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Química ·
Cálculo em Várias Variáveis Reais
· 2021/2
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Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari Semana 6 0 Todpicos da Semana e Solucdes em Séries de Poténcias Método de Frobenius LL e Um caso da Equacao de Bessel 1 Método de Frobenius O método de Frobenius é na realidade muito mais abrangente do que apresentaremos aqui porém nossos exemplos vao ilustrar como o método funciona em geral Continuando o que comecamos na semana passada vamos tentar resolver equacoes de segunda ordem um pouco mais gerais usando séries de poténcias A diferencga principal motivada pela caso da equagao de Euler é que as solucoes nao terao em geral poténcias naturais de x Considere uma equacao da forma Pay Qay Rxy 0 1 em que PQ R sao polinémios e seja x79 um ponto singular regular desta equacao A ideia do método é supor que 1 possua uma solugao da forma yz x 29 ao ax xp a2x 20 co 20 So ana 20 n0 CO SPanx x9 n0 em que r é um ntmero real a ser determinado e vamos supor ao 0 para que x x9 seja a menor poténcia que aparece na expresso de y Veremos que para y ser solugao o ntimero r deve satisfaz uma determinada equacao que restringe os possiveis valores que ele pode assumir Para cada r possivel precisaremos determinar as relacoes de recorréncia que expressam os coeficientes Gn que dependem de r e finalmente determinar o raio de convergéncia da série resultante O método é melhor ilustrado com base em exemplos Exemplo 11 Vamos resolver a equacdao diferencial Qx7y ay 142y02 0 Observe que nesse caso Px 227 Qx x e Rx 12 O método de Euler nao se aplica a essa equagao pois o coeficiente Rx nao é constante Além disso é facil verificar que x 0 é um ponto singular regular Como discutido acima vamos supor que esta equagao tem uma solugdo da forma CO yx Ss Anx 2 n0 1 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari com algum raio de convergéncia R 0 de modo que CO y x Sin ranx1 n0 1 e co y x Sin trnrlana n0 Substituindo y e suas derivadas na equacao obtemos CO CO CO Qxy ay la2y S 2annrnrl1at S annrartr S Anat n0 n0 n0 CO 4 S ana ttt n0 CO CO CO S 2annrnr1aet S annrarth S ana n0 n0 n0 CO n1 2aorr 1 agra aga CO So Qannrn r 1 ann7 an Gp1 2 n1 agQrr1r41a CO S 2nrn7r1n17r 1 an ani x n1 co Ox S Ort n1 Como estamos supondo ap 0 temos que 2rr 1 r1 0 6 r12r 1 0 A equacao quadratica acima é chamada de equagcao indicial associada a EDO do exemplo Ela nos diz os posstveis valores que r pode assumir na busca por solugdes da equacdo na forma 2 No nosso exemplo vemos que os posstveis valores de r sao relerg12 Tais valores sao chamados de expoentes na singularidade Para n 1 obtemos as relacées de recorréncia 2n rnr1 ar 1 an an1 0 2 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F P R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari ou seja ee Xr n23r n 1 para n 1 Note entado que para cada valor de r que seja solucao da equacao indicial temos uma relagao de recorréncia correspondente Para r 1 obtemos an dt an1 Qn 4n233n41 n2n1 e jogando alguns valores de n para observamos o padrao a 31 4 0 a2 ao Q22 OO ES So 537 753 123 Em geral ao Gn 1 n 1 n 352n1nl Para escrever a expressdo acima de uma forma mais compacta completamos o fatorial no denominador multiplicando em cima e embaixo por 242n 2n obtendo 2 n 2 an 1p 1r ni2n 1 2n 1 para n 1 Como a equacao é linear podemos dividir por ag e assim obter uma primeira solucdo de 2xy xy 12y 0 definida para x 0 por CO 12 n za 1 x mn2 Do nay n1 Para estudar o raio de convergéncia desta série podemos usar o teste da razao n1 gn1 9 1 9 lim 9t jim le n x lim t 00 1 noo Ana noo 2n3 2 noo 2n 32n 2 para todo x R Portanto a funcao y dada pela série acima é solucao da equagao e na verdade pode ser considerada em todo R Para rz 12 obtemos as relagées de recorréncia se 2n n14 323n1 n2n 1 paran 1 O padrao aparece de maneira semelhante ao caso anterior ao a tT 3 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari ay ag a ees 0 ag ag a Eee OO TD Se 5350 1 23135 em geral ao 1 A 1 am I gs nay Como antes multiplicamos em cima e embaixo da fragao por 242n n2 para obter 2 ao Qn 12 n 2n Assim temos uma segunda solugao para a equagao dada pela expressdo novamente dividindo por ag oo non 12 1 2 n v2 1 2 wl ye n1 definida a principio para x 0 Novamente usado o teste da razao verificase que essa série converge para todo x R portanto y2 estd definida para todo x 0 nado esquega do termo com Vx Além disso fica claro que y1y2 linearmente independente de modo que a solugao geral de 2x7y xy 12y0 é yx Ciyix Coy2 com C1C2 Rex0 Em geral pode ser mostrado que se a equacgao indicial possui duas raizes distintas e que nao diferem por um inteiro entao os candidatos a solugao sao de fato solucgoes line armente independentes Outro caso simples ocorre quando as raizes sao complexas conjugadas bastando tomar a parte real e a parte imaginaria dos candidatos complexos a solucao para obter solucdes reais como ja vimos anteriormente em outras situacoes semelhantes Também mostra se nesse caso que as solucdes séo automaticamente linearmente independentes Além disso no caso de uma equacao da forma Pay Qay Rxy 0 com PQ R polindmios sem fatores comuns tal que x xp 6 um ponto singular regular entao a equacao indicial é dada por rr1por qo 0 onde Qx x lim 49 Po im 0 Dom Ra x lim x 29 40 jim 0 Px 4 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari Finalmente 0 raio de convergéncia das séries candidatas a solugao CO yl w a0 ann y para cada r raiz da equacao indicial é pelo menos igual a distancia de xp até a raiz mais préxima de Px fora o proprio x Xo Se a equacao indicial possui raizes r e r2 iguais ou diferindo por um inteiro com r ro entao temos pelo menos uma solucao da equacao diferencial associada a maior raiz no caso de raizes distintas a saber CO yx x x0 S an11 oy n1 No caso de raizes iguais ou distintas mas que diferem por um inteiro a procura por uma se gunda solucao linearmente independente é mais delicada e vamos apenas mencionar quais sao as formulas nesses casos Isso sera feito mais adiante Mas primeiro vamos explorar mais exemplos em que esses tipos de fendmenos nao ocorrem Exemplo 12 Vamos discutir a natureza das solucdes de 2xr12ay 32y xy 0 perto dos pontos singulares Nesse caso temos Px 2714 2 Qx 342 e Rx a Os pontos singulares sao os zeros de P ou seja os pontos x 0 ex 1 Perceba que ambos sao pontos singulares regulares 3 3 3 lim e202 lim et lim 2 ER 230 Px 230 2a1a2 230212 2 Rx 2 2 lim 2 lim 2 lim 0ER rs Pla 240 2a1a 22021 2 e Qz 342 342 1j 1 1 lim 1ER AMOS Dae AMOS Vasa Be Rz 2 axx 1 li 1P Ii 1 lm 0eR OT Day AEN gpa 2 Pelo que vimos acima a equacdao indicial no caso do ponto singular x 0 dada por 3 3 1 rrIt5rt00er r 5 0er rs 0 e portanto os expoentes dessa singularidade sao r1 0 e rg 12 Como eles sao distintos e nao diferem por um inteiro segue que esta equacao possui duas solucdes linearmente indepen dentes em torno de x 0 com os seguintes formatos co yix 1 S an0a n1 5 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari e CO yoxz a 1 S eo12 n1 e o raio de convergéncia de ambas as série é pelo menos a distancia de 0 até a raiz mais LL préxima de P que nao é o proprio 0 ou seja o ratio de convergéncia é pelo menos 1 Assim as séries convergem absolutamente pelo menos no intervalo 01 Com relacao ao ponto singular x 1 temos que a equacao indicial associada é rir 1 1r008rfr11 0err20 de modo que os expoentes dessa singularidade sao rj 2 erg 0 Assim nesse caso temos pelo menos uma solucdo associada a maior raiz dada por uma expressao do tipo CO yx w 1 7 an2a 0 n1 com raio de convergéncia pelo menos igual a1 isto é absolutamente convergente pelo menos no intervalo 20 Facamos agora um comentario sobre 0 caso em que a equacao indicial possui raizes iguais ou que diferem por um inteiro Se as raizes sao ry rg como jd discutimos temos uma primeira solucao associada com o formato CO yix a 29 S An11x 9 n1 No caso em que rj rg podese mostrar que uma segunda solucao linearmente independente com a primeira é obtida com a seguinte expressao co yoa yia Ina 20 So ai r1 x0 n1 A funcéo yo acima esta definida a principio para x 0 No caso em que as raizes 172 sao distintas mas rj rg N N é possivel encontrar uma segunda solucao linearmente independente pela seguinte formula abaixo CO yox ay x Ina xo w 29 f Ss Cnr2x ay n1 em que a jim r r2anr e d Cnr2 Fe r ra anr r Trre As deducées de ambas as solucoes sao mais sofisticadas e nao serao tratadas aqui elas ficarao mais a cargo de curiosidade de que é possivel resolver a equagéo mesmo nesses casos 6 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari 2 Equacao de Bessel 6 Nessa secao vamos estudar a equacao ay ay a vy 0 1 com v constante também chamada de ordem da equagao de Bessel e y definida para x 0 E facil verificar que x 0 é um ponto singular regular Essa equacao é dificil de ser tratada em toda sua generalidade mas para alguns valores especificos da constante v é possivel exibir explicitamente soluc6es para ela Aqui vamos tratar apenas do caso v 0 21 A equagao de ordem 0 Note que nesse caso Px x Qx x e Rx x de modo que qf lim 72 lim a 1 a0 Px 30 x 2 R lim 222 lim ae 0 x0 Px x0 x logo a equacao indicial associada a essa unica singularidade é rr1r4008r087r0 Assim estamos em um caso em que as raizes da equacao indicial sao iguais no caso rT rg 0 de modo que uma primeira solugao dessa equacao tem a forma CO yix S An 0x n0 Colocando y na equacao obtemos CO co CO ay tay ay 2 S nn 1an0a Ss nan Oa x Ss AnOa n2 n1 n0 CO co co Si nn1an02 S nan 02 5 an0a n2 n1 n0 CO CO CO So nn 1an02 a1 0e S nan02 an20ax n2 n2 n2 CO ai0 S nn 1an0 nan 0 an20 x n2 CO a0eS nan0 an20 2 n2 CO Oxr S Ox n2 7 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari Assim a relacao de recorréncia é 6 An20 a00 ap0 2n2l9 2 n o que nos da imediatamente a0 a30 a50 0 Além disso LL ao0 200 g 2 0 9 0 00 ge 242 62 2462261237 em geral 1a00 a2n0 Bre nle 21 Assim uma primeira solucéo para a equacao de Bessel de ordem 0 é dada por CO 122 yix 1 S 2 nye n1 e como x 0 éa unica singularidade nesse caso segue que a série acima converge absolutamente para todo x 0 A fungéo acima é conhecida como fungao de Bessel de primeira espécie e é denotada por Jp Para obter uma segunda solucao linearmente independente podemos recorrer a formula apre sentada anteriormente para 0 caso em que a equacao indicial tem raizes repetidas Para isso precisamos resolver a equacaéo de recorréncia para r genérico e obter a partir dai uma expressao para a derivada dos coeficientes a7 para finalmente encontrarmos a0 Outra alternativa é forcar a equacao possuir uma solucao no formato CO y yix Inaw Ss bx n1 e encontramos na mao os coeficientes b Fazendo qualquer um dos processos mencionados acima nao faremos aqui mas o leitor tem plenas condigées de fazélo vamos obter CO 1r H 9 yox Jox Ina S pape a2 0 n1 em que H 1121n para cada n 1 Na literatura é comum encontrar uma outra solucao alternativa da equacao de Bessel nesse caso obtida tomando uma combinacao linear especifica de Jo com yg da seguinte forma definimos 2 Yox ya2 yn 2Jo em que y limH Inn é a chamada constante de EulerMascheroni Da linearidade da equacao de Bessel segue dai que a solucao geral dela nesse caso é y cC1Jo c2Yo com cj c2 R 8 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas
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Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari Semana 6 0 Todpicos da Semana e Solucdes em Séries de Poténcias Método de Frobenius LL e Um caso da Equacao de Bessel 1 Método de Frobenius O método de Frobenius é na realidade muito mais abrangente do que apresentaremos aqui porém nossos exemplos vao ilustrar como o método funciona em geral Continuando o que comecamos na semana passada vamos tentar resolver equacoes de segunda ordem um pouco mais gerais usando séries de poténcias A diferencga principal motivada pela caso da equagao de Euler é que as solucoes nao terao em geral poténcias naturais de x Considere uma equacao da forma Pay Qay Rxy 0 1 em que PQ R sao polinémios e seja x79 um ponto singular regular desta equacao A ideia do método é supor que 1 possua uma solugao da forma yz x 29 ao ax xp a2x 20 co 20 So ana 20 n0 CO SPanx x9 n0 em que r é um ntmero real a ser determinado e vamos supor ao 0 para que x x9 seja a menor poténcia que aparece na expresso de y Veremos que para y ser solugao o ntimero r deve satisfaz uma determinada equacao que restringe os possiveis valores que ele pode assumir Para cada r possivel precisaremos determinar as relacoes de recorréncia que expressam os coeficientes Gn que dependem de r e finalmente determinar o raio de convergéncia da série resultante O método é melhor ilustrado com base em exemplos Exemplo 11 Vamos resolver a equacdao diferencial Qx7y ay 142y02 0 Observe que nesse caso Px 227 Qx x e Rx 12 O método de Euler nao se aplica a essa equagao pois o coeficiente Rx nao é constante Além disso é facil verificar que x 0 é um ponto singular regular Como discutido acima vamos supor que esta equagao tem uma solugdo da forma CO yx Ss Anx 2 n0 1 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari com algum raio de convergéncia R 0 de modo que CO y x Sin ranx1 n0 1 e co y x Sin trnrlana n0 Substituindo y e suas derivadas na equacao obtemos CO CO CO Qxy ay la2y S 2annrnrl1at S annrartr S Anat n0 n0 n0 CO 4 S ana ttt n0 CO CO CO S 2annrnr1aet S annrarth S ana n0 n0 n0 CO n1 2aorr 1 agra aga CO So Qannrn r 1 ann7 an Gp1 2 n1 agQrr1r41a CO S 2nrn7r1n17r 1 an ani x n1 co Ox S Ort n1 Como estamos supondo ap 0 temos que 2rr 1 r1 0 6 r12r 1 0 A equacao quadratica acima é chamada de equagcao indicial associada a EDO do exemplo Ela nos diz os posstveis valores que r pode assumir na busca por solugdes da equacdo na forma 2 No nosso exemplo vemos que os posstveis valores de r sao relerg12 Tais valores sao chamados de expoentes na singularidade Para n 1 obtemos as relacées de recorréncia 2n rnr1 ar 1 an an1 0 2 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F P R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari ou seja ee Xr n23r n 1 para n 1 Note entado que para cada valor de r que seja solucao da equacao indicial temos uma relagao de recorréncia correspondente Para r 1 obtemos an dt an1 Qn 4n233n41 n2n1 e jogando alguns valores de n para observamos o padrao a 31 4 0 a2 ao Q22 OO ES So 537 753 123 Em geral ao Gn 1 n 1 n 352n1nl Para escrever a expressdo acima de uma forma mais compacta completamos o fatorial no denominador multiplicando em cima e embaixo por 242n 2n obtendo 2 n 2 an 1p 1r ni2n 1 2n 1 para n 1 Como a equacao é linear podemos dividir por ag e assim obter uma primeira solucdo de 2xy xy 12y 0 definida para x 0 por CO 12 n za 1 x mn2 Do nay n1 Para estudar o raio de convergéncia desta série podemos usar o teste da razao n1 gn1 9 1 9 lim 9t jim le n x lim t 00 1 noo Ana noo 2n3 2 noo 2n 32n 2 para todo x R Portanto a funcao y dada pela série acima é solucao da equagao e na verdade pode ser considerada em todo R Para rz 12 obtemos as relagées de recorréncia se 2n n14 323n1 n2n 1 paran 1 O padrao aparece de maneira semelhante ao caso anterior ao a tT 3 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari ay ag a ees 0 ag ag a Eee OO TD Se 5350 1 23135 em geral ao 1 A 1 am I gs nay Como antes multiplicamos em cima e embaixo da fragao por 242n n2 para obter 2 ao Qn 12 n 2n Assim temos uma segunda solugao para a equagao dada pela expressdo novamente dividindo por ag oo non 12 1 2 n v2 1 2 wl ye n1 definida a principio para x 0 Novamente usado o teste da razao verificase que essa série converge para todo x R portanto y2 estd definida para todo x 0 nado esquega do termo com Vx Além disso fica claro que y1y2 linearmente independente de modo que a solugao geral de 2x7y xy 12y0 é yx Ciyix Coy2 com C1C2 Rex0 Em geral pode ser mostrado que se a equacgao indicial possui duas raizes distintas e que nao diferem por um inteiro entao os candidatos a solugao sao de fato solucgoes line armente independentes Outro caso simples ocorre quando as raizes sao complexas conjugadas bastando tomar a parte real e a parte imaginaria dos candidatos complexos a solucao para obter solucdes reais como ja vimos anteriormente em outras situacoes semelhantes Também mostra se nesse caso que as solucdes séo automaticamente linearmente independentes Além disso no caso de uma equacao da forma Pay Qay Rxy 0 com PQ R polindmios sem fatores comuns tal que x xp 6 um ponto singular regular entao a equacao indicial é dada por rr1por qo 0 onde Qx x lim 49 Po im 0 Dom Ra x lim x 29 40 jim 0 Px 4 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari Finalmente 0 raio de convergéncia das séries candidatas a solugao CO yl w a0 ann y para cada r raiz da equacao indicial é pelo menos igual a distancia de xp até a raiz mais préxima de Px fora o proprio x Xo Se a equacao indicial possui raizes r e r2 iguais ou diferindo por um inteiro com r ro entao temos pelo menos uma solucao da equacao diferencial associada a maior raiz no caso de raizes distintas a saber CO yx x x0 S an11 oy n1 No caso de raizes iguais ou distintas mas que diferem por um inteiro a procura por uma se gunda solucao linearmente independente é mais delicada e vamos apenas mencionar quais sao as formulas nesses casos Isso sera feito mais adiante Mas primeiro vamos explorar mais exemplos em que esses tipos de fendmenos nao ocorrem Exemplo 12 Vamos discutir a natureza das solucdes de 2xr12ay 32y xy 0 perto dos pontos singulares Nesse caso temos Px 2714 2 Qx 342 e Rx a Os pontos singulares sao os zeros de P ou seja os pontos x 0 ex 1 Perceba que ambos sao pontos singulares regulares 3 3 3 lim 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as séries convergem absolutamente pelo menos no intervalo 01 Com relacao ao ponto singular x 1 temos que a equacao indicial associada é rir 1 1r008rfr11 0err20 de modo que os expoentes dessa singularidade sao rj 2 erg 0 Assim nesse caso temos pelo menos uma solucdo associada a maior raiz dada por uma expressao do tipo CO yx w 1 7 an2a 0 n1 com raio de convergéncia pelo menos igual a1 isto é absolutamente convergente pelo menos no intervalo 20 Facamos agora um comentario sobre 0 caso em que a equacao indicial possui raizes iguais ou que diferem por um inteiro Se as raizes sao ry rg como jd discutimos temos uma primeira solucao associada com o formato CO yix a 29 S An11x 9 n1 No caso em que rj rg podese mostrar que uma segunda solucao linearmente independente com a primeira é obtida com a seguinte expressao co yoa yia Ina 20 So ai r1 x0 n1 A funcéo yo acima esta definida a principio para x 0 No caso em que as raizes 172 sao distintas mas rj rg N N é possivel encontrar uma segunda solucao linearmente independente pela seguinte formula abaixo CO yox ay x Ina xo w 29 f Ss Cnr2x ay n1 em que a jim r r2anr e d Cnr2 Fe r ra anr r Trre As deducées de ambas as solucoes sao mais sofisticadas e nao serao tratadas aqui elas ficarao mais a cargo de curiosidade de que é possivel resolver a equagéo mesmo nesses casos 6 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari 2 Equacao de Bessel 6 Nessa secao vamos estudar a equacao ay ay a vy 0 1 com v constante também chamada de ordem da equagao de Bessel e y definida para x 0 E facil verificar que x 0 é um ponto singular regular Essa equacao é dificil de ser tratada em toda sua generalidade mas para alguns valores especificos da constante v é possivel exibir explicitamente soluc6es para ela Aqui vamos tratar apenas do caso v 0 21 A equagao de ordem 0 Note que nesse caso Px x Qx x e Rx x de modo que qf lim 72 lim a 1 a0 Px 30 x 2 R lim 222 lim ae 0 x0 Px x0 x logo a equacao indicial associada a essa unica singularidade é rr1r4008r087r0 Assim estamos em um caso em que as raizes da equacao indicial sao iguais no caso rT rg 0 de modo que uma primeira solugao dessa equacao tem a forma CO yix S An 0x n0 Colocando y na equacao obtemos CO co CO ay tay ay 2 S nn 1an0a Ss nan Oa x Ss AnOa n2 n1 n0 CO co co Si nn1an02 S nan 02 5 an0a n2 n1 n0 CO CO CO So nn 1an02 a1 0e S nan02 an20ax n2 n2 n2 CO ai0 S nn 1an0 nan 0 an20 x n2 CO a0eS nan0 an20 2 n2 CO Oxr S Ox n2 7 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas Calculo 3 Equacoes Diferenciais Professores Manuel Barreda e Ricardo Paleari Assim a relacao de recorréncia é 6 An20 a00 ap0 2n2l9 2 n o que nos da imediatamente a0 a30 a50 0 Além disso LL ao0 200 g 2 0 9 0 00 ge 242 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1 Na literatura é comum encontrar uma outra solucao alternativa da equacao de Bessel nesse caso obtida tomando uma combinacao linear especifica de Jo com yg da seguinte forma definimos 2 Yox ya2 yn 2Jo em que y limH Inn é a chamada constante de EulerMascheroni Da linearidade da equacao de Bessel segue dai que a solucao geral dela nesse caso é y cC1Jo c2Yo com cj c2 R 8 Departamento de Matematica SSS nal Universidade Federal do Parana att AR sa Centro Politécnico CuritibaPR UW F Pp R wwwmatufprbr UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Peas