Medida e Incerteza

b Determine o valor da área dada pelo produto da largura pelo comprimento com incerteza escreva as respostas com 5 casas decimais A cm² Amax cm² Amin cm² δA cm² c Usando o Arredondamento para Representar Medidas Normalmente devese expressar a incerteza de uma medida com apenas um algarismo significativo Exemplo Tensão elétrica 0126446 00005885 V Expressando a incerteza com 1 algarismo significativo Tensão elétrica 0126446 00006 V O valor médio da medida deve ser expresso com o mesmo número de casas decimais que a incerteza neste caso 4 logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento adequado resultando Tensão elétrica 01264 00006 V OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas Razão cada arredondamento introduz erro pequeno mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico 37 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM MEDIDAS Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da operação e será explicada por meio de exemplos Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas A B ā δa b δb 20 a Exemplo de adição A 142 02 e B 53 01 A B ā δa b δb ā b Máx Mín 2 21 Máximo valor da soma Máx ā δa b δb 142 02 53 01 198 Mínimo valor da soma Mín ā δa b δb 142 02 53 01 192 Física Experimental I pág 29 Valor médio A B ā b 142 53 195 Então A B 195 198 1922 195 03 b Exemplo de subtração A B ā δa b δb ā b Máx Mín 2 22 Máximo valor da subtração Máx ā δa b δb 142 02 53 01 92 Mínimo valor da subtração Mín ā δa b δb 142 02 53 01 86 Valor médio A B ā b 142 53 89 Então A B 89 92 862 89 03 c Exemplo de multiplicação A B ā δa b δb ā b Máx Mín 2 23 Máximo valor da multiplicação Máx ā δa b δb 142 02 53 01 7776 Mínimo valor da multiplicação Máx ā δa b δb 142 02 53 01 728 Valor médio A B ā b 142 53 7526 Então A B 7526 7776 7282 75 2 Física Experimental I pág 30 d Exemplo de divisão AB a δab δb ab MáxMin2 24 Máximo valor da divisão Máx a δab δb 142 0253 01 276923 Mínimo valor da divisão Máx a δab δb 142 0253 01 259259 Valor médio AB ab 142 53 267924 Então AB 267924 276923 2592592 268 009 e Exemplo de exponenciação B3 b δb3 b3 MáxMin2 25 Máximo valor da exponenciação Máx b δb3 53 013 157464 Mínimo valor da exponenciação Mín b δb3 53 013 140608 Valor médio B3 b3 533 148877 Então B3 148877 157464 1406082 149 8 f Exemplo de cosseno cosB cosb δb cosb MáxMin2 26 O cosseno é uma função decrescente no primeiro quadrante onde o referido valor de B se situa logo seu valor máximo ocorre quando o argumento é mínimo o que significa Máximo valor do cosseno Máx cos635 02 0449319 Mínimo valor do cosseno Mín cos635 02 0443 Física Experimental I pág 31 Num experimento para determinar a densidade de um material Um paralelepípedo no qual cada aresta foi medida três vezes onde os valores foram apresentados na tabela abaixo A massa do paralelepípedo é m 85348 0001 g A precisão do paquímetro é Pp 0005 cm A precisão da balança é Pb 0002 g largura cm comprimento cm altura cm medida 1 1571 0939 3010 medida 2 1528 0949 2977 medida 3 1534 0942 2951 a Determine as arestas com incerteza O valor de desvio padrão para largura escreva com 5 casas decimais σx cm incerteza total para a largura escreva arredondado para 1 algarismo significativo δlt cm O valor de desvio padrão para comprimento escreva com 5 casas decimais σx cm incerteza total para o comprimento escreva arredondado para 1 algarismo significativo δct cm O valor de desvio padrão para altura escreva com 5 casas decimais σx cm incerteza total para a altura escreva arredondado para 1 algarismo significativo δht cm O valor do Volume com a incerteza arredondada para 1 algarismo significativo Volume cm³ d Determine o valor da densidade do material com incerteza escreva as respostas com 5 casas decimais ρ gcm³ ρmax gcm³ ρmin gcm³ δρ gcm³ O valor da densidade com a incerteza arredondada para 1 algarismo significativo ρ gcm³ O valor da Área com a incerteza arredondada para 1 algarismo significativo Área cm² c Determine o valor do volume do paralelepípedo com incerteza escreva as respostas com 5 casas decimais V m³ Vmax cm³ Vmin cm³ δV cm³ Num experimento para determinar a densidade de um material Um paralelepípedo no qual cada aresta foi medida três vezes onde os valores foram apresentados na tabela abaixo A massa do paralelepípedo é m 85348 0001 g A precisão do paquímetro é Pp 0005 cm A precisão da balança é Pb 0002 g l largura cm comprimento cm altura cm medida 1 1571 0939 3010 medida 2 1528 0949 2977 medida 3 1534 0942 2951 a Determine as arestas com incerteza O valor de desvio padrão para largura escreva com 5 casas decimais σx cm incerteza total para a largura escreva arredondado para 1 algarismo significativo δlt cm O valor de desvio padrão para comprimento escreva com 5 casas decimais σx cm incerteza total para o comprimento escreva arredondado para 1 algarismo significativo δct cm O valor de desvio padrão para altura escreva com 5 casas decimais σx cm incerteza total para a altura escreva arredondado para 1 algarismo significativo δht cm Para cada aresta usase n 3 medições Calculase a média x 1n i1 to n xi o desvio padrão amostral s i1 to n xi x2 n1 e o desvio padrão da média erro aleatório do tipo A σx s n A incerteza total de cada aresta é tomada como a soma do erro aleatório com a precisão do paquímetro Pp 0005 cm δℓt σx Pp Largura 1571 1528 1534 cm x 1571 1528 15343 46333 154433 cm 1571 154433 002667 1528 154433 001633 1534 154433 001033 xi x2 0026672 0016332 0010332 000071 000027 000011 000108 s 0001082 000054 002329 cm σx 0023293 001345 cm δℓt 001345 000500 001845 cm δℓt 002 cm Comprimento 0939 0949 0942 cm x 0939 0949 09423 28303 094333 cm 0939 094333 000433 0949 094333 000567 0942 094333 000133 xi x2 0004332 0005672 0001332 000002 000003 000000 000005 s 0000052 000003 000513 cm σx 0005133 000296 cm δℓt 000296 000500 000796 cm δℓt 0008 cm Altura 3010 2977 2951 cm x 3010 2977 29513 89383 297933 cm 3010 297933 003067 2977 297933 000233 2951 297933 002833 xi x2 0030672 0002332 0028332 000094 000001 000080 000175 s 0001752 000087 002957 cm σx 0029573 001707 cm δℓt 001707 000500 002207 cm δℓt 002 cm Respostas pedidas no item a σx largura 001345 cm δℓt largura 002 cm σx comprimento 000296 cm δℓt comprimento 0008 cm σx altura 001707 cm δℓt altura 002 cm Para a área A dada pelo produto da largura L pelo comprimento C usase o método dos extremos mostrado nas instruções para uma multiplicação o valor médio é Ā L C o máximo é Amax L δL C δC o mínimo é Amin L δL C δC e a incerteza é δA Amax Amin2 A partir do item anterior adotamse L 154433 cm δL 002 cm C 094333 cm δC 0008 cm Valor médio da área Ā L C 154433 094333 145682 cm² Valor máximo pelo extremo superior de ambos os fatores Amax L δL C δC 154433 002 094333 0008 156433 095133 148820 cm² Valor mínimo pelo extremo inferior de ambos os fatores Amin L δL C δC 154433 002 094333 0008 152433 093533 142576 cm² Incerteza da área pelo semiamplitude do intervalo δA Amax Amin2 148820 1425762 0062442 003122 cm² Respostas com 5 casas decimais solicitadas Ā 145682 cm² Amax 148820 cm² Amin 142576 cm² δA 003122 cm² Para a área já obtida no item b aplicase a regra de arredondamento da incerteza para 1 algarismo significativo Como δA 003122 cm² o arredondamento para 1 algarismo significativo fornece δA 003 cm² O valor médio deve ficar com o mesmo número de casas decimais da incerteza logo Área 146 003 cm² Item c Determinase o volume do paralelepípedo pelo produto das três arestas com o método dos extremos Usamse as médias e incertezas totais do item a L 154433 cm δL 002 cm C 094333 cm δC 0008 cm H 297933 cm δH 002 cm O volume médio pedido está em m³ o que é estranho já que todas as outras medidas estão em cm³ Caso pedido 𝑉 em cm³ então seria 𝑉 434033 𝑐𝑚3 O valor do Volume com a incerteza arredondada para 1 algarismo significativo Volume cm³ d Determine o valor da densidade do material com incerteza escreva as respostas com 5 casas decimais ρ gcm³ ρmax gcm³ ρmin gcm³ δρ gcm³ O valor da densidade com a incerteza arredondada para 1 algarismo significativo ρ gcm³ Para o volume usase o resultado do item anterior V 434033 cm³ e δV 012216 cm³ A incerteza deve ter 1 algarismo significativo logo δV 01 cm³ O valor médio deve ficar com o mesmo número de casas decimais da incerteza portanto Volume 43 01 cm³ Item d A densidade é ρ mV O valor médio usa os valores médios de massa e volume Para os extremos em uma divisão o máximo ocorre com numerador máximo e denominador mínimo e o mínimo ocorre com numerador mínimo e denominador máximo A massa informada é m 85348 0001 g e a precisão da balança é Pb 0002 g A incerteza total da massa é a soma δm 0001 0002 0003 g Cálculo do valor médio ρ mV 85348434033 1966396 g cm³ Cálculo do máximo ρmax m δm V δV 85348 0003 434033 012216 85351421817 2023414 g cm³ Cálculo do mínimo ρmin m δm V δV 85348 0003 434033 012216 85345446248 1912500 g cm³ A incerteza de ρ é metade da amplitude δρ ρmax ρmin2 2023414 19125002 1109142 055457 g cm³ Respostas solicitadas com 5 casas decimais ρ 1966396 g cm³ ρmax 2023414 g cm³ ρmin 1912500 g cm³ δρ 055457 g cm³ A densidade com a incerteza arredondada para 1 algarismo significativo fica ρ 197 06 g cm³