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MÉTODO DE NEWTON DIFERENÇAS DIVIDIDAS Seja fx uma função da qual se conhecem seus valores em n1 pontos distintos x0x1xn fx0 fx0 fx0x1 fx1 fx0 x1 x0 Vamos organizar as diferenças divididas calculadas no formato de tabela fx0x1x2 fx1x2 fx0x1 x2 x0 Essa tabela tem o formato triangular pois os valores abaixo da diagonal secundária não são calculados OBS a ordem dos pontos xi não influencia no resultado final fx0x1 fx1x0 EXEMPLO construir a tabela de diferenças divididas da função fx cujos valores verificados são dados a seguir n1 6 n 5 Δ5f fx0x1x2xn fx1x2x3xn fx0x1x2xn1 xn x0 fx₀x₁x₂ 2 Dizemos que fx0x1x2xk é a diferença dividida de ordem k de f calculada nos pontos x0x1x2xk e é denotada de forma abreviada por Δk f Note que o cálculo de uma Δk f depende de todas as Δj anteriores jk fx₀x₁x₂x₃ 3 Polinômio de interplação segundo Newton A partir da diferença dividida de ordem 1 de fx temos fx₀x fracfx fx₀x x₀ Podemos encontrar o valor de fx fx fx₀ x x₀fx₀x fx1x0x fracfx0x fx1x0xx0 fracfx0 fx1x0x1 frac1xx1 Px fx0 xx0 fx0x1 xx0xx1 fx0x1x2 cdots xx0xx1cdotsxxn1 fx0x1ldotsxn OBS Dados n1 pontos podese mostrar que o total de operações adição subtrações multiplicações divisões usadas no cálculo do polinômio de interpolação de Lagrange é de 2n2 3n 2 operações e pelo método de Newton frac3n3 5n 102 operações Lagange 2n²3n263 EXEMPLO construí a tabela das diferenças divididas da função fx cujos valores conhecidos são dados a seguir e determine seu polinômio de interpolação Pxfx0xx0fx1fx2xx1xx0fx0x1x2xx0xx1xx2fx0x1x2x3xx0xx1xx2xx3fx0x1x2x3x4 Px 8 x 111 x 109 x 1x 0x 1x 21 x 1x 0x 1x 21 EXEMPLO CASA Usando o método de interpolação de Newton obtenha uma estimativa para f0 sendo fx uma função cujos valores são
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MÉTODO DE NEWTON DIFERENÇAS DIVIDIDAS Seja fx uma função da qual se conhecem seus valores em n1 pontos distintos x0x1xn fx0 fx0 fx0x1 fx1 fx0 x1 x0 Vamos organizar as diferenças divididas calculadas no formato de tabela fx0x1x2 fx1x2 fx0x1 x2 x0 Essa tabela tem o formato triangular pois os valores abaixo da diagonal secundária não são calculados OBS a ordem dos pontos xi não influencia no resultado final fx0x1 fx1x0 EXEMPLO construir a tabela de diferenças divididas da função fx cujos valores verificados são dados a seguir n1 6 n 5 Δ5f fx0x1x2xn fx1x2x3xn fx0x1x2xn1 xn x0 fx₀x₁x₂ 2 Dizemos que fx0x1x2xk é a diferença dividida de ordem k de f calculada nos pontos x0x1x2xk e é denotada de forma abreviada por Δk f Note que o cálculo de uma Δk f depende de todas as Δj anteriores jk fx₀x₁x₂x₃ 3 Polinômio de interplação segundo Newton A partir da diferença dividida de ordem 1 de fx temos fx₀x fracfx fx₀x x₀ Podemos encontrar o valor de fx fx fx₀ x x₀fx₀x fx1x0x fracfx0x fx1x0xx0 fracfx0 fx1x0x1 frac1xx1 Px fx0 xx0 fx0x1 xx0xx1 fx0x1x2 cdots xx0xx1cdotsxxn1 fx0x1ldotsxn OBS Dados n1 pontos podese mostrar que o total de operações adição subtrações multiplicações divisões usadas no cálculo do polinômio de interpolação de Lagrange é de 2n2 3n 2 operações e pelo método de Newton frac3n3 5n 102 operações Lagange 2n²3n263 EXEMPLO construí a tabela das diferenças divididas da função fx cujos valores conhecidos são dados a seguir e determine seu polinômio de interpolação Pxfx0xx0fx1fx2xx1xx0fx0x1x2xx0xx1xx2fx0x1x2x3xx0xx1xx2xx3fx0x1x2x3x4 Px 8 x 111 x 109 x 1x 0x 1x 21 x 1x 0x 1x 21 EXEMPLO CASA Usando o método de interpolação de Newton obtenha uma estimativa para f0 sendo fx uma função cujos valores são