Lista 7 Elipse e Hipérbole-2023 1

Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM045/CMA112/CMI012 - Geometria Analítica Lista 7: Elipse e Hipérbole 1. Em cada item a seguir, determinar a equação reduzida, os vértices A1 e A2, os focos F1 e F2 e a excentricidade 0 < e < 1 das elipses dadas. Esboçar o gráfico. (a) 25x2 + 4y2 = 100 (b) 9x2 + 16y2 − 144 = 0 (c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0 (d) 4x2 + 9y2 = 25 (e) x2 + 2y2 − 5 = 0 (f) 9x2 + 25y2 = 25 2. Em cada item a seguir, determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico: (a) Focos F1(−4, 0) e F2(4, 0), eixo maior igual a 10; (b) Focos F = (±3, 0) e vértices A = (±4, 0); (c) Focos F(0, ±3) e excentricidade √ 3 2 ; (d) Centro C = (0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo x e passando por P = (−2 √ 5, 2); (e) Centro (0, 0), eixo maior sobre eixo x, excentricidade 1 2 e que passa pelo ponto (2, 3). 3. Escreva a equação da elipse do gráfico: 4. Seja k > 0, prove que a equação 3x2 +4y2 = k representa uma família de elipses cada uma das quais tem excentricidade 1 2. 5. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 1 3 viaja ao redor de um planeta situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300km, calcular a maior distância. Dica: o ponto mais próximo do foco F1 sobre uma elipse é o vértice A1. 6. Uma elipse tem os focos em F = (±3, 0) e excentricidade igual a 1 2. Qual é a área da elipse? 7. Determine a distância entre os pontos de interseção da reta x−4y+4 = 0 com a elipse x2+4y2 = 16. 8. Dois dos vértices de um polígono de 4 lados coincidem com os focos da elipse 9x2 + 5y2 = 1 e os outros dois com os vértices do eixo menor da elipse. Calcule a área do polígono. 9. Uma reta r será tangente a uma elipse E se a interseção entre r e E consistir de um único ponto. Encontre a equação da reta tangente à elipse 2x2 + 3y2 = 5 no ponto P = (1, 1). 10. Encontre as equações de ambas as retas tangentes à elipse x2 + 4y2 = 36 que passam através do ponto (12, 3). 11. Em cada item a seguir, determinar a equação reduzida, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das retas assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. (a) 16x2 − 25y2 − 400 = 0 (b) 4x2 − 5y2 + 20 = 0 (c) x2 − 2y2 − 8 = 0 (d) y2 − x2 = 2 12. Determine a equação na forma padrão das hipérboles transladadas dadas a seguir. Em cada caso indique qual é o centro e faça o esboço. (a) 9x2 − 4y2 − 18x − 16y − 43 = 0 (b) x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0 (c) 9x2 − 4y2 − 54x + 8y + 113 = 0 13. Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. (a) Focos F = (±5, 0) e vértices A = (±3, 0); (b) Focos F = (±8, 0) e excentricidade 4/3; (c) Vértices A = (0, ±2) e distância focal 2 √ 11; (d) Focos F = (±5, 0) e eixo imaginário medindo 4; (e) Centro C = (0, 0), eixo real sobre eixo y, b = 8 e excentricidade 5/3; (f) Vértices A = (±4, 0) passando por P = (8, 2); (g) Vértices A = (±3, 0) e equação das assíntotas y = ±2x; 14. Seja k > 0, prove que a equação x2 − y2 = k representa uma família de hipérboles com a mesma excentricidade e as mesmas assíntotas. Encontre a excentricidade e as assíntotas. Page 2 15. Duas estações LORAN (abreviatura de Long-Range Navigation - Navegação de Longa Distância) A e B estão numa reta que vai de leste para oeste e A está a 80km a leste de B. Um avião viaja para o leste num curso reto que está a 60km ao norte da reta que liga A e B. Sinais são mandados ao mesmo tempo de A e de B e o sinal de A atinge o avião 350µs (microssegundos) antes do sinal de B. Se os sinais propagam a uma velocidade de 0, 2 quilômetros por microssegundo, localize a posição do avião usando a definição de hipérbole. 16. Encontre a equação da hipérbole com focos nos vértices da elipse x2 25 + y2 9 = 1 e vértices nos focos dessa elipse. 17. Encontre a equação da hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes com os focos da elipse x2 25 + y2 9 = 1. 18. Considere a hipérbole de equação x2 a2 − y2 b2 = 1. As duas retas verticais que passam pelos focos intersectam esta hipérbole em 4 pontos. Mostre que a área deste retângulo é dada por S = 4b2c a . Represente geometricamente a hipérbole e o retângulo. 19. Uma reta r será tangente a uma hipérbole H se a interseção entre r e H consistir de um único ponto e r não for paralela às assíntotas de H. Determine os possíveis valores de m ∈ R para que a reta rm : y = mx − 1 seja tangente à hipérbole H : 4x2 − 16y2 = 64. 20. Encontre a área do retângulo cujos vértices são os pontos de interseção da elipse 2x2 +3y2 = 24 com a hipérbole x2 − y2 = 5. Page 3