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Zootecnia ·
Cálculo 1
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UFPR Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM310 Introdução ao cálculo Professor Gabriel Cordeiro Chileider Trabalho final Orientações O presente trabalho deve ser entregue pessoalmente no dia 3007 Não serão aceitos trabalhos entregues de forma online O aluno que não entregar o trabalho terá nota zero Questões sem justificativa não serão aceitas O trabalho contém 5 questões e cada uma vale 2 pontos Nome GRR Data Nota Questão 1 Faça o que se pede nos itens a seguir 1 Determine o resto da divisão de px x2 2x 1 por x 1 2 Encontre os valores de a para que 1 seja raiz do polinômio px x2 a2 1x 2a Questão 2 Faça o que se pede a Seja f D R R dada por fx 2024 x2024 Sabendo que f é bijetora encontre a função inversa de f b Seja f 0 1 dada por fx x2 1 e g 1 0 dada por gx x 1 Componha em ambos os lados isto é faça fgx e gfx e conclua que f e g são inversas Questão 3 Resolva as equações exponenciais abaixo a 04x 06x 2 09x b 2x1 2x 3y2 3y Questão 4 Encontre x R tal que Log103x 1 log10x 2 2 Questão 5 Encontre x 0 2π tal que sen 2x cos x 0 Questao 1 Faca o que se pede nos itens a seguir Item 1 Determine o resto da divisao de px x2 2x 1 por x 1 Para determinar o resto da divisao de px por x 1 podemos usar dois metodos o teorema do resto e a divisao longa de polinˆomios Usando o Teorema do Resto Segundo o teorema do resto o resto da divisao de um polinˆomio px por x a e pa No caso queremos dividir px por x 1 que e o mesmo que dividir por x 1 Entao vamos calcular p1 px x2 2x 1 Substituindo x 1 p1 12 21 1 p1 1 2 1 p1 0 Portanto o resto da divisao de px x2 2x 1 por x 1 e 0 Usando a Divisao Longa de Polinˆomios Vamos realizar a divisao longa de px x2 2x 1 por x 1 Para encontrar o resto da divisao de px x22x1 por x1 realizamos a divisao polinomial conforme abaixo x2 2x 1 x 1 Primeiro dividimos x2 por x obtendo x x2 2x 1 x 1 x2 x x x 1 Depois dividimos x por x obtendo 1 x2 2x 1 x 1 x2 x x 1 x 1 x 1 0 Portanto a divisao de px x2 2x 1 por x 1 resulta em Quociente x 1 com resto 0 Item 2 Encontre os valores de a para que 1 seja raiz do polinˆomio px x2 a2 1x 2a Para que x 1 seja uma raiz do polinˆomio px devemos ter p1 0 Dado px x2 a2 1x 2a substituımos x 1 e igualamos a zero p1 12 a2 1 1 2a 0 Simplificando obtemos 1 1 a2 1 2a 0 a2 2a 0 Podemos fatorar colocando em evidˆencia aa 2 0 Portanto a solucao e a 0 ou a 2 Portanto o valor de a para que 1 seja raiz do polinˆomio px x2 a2 1x 2a e a 0 ou a 2 Questao 2 Faca o que se pede Item a Seja f D R R dada por fx 2024x 2024 Sabendo que f e bijetora encontre a funcao inversa de f Para encontrar a funcao inversa de fx 2024x 2024 vamos seguir os seguintes passos 1 Substituımos fx por y y 2024 x 2024 2 Resolvemos a equacao para x y 2024 2024 x x 2024 2024y 3 Substituımos y por x para obter a funcao inversa f 1x 2024 2024x Portanto a funcao inversa de fx 2024x 2024 e f 1x 2024 2024x Item b Seja f 0 1 dada por fx x2 1 e g 1 0 dada por gx x 1 Componha em ambos os lados isto e faca fgx e gfx e conclua que f e g sao inversas Para mostrar que f e g sao funcoes inversas precisamos verificar se fgx x e gfx x Primeiro vamos calcular fgx gx x 1 fgx f x 1 f x 1 x 12 1 f x 1 x 1 1 f x 1 x Portanto fgx x 2 Agora vamos calcular gfx fx x2 1 gfx gx2 1 gx2 1 x2 1 1 gx2 1 x2 gx2 1 x OBS Nesse caso a raiz de x2 só deu x pois x 0 se não seria x Portanto gfx x Como fgx x e gfx x e o domínio de uma é a imagem da outra para ambas concluímos que f e g são funções inversas uma da outra Questão 3 Resolva as equações exponenciais abaixo Item a 04x 06x 2 09x Vamos resolver a equação exponencial 04x 06x 2 09x Primeiro fazemos a substituição a 04x b 06x c 09x A equação fica a b 2c Sabemos que a 04x 25x 2x5x b 06x 35x 3x5x c 09x 910x 3x3x10x 32x 10x Vamos dividir todos os termos da equação original por 09x 32x 10x 04x09x 06x 09x 209x 09x Isso simplifica para 0409x 0609x 2 Calculamos as frações 0409 49 0609 23 Portanto temos 49x 23x 2 Agora vamos fazer uma substituição y 23x 49x 232x 232x y2 A equação se torna y2 y 2 Resolvemos a equação quadrática y2 y 2 0 Fatorando obtemos y 1y 2 0 Portanto as soluções são y 1 ou y 2 Como y 23x sabemos que y deve ser positivo Portanto descartamos y 2 ficando com y 1 Substituímos y de volta 23x 1 Portanto x 0 A solução da equação 04x 06x 2 09x é x 0 Item b 2x1 2x 3y2 3y Vamos resolver a equação 2x1 2x 3y2 3y Primeiro simplificamos os termos da equação 2x1 2x 2 2x 2x 3 2x 3y2 3y 3y 32 3y 9 3y 3y 8 3y Assim a equação se torna 3 2x 8 3y Dividimos ambos os lados por 3 2x 8 3y 3 Para simplificar ainda mais analisamos os termos em suas bases 2x 83 3y Podemos reescrever 8 como 23 2x 23 3 3y Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador 3 2x 23 3y Para resolver essa equação igualamos as bases e os expoentes No entanto como as bases 2 e 3 são diferentes isso só é possível se uma parte da equação for zero ou ambas as partes da equação são iguais Vamos usar logaritmos para resolver a equação Tomamos o logaritmo de ambos os lados log3 2x log23 3y Usamos propriedades dos logaritmos para simplificar log3 log2x log23 log3y log3 x log2 3 log2 y log3 Isolamos y x log2 3 log2 y log3 log3 x log2 3 log2 y log3 log3 x 3 log2 y 1 log3 Isolamos y y 1 x 3 log2 log3 y x 3 log2 log3 1 Portanto a solução da equação é y x 3 log2 log3 1 Questão 4 Encontre x ℝ tal que log103x 1 log10x 2 2 Para resolver a equação log103x 1 log10x 2 2 podemos usar as propriedades dos logaritmos 1 Aplicar a propriedade da diferença de logaritmos A diferença de logaritmos pode ser reescrita como o logaritmo do quociente log103x 1x 2 2 2 Converter a equação logarítmica para exponencial Para remover o logaritmo convertemos a equação logarítmica para sua forma exponencial 3x 1x 2 102 3x 1x 2 100 3 Resolver a equação resultante Multiplicamos ambos os lados por x 2 para eliminar a fração 3x 1 100x 2 3x 1 100x 200 Isolamos x 3x 100x 200 1 6 97x 201 x 20197 4 Verificar se a solução é válida A solução x deve garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos Verificamos 3x 1 0 e x 2 0 Substituindo x 20197 320197 1 60397 9797 70097 0 20197 2 20197 19497 797 0 Ambos os argumentos dos logaritmos são negativos então a solução não é válida Portanto não há valores de x ℝ que satisfaçam a equação log103x 1 log10x 2 2 Questão 5 Encontre x 0 2π tal que sin2x cosx 0 Para resolver a equação sin2x cosx 0 podemos usar identidades trigonométricas e propriedades das funções trigonométricas 1 Aplicar a identidade de sin2x Usamos a identidade sin2x 2 sinx cosx 2 sinx cosx cosx 0 2 Fatorar a equação Fatoramos cosx da equação cosx2 sinx 1 0 Isso nos dá duas equações cosx 0 2 sinx 1 0 3 Resolver cosx 0 cosx 0 ocorre quando x π2 kπ Para x 0 2π as soluções são x π2 e x 3π2 4 Resolver 2 sinx 1 0 Isolamos sinx 2 sinx 1 sinx 12 Para sinx 12 as soluções em 0 2π são x 7π6 e x 11π6 Portanto os valores de x em 0 2π que satisfazem a equação sin2x cosx 0 são x π2 3π2 7π6 11π6
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UFPR Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM310 Introdução ao cálculo Professor Gabriel Cordeiro Chileider Trabalho final Orientações O presente trabalho deve ser entregue pessoalmente no dia 3007 Não serão aceitos trabalhos entregues de forma online O aluno que não entregar o trabalho terá nota zero Questões sem justificativa não serão aceitas O trabalho contém 5 questões e cada uma vale 2 pontos Nome GRR Data Nota Questão 1 Faça o que se pede nos itens a seguir 1 Determine o resto da divisão de px x2 2x 1 por x 1 2 Encontre os valores de a para que 1 seja raiz do polinômio px x2 a2 1x 2a Questão 2 Faça o que se pede a Seja f D R R dada por fx 2024 x2024 Sabendo que f é bijetora encontre a função inversa de f b Seja f 0 1 dada por fx x2 1 e g 1 0 dada por gx x 1 Componha em ambos os lados isto é faça fgx e gfx e conclua que f e g são inversas Questão 3 Resolva as equações exponenciais abaixo a 04x 06x 2 09x b 2x1 2x 3y2 3y Questão 4 Encontre x R tal que Log103x 1 log10x 2 2 Questão 5 Encontre x 0 2π tal que sen 2x cos x 0 Questao 1 Faca o que se pede nos itens a seguir Item 1 Determine o resto da divisao de px x2 2x 1 por x 1 Para determinar o resto da divisao de px por x 1 podemos usar dois metodos o teorema do resto e a divisao longa de polinˆomios Usando o Teorema do Resto Segundo o teorema do resto o resto da divisao de um polinˆomio px por x a e pa No caso queremos dividir px por x 1 que e o mesmo que dividir por x 1 Entao vamos calcular p1 px x2 2x 1 Substituindo x 1 p1 12 21 1 p1 1 2 1 p1 0 Portanto o resto da divisao de px x2 2x 1 por x 1 e 0 Usando a Divisao Longa de Polinˆomios Vamos realizar a divisao longa de px x2 2x 1 por x 1 Para encontrar o resto da divisao de px x22x1 por x1 realizamos a divisao polinomial conforme abaixo x2 2x 1 x 1 Primeiro dividimos x2 por x obtendo x x2 2x 1 x 1 x2 x x x 1 Depois dividimos x por x obtendo 1 x2 2x 1 x 1 x2 x x 1 x 1 x 1 0 Portanto a divisao de px x2 2x 1 por x 1 resulta em Quociente x 1 com resto 0 Item 2 Encontre os valores de a para que 1 seja raiz do polinˆomio px x2 a2 1x 2a Para que x 1 seja uma raiz do polinˆomio px devemos ter p1 0 Dado px x2 a2 1x 2a substituımos x 1 e igualamos a zero p1 12 a2 1 1 2a 0 Simplificando obtemos 1 1 a2 1 2a 0 a2 2a 0 Podemos fatorar colocando em evidˆencia aa 2 0 Portanto a solucao e a 0 ou a 2 Portanto o valor de a para que 1 seja raiz do polinˆomio px x2 a2 1x 2a e a 0 ou a 2 Questao 2 Faca o que se pede Item a Seja f D R R dada por fx 2024x 2024 Sabendo que f e bijetora encontre a funcao inversa de f Para encontrar a funcao inversa de fx 2024x 2024 vamos seguir os seguintes passos 1 Substituımos fx por y y 2024 x 2024 2 Resolvemos a equacao para x y 2024 2024 x x 2024 2024y 3 Substituımos y por x para obter a funcao inversa f 1x 2024 2024x Portanto a funcao inversa de fx 2024x 2024 e f 1x 2024 2024x Item b Seja f 0 1 dada por fx x2 1 e g 1 0 dada por gx x 1 Componha em ambos os lados isto e faca fgx e gfx e conclua que f e g sao inversas Para mostrar que f e g sao funcoes inversas precisamos verificar se fgx x e gfx x Primeiro vamos calcular fgx gx x 1 fgx f x 1 f x 1 x 12 1 f x 1 x 1 1 f x 1 x Portanto fgx x 2 Agora vamos calcular gfx fx x2 1 gfx gx2 1 gx2 1 x2 1 1 gx2 1 x2 gx2 1 x OBS Nesse caso a raiz de x2 só deu x pois x 0 se não seria x Portanto gfx x Como fgx x e gfx x e o domínio de uma é a imagem da outra para ambas concluímos que f e g são funções inversas uma da outra Questão 3 Resolva as equações exponenciais abaixo Item a 04x 06x 2 09x Vamos resolver a equação exponencial 04x 06x 2 09x Primeiro fazemos a substituição a 04x b 06x c 09x A equação fica a b 2c Sabemos que a 04x 25x 2x5x b 06x 35x 3x5x c 09x 910x 3x3x10x 32x 10x Vamos dividir todos os termos da equação original por 09x 32x 10x 04x09x 06x 09x 209x 09x Isso simplifica para 0409x 0609x 2 Calculamos as frações 0409 49 0609 23 Portanto temos 49x 23x 2 Agora vamos fazer uma substituição y 23x 49x 232x 232x y2 A equação se torna y2 y 2 Resolvemos a equação quadrática y2 y 2 0 Fatorando obtemos y 1y 2 0 Portanto as soluções são y 1 ou y 2 Como y 23x sabemos que y deve ser positivo Portanto descartamos y 2 ficando com y 1 Substituímos y de volta 23x 1 Portanto x 0 A solução da equação 04x 06x 2 09x é x 0 Item b 2x1 2x 3y2 3y Vamos resolver a equação 2x1 2x 3y2 3y Primeiro simplificamos os termos da equação 2x1 2x 2 2x 2x 3 2x 3y2 3y 3y 32 3y 9 3y 3y 8 3y Assim a equação se torna 3 2x 8 3y Dividimos ambos os lados por 3 2x 8 3y 3 Para simplificar ainda mais analisamos os termos em suas bases 2x 83 3y Podemos reescrever 8 como 23 2x 23 3 3y Multiplicamos ambos os lados por 3 para eliminar o denominador 3 2x 23 3y Para resolver essa equação igualamos as bases e os expoentes No entanto como as bases 2 e 3 são diferentes isso só é possível se uma parte da equação for zero ou ambas as partes da equação são iguais Vamos usar logaritmos para resolver a equação Tomamos o logaritmo de ambos os lados log3 2x log23 3y Usamos propriedades dos logaritmos para simplificar log3 log2x log23 log3y log3 x log2 3 log2 y log3 Isolamos y x log2 3 log2 y log3 log3 x log2 3 log2 y log3 log3 x 3 log2 y 1 log3 Isolamos y y 1 x 3 log2 log3 y x 3 log2 log3 1 Portanto a solução da equação é y x 3 log2 log3 1 Questão 4 Encontre x ℝ tal que log103x 1 log10x 2 2 Para resolver a equação log103x 1 log10x 2 2 podemos usar as propriedades dos logaritmos 1 Aplicar a propriedade da diferença de logaritmos A diferença de logaritmos pode ser reescrita como o logaritmo do quociente log103x 1x 2 2 2 Converter a equação logarítmica para exponencial Para remover o logaritmo convertemos a equação logarítmica para sua forma exponencial 3x 1x 2 102 3x 1x 2 100 3 Resolver a equação resultante Multiplicamos ambos os lados por x 2 para eliminar a fração 3x 1 100x 2 3x 1 100x 200 Isolamos x 3x 100x 200 1 6 97x 201 x 20197 4 Verificar se a solução é válida A solução x deve garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos Verificamos 3x 1 0 e x 2 0 Substituindo x 20197 320197 1 60397 9797 70097 0 20197 2 20197 19497 797 0 Ambos os argumentos dos logaritmos são negativos então a solução não é válida Portanto não há valores de x ℝ que satisfaçam a equação log103x 1 log10x 2 2 Questão 5 Encontre x 0 2π tal que sin2x cosx 0 Para resolver a equação sin2x cosx 0 podemos usar identidades trigonométricas e propriedades das funções trigonométricas 1 Aplicar a identidade de sin2x Usamos a identidade sin2x 2 sinx cosx 2 sinx cosx cosx 0 2 Fatorar a equação Fatoramos cosx da equação cosx2 sinx 1 0 Isso nos dá duas equações cosx 0 2 sinx 1 0 3 Resolver cosx 0 cosx 0 ocorre quando x π2 kπ Para x 0 2π as soluções são x π2 e x 3π2 4 Resolver 2 sinx 1 0 Isolamos sinx 2 sinx 1 sinx 12 Para sinx 12 as soluções em 0 2π são x 7π6 e x 11π6 Portanto os valores de x em 0 2π que satisfazem a equação sin2x cosx 0 são x π2 3π2 7π6 11π6