizagens e de refletir sobre essas mesmas aprendizagens Um dia o José saiu de casa para se encontrar num quiosque com Mariana Saiu de casa às 14 horas somo se pode verificar no gráfico mais exatamente na origem Demorou 2h a chegar ao quiosque que ficava a 6 Km de casa chegando às 16h Saiu a 3 Kmh porque já fizemos a divisão entre a distância que ele percorreu e o tempo que demorou para chegar ao quiosque o resultado é 3kmh Quando chegou ao quiosque comeu seguindo de volta para casa passado 1 h ou seja às 17 h Esta paragem que ele fez conseguese ver no gráfico através da linha reta constante Demorou 3 horas de volta para casa e foi a 2 kmh se calculando através da divisão as coordenadas distância e tempo vdt632 kmh Quando lá chegou às 20h comeu e já estava esfomeado Demorou menos tempo de casa ao quiosque cerca de 2h do que do quiosque a casa cerca de 3 horas O José fez um percurso de 12 km até ao quiosque e outros 6 km regresso a casa António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 42 metacognição avaliação eminentemente formativa Na fase final de construção do portfólio esse documento pode ser avaliado e poderá assumir características de uma avaliação somativa atribuindo uma classificação a esse mesmo portfólio No entanto para implementar um trabalho desta natureza é necessário que na fase de arranque seja discutido com os alunos os objetivos e a forma de organização e durante a construção que seja de fácil acesso e alvo de discussão entre professor e aluno e entre alunos O portfólio poderá ter diversos níveis de reflexão a a nível da documentação escolhi este trabalho porque b a nível da comparação este trabalho enriquece o meu dossier porque c a nível da integração o meu dossier revela um progresso porque Na classificação final de um portfólio poderemos ter em consideração entre outros os seguintes parâmetros 1 seleção diversidade de representatividade dos trabalhos 2 Reflexão qualidade das justificações e dos comentários escritos 3 Organização Estrutura e organização Deve ser emitida uma classificação final com uma apreciação global e a identificação dos pontos fortes e fracos AS RUBRICAS Um procedimento que tem vindo a ganhar terrenos na área das práticas avaliativas é o uso de rubricas de avaliação A rubrica de avaliação é uma matriz onde conste os indicadores e respectivos critérios de qualidade de desempenho dos alunos perante uma tarefa um produto ou um processo Cada um dos níveiscritérios de desempenho é descrito de forma suficientemente detalhada para que o seu uso torne possível ajuizar ou refletir sobre o progresso obtido em relação aos objetivos mais importantes Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 43 Para implementar esta estratégia de avaliação com recurso às rubricas será necessário o seguinte Figura 10 1 Escolha das tarefasatividades relevantes que impliquem a aplicação de conhecimentos capacidades e competências de forma contextualizada que possibilitem a aquisição das aprendizagens pretendidas 2 Definição de indicadores de desempenhoproduto expressos em termos de comportamentos observáveis ou de características dos produtos a elaborar os alunos devem ter conhecimento destes 3 Definição de critérios de desempenhoproduto que são a descrição de níveis de qualidade de um desempenho ou de um produto Figura 10 Componentes das rubricas Desta forma as rubricas permitem que a avaliação se torne mais objetiva e consistente através de critérios claros Além disso possibilitam fazer comparações e analisar o progresso do aluno e mostram claramente como o trabalho será avaliado A Figura 11 mostra uma rubrica construída para avaliar a atitude científica dos alunos na elaboração de uma tarefa de investigação em grupo seguindo um conjunto de procedimentos descritos no enunciado Se no trabalho o professor atribui a classificação de 3 três o aluno fica informado do que conseguiu e do que precisaria fazer para ter 4 quatro ou 5 cinco Neste sentido a própria rubrica fornece feedback ao aluno sobre o seu desempenho António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 44 Figura 11 Rubrica relativa ao processo atitude científica PRÁTICAS RELAÇÃO ENSINOAPRENDIZAGEMAVALIAÇÃO Cabe retomarmos alguns conceitos fundantes que tomamos para esse texto e que estão diretamente ligados com o que pode vir a ser as práticas de sala de aula tais como avaliação formativa está na relação ensinoaprendizagem as tarefas de ensino são fundamentais para atingir os objetivos de aprendizagens e o feedback de alta qualidade tem que ser contínuo para alavancar a melhoria das aprendizagens dos alunos Portanto a título de ilustração elegemos dois exemplos para visualizarmos práticas docentes e tarefas potencialmente apropriadas para Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 45 a promoção da relação ensinoaprendizagemavaliação tomando como objetivo maior a melhoria das aprendizagens dos alunos O primeiro exemplo trata de uma experiência realizada em junho de 2015 numa escola de Belém como parte do curso de Especialização em Educação Matemática para os anos iniciais em escolas ribeirinhas ofertado pelo Instituto de Educação Matemática e Científica IEMCI da Universidade Federal do Pará UFPA O primeiro momento da atividade foi desenvolvido pelo professor da turma em questão e os momentos seguintes pela professora formadora Toda a atividade foi desenvolvida com a partilha e acompanhamento do professor da turma4 Porém para efeito de melhor comunicação a experiência narrada fará referência a um único professor em todos os momentos ocorridos As figuras de 12 a 15 ilustram os acontecimentos dessa prática desde o planejamento até a execução em uma turma multisseriada 4º e 5o anos do Ensino Fundamental O segundo exemplo foi retirado com algumas adaptações de linguagem de um material de orientação aos professores do 1º ciclo do ensino Básico de Portugal equivalente aos anos iniciais no Brasil formulado pela Associação de Professores de Matemática de Portugal APM 2009 Diferente o primeiro exemplo neste enfocaremos a sugestão de um conjunto de tarefas para abordar o tema divisão fazendo algum destaque do potencial existente nesse material para a efetivação da relação ensinoaprendizagemavaliação 4 Nosso agradecimento ao professor Humberto Caldas pela concessão e colaboração nessa atividade formativa que também fez parte do projeto de pesquisa AMAR chancelado pelo Programa OBEDUCCAPESMECINEP António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 46 EXEMPLO 1 Figura 12 Síntese do planejamento de aula sobre o tema dobro TEMA DOBRO TURMA 4º e 5º anos CONTEXTO turma multisseriada alunos com diferentes níveis de desempenho metade da turma com dificuldade de leitura e escrita Total de alunos16 Faixa etária 9 a 11 anos DIAGNÓSTICO SOBRE O TEMA foi detectado que poucos alunos dominavam o conceito matemático do termo 80 da turma respondia de forma imediata perguntas diretas tipo o dobro de 5 é sem se dar conta do significado disso OBJETIVOS Provocar atenção ao tema por meio também da ludicidade Ampliar a percepção dos alunos sobre o conceito de dobro por meio de interpretação de situaçõesproblemas diversificadas Identificar as compreensões dos alunos sobre o tema a fim de orientar novas aprendizagens Promover a realização de autoavaliação ESTRATÉGIAS reforçar o conceito base de dobro via música considerando o contexto infantil planejar ficha de tarefas que comtemplassem o objetivo posto formar 4 grupos distribuir as tarefas a cada aluno para que fossem respondidas a partir da discussão no grupo promover a comunicação oral pelo próprio grupo dos processos e resultados de cada um deles oportunizar Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 47 Figura 13 Relatório de aula 1º e 2º momentos tema dobro 1º MOMENTO 15minutos envolvimento com o tema por meio da música atenção ao aspecto lúdico da aprendizagem de crianças O professor organizou o espaço da sala colocando as crianças sentadas ao chão em uma grande roda e colocouse como parte dessa roda Com o violão nas mãos o professor anunciou a letra da música estilo cantiga de roda composta por ele mesmo Pediu que os alunos o acompanhassem com palmas e completando as frases até que pudessem cantar sozinhos A música continha na letra o dobro é duas vezes 2º MOMENTO 40 minutos distribuição da ficha de tarefas e execução delas nos grupos O professor pediu que os alunos se organizassem em grupos de até 4 componentes Distribuiu a primeira tarefa e orientou que os alunos deveriam buscar em equipe a melhor solução e registrála cada um no papel mesmo papel que receberam Pediu que não o chamasse mas se tivessem algo a tratar com ele apenas levantassem a mão como sinal do pedido de atenção Os momentos em que o professor foi chamado para confirmar alguma resposta ou para responder sobre alguma dúvida retornou o questionamento para os demais membros da equipe a fim de estimulálos à discussão e à autoconfiança O professor reforçou a importância do registro dos raciocínios e a não preocupação com os resultados certo ou errado O professor observava as equipes estimulando os mais inseguros a buscarem informações com os que já arriscavam uma resposta e desses para com os menos participativos no grupo O professor registrou possíveis dificuldades e avanços dos alunos para servirem de parâmetro no momento da discussão geral António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 48 Figura 14 Conteúdo das atividades propostas para a aula CONTEÚDO DA FICHA Tarefa 1 João tinha 3 livros Maria tinha o dobro da quantidade de livros que tinha João Escreva qual a quantidade de livros que Maria tinha Comentário essa situação já era comum aos alunos Em aula anterior eles elaboraram 4 situações problemas envolvendo o tema dobro Todas foram desse tipo Tarefa 2 O único irmão de Luiza tem o dobro da idade dela Luiza tem 6 anos Qual a idade do irmão dela Comentário a palavra dobro aparece antes da quantidade dada e remetese a uma terceira pessoa O dobro é desconhecido Tarefa 3 Eu sei que na minha casa tem o dobro de goiabas que tem na casa do meu vizinho Se meu vizinho tem 8 goiabas quantas goiabas eu tenho Comentário a palavra dobro aparece antes da quantidade dada e remetese a primeira pessoa O dobro é desconhecido Tarefa 4 Eu tenho o dobro de lápis que têm a minha avó Se eu tenho 10 lápis quantos lápis têm a minha avó Comentário a palavra dobro aparece antes da quantidade dada e remetese a primeira pessoa O dobro é conhecido Tarefa 5 a Pinte no papel quadriculado 10 quadradinhos um perto do outro sem pular nenhum Pule 5 quadradinhos e pinte o dobro da quantidade pintada anteriormente um perto do outro sem pular nenhum b Compare a quantidade de quadradinhos nos dois desenhos Podemos afirmar que o segundo desenho têm o de quadradinhos do primeiro desenho isso é o mesmo que dizer que o primeiro desenho têm a dos quadrinhos que têm o segundo desenho c Faça um desenho qualquer com um certo número de quadradinhos Depois faça um desenho semelhante usando o dobro de quadradinhos que você usou no primeiro desenho Comentário propõe que o dobro possa ser identificado também por meio da forma relacionada a medida de superfície As situações sugerem uma ação a solicitam uma análise e o uso do conceito e nomenclatura adequada b e elaboração própria a partir do que foi feito nos itens anteriores c Tarefa 6 Ganhei 1 caderno 3 lápis 2 canetas e 4 livros Luiz e Tatiana juntos têm o dobro de cadernos o dobro de lápis o dobro de canetas e o dobro de livros que eu tenho Quantos materiais no total eles têm Comentário o dobro foi solicitado para mais de uma quantidade dada ou para o conjunto das quantidades dadas Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 49 Figura 15 Relatório de aula 3º e 4º momentos tema dobro A partir deste exemplo faremos algumas considerações a fim de evidenciar as relações ensinoaprendizagemavaliação e a caracterização da prática exercida tomando como referência o que temos considerado da avaliação formativa a serviço das aprendizagens Em primeiro lugar é relevante compreender o contexto da sala de aula incluindo um diagnóstico da turma relacionado ao tema para o planejamento dos objetivos e tarefas a serem propostas Figura 12 Antes 3º MOMENTO 5 minutos autoavaliação Ao final do tempo prédeterminado o professor solicitou aos alunos que preenchessem a seguinte ficha 4º MOMENTO 30 minutos comunicação oral O professor pede a cada grupo que se organize para apresentar em frente ao quadro e com o uso desse caso necessário os raciocínios e discussões que foram presentes no momento da resolução da tarefa Baseado nos resultados que viu o professor indica qual grupo apresentará respectiva tarefa Os critérios são o potencial da discussão observada pelo professor durante a execução das tarefas e manutenção da autoestima dos grupos com desempenho mais fracos Nesse momento os alunos também foram convidados a falar sobre o que marcaram na ficha de autoavaliação António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 50 de sugerirmos o planejamento posto na figura 12 tivemos acompanhando um dia de aula do professor cerca de 10ha O acompanhamos por meio de observações e tivemos feedback via conversas ocorridas nos intervalos Estes momentos respaldam as informações dispostas a seguir O primeiro diagnóstico sobre o entendimento da turma diante do tema dobro foi feito a partir do resultado advindo de uma avaliação externa O professor percebeu que os alunos mesmo tendo familiaridade com o tema dobro em seu contexto diário não responderam bem a essa questão presente no teste que fizeram a pedido da Secretaria de Educação Após essa detecção programou uma aula onde fez alguns questionamentos aos alunos do tipo sabem o significado da palavra dobro já ouviram essa palavra podem dar exemplos de uso Ao interessarmos pelo o que os alunos já sabem devemos nos preparar para tecer ligações entre esse conhecimento prévio que por vezes apresentase diferente do objetivo requerido pelo tema aos parâmetros necessários à aprendizagem do conceitoconteúdoobjeto matemático O professor ao fazer as perguntas que fez obteve como resposta a seguinte afirmação de um aluno Já ouvi falar em dobro É aquilo que minha mãe sempre diz quando recebe algo Deus te dê em dobro tudo aquilo que me desejares A resposta dos alunos causou alguns risos porém a perspectiva formativa do professor foi fundamental nessa hora Aproveitou o ditado popular mencionado pelo aluno e fez nova pergunta para instigar o raciocínio matemático O professor prosseguiu o diálogo Pois bem se é assim se Deus dá em dobro o que é desejado para alguém se eu desejar que sua mãe pesque 5 peixes quantos peixes Deus deverá conceder a mim Nesse momento a turma ficou em silêncio e demonstrou pensar sobre o que ouviu O professor conseguiu provocar a concentração dos alunos seguido a um momento de suposta descontração logo após a menção do ditado popular referenciado pelo aluno que aparentemente não teria a ver com o diagnóstico que se queria Depois oralmente o professor foi fazendo perguntas simples sobre o dobro de quantidades inteiras não negativas variando de 1 a 10 Logo no início já a maioria dos alunos responderam corretamente e o professor reforçava que o dobro de uma certa quantidade significava duas vezes tal Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 51 quantidade Logo em seguida o professor posicionouse no quadro e pediu que os alunos criassem algumas situações problemas que envolvesse o dobro de O momento de diagnóstico foi observado por nós para que pudéssemos nos envolver um pouco com aquele ambiente e também para planejar a intervenção que faríamos junto com o professor na próxima aula expostos nas Figuras 13 e 14 Portanto alguns elementos foram fundamentais para a escolha de objetivos estratégias e seleção de tarefas Foi essencial no momento de observação perceber que a os alunos manifestavam bom entrosamento com o professor b os alunos eram provocados a expor suas ideias e pensamentos c havia uma atmosfera de respeito construída pelo professor ao longo de suas práticas para com as manifestações orais dos alunos d o professor não estimulava disputas entre alunos ou dava destaque de atenção às respostas corretas e o professor sempre esteve à frente das ações sempre demandava perguntas e escrevia as respostas no quadro f mesmo não sendo proibido aos alunos buscar colaboração uns com os outros esse estímulo não foi presente durante as observações g foram mais presentes manifestações de perguntas e respostas oralmente h as situações apresentadas tanto pelo professor quanto pelos alunos mantinham o mesmo padrão tipo se tenho 3 objetos o dobro será Se ele tem 10 objetos o dobro será com algumas poucas variações i os alunos apresentavam oralmente ou de forma escrita os resultados mas não os raciocínios j a apresentação era voluntária e centravase em alguns alunos António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 52 l não lhes eram cobrados como se apercebiam diante do enfrentamento a pergunta que lhes era feita Portanto os objetivos e estratégias relacionadas no planejamento figura 12 e a elaboração das tarefas figura 13 foram orientados pelos itens supracitados Destacamos que A organização da sala para a aula sobre dobro figuras 12 a 15 estava diretamente relacionada aos itens e e f pois dessa forma buscávamos provocar uma discussão entre alunos sobre o tema com menos centralização no professor Queríamos estimular a criação de uma atmosfera de segurança entre o grupo de alunos despertar para a possibilidade de partilha de conhecimentos entre eles Estimular a autoestima e a autonomia diante de situações novas Os encaminhamentos feitos pelo professor durante o desenvolvimento das tarefas reforçam estes objetivos As situações colocadas nas tarefas foram pensadas para confrontase com os itens g h e i A ideia foi sugerir oportunidades de raciocínios diferentes das situações padrões que os alunos tinham vistos em aulas anteriores Tornavase relevante avaliar as atitudes e raciocínios dos alunos frente a cada situação sem criar expectativas para que fossem dadas respostas corretas Importava mais compreender como os alunos manifestavamse e suas principais dificuldades e avanços Identificar esses alunos também se tornava relevante tendo em vista as possíveis ações futuras Os itens h e l nos deram maior segurança para que pensássemos a ficha de autoavaliação E ainda o que diz item j justifica a estratégia da apresentação dos raciocínios por equipe de alunos de 4 em 4 alunos em momento específico a fim de destacar a apresentação de alunos que comumente não se manifestam oralmente de forma espontânea A ação do ensino foi sendo desenvolvida sem que o professor tomasse o papel principal pois os alunos receberam as tarefas e foram organizados e orientados para enfrentarem as situações sugeridas sem que o professor tivesse que fazer exposição prévia indicando possibilidades de resolvêlas Os alunos no primeiro momento demonstraram certa inércia Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 53 para com a atividade Mas aos poucos e com o estímulo do professor foram tomando conta da situação Também no primeiro momento não realizavam a partilha de ideias entre os colegas Cada um pegava a sua folha de papel e ficava pensando Os que não conseguiam resolver sozinhos por vezes apenas olhavam o outro fazer para copiar Esclarecemos então que não precisavam importar se com resultados corretos mas sobretudo com o desenvolvimento dos raciocínios Conversar com o colega sobre dúvidas ou certezas era um caminho viável e desejável Aos poucos os alunos foram entendendo as orientações e tentando um entrosamento maior e de melhor qualidade entre os pares Percebemos que em pelo menos dois grupos as tarefas pareciam bastante difíceis de serem enfrentadas Porém fomos informados que esses grupos para nossa surpresa eram formados por alunos que liam com muita dificuldade5 ou ainda estavam nas fases iniciais de aprendizagem da leitura mesmo estando no final dos anos iniciais Nesses grupos após perceber uma certa frustração e desmotivação dos alunos por conta do esforço feito com pouco êxito para a leitura e interpretação do texto escrito das tarefas resolvemos acompanhalos fazendo as leituras exigidas Todos os grupos não compreenderam bem a tarefa número 5 Manifestavam dúvidas sobre que desenho a fazer 5 Nesse texto não será possível aprofundarmos a discussão sobre esse tipo de situação que tem assolado as salas de aula de nosso estado Porém registramos que no caso vivenciado há alunos com distorção idadesérie ou não e comumente são oriundos de famílias de baixíssima renda pouca ou nenhuma atenção para os estudos em suas casas vulnerabilidade social e sem atendimento específico dentro da escola tais como aulaacompanhamento em contra turno atendimento psicológico alimentação complementar de qualidade e com suficiência etc António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 54 Apenas 1 grupo chegou a realizar todas as tarefas Os demais chegaram até a tarefa 5 alguns de forma incompleta Verificamos que todos fizeram facilmente a tarefa número 1 E ainda todos mesmo apontando na ficha de autoavaliação que conseguiu fazer facilmente erraram a tarefa número 4 Esse dado indica que os alunos precisam estar expostos a um ensino que valorize a variedade de raciocínios Ou seja que abandone a apresentação de problemastípicos de forma exclusiva Durante a aula foi possível avaliar o que está consolidado em termos de aprendizagens e o que ainda está em desenvolvimento As exposições dos alunos sobre os registros e raciocínios que tiveram demarcaram mais um momento de aprendizagem coletiva Colocávamos em discussão para a turma as respostas sugeridas por um determinado grupo Ao invés de perguntar a turma o que acham está certo ou errado estimulávamos o debate por alguém teve uma resposta diferente Caso sim pode explicar Ou ainda porque sentiram mais dificuldade nesse item por exemplo do 5b A avaliação transcorreu como parte da relação ensino aprendizagem em favor da melhoria das aprendizagens na medida que as ações foram voltadas para o desenvolvimento de autonomia e autoestima dos alunos intervenção mediadora do professor em momentos próprios distribuição de feedback do professor para os alunos dentro do processo de desenvolvimento de raciocínios dos alunos de forma coletiva e individual e recebimento de feedback por meio da manifestação dos alunos para possíveis tomadas de decisão para o encaminhamento das aulas futuras Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 55 EXEMPLO 2 No material de orientação ao professor intitulado Desenvolvendo o sentido de número perspectivas e exigências curriculares APM 2009 selecionamos as tarefas que são sugeridas para uso nos anos iniciais abordagem no 3º ano de escolaridade equivalente ao 4º ano da escola brasileira sobre o tema divisão Mas antes de enunciarmos as tarefas propostas trazemos a justificativa dos autores para tal proposição O desenvolvimento de estratégias de divisão os sentidos como partilha e como medida e dar sentido aos números que representam o dividendo o divisor o quociente e o resto foram objectivos para a sua construção Os problemas foram preferencialmente contextualizados excepto na 4ª tarefa procurando relações com as vivências e experiências dos alunos Esta cadeia pretende contribuir para o desenvolvimento do conceito de divisão num percurso em que as estratégias dos alunos evoluam tornandose mais elaboradas Cada aluno organizará o seu percurso transitando da divisão com recurso ao desenho passando pela relação existente entre a adição e multiplicação propriedades e relações das tabuadas da multiplicação propriedades comutativa e distributiva até à simbologia da divisão e utilização de propriedades e relações para calcular quocientes APM 2009 p91 A seguir as tarefas serão apresentadas em quadros com alguma adaptação no que se refere a linguagemcontexto para melhor compreensão dentro do cotidiano de uma boa parte das crianças do Brasil António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 56 Figura 16 Tarefa 1 tema divisão APM 2009 p92 Figura 17 Tarefa 2 tema divisão APM 2009 p96 Festa de Aniversário A Catarina faz anos na próxima semana Está pensando em convidar alguns amigos e fazer uma pequena festa A mãe já foi às compras e comprou 56 balões Está pensando em dar no final da festa a cada um dos amigos de Catarina 4 balões e não ficar com nenhum Quantos amigos a mãe está pensando que Catarina irá convidar Precisava comprar 80 bombons para a festa Os bombons estavam embalados em sacos de 8 bombons cada um Quantos sacos comprou A mãe de Catarina está pensando em colocar 6 mesas com doces salgadinhos pipocas e distribuir de forma igual por elas os 80 bombons Quantos bombons pode colocar em cada mesa Será que sobrará alguns para ela comer Reunião de Pais Os professores do 3º ano irão fazer uma reunião de pais onde estarão presentes 95 pais Poderão sentar em cada mesa 5 pais De quantas mesas precisaremos para sentar todos os pais Os professores do 4º ano também vão fazer uma reunião de pais Para receberem 95 pais que participarão na reunião necessitam de 19 mesas Quantos pais se sentarão por mesa Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 57 Figura 18 Tarefa 3 tema divisão APM 2009 p100 No mercadinho A mãe da Cristiana que trabalha no mercadinho tem para arrumar 24 tomates em caixas que levam 6 tomates cada uma De quantas caixas irá precisar E se tiver de arrumar 48 tomates Quantas caixas irá precisar De quantas caixas irá precisar para arrumar 96 tomates No dia seguinte a variedade de frutas e caixas era maior que no dia anterior A mãe de Cristiana tinha para arrumar abacaxis laranjas e novamente tomates curiosamente a quantidade de produtos era a mesma em qualquer das três qualidades Tinha 96 abacaxis que iria arrumar em caixas com 6 abacaxis cada uma De quantas caixas iria precisar Quantas caixas serão necessárias para arrumar 96 laranjas cabendo agora em cada caixa 12 laranjas E para arrumar os tomates em caixas levam 24 tomates cada uma António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 58 Figura 19 Tarefa 4 tema divisão APM 2009 p106 Divisões em cadeia Observe e complete 62 126 482 4005 40010 4020 122 246 484 2005 20010 4010 242 486 488 1005 10010 405 482 966 4816 505 5010 4025 Sabendo que a metade de 36 é 18 36218 é fácil calculares a quarta parte de 36 Qual é Utilizando a mesma estratégia calcule 384 1204 4604 684 3004 8204 844 2884 20404 Como pensaste Observe e complete 122 242 482 1205 2405 4805 O que verificas Sabendo que 6002300 Consegues calcular rapidamente a metade de 640 6402 Como pensaste E metade de 590 5902 Como pensaste Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 59 Notase que as quatro tarefas mantem coerência com os objetivos a que se propõe e traz níveis de desenvolvimento diferentes Na orientação do livro há menção às ideias e procedimentos a desenvolver por meio de cada tarefa Neste texto retrataremos o que diz respeito apenas a tarefa 1 figura 17 Nesta as ideias e procedimentos são Sentidos da divisão como partilha e como medida Resolução de problemas em contexto de divisão como partilha e em contexto de divisão como medida utilizando as competências desenvolvidas para as operações conhecidas adição subctração multiplicação procurando que os alunos não recorram apenas ao desenho Dar sentido ao resto resolvendo problemas cujo o resto não é 0 APM 2009 p93 Como tarefa de ensinoaprendizagemavaliação importa incluir no planejamento hipóteses de respostas dos alunos diante de cada proposição sugerida levando em conta os objetivos de melhoria de aprendizagens Além disso o professor deve estar atento em desenvolver estratégias compatíveis com estes objetivos Na tarefa 1 é desejável que o professor não dê grandes orientações para oportunizar aos alunos o desenvolvimento de estratégias pessoais de resolução Considerando especificamente os dois primeiros problemas figura 16 um no contexto de partilha e o outro no contexto de medida a expectativa é perceber se os alunos expressão alguma relação entre o tipo de estratégia que adotam aditiva subtrativa ou multiplicativa e o contexto do problema APM 2009 A tarefa não é para ser realizada individualmente e depois corrigida pelo professor no quadro Essa tática não oportuniza avaliação das aprendizagens com qualidade e dificulta a melhoria delas pois cria uma atmosfera de passividade nos alunos não oportuniza troca de experiências e nem feedback de qualidade aos alunos Portanto o foco deve ser o aluno Com isto é relevante que se promova discussão sobre as diferentes estratégias apresentadas pelos António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 60 alunos em suas respostas a fim de identificar coletivamente o grau de eficiência delas Vejamos algumas possíveis respostas e em seguida quais feedback poderiam ser dados a fim de atingir melhores aprendizagens sobre o tema divisão no contexto da tarefa 1 figura 16 REFERENTE AO PROBLEMA 1 Estratégia do aluno Representação da Estratégia Feedback do professor DESENHO OOOO OOOOOO OOOO ou OOOOOO OOOO OOOOOO OOOO OOOOOO OOOO OOOO Apresentar outras questões como estímulo para o aluno buscar representação mais eficaz Questionar o aluno para que ele busque a representação aditiva tipo 14 linha com 4 balões ou 14 colunas com 4 balões CÁLCULO ADITIVO 444444444410x440 44444x416 logo 14x456 Destacar a sequência do cálculo aditivo até 40 para o contexto multiplicativo 10x4 Estimular o uso informal da propriedade distributiva favorecendo a mudança do cálculo aditivo para o multiplicativo Estimular o aluno para organizar as ideias em uma tabela tipo 4 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 61 balões1 menino 8 balões2 meninos TABELA RELACIONANDO N DE BALÕES E N DE MENINOS Balões 4 8 12 1 6 2 0 2 4 2 8 meninos 1 2 3 4 5 6 7 Orientar que não há necessidade de preencher toda a tabela Sugerir que ao chegar em 20 balões para 5 meninos usem a noção de dobro então 40 balões dão para Estimular o uso da propriedade distributiva iniciando com 10x4 e chegar ao n60 Ex 10x4405x420 logo 15x46014x456 REFERENTE AO PROBLEMA 2 Estratégia do aluno Representação da Estratégia Feedback do professor DESENHO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO OOOOOOOO Questionar sobre a estratégia tendo em vista os números envolvidos estimulando o uso da tabuada do 8 ESCRITA DA EXPRESSÃO 10X880 António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 62 REFERENTE AO PROBLEMA 3 Estratégia do aluno Representação da Estratégia Feedback do professor CÁLCULO USANDO A TABUADA DO 6 10x660 5x630 16x690 ultrapassa Diante da possibilidade de maiores dúvidas neste problema 80 não é múltiplo de 6 o que provocará resto e ainda a tabuada do 6 pode ainda ser pouco usual a orientação deve estimular o cálculo aproximado tipo 14x6 e 13x6 CÁLCULO POR APROXIMAÇÃO 14x684 ainda ultrapassa 13x678 inferior a 80 Questionar tenho bombons suficientes para colocar 13 em cada mesa E 13 E foram todos distribuídos pelas mesa O que sobra O questionamento tem alta relevância para que os significados dos produtos 14x6 e 13x6 sejam devidamente partilhados Ao orientar os raciocínios pelos questionamentos podem sugerir registros tipo 13x678 13 bombons para cada mesa 78280 mãe da Catarina come 2 Obs Tabelas elaboradas a partir das informações contidas em APM2009 p93 e 94 A intenção na exposição desses dois exemplos é de ilustrar como a avaliação formativa pode colaborar com a melhoria das aprendizagens e estar na correlação ensinoaprendizagem usando do relato de alguma experiência ou de materiais que podem ser usados na perspectiva formativa Neste 2º exemplo particularmente na tarefa 1 ressaltamos a importância da participação do professor sempre na perspectiva de Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 63 avaliador e promotor de oportunidades para alcançar os objetivos postos As tarefas têm pertinência com o referencial de estudo ou seja sobre a exploração dos sentidos da divisão respeitando a expressão dos alunos desde os desenhos até as relações destes com a adição e multiplicação e dando condições para acompanhamento do desenvolvimento dos alunos ao longo do envolvimento deles com os problemas Contudo a conjunção entre a prática a experiência as vivências e os estudos sobre avaliação formativa são complexos e não permitem simplificações suficientes para serem tomadas como modelos a seguir A criatividade unida ao preparo e às experiências acumuladas seguramente dirão mais sobre a vida da relação ensinoaprendizagemavaliação no dia adia da sala de aula António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 64 PALAVRAS FINAIS OS DESAFIOS A VENCER Iniciamos esse livro com o desejo de problematizar ou ampliar um pouco o que temos acompanhado pontos essenciais para que possamos adentrar na temática avaliação com propósito de melhoria das aprendizagens em especial na matemática na condição de formadores de professores ou como pesquisadores de temas relacionados à Educação Básica Mas um livro são ideias escritas vivas no texto A avaliação formativa tal como tivemos o prazer expor aqui por meio da discussão sobre conceitos princípios articulação com o currículo exemplos de práticas e outros só terá profícuo sentido se viver nas práticas docentes cotidianamente Atualmente como pesquisadores temos nos empenhado em investigar sobre o fenômeno da avaliação em matemática Mais especificamente compomos a equipe do projeto AERA AVALIAÇÃO E ENSINO NA EDUCAÇÃO BÁSICA EM PORTUGAL E NO BRASIL RELAÇÕES COM AS APRENDIZAGENS6 Este projeto encontrase em desenvolvimento e deriva da necessidade de se compreender as relações entre uma variedade de elementos que afetam o desenvolvimento da aprendizagem do aluno Entre outros são considerados a o ensino e práticas de avaliação de professores b Percepções dos professores sobre o ensino avaliação e aprendizagem c natureza das tarefas de avaliação utilizadas nas salas de aula e frequência distribuição e natureza do feedback utilizados e d a participação dos alunos nos processos de ensino avaliação e aprendizagem O estudo das práticas de ensino e de avaliação dos professores e da participação dos alunos nos processos conducentes às suas aprendizagens assumem uma relevância particular no contexto deste estudo 6 O projeto AERA é parte da cooperação internacional entre o Instituto de Educação Matemática e Científica da Universidade Federal do Pará e o Centro de Investigação em Psicologia e Educação da Universidade de Évora Portugal Conta com o financiamento CAPESFCT Vigência até 2016 com possibilidade para até 2017 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 65 Como estratégia metodológica foram feitas ou ainda estão em fase de execução observação em salas de aula 4º e 5º ano do ensino fundamental em BelémPA e em Évora entrevistas com professores entrevistas com alunos e questionário para professores Até o momento é possível retratar alguns resultados preliminares desse estudo e que foram essenciais para a proposição deste livro É possível afirmar que Durante as observações a avaliação não esteve deliberada sistemática e conscientemente presente enquanto os professores ensinavam ou quando os alunos aprendiam de forma mais ou menos autônoma A sua presença foi esporádica e pontual e em geral não foi utilizada para ajudar os alunos a aprender Foi mais utilizada com a preocupação de atribuir as classificações aos alunos no final dos períodos escolares Dirseia que nestas condições a avaliação não constituiu o processo natural de articulação entre o ensino e a aprendizagem A avaliação orientada para ajudar os alunos a aprender existiu de forma muito ténue não deliberada e muitas vezes confundida com a distribuição de feedback que naturalmente lhe é inerente mas não é a mesma coisa De igual modo também é necessário compreender que a discussão e o diálogo ainda que inerentes àquele tipo de avaliação não se podem confundir com ele A avaliação vai para além disso Exige forma e conteúdos próprios E isso realmente faltou na generalidade das aulas observadas A avaliação formativa ou somativa é normalmente associada de forma mais ou menos automática a um qualquer tipo de instrumento que se utiliza num dado momento e a que invariavelmente corresponde um registo que de algum modo vai apoiar a atribuição de uma classificação Tratase de uma visão limitada e redutora do que é a avaliação pois não prevê por exemplo que através do trabalho desenvolvido sobre uma dada tarefa deve ser possível ensinar aprender e avaliar Apenas como essa pequena síntese resultante da pesquisa já é possível perceber que há ainda algum caminho a percorrer no domínio da António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 66 avaliação para que ela possa estar ao serviço de quem aprende e de quem ensina É urgente que em conjunto professores gestores políticas públicas legislações encontremos caminhos para que a avaliação se constitua efetivamente um processo natural de articulação entre o ensino e a aprendizagem Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 67 REFERÊNCIAS ALLAL L Estratégias de avaliação formativa In ALLAL L CARDINET J PERRENOUD Ph Eds Avaliação num ensino diferenciado Coimbra Livraria Almedina 1986 pp 175209 trabalho original em francês publicado em 1978 APMASSOCIAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA Desenvolvendo o sentido do número perspectivas e exigências curriculares volume II Materiais para o professor do 1º ciclo Equipa do Projeto Desenvolvendo o sentido de números perspectivas e exigências curriculares2ed Lisboa APM 2009 BLACK P WILLIAM D Assessment and classroom learningIn Assessment in Education Principles Policy Practice mar 1998 vol 5 Issue 1 BRASIL Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional nº 9394 de 20 de dezembro de 1996 Brasil BRASIL Ministério da Educação Secretaria de Educação Fundamental Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática 1º e 2º ciclos do ensino fundamental v 3 Brasília MEC 1997 BRASIL Ministério da Educação Secretaria de Educação Básica Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica Brasília MEC SEB DICEI 2013 BRASIL Plano Nacional de Educação 20142024 recurso eletrônico Lei nº 13005 de 25 de junho de 2014 que aprova o Plano Nacional de Educação PNE e dá outras providências Brasília Câmara dos Deputados Edições Câmara 2014 CHRISTIANSEN B WALTHER G Task and activity In CHRISTIANSEN B HOWSON A G Otte M Eds Perspectives on mathematics education pp 243307 Dordrecht D Reidel 1986 António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 68 FERNANDES Domingos Avaliação das aprendizagens desafios às teorias práticas e políticas Lisboa Textos Editores 2008 Para uma teoria da avaliação formativa In Revista Portuguesa de Educação 192 2006 pp 2150 GARDNER H Estruturas da mente a Teoria das Múltiplas Inteligências Porto Alegre Artes Médicas 1984 Publicado originalmente em inglês com o título The frams of the mind the Theory of Multiple Intelligences em 1983 HARLEN Wynne JAMES Mary Assessment and Learning differences and relationships between formative and summative assessment Assessment in Education 1997 vol 4 no 3 INEP em httpsistemasprovabrasilinepgovbrprovaBrasilResultadosviewboletim DesempenhoboletimDesempenhoseam Acessado Em 17062015 MENINO Hugo SANTOS Leonor Instrumentos de avaliação das aprendizagens em Matemática o uso do relatório escrito do teste em duas fases e do portefólio no 2º ciclo do Ensino Básico Disponível em httpareafculptartigos20publicados20nacionaisBpdf Acesso em 21 jan 2015 NCTM Normas profissionais para o ensino da Matemática Lisboa IIE e APM 1994 PONTE J P Gestão curricular em Matemática In GTI ed O professor e o desenvolvimento curricular Lisboa APM 2005 pp 1134 PONTE J P Tarefas no ensino e na aprendizagem da Matemática In PONTE J P Org Práticas profissionais dos professores de matemática Lisboa Instituto de Educação da Universidade de Lisboa 2014 pp 1327 Coleção IV Educação Matemática na Amazônia V 7 69 STEIN M K SMITH M S Mathematical tasks as a framework for reflection From research to practice Mathematics Teaching in the Middle School 1998 3 4 268275 VALENTE Wagner BERTONI Nilza FISCHER Maria Cecília Avaliação em Matemática São Paulo Papirus 2012 VILLAS BOAS Benigna As práticas avaliativas e a organização do trabalho pedagógico 1993 Tese Doutorado em Educação Faculdade de Educação Universidade Estadual de Campinas1993 VILLAS BOAS Benigna Virando a escola do avesso por meio da avaliação Campinas Papirus 2008 António Borralho Isabel Lucena Maria Augusta Brito 70 DADOS SOBRE OS AUTORES António Manuel Águas Borralho é licenciado em Matemática e Desenho Ensino pela Universidade de Évora mestrado em Tecnologia Educativa pela Universidade de Salamanca doutorado em Ciências da Educação pela Universidade de Évora É professor do Centro de Investigação em Educação e Psicologia da Universidade de Évora Desenvolve atividades de pesquisa e ensino relacionados à Educação Matemática Foi professor da Educação Básica e atualmente trabalha na formação professores que ensinam matemática É coordenador do projeto AERA equipe portuguesa Isabel Cristina Rodrigues Lucena é licenciada em Matemática pela UEPA mestre e doutora em Educação Educação Matemática pela UFRN É professora do Instituto de Educação Matemática e Científica IEMCI da Universidade Federal do Pará Desenvolve atividades de pesquisa e ensino relacionados à Educação Matemática Foi professora da Educação Básica e atualmente trabalha na formação professores que ensinam matemática É coordenadora do projeto AERA equipe brasileira Maria Augusta Raposo de Barros Brito é licenciada em Matemática pelo Centro de Estudos Superiores do Estado do Pará CESEPPA mestre em Educação em Ciências e Matemática Educação Matemática e doutoranda do mesmo curso do Instituto de É professora da Universidade Federal do Pará Campus Bragança Desenvolve atividades de pesquisa e ensino relacionados à Educação Matemática Foi professora da Educação Básica e atualmente trabalha na formação professores que ensinam matemática É membro do projeto AERA equipe brasileira