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Aula 07 Análise de Tensões Mecânica dos Sólidos II Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof Dr Ray Calazans dos Santos Silva 02 Introdução Nas aulas anteriores desenvolvemos métodos para determinar as distribuições de tensão em um elemento submetido a uma força axial a uma força cisalhante a um momento fletor ou a um momento de torção No entanto a maioria das vezes a seção transversal de um elemento está sujeita a vários desses tipos de cargas simultaneamente e o resultado é que o método da superposição se aplicável pode ser usado para determinar a distribuição da tensão resultante provocada pelas cargas Assim o estado de tensão em um volume elementar pode ser obtido por meio da superposição das tensões de cada problema 02 Exemplo Calcular a máxima tensão normal e cisalhante da viga abaixo OBS carga axial aplicada no centroide 02 Exemplo A haste maciça tem raio de 075cm Se estiver sujeita à carga mostrada determine o estado de tensão no ponto A 02 Exemplo Determine o estado de tensão no ponto C 02 Estado de tensão O estado geral de tensão em um ponto é dado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento que agem nas faces de um elemento infinitesimal Entretanto os engenheiros frequentemente fazem aproximações das cargas sobre um corpo de modo que a tensão produzida em um elemento infinitesimal possa ser analisada em um único plano configurando um caso de tensões no plano 02 Estado de tensão O estado geral de tensão no plano em um ponto é portanto representado por uma combinação de duas componentes de tensão normal e uma componente de tensão de cisalhamento que agem nas quatro faces do elemento Entendese que o estado plano de tensão em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto 02 Transformação de tensões no plano Podemos transformar as componentes de tensão que tenham um elemento com determinada orientação em um elemento que tenha uma orientação diferente de modo que representem o mesmo estado de tensão no ponto 02 Transformação de tensões no plano 02 Transformação de tensões no plano 02 Transformação de tensões no plano 02 Transformação de tensões no plano Portanto com base nas Equações anteriores têmse relacionadas as componentes do tensor de tensões definidas em um sistema cartesiano particular com as componentes do mesmo tensor escritas em um sistema rotacionado Devese destacar que a somatória das tensões normais do ponto em análise é independente do sistema adotado Essa somatória é conhecida em cursos mais avançados como invariante Assim independentemente da rotação do sistema considerado a seguinte relação deverá ser sempre atendida Assim uma maneira de se verificar se a transformação das tensões foi corretamente efetuada é verificando se a relação acima é atendida 02 Exemplo O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na Figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada 02 Tensões Principais Foi demonstrado que os valores das tensões normal e de cisalhamento dependem do plano de referência em consideração mais precisamente do ângulo de inclinação deste Em diversas aplicações de engenharia existe interesse particular na determinação dos valores extremos máximo e mínimo das tensões normal e de cisalhamento bem como de suas orientações para a avaliação da segurança e verificação da falha estrutural A partir da definição das componentes do estado plano de tensões referenciadas a um dado sistema de coordenadas é possível determinar os valores extremos máximo e mínimo que as tensões normais podem apresentar Os valores extremos das tensões normais são denominados de Tensões Principais e os planos onde estas atuam são as direções Principais 02 Tensões Principais Sabese que o extremo de uma função local ou global ocorre quando sua primeira derivada é nula Portanto os valores extremos das tensões normais ocorrerão quando a primeira derivada da Equação de for nula Então 02 Tensões Principais Resolvendo com o auxílio da trigonometria Substituindo na expressão de temos 02 Tensões Principais Os planos principais apresentam uma característica importante e que deve ser enfatizada Nos planos principais ou seja nos planos onde as tensões normais são máxima ou mínima a tensão de cisalhamento é nula Substituindo temse 02 Tensões de Cisalhamento Máxima Mesmo procedimento das tensões principais Cisalhante máxima Tensões normais máximas Comparando as inclinações onde as tensões de cisalhamento são máximas com os ângulos onde as tensões principais atuam constatase que estes estão defasados de 45 um em relação ao outro Consequentemente os planos em que atuam as tensões cisalhantes máximas podem ser rapidamente determinados orientandose um elemento rotacionado de 45 em relação à posição do elemento que define os planos das tensões principais 02 Tensões de Cisalhamento Máxima Os valores das tensões de cisalhamento máximas no plano podem ser facilmente determinados substituindo os ângulos calculados Já as tensões normais que atuam nessas direções não são nulas Podem ser obtidas substituindo os ângulos de cisalhamento máximo na expressão de tensão normal obtendo se 02 Exemplo Quando a carga de torção T é aplicada à barra da Figura ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material Determine a tensão de cisalhamento máximo no plano a tensão normal média associada e as tensões principais 02 Exemplo Calcular estado de tensões principais e cisalhante máxima 02 Círculo de Mohr As equações podem ser reescritas 02 Círculo de Mohr As equações anteriores descrevem um círculo A tensão cisalhante é adotada positiva para baixo e a tensão normal é positiva para a direita como segue 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 2 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 02 Exemplo Determinar o estado de tensões para um elemento orientado em 30 no sentido antihorário 02 Exemplo Uma força axial de 900 N e um torque de 25Nm são aplicados no eixo como mostra a Figura Se o diâmetro do eixo for 40mm determine as tensões principais em um ponto P sobre sua superfície
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Aula 07 Análise de Tensões Mecânica dos Sólidos II Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof Dr Ray Calazans dos Santos Silva 02 Introdução Nas aulas anteriores desenvolvemos métodos para determinar as distribuições de tensão em um elemento submetido a uma força axial a uma força cisalhante a um momento fletor ou a um momento de torção No entanto a maioria das vezes a seção transversal de um elemento está sujeita a vários desses tipos de cargas simultaneamente e o resultado é que o método da superposição se aplicável pode ser usado para determinar a distribuição da tensão resultante provocada pelas cargas Assim o estado de tensão em um volume elementar pode ser obtido por meio da superposição das tensões de cada problema 02 Exemplo Calcular a máxima tensão normal e cisalhante da viga abaixo OBS carga axial aplicada no centroide 02 Exemplo A haste maciça tem raio de 075cm Se estiver sujeita à carga mostrada determine o estado de tensão no ponto A 02 Exemplo Determine o estado de tensão no ponto C 02 Estado de tensão O estado geral de tensão em um ponto é dado por seis componentes independentes da tensão normal e de cisalhamento que agem nas faces de um elemento infinitesimal Entretanto os engenheiros frequentemente fazem aproximações das cargas sobre um corpo de modo que a tensão produzida em um elemento infinitesimal possa ser analisada em um único plano configurando um caso de tensões no plano 02 Estado de tensão O estado geral de tensão no plano em um ponto é portanto representado por uma combinação de duas componentes de tensão normal e uma componente de tensão de cisalhamento que agem nas quatro faces do elemento Entendese que o estado plano de tensão em um ponto é representado exclusivamente por três componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto 02 Transformação de tensões no plano Podemos transformar as componentes de tensão que tenham um elemento com determinada orientação em um elemento que tenha uma orientação diferente de modo que representem o mesmo estado de tensão no ponto 02 Transformação de tensões no plano 02 Transformação de tensões no plano 02 Transformação de tensões no plano 02 Transformação de tensões no plano Portanto com base nas Equações anteriores têmse relacionadas as componentes do tensor de tensões definidas em um sistema cartesiano particular com as componentes do mesmo tensor escritas em um sistema rotacionado Devese destacar que a somatória das tensões normais do ponto em análise é independente do sistema adotado Essa somatória é conhecida em cursos mais avançados como invariante Assim independentemente da rotação do sistema considerado a seguinte relação deverá ser sempre atendida Assim uma maneira de se verificar se a transformação das tensões foi corretamente efetuada é verificando se a relação acima é atendida 02 Exemplo O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na Figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada 02 Tensões Principais Foi demonstrado que os valores das tensões normal e de cisalhamento dependem do plano de referência em consideração mais precisamente do ângulo de inclinação deste Em diversas aplicações de engenharia existe interesse particular na determinação dos valores extremos máximo e mínimo das tensões normal e de cisalhamento bem como de suas orientações para a avaliação da segurança e verificação da falha estrutural A partir da definição das componentes do estado plano de tensões referenciadas a um dado sistema de coordenadas é possível determinar os valores extremos máximo e mínimo que as tensões normais podem apresentar Os valores extremos das tensões normais são denominados de Tensões Principais e os planos onde estas atuam são as direções Principais 02 Tensões Principais Sabese que o extremo de uma função local ou global ocorre quando sua primeira derivada é nula Portanto os valores extremos das tensões normais ocorrerão quando a primeira derivada da Equação de for nula Então 02 Tensões Principais Resolvendo com o auxílio da trigonometria Substituindo na expressão de temos 02 Tensões Principais Os planos principais apresentam uma característica importante e que deve ser enfatizada Nos planos principais ou seja nos planos onde as tensões normais são máxima ou mínima a tensão de cisalhamento é nula Substituindo temse 02 Tensões de Cisalhamento Máxima Mesmo procedimento das tensões principais Cisalhante máxima Tensões normais máximas Comparando as inclinações onde as tensões de cisalhamento são máximas com os ângulos onde as tensões principais atuam constatase que estes estão defasados de 45 um em relação ao outro Consequentemente os planos em que atuam as tensões cisalhantes máximas podem ser rapidamente determinados orientandose um elemento rotacionado de 45 em relação à posição do elemento que define os planos das tensões principais 02 Tensões de Cisalhamento Máxima Os valores das tensões de cisalhamento máximas no plano podem ser facilmente determinados substituindo os ângulos calculados Já as tensões normais que atuam nessas direções não são nulas Podem ser obtidas substituindo os ângulos de cisalhamento máximo na expressão de tensão normal obtendo se 02 Exemplo Quando a carga de torção T é aplicada à barra da Figura ela produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material Determine a tensão de cisalhamento máximo no plano a tensão normal média associada e as tensões principais 02 Exemplo Calcular estado de tensões principais e cisalhante máxima 02 Círculo de Mohr As equações podem ser reescritas 02 Círculo de Mohr As equações anteriores descrevem um círculo A tensão cisalhante é adotada positiva para baixo e a tensão normal é positiva para a direita como segue 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 2 02 Exemplo Determinar as tensões principais com o emprego do círculo de Mohr 02 Exemplo Determinar o estado de tensões para um elemento orientado em 30 no sentido antihorário 02 Exemplo Uma força axial de 900 N e um torque de 25Nm são aplicados no eixo como mostra a Figura Se o diâmetro do eixo for 40mm determine as tensões principais em um ponto P sobre sua superfície