Fundamentos da Convecção e Camada Limite Térmica

CAP V FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO 51 Camada limite térmica sobre uma placa plana e definição do coeficiente convectivo de TC Lembremos que a camada limite é a região do espaço onde a interação sólidofluido se faz sentir Fora da camada limite o fluido não sente a presença do sólido e ele escoa livremente sem interação viscosa atrito O mesmo fenômeno ocorre quando sólido e fluido estão a temperaturas distintas ou seja existe uma região do espaço dentro da qual há variação de temperatura provocada pela presença do sólido Fora desta região o fluido mantém uma temperatura constante e igual àquela que ele tinha antes de encontrar o sólido T conforme pode ser visto na Figura 1 Esta região recebe o nome de camada limite térmica e sua definição é dada por Tp Tx y 099 Tp T onde Tp é a temperatura da superfície sólida assumida constante T é a temperatura do fluido longe da superfície e Txy e a temperatura dentro da camada limite e que varia nas direções x e y Recordemos a definição do fator de atrito entre uma placa plana e um fluido 1 Esta definição relaciona o máximo de resistência ao escoamento px com a máxima energia v 2 cinética favorável ao escoamento 2 lembrando que a placa está parada De modo análogo podemos definir o coeficiente convectivo de transferência de calor como sendo a máxima dificuldade que o calor tem para passar da superfície sólida para o fluido qs pela máxima capacidade de troca de calor entre o sólido e o fluido Tp T ou seja 2 A máxima resistência qs é decorrente da camada de fluido agarrada à placa ou seja para que o calor saia do sólido e entre no fluido é necessário atravessar esta camada de fluido estagnada Dentro da CL laminar ou turbulenta há grande interação viscosa lembrese que dentro da turbulenta existe a subcamada laminar de modo que os perfis de velocidade e consequentemente os de temperatura são bem ordenados Assim o calor será transferido de camada para camada do fluido ou seja a transferência de calor se dá através de um mecanismo de condução Portanto podemos aplicar a lei de Fourier dentro da CL laminar e da subcamada laminar Cf x p x v2 2 qx h x x 0 qs Tp T Tp T T T T T fxy p v T T Tp Figura 1 Camada limite térmica sobre uma placa plana Como queremos a máxima resistência à troca de calor ela se dará em y 0 onde o fluido está completamente parado Portanto aplicando a lei de Fourier a essa posição teremos qs kf y0 3 Substituindo 2 em 3 temse 4 Deste modo para obtermos o valor de hx é necessário conhecer o perfil de temperatura dentro da camada limite Txy Para tanto temos que aplicar um balanço de energia para o fluido que escoa dentro da camada limite o que em regime permanente resulta em Cp vx T C v x T k y 2 T y2 5 Dividindose ambos os lados de 5 por Cp teremos T T kf 2 T vx x vy y C y2 6 Recuperemos a equação do balanço de quantidade de movimento para o fluido que escoa na direção x dentro da camada limite vx vx 2 vx vx x vy y y2 7 Dividindose ambos os lados de 7 por resulta em Tx y y Txy kf y h x y0 Tp T v x T x v T y y 2 T y 2 f y p x x Pr Cp kf vx vx 2 vx vx x vy y y2 8 A analogia entre as equações 6 e 8 é imediata Se matematicamente as duas equações têm a mesma representação é porque fisicamente os fenômenos são similares Através da equação 6 podemos obter o perfil de temperatura dentro da camada limite o qual é necessário ao cálculo de hx Na Figura 2 é apresentado o perfil Txy onde definise o número de Prandtl adimensional Fazendose a derivada do perfil de temperatura Txy no ponto y 0 na camada limite laminar resulta em y 0 0332 Re1 2 Pr1 3 9 Substituindo 9 em 4 temse hx 0332 kf x Re1 2 Pr1 3 10 Figura 2 Perfil de temperatura sobre uma placa plana Esta definição de h é local e com este valor deste coeficiente poderemos calcular o fluxo local de calor ou seja qx hx Tp T 11 Q1 Daria para calcular a taxa de calor local qx hx Ax Tp T Quem seria Ax vx vx x vy vx 2 vx y y 2 Txy y L Tp T Tf 2 Para obtermos o valor de h médio é necessário integrar a equação 10 no comprimento L o que resulta em h L 0664 kf L hL 2 hx Re1 2 Pr1 3 12 qL hL Tp T 13 Q2 Daria para calcular a taxa de calor média qL hL AL Tp T Quem seria AL Para facilitar a generalização das equações de cálculo de h é conveniente definir um novo adimensional o número de Nusselt Nu h kf onde é uma dimensão característica No caso da placa plana pode ser a posição x ou o comprimento L Assim 14 Espessura da camada limite térmica A Camada Limite Térmica pode ter espessura maior menor ou igual à da hidrodinâmica Para obter a espessura desta camada limite usase a relação de Pohlhausen t h Pr1 3 15 onde t e h são as espessuras das camadas limites térmica e dinâmica respectivamente IMPORTANTE Nas equações apresentadas aparecem as propriedades físicas do fluido Sabemos que elas variam com a temperatura e como nosso sistema deixou de ser isotérmico temos que fazer a correção dos valores destas propriedades para uma temperatura de referência Grande parte das equações da literatura usa a temperatura de filme Tf para esta correção que é definida por Algumas poucas equações usam T para a obtenção das propriedades físicas do fluido Nu x 0332 Re1 2 Pr1 3 x Nu L 0664 Re1 2 Pr1 3 L x x x x 52 Analogia entre TC e TQM Como vimos há grande similaridade entre o que acontece para a transferência de quantidade de movimento e para a transferência de calor dentro da camada limite Isto nos permite extrapolar os resultados obtidos de um fenômeno para o outro Comparemos as equações dos coeficientes locais de arraste e convectivo de transferência de calor dentro de uma camada limite laminar Cf x 0664 Re1 2 16 hx 0332 kf x Re1 2 Pr1 3 10 Nu x 0332 Re1 2 Pr1 3 14 Para facilitar a analogia vamos definir um novo adimensional o número de Stanton St x Nu x Re x Pr Portanto a analogia de Colburn será escrita como 17 ou seja A analogia de Reynolds é para fluidos com Pr 1 para se ter uma idéia ar tem Pr 07 St x Nu x Cf x 18 Re x Pr 2 Ambas as analogias podem ser extrapoladas para o valor médio para a placa inteira StL e escoamento turbulento basta adotar o valor de Cf correspondente Por exemplo StL para a camada limite laminar será dado por St L Pr 2 3 Nu L Re L Pr Pr 2 3 Cf L 2 0664 Re 1 2 19 53 Comprimento de entrada térmico O comprimento de entrada térmico parta escoamento laminar é igual ao hidrodinâmico ou seja Lc 00575 ReD D 20 Para o escoamento turbulento não há um limite muito bem definido variando o comprimento de entrada dentro dos seguintes limites Stx Pr 2 3 Nu x Re x Pr Pr 2 3 Cf x 0332 Re 1 2 2 x 10 Lc 60 D 21 Cada correlação estabelecerá seu limite de validade de comprimento de entrada no escoamento turbulento