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Aula 06 Flexão Mecânica dos Sólidos II Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof Dr Ray Calazans dos Santos Silva 02 Introdução Elementos de barra geral submetidos a esforços de flexão são largamente empregados no cotidiano da engenharia Destacase a utilização desse elemento estrutural em edificações máquinas e manufaturas diversas Assim a determinação das tensões geradas durante a flexão é de grande importância na avaliação da segurança bem como da concepção econômica dessas estruturas Feixe de molas Barras de suporte de edifício Vãos de pontes 02 Formulação Barra prismática sujeita a flexão pura Verificase o alongamento das fibras inferiores e o encurtamento das fibras superiores Por isso intuise que o problema de flexão desenvolve deformações normais e consequentemente tensões normais 02 Formulação Superfície Neutra Interface entre as regiões tracionadas e comprimidas Nessa superfície seu comprimento não irá variar uma vez que os pontos contido nelas não sofrem deformações 02 Hipóteses 1 Existe uma superfície neutra na barra a qual não observa variação em seu comprimento devido a ação do momento fletor No plano da seção transversal essa superfície tornase uma linha comumente denominada linha neutra 2 As seções transversais da barra que são originalmente planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da barra permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da barra após a deformação Portanto efeitos de empenamento são desprezados 3 Toda e qualquer deformação da seção transversal ocorre em seu próprio plano Assim os efeitos de empenamento são desprezados Além disso deformações no plano da seção transversal são observadas devido ao efeito de Poisson 4 O material que compõe a barra é elástico linear isótopo contínuo e homogêneo 02 Deformação Assumindo que a barra seja analisada dentro dos limites do regime de pequenos deslocamentos é uma hipótese plausível uma vez que as estruturas são analisadas na condição de comportamento mecânico elástico linear podese aproximar a configuração deformada da barra por um arco de círculo Dessa forma o elemento de comprimento Δx apresentado 02 Deformação Para avaliar a variação da deformação ao longo da altura da seção transversal devese estudar a variação do comprimento de uma fibra localizada a uma distância y da superfície neutra Aproximando a configuração deslocada da barra por um arco de círculo este comprimento deformado ΔS pode ser expresso em função do raio do círculo que aproxima sua deslocada 02 Deformação Assim concluise que a deformação normal é dependente da distância entre a fibra analisada e a superfície neutra Além disso esta dependência é linear Dessa forma sendo c a distância entre a superfície neutra e a fibra mais distante da superfície neutra podese escrever a deformação normal para qualquer ponto ao longo da altura da seção transversal em função da deformação máxima e desta distância Devido a variação linear das deformações no plano da seção transversal podese escrever que 02 Efeito Poisson A deformação apresentada anteriormente referese à deformação normal atuante perpendicularmente ao plano da seção transversal normalmente referenciado como εx Para avaliar as deformações normais presentes ao longo das duas direções que definem a seção transversal como mostrado Figura podese utilizar a definição do coeficiente de Poisson Assim 02 Tensões Assumiuse que o material era elástico linear Com isso a lei de Hooke pode ser empregada Logo as tensões apresentarão variação semelhante à deformações normais 02 Tensões Efetuandose o equilíbrio de um elemento infinitesimal de área dA como exibido na Figura temse Utilizando a expressão de variação da tensão normal ao longo da altura obtémse Com isso resta apenas que Isso só acontece se o centroide pertencer ao eixo neutro Consequentemente uma vez determinado o centroide da seção a localização do eixo neutro é conhecida 02 Tensões Devese também verificar o equilíbrio em termos de momentos O momento externo aplicado deve ser equilibrado pela ação das tensões linearmente dispostas na seção transversal Portanto Momento de Inércia Para uma fibra qualquer da seção não necessariamente a mais distante da superfície neutra a tensão normal pode ser obtida por meio da seguinte expressão denominada de fórmula de flexão 02 Exemplo Determine as tensões normais máxima e mínima que ocorrem na viga mostrada na Figura e ilustre a distribuição das tensões normais ao longo da altura da seção transversal 02 Exemplo Uma peça de máquina de ferro fundido está submetida a um momento fletor de 3kNm conforme mostra a figura Sabendo que E165GPa determine as tensões de tração e compressão máximas na peça fundida 02 Exemplo Determine as tensões nos pontos A e B da viga apresentada 02 Exemplo Sabendo que o material que compõe a viga mostrada na Figura é capaz de suportar a uma tensão de tração máxima igual a 25 MPa e a uma tensão de compressão máxima de 130 MPa determine se nessa estrutura a falha será observada As dimensões da seção transversal estão apresentadas em mm 02 Exemplo Determine as tensões de tração e compressão máximas na viga apresentada 02 Cisalhamento Transversal Elementos de viga submetidos a esforços de flexão estão normalmente também exposto a esforços cortante Isso ocorre pelo fato dos momentos fletores serem originados em grande parte das aplicações por forças distribuídas ou concentradas ao longo do comprimento Assim na maioria dos problemas de barras fletidas além das tensões normais decorrentes da flexão também estarão presentes as tensões de cisalhamento provenientes das forças cortantes 02 Tensões de Cisalhamento O esforço cortante é o resultado da distribuição das tensões de cisalhamento ao longo do plano da seção transversal integração na área da seção transversal Essas tensões atuam no plano da seção transversal e também ao longo do comprimento da barra como mostra o equilíbrio de um elemento infinitesimal Teorema de Cauchy 02 Introdução Mecanicamente este efeito ao longo do comprimento da barra pode ser verificado por meio de um conjunto de tábuas sobrepostas submetido a uma força concentrada Quando as tábuas estão somente sobrepostas sem conexão entre elas estas deslizam umas sobre as outras Considerando agora que a barra seja composta por uma única tábua a tensão de cisalhamento gerada pelo esforço cortante deverá ser resistida pelas fibras do material por meio da coesão existente entre suas partículas Todo o conjunto se deforma continuamente 02 Introdução Fica evidente a tensão de cisalhamento em planos horizontais longitudinais assim como em planos verticais transversais Por exemplo em vigas de madeira cuja a resistência é menor entre as fibras a falha irá correr ao longo do plano longitudinal e não ao longo do plano transversal 02 Introdução Devido à presença das tensões de cisalhamento no plano da seção transversal serão também observadas distorções nessa região as quais apresentam um padrão consideravelmente complexo Com isso verificase que a seção transversal inicialmente plana não permanece plana após a deformação Entretanto para casos práticos de seções transversais esbeltas altura bem maior que a base as distorções observadas são suficientemente pequenas e podem ser desprezadas 02 Formulação Considerase um elemento de viga submetido a um conjunto de carregamentos que causam esforços cortante e de flexão Devese efetuar o equilíbrio de forças de um elemento infinitesimal Verificase que devido ao momento fletor existirão tensões normais nesse elemento cuja variação é linear em função da altura da seção transversal 02 Formulação O elemento infinitesimal pode ser seccionado ao longo de sua altura e deve permanecer em equilíbrio Isso só é possível devido ao surgimento de tensões de cisalhamento atuantes ao longo do eixo longitudinal da barra 02 Formulação Assumindo que a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída ao longo da espessura e realizando o equilíbrio do elemento infinitesimal seccionado obtémse Aplicando a fórmula de flexão para as tensões normais da expressão anterior temse 02 Formulação Observase que o momento de inércia e a variação do momento fletor são constantes para uma dada seção transversal da barra geral Dessa forma podese reescrever a expressão anterior da seguinte maneira A integral do momento de 1º ordem momento estático pode ser representada pela letra Qz Além disso podemos utilizar a relação diferencial entre o momento fletor e o esforço cortante a saber Portanto temos Por meio da equação anterior podese constatar que a tensão de cisalhamento será máxima quando a relação for máxima já que os demais parâmetros não variam ao longo da seção transversal 02 Formulação Para seções transversais retangulares onde t é constante o momento estático poderá ser calculado com base no ilustrado na Figura Utilizando a definição de momento estático podemos escrever Como as demais variáveis não variam ao longo da altura da seção transversal constatase que a tensão de cisalhamento irá variar de forma quadrática ao longo da altura da seção Seu valor máximo ocorre no centroide e nulo nas extremidades Para seções retangulares e quadradas a tensão máxima será 02 Exemplo Determinar as tensões cisalhantes no pontos da Figura e mostrar a variação na seção transversal Dimensões em cm P 10kN L2 L2 02 Exemplo Determinar as tensões cisalhantes no pontos da Figura e mostrar a variação na seção transversal V80kN Dimensões em mm 02 Exemplo Calcular a máxima tensão normal e cisalhante da viga abaixo 02 Exemplo Calcular a máxima tensão normal e cisalhante da viga abaixo OBS carga axial aplicada no centroide 02 Exemplo Uma viga de madeira de comprimento 3m e seção transversal retangular suporta três forças concentradas Determine a altura d da seção transversal da viga sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da madeira é 072 MPa 072 adm MPa
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Aula 06 Flexão Mecânica dos Sólidos II Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof Dr Ray Calazans dos Santos Silva 02 Introdução Elementos de barra geral submetidos a esforços de flexão são largamente empregados no cotidiano da engenharia Destacase a utilização desse elemento estrutural em edificações máquinas e manufaturas diversas Assim a determinação das tensões geradas durante a flexão é de grande importância na avaliação da segurança bem como da concepção econômica dessas estruturas Feixe de molas Barras de suporte de edifício Vãos de pontes 02 Formulação Barra prismática sujeita a flexão pura Verificase o alongamento das fibras inferiores e o encurtamento das fibras superiores Por isso intuise que o problema de flexão desenvolve deformações normais e consequentemente tensões normais 02 Formulação Superfície Neutra Interface entre as regiões tracionadas e comprimidas Nessa superfície seu comprimento não irá variar uma vez que os pontos contido nelas não sofrem deformações 02 Hipóteses 1 Existe uma superfície neutra na barra a qual não observa variação em seu comprimento devido a ação do momento fletor No plano da seção transversal essa superfície tornase uma linha comumente denominada linha neutra 2 As seções transversais da barra que são originalmente planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da barra permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da barra após a deformação Portanto efeitos de empenamento são desprezados 3 Toda e qualquer deformação da seção transversal ocorre em seu próprio plano Assim os efeitos de empenamento são desprezados Além disso deformações no plano da seção transversal são observadas devido ao efeito de Poisson 4 O material que compõe a barra é elástico linear isótopo contínuo e homogêneo 02 Deformação Assumindo que a barra seja analisada dentro dos limites do regime de pequenos deslocamentos é uma hipótese plausível uma vez que as estruturas são analisadas na condição de comportamento mecânico elástico linear podese aproximar a configuração deformada da barra por um arco de círculo Dessa forma o elemento de comprimento Δx apresentado 02 Deformação Para avaliar a variação da deformação ao longo da altura da seção transversal devese estudar a variação do comprimento de uma fibra localizada a uma distância y da superfície neutra Aproximando a configuração deslocada da barra por um arco de círculo este comprimento deformado ΔS pode ser expresso em função do raio do círculo que aproxima sua deslocada 02 Deformação Assim concluise que a deformação normal é dependente da distância entre a fibra analisada e a superfície neutra Além disso esta dependência é linear Dessa forma sendo c a distância entre a superfície neutra e a fibra mais distante da superfície neutra podese escrever a deformação normal para qualquer ponto ao longo da altura da seção transversal em função da deformação máxima e desta distância Devido a variação linear das deformações no plano da seção transversal podese escrever que 02 Efeito Poisson A deformação apresentada anteriormente referese à deformação normal atuante perpendicularmente ao plano da seção transversal normalmente referenciado como εx Para avaliar as deformações normais presentes ao longo das duas direções que definem a seção transversal como mostrado Figura podese utilizar a definição do coeficiente de Poisson Assim 02 Tensões Assumiuse que o material era elástico linear Com isso a lei de Hooke pode ser empregada Logo as tensões apresentarão variação semelhante à deformações normais 02 Tensões Efetuandose o equilíbrio de um elemento infinitesimal de área dA como exibido na Figura temse Utilizando a expressão de variação da tensão normal ao longo da altura obtémse Com isso resta apenas que Isso só acontece se o centroide pertencer ao eixo neutro Consequentemente uma vez determinado o centroide da seção a localização do eixo neutro é conhecida 02 Tensões Devese também verificar o equilíbrio em termos de momentos O momento externo aplicado deve ser equilibrado pela ação das tensões linearmente dispostas na seção transversal Portanto Momento de Inércia Para uma fibra qualquer da seção não necessariamente a mais distante da superfície neutra a tensão normal pode ser obtida por meio da seguinte expressão denominada de fórmula de flexão 02 Exemplo Determine as tensões normais máxima e mínima que ocorrem na viga mostrada na Figura e ilustre a distribuição das tensões normais ao longo da altura da seção transversal 02 Exemplo Uma peça de máquina de ferro fundido está submetida a um momento fletor de 3kNm conforme mostra a figura Sabendo que E165GPa determine as tensões de tração e compressão máximas na peça fundida 02 Exemplo Determine as tensões nos pontos A e B da viga apresentada 02 Exemplo Sabendo que o material que compõe a viga mostrada na Figura é capaz de suportar a uma tensão de tração máxima igual a 25 MPa e a uma tensão de compressão máxima de 130 MPa determine se nessa estrutura a falha será observada As dimensões da seção transversal estão apresentadas em mm 02 Exemplo Determine as tensões de tração e compressão máximas na viga apresentada 02 Cisalhamento Transversal Elementos de viga submetidos a esforços de flexão estão normalmente também exposto a esforços cortante Isso ocorre pelo fato dos momentos fletores serem originados em grande parte das aplicações por forças distribuídas ou concentradas ao longo do comprimento Assim na maioria dos problemas de barras fletidas além das tensões normais decorrentes da flexão também estarão presentes as tensões de cisalhamento provenientes das forças cortantes 02 Tensões de Cisalhamento O esforço cortante é o resultado da distribuição das tensões de cisalhamento ao longo do plano da seção transversal integração na área da seção transversal Essas tensões atuam no plano da seção transversal e também ao longo do comprimento da barra como mostra o equilíbrio de um elemento infinitesimal Teorema de Cauchy 02 Introdução Mecanicamente este efeito ao longo do comprimento da barra pode ser verificado por meio de um conjunto de tábuas sobrepostas submetido a uma força concentrada Quando as tábuas estão somente sobrepostas sem conexão entre elas estas deslizam umas sobre as outras Considerando agora que a barra seja composta por uma única tábua a tensão de cisalhamento gerada pelo esforço cortante deverá ser resistida pelas fibras do material por meio da coesão existente entre suas partículas Todo o conjunto se deforma continuamente 02 Introdução Fica evidente a tensão de cisalhamento em planos horizontais longitudinais assim como em planos verticais transversais Por exemplo em vigas de madeira cuja a resistência é menor entre as fibras a falha irá correr ao longo do plano longitudinal e não ao longo do plano transversal 02 Introdução Devido à presença das tensões de cisalhamento no plano da seção transversal serão também observadas distorções nessa região as quais apresentam um padrão consideravelmente complexo Com isso verificase que a seção transversal inicialmente plana não permanece plana após a deformação Entretanto para casos práticos de seções transversais esbeltas altura bem maior que a base as distorções observadas são suficientemente pequenas e podem ser desprezadas 02 Formulação Considerase um elemento de viga submetido a um conjunto de carregamentos que causam esforços cortante e de flexão Devese efetuar o equilíbrio de forças de um elemento infinitesimal Verificase que devido ao momento fletor existirão tensões normais nesse elemento cuja variação é linear em função da altura da seção transversal 02 Formulação O elemento infinitesimal pode ser seccionado ao longo de sua altura e deve permanecer em equilíbrio Isso só é possível devido ao surgimento de tensões de cisalhamento atuantes ao longo do eixo longitudinal da barra 02 Formulação Assumindo que a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída ao longo da espessura e realizando o equilíbrio do elemento infinitesimal seccionado obtémse Aplicando a fórmula de flexão para as tensões normais da expressão anterior temse 02 Formulação Observase que o momento de inércia e a variação do momento fletor são constantes para uma dada seção transversal da barra geral Dessa forma podese reescrever a expressão anterior da seguinte maneira A integral do momento de 1º ordem momento estático pode ser representada pela letra Qz Além disso podemos utilizar a relação diferencial entre o momento fletor e o esforço cortante a saber Portanto temos Por meio da equação anterior podese constatar que a tensão de cisalhamento será máxima quando a relação for máxima já que os demais parâmetros não variam ao longo da seção transversal 02 Formulação Para seções transversais retangulares onde t é constante o momento estático poderá ser calculado com base no ilustrado na Figura Utilizando a definição de momento estático podemos escrever Como as demais variáveis não variam ao longo da altura da seção transversal constatase que a tensão de cisalhamento irá variar de forma quadrática ao longo da altura da seção Seu valor máximo ocorre no centroide e nulo nas extremidades Para seções retangulares e quadradas a tensão máxima será 02 Exemplo Determinar as tensões cisalhantes no pontos da Figura e mostrar a variação na seção transversal Dimensões em cm P 10kN L2 L2 02 Exemplo Determinar as tensões cisalhantes no pontos da Figura e mostrar a variação na seção transversal V80kN Dimensões em mm 02 Exemplo Calcular a máxima tensão normal e cisalhante da viga abaixo 02 Exemplo Calcular a máxima tensão normal e cisalhante da viga abaixo OBS carga axial aplicada no centroide 02 Exemplo Uma viga de madeira de comprimento 3m e seção transversal retangular suporta três forças concentradas Determine a altura d da seção transversal da viga sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da madeira é 072 MPa 072 adm MPa