Propriedades Básicas dos Números Inteiros

1 Os números inteiros 11 Propriedades básicas Nesta seção exploraremos propriedades básicas dos números inteiros ponto de partida para um estudo sistemático de suas propriedades Assumiremos axiomaticamente sem questionamentos que existe um conjunto cujos elementos são chamados de números inteiros tendo Z dois elementos destacados 0 zero e 1 um e também duas operações adição e multiplicação Sendo a eb dois inteiros quaisquer denotaremos por a ba soma de a eb e pora b ou por ab quando isto não nos causar confusão o produto de a por b Assumiremos que os inteiros satisfazem os seguintes axiomas Fechamento a bea bsão inteiros sempre que aeb forem inteiros Leis comutativas a b ba ea bb a para quaisquer inteiros aeb Leis associativas a b ca bc e a b ca b c para quaisquer inteiros a bec Leis de existência de elementos neutros a 0 0 a aea 1 1 a a para todo inteiro a Em outras palavras 0 e 1 são elementos neutros das operações e respectivamente Lei distributiva da multiplicação em relação à adição a b c a cb C Lei da existência de inversos aditivos Para cada inteiro a existe um in teiro x tal que a xxta 0 Esse inteiro x é denominado inverso aditivo ou oposto ou ainda simétrico de a e é denotado por a Sendo a eb dois inteiros definesea b a b Lei do cancelamento da multiplicação Se a be csão inteiros com c 0 ea c b c entãoa b A partir das propriedades apresentadas tomadas aqui como axiomas ou postulados e das propriedades habituais da igualdade podemos deduzir outras propriedades dos números inteiros as quais por serem deduzidas recebem o nome de teoremas Como exemplo de uma dessas propriedades temos os seguintes teoremas 11 Cada inteiro a4 tem um Unico iInverso aditivo e Fechamento do conjunto P Sea e b sao inteiros positivos entao a b 1 Ca wo es Teorem Suponhamos que a sejam ambos Opostos de a Isto e ab também sAo inteiros positivos Go 2uU ae Demonstra be ataarta0 Lei da tricotomia Para cada inteiro a vale uma e somente uma das 9agta ata afirmagées ntdo F aéPa0aeP s aat0 0 é elemento neutro de qata O conjunto Z dizse ordenado mais precisamente um anel ordenado por a a a é operacao associativa satisfazer os axiomas apresentados Q0aa Habitualmente escrevemos a 0 em lugar de ae P Assim os axiomas de ordenacdo dos inteiros podem ser reescritos da seguinte maneira Portantoa a e SeaOeb0entdoab0eab0 O préximo resultado é bem conhecido pelo leitor e nado faz parte dos e Para cada inteiro a temse uma e somente uma das afirmacoes axiomas apresentados justamente porque pode ser deduzido a partir deles a0a0a0 Teorema 12 Se a é um inteiro qualquer a 0 0 Demonstracao Chamemos a 0 x mostraremos que x 0 Entéo temos Definicao 11 Sendo a e b inteiros quaisquer dizemos que a b a menor que b ou que b a b é maior que a se b a 0 Escrevemos a b quando xa0a00 0 é elemento neutro da adicao abouabeescrevemos a b quando abouab a0a0 Lei distributiva Varias propriedades da ordenacdo dos inteiros podem ser deduzidas K demonstradas por meio dos axiomas de ordenacdo e das propriedades elementares das operagdes e Um exemplo dessas propriedades é a Assim x x x Somando x 0 oposto de x a ambos os membros temos seguinte x x x x Proposido 11 Sendo a b ec inteiros Aplicando a lei associativa da adigao deduzimos que x x x 0 ou seja x 0 0 Como 0 é elemento neutro da adic4o obtemos x 0 seabec0 entao ac bc Portanto a 0 0 conforme querfamos demonstrar seabec0 entdo ac be Raul e norestante do ben o quadrado W significa o fim de uma Demonstragao Se a b entado a b 0 conforme a Definido 11 Se c 0 demonstracao entao pelo primeiro axioma da ordenacdo de Z a b c0 Logo a bc 0 e entdo ac bc 0 111 Ordenacdo dos inteiros Agora podemos demonstrar que bc bc demonstre isto mostrando que bc é elemento oposto de bc Assim deduzimos que ac bc 0 e A ordenacai intei ortanto ac be ga0 dos inteiros um conceito que definiremos axiomaticamente P da seguinte forma Como exercicio demonstre que se a bec 0 entao ac be a Existe um conjunt j oP nadesiveet junto subconjunto de Z cujos elementos sdo denomi Finalizand intelros positivos caracterizado pelos seguintes axiomas nla fe beanie eles te theca tye tanto Remesutn ine portante e bem intuitivo axioma chamado de axioma da boa ordenagao 12 13 AX avn tel itivos O conjunto en Axioma da boa ordenacao dos inteiros posit Consideremos entdo o inteiro r sV2 s TemosrsV2 1 s pois Axioma 11 Ax do isto 6 todo subconjunto nao 2 P dos inteiros positivos é bemordenado 211 os um menor ou primero elemento réum inteiro positivo pois V2 1 0 yazio de P possu um bconjunto de P seA ge J2 V2 sV2 5 Em outras palavras para cada conjunto A subcon Além disso rv2 é também um inteiro rV2 sV2 sv2 2ssv2 se m 50 exi Atal que a x para todo x A sv2 sao inteiros entado existe a g 4 rna o conjunto Z O axioma da boa ordenagao dos inteiros positivos to Junto 4 Assim re A mas r é menor que o primeiro o menor elemento de A An j numeros racionais 8 x substancialmente diferente do familiar conjunto Q dos 5 Temos entdo uma contradicao Logo nossa suposicao de que V2 racional Von no seguinte 5 admitamos por um momento familiaridade com 0 conjunto oO esta errada Portanto V2 Q a 4 ionais positivos Existem sentido Considere 0 conjunto Q dos numeros raciona Pe Ons as imei emento ro subconjuntos de Q naovazios sem um primeiro menor e P prio Q é tal subconjunto 12 Exercicios Recordemonos de que um numero realxéum numero racional se existem inteiros a e b tais que x ab Um numero real naoracional é um numero Sendo P e P duas afirmacdes matematicas ao escrever P P queremos irracional aqui estamos admitindo familiaridade com os nimeros reais Os dizer Se P entao P ou que P acarreta ou implica P numeros me e conhece sao exemplos famosos de nuimeros irracionais Também V2 é um numero irracional Apresentamos a seguir uma de 1 Use os axiomas das operagées adigao e multiplicaggdo em Z para demons monstracao deste fato fazendo uso da propriedade de boa ordenagao dos trar que sendo ae b inteiros quaisquer inteiros positivos a ab a 2ab b Teorema 13 2 irracional Demonstracao Suponhamos que V2 seja um ntimero racional Mostraremos b 1aa que tal suposicao nos leva a uma contradiao isto é a uma afirmacao falsa Logo a suposi4o inicial de que V2 um numero racional é falsa Assim c Se a a entaoa 0 oua1 concluimos que V2 s6 pode ser irracional d a 6 a b Um axioma da ldgica elementar a légica que usamos nas demonstragédes de teoremas enuncia afirma que e ab ab De uma afirmagao verdadeira nao se pode deduzir uma falsa Ou seja se de uma suposiao inicial deduzimos uma afirmacao falsa entao a supo sugestis sido inicial também é falsa b Comece considerando que 1 1 a0 a 0 justifique estes e os i a ee i demais ar Pois a supondose que V2é racional existem inteiros positivos ae b eumentias tais que 2 ab Daf b V2 a 1 se Oo Consideremos conjunto A dos inteiros positivos m tais que m e mV2 d Calcule a b a b usando as propriedades axiomaticas da sao ambos inteiros positivos adiao de inteiros Em linguagem simbdlica e Imite os procedimentos usados no item b Ame ZmO0emv2 Z Aéns 2 a Admita no conjunto de axiomas dos numeros inteiros a propriedade NaovazZio vis i i we svisto que be Ab é inteiro positivo e bV2 éo inteiro positivo a Pp abO0a00ub0 elo principi ver Principio da boa ordenacao dos Inteiros positi elemento s Temos que sesy2 sa Positivos A tem um menor em lugar da lei do cancelamento d ltiplic 5 i sao ambos inteiros POSitivos é da multiplicagdo Demonstre entao a lei do 14 15 t AN ANA 7 iedade admitindo as cancelamento da multiplicacao partir de tal i Sees omati acdes 4 demais propriedades axiomaticas das opera a sea0 oy x x b Mostre que a lei do cancelamento da multiplicagao nao oe te admitida como um axioma pois ela é um teorema que pode ser deduzido Demonstre que sendo a e b inteiros a partir da Proposiao 11 ou seja mostre que a Proposiao Vbtericenis conseqiiéncia a lei do cancelamento da multiplicagao a a 20 Ja 0a0 3 Complete a seguinte demonstraao de que 11 1 b a a a Temos 0 0 0 Temos ainda 1 1 0 Daf 1 1 1 1 0 Agora use a propriedade distributiva da multiplicacaéo sobre a adicao e c aa considere que 1 elemento neutro da multiplicagao 7 4 ab Ja 6 4 Use os axiomas da relacdo em Z bem como propriedades da adicao e da multiplicagao em Z para demonstrar que sendo a b ec inteiros e ja bbasb a Sea b entao ab f a bl sad bSecOeacbeab g lal6 s 5 c SecOeac bc entdoab Sugestées e Considere dois casos i a0e ii a 0 d a abb20 f Deduza que a b ab eab a b Agora use o resultado do eaabb0ab0 item e f Sea b entado a b g A partir do item f deduza que aa6b em que Jalba od Deduza também que ba ba e entao aba 4 Agora use g Seaeb entioab o resultado do item e haba b 6 Usando o principio da boa ordenacao do conjunto P dos inteiros positi vos demonstre que 0 conjunto N PU 0 dos numeros naturais também Sugestées é bemordenado d Mostre que 2a ab b 0 7 Usando 0 principio da boa ordenacao dos inteiros Positivos demonstre f Faca uso da fatoracdo a b a ba ab b que nao existe um inteiro n satisfazendo 0n 1 h Para mostrar que nao vale a implicacdo a b qc 6 mostre que Sugestao existem inteiros a e b satisfazendo a be a be q Suponha que ao contrdario existe um inteiro n satisfazendo 0 n 1 Considere 0 conjunto A de todos os inteiros x com0x1Aé subconjun Fa Cc i i 5 a a ded a inteiro a definese o valor absoluto de 4 como sendo 0 inteiro slernere rece ern ae Poraué Mostre que anse sem um menor dado por elemento pois se ae A entao a a 16 XY Aw ii O produto de um número racional e um número irracional é 8 Mostre que sendo a e b inteiros se ab 1 então a b t1 irracional iv O produto de dois números irracionais é iracional Sugestão Mostre primeiramente que se a e b são inteiros positivos e ab 1 então a b 1 Para isto suponha a e b inteiros positivos com a 1 eb 1 Como não existem inteiros entre 0 e 1 mostre que ab 1 Conclua ade quadamente sua demonstração 12 Por meio de uma pesquisa faça uma lista de propriedades do número real v2 Faça outra demonstração de que v2 é iracional 13 Demonstre que VS é irracional 9 Se Ac Z dizemos que A é limitado inferiormente se existe be Z tal que x2 b para todoxE A Mostre que todo conjuntoA de inteiros nãovazio limitado inferiormente tem um mínimo ou seja existe a E A tal que x 2 a para todo Sugestão Tente imitar os passos da demonstração de que v2 é irracional Teore ma 13 ou crie sua própria demonstração A 14 Por meio de uma pesquisa faça uma lista de propriedades do número real s Sugestão Considere o conjunto Cye Zyx b xE A Mostre que CcNe use o fato de que Né bemordenado 10 Admita familiaridade com o conjunto R dos números reais Com rela ção à ordem estabelecida em R dizemos que um subconjunto X de Ré bemordenado se todo subconjunto nãovazio de X possui um menor elemento ou mínimo Determine quais dos seguintes subconjuntos de R é bemorde nado Em caso afirmativo demonstre sua afirmação usando por exemplo o fato de que o conjunto de inteiros positivos é bemordenado Em caso negativo dê um exemplo de um subconjunto do conjunto dado que não possui um menor ou primeiro elemento a o conjunto dos inteiros negativos b o conjunto dos números racionais nãonegativos c o conjunto dos inteiros pares positivos d o conjunto dos números racionais da forma a2 com a inteiro positivo 11 Admita familiaridade com números racionais e irracionais a Demonstre que a soma e o produto de dois números racionais éracional 6 Demonstre ou dê um contraexemplo a cada uma das seguintes atir mações i A soma de um número racional e um número irracional é irracional ii A soma de dois números irracionais é irracional 19 18