Apostila de Estatística: Volume 1 - Introdução e Métodos Estatísticos

Apostila de Estatística Volume 1 Edição 2009 Curso Matemática Amostragem Séries Estatísticas Distribuição de Freqüência Média Mediana Quartil Percentil e Desvio Padrão Prof Dr Celso Eduardo Tuna 1 Estatística Capítulo 1 Introdução 11 Histórico A estatística é um ramo da matemática aplicada A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de registros diversos como os de nascimento óbitos riquezas casamentos Esses registros eram utilizados para principalmente cobrar impostos No século XVIII Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma nova ciência com o nome de Estatística Surgiram tabelas mais complexas representações gráficas e cálculo de probabilidade Formouse a ferramenta que através da observação de partes amostras chegase a conclusões sobre um todo população 12 Método Estatístico Método é o conjunto de procedimentos dispostos ordenadamente para se chegar a um desejado fim Dos métodos científicos podese destacar Método Experimental consiste em manter constantes todas as causas fatores componentes variáveis menos uma e variar essa última para descobrir seus efeitos caso existam Método Estatístico diante da impossibilidade de manter as causas constantes registramse os resultados dessas variações procurando determinar a influência os efeitos de cada uma delas 13 Estatística A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta organização descrição análise e interpretação de dados úteis nas tomadas de decisão Estatística Descritiva coleta organização e descrição dos dados Estatística Indutiva ou Inferencial análise e interpretação dos dados Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente objetivo essencial da Estatística Probabilidade útil para analisar situações que envolvem o acaso Ex a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença 14 Método Estatístico Pesquisa Exemplos Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo produto As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua programação A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos A pesquisa é composta basicamente de 5 fases 2 1 a Coleta de Dados Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo iniciase a coleta de dados Esta pode ser direta ou indireta A coleta direta é feita sobre registros diversos nascimento casamento óbitos importação registros escolares ou ainda quando os dados são coletados diretamente pelo pesquisador através de questionários ex censo A coleta direta pode ser contínua periódica censos ocasional A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta ex mortalidade infantil 2 a Crítica dos Dados Os dados coletados devem ser observados à procura de falhas e imperfeições a fim de não causarem erro nos resultados Exemplo 1 Perguntas tendenciosas Foi realizada a seguinte pesquisa O tráfego contribui em maior ou menor grau do que a indústria para a poluição atmosférica Resposta 45 para o tráfego e 32 para a indústria A indústria contribui em maior ou menor grau do que o tráfego para a poluição atmosférica Resposta 24 para o tráfego e 57 para a indústria Exemplo 2 Preservação da autoimagem Em uma pesquisa telefônica 94 dos entrevistados disseram que lavam as suas mãos após usar o banheiro mas a observação em banheiros públicos esse percentual cai para 68 Exemplo 3 Más Amostras As pessoas devem ser escolhidas aleatoriamente para a pesquisa como por exemplo numa pesquisa de opinião na rua devese entrevistar somente quem pisou em uma determinada marca prédeterminada na calçada Exemplo 4 Más perguntas A pergunta deve conter o linguajar próprio do entrevistado Geralmente se o entrevistado não entender a pergunta ele responderá qualquer coisa pois tem vergonha de perguntar 3 a Apuração dos Dados É o processamento dos dados obtidos 4 a Exposição dos Dados Através de tabelas ou gráficos tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo estatístico 5 a Análise dos Resultados Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêmse conclusões e previsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo 3 Capítulo 2 População e Amostra 21 Variável Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno A variável pode ser qualitativa quando seus valores são expressos por atributos ex sexo cor ou pode ser quantitativa quando seus valores são expressos em números A variável quantitativa pode ser contínua quando assume qualquer valor entre dois limites ex peso altura medições ou pode ser discreta quando só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável ex número de filhos contagens em geral números inteiros 22 Precisão A precisão da medida será automaticamente indicada pelo número de decimais com que se escrevem os valores da variável Ex 180 m indica uma medição com precisão de centésimos 23 Arredondamento De acordo com resolução do IBGE Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0 1 2 3 ou 4 fica inalterado o último algarismo a permanecer Ex 5324 passa a 532 173452 passa a 173 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6 7 8 ou 9 aumentase de uma unidade o último algarismo a permanecer Ex 4287 passa a 429 2508 passa a 251 5399 passa a 540 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5 há duas soluções a Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de 0 aumentase de uma unidade o último algarismo a permanecer Ex 2352 passa a 24 256501 passa a 257 b Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar Ex 2475 passa a 248 2465 passa a 246 247500 passa a 248 246500 passa a 246 Exercícios Arredonde deixando número inteiro 238 2465 0351 424 32835 297 6829 555 8999 Exercícios Arredonde deixando uma casa decimal 238 2465 0351 424 32835 297 6829 555 8999 4 24 População e Amostra População é o conjunto de portadores de pelo menos uma característica comum Amostra é um subconjunto finito de uma população A amostra é escolhida através de processos adequados que garantam o acaso na escolha 25 Amostragem É o processo de colher amostras Nesse processo cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido Dentre os processos de amostragem podese destacar três amostragem casual ou aleatória simples amostragem proporcional estratificada e amostragem sistemática a Amostragem casual ou aleatória simples É um sorteio por exemplo para retirar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 90 alunos utiliza se um sorteio com todos os números dos alunos escritos em papéis dentro de um saco Para amostras grandes utilizase a Tabela de Números Aleatórios Página 40 Assim para o exemplo da sala de aula utilizando dois algarismos através da leitura da primeira linha escolhida através de sorteio obtémse Como a população vai de 1 a 90 escolhese os 9 primeiros números dentro dessa faixa b Amostragem proporcional estratificada É comum termos populações que se dividam em subpopulações estratos e como cada estrato pode ter um comportamento diferente do outro a amostra deve considerar a existência desses estratos e a sua proporção em relação à população Exemplo supondo que uma sala de aula seja composta de 54 meninos e 36 meninas Determine uma amostra de 9 pessoas Sexo População Cálculo Proporcional Regra de três simples Amostra Masculino 54 54 x 9 90 54 5 Feminino 36 36 x 9 90 36 4 Total 90 9 9 Posteriormente utilizase a tabela de números aleatórios para escolher 5 meninos e 4 meninas Verificase que foi realizado um arredondamento dos números 54 e 36 Esse arredondamento é efetuado utilizando as regras de arredondamento 5 Exercício Em uma escola existem 250 alunos distribuídos em séries conforme a tabela Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela Séries População Cálculo Proporcional Amostra 1a 35 2a 32 3a 30 4a 28 5a 35 6a 32 7a 31 8a 27 Total 250 40 c Amostragem sistemática É quando a amostragem é feita através de um sistema possível de ser aplicado pois a população já se encontra ordenada Exemplo 1 em uma linha de produção a cada 10 itens fabricados retirase 1 para inspeção temse uma amostra de 10 da população Exemplo 2 em uma rua com 900 prédios desejase uma amostra de 50 90050 18 50 grupos de 18 prédios cada Fazse um sorteio entre 1 e 18 por exemplo 4 então pesquisaríamos o 4 o prédio da rua o 22o o 40o 58o assim por diante Exercícios de População e Amostra 1 Uma universidade apresenta o seguinte quadro relativo aos seus alunos do curso de Matemática Obtenha uma amostra proporcional estartificada de 100 alunos Série Qtde Amostra 1a 85 2a 70 3a 80 4a 75 Total 100 6 2 Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de 1o grau Escola Homens Mulheres Total Amostra Homens Mulheres Total A 80 95 B 102 120 C 110 92 D 134 228 E 150 130 F 300 290 Total 120 Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes 7 3 Utilizando a tabela de números aleatórios obtenha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 alunos utilize a 10a e a 11a coluna para começar o sorteio 4 Ordene uma amostra de 15 elementos de uma população ordenada formada por 210 elementos sabendo que o elemento de ordem 149 a ela pertence 8 Capítulo 3 Séries Estatísticas 31 Séries Estatísticas Série estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época do local ou da espécie Podese classificar em histórica geográfica específica a Séries históricas cronológicas temporais descrevem os valores da variável em determinado local em função do tempo Exemplo Tabela Analfabetismo na faixa de 15 anos ou mais Brasil 19002000 População de 15 anos ou mais Ano Total1 Analfabeta1 Taxa de Analfabetismo 1900 9728 6348 653 1920 17564 11409 650 1940 23648 13269 561 1950 30188 15272 506 1960 40233 15964 397 1970 53633 18100 337 1980 74600 19356 259 1991 94891 18682 197 2000 119533 16295 136 Fonte IBGE Censo Demográfico Nota 1 Em milhares b Séries geográficas espaciais territoriais ou de localização descrevem os valores da variável em um determinado instante em função da região Exemplo População Mundial Em milhões de pessoas 1998 Canadá 305 Argentina 361 Japão 1262 Rússia 1474 Brasil 1658 Indonésia 2063 EUA 274 Índia 9822 China 12556 Fonte O Estado de São Paulo 01012000 9 c Séries Específicas categóricas descrevem os valores da variável em um determinado instante e local segundo especificações Custo médio das campanhas eleitorais em 1998 segundo estimativa dos candidatos em milhões de reais Fonte TSE Presidente 25 Governador 6 Senador 35 Deputado Federal 15 Deputado Estadual 05 10 População Mundial em 1998 305 361 1262 1474 1658 2063 274 9822 12556 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 Argentina Brasil EUA China em milhões d Séries Conjugadas Tabela de Dupla Entrada É a união de duas séries em uma só tabela Exemplo População Mundial em milhões de pessoas País 1998 2050 Canadá 305 423 Argentina 361 545 Japão 1262 1049 Rússia 1474 1212 Brasil 1658 2442 Indonésia 2063 3118 EUA 274 3493 Índia 9822 15288 China 12556 14777 Fonte O Estado de São Paulo 01012000 O exemplo acima é uma série geográficahistórica Podem também existir séries conjugadas de três ou mais entradas fato mais raro pois dificulta a interpretação dos dados 11 Custo médio das campanhas eleitorais em 1998 segundo estimativa dos candidatos em milhões de reais Fonte TSE 25 6 35 15 05 0 5 10 15 20 25 30 Presidente Governador Senador Deputado Federal Deputado Estadual Milhões de Reais 32 Distribuição de freqüência Será tratado em capítulo a parte devido a sua importância Exemplo Idade na morte causada por arma de fogo Idade na Morte Freqüência 15 25 22 25 35 10 35 45 6 45 55 2 55 65 4 65 75 5 75 85 1 33 Dados Absolutos e Dados Relativos Dados Absolutos são resultantes de uma coleta direta sem outra manipulação senão a contagem Dados Relativos são resultantes de comparações há um tratamento matemático dos dados para uma melhor interpretação 12 População Mundial em milhões de pessoas 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Argentina Brasil EUA China Milhões de pessoas 1998 2050 331 As percentagens a Considere a série Idade na morte causada por arma de fogo Idade na Morte Freqüência 15 25 22 25 35 10 35 45 6 45 55 2 55 65 4 65 75 5 75 85 1 Calculando a percentagem das pessoas em cada faixa etária podese preencher uma nova coluna Idade na Morte Freqüência 15 25 22 44 25 35 10 20 35 45 6 12 45 55 2 4 55 65 4 8 65 75 5 10 75 85 1 2 Total 50 100 Podese agora tirar uma melhor conclusão e também construir um gráfico de setores pizza 13 Idade da Morte causada por arma de fogo 15 25 44 25 35 20 35 45 12 45 55 4 55 65 8 65 75 10 75 85 2 332 Os índices Os índices são razões entre duas grandezas independentes Ex Relação candidato vaga Qtde de candidatos Qtde de vagas Densidade demográfica população área de uma superfície Renda per capita renda total de uma população população 333 Os Coeficientes Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total É a porcentagem expressa na forma unitária Ex Coeficiente de evasão escolar no de alunos evadidos no inicial de alunos Coeficiente de aproveitamento escolar no de alunos aprovados no final de alunos 334 As Taxas As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 100 1000 etc para tornar o resultado mais inteligível claro Ex Taxas de mortalidade coeficiente de mortalidade x 1000 lêse mortes a cada 1000 habitantes Taxa de evasão escolar coeficiente de evasão escolar x 100 Exercícios Exercício 1 Considere a tabela abaixo Ano Qtde de Analfabetos no Brasil acima de 15 anos em milhares de hab de aumento 1960 40233 1970 53633 1980 74600 1991 94891 2000 119533 Complete a tabela com uma coluna de percentagem de aumento de um período para o outro Não utilize casas decimais apenas números inteiros 14 Exercício 2 Considerando que o Brasil em 2000 apresentou População 164 milhões de habitantes Superfície 8 511 996 km2 Nascimentos 62 milhões Óbitos 38 milhões Calcule a o índice de densidade demográfica b a taxa de natalidade c a taxa de mortalidade Exercício 3 Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados Candidato do total de votos Número de votos A 26 B 24 C 22 Brancos e nulos 196 Determine o número de votos obtido pelo candidato vencedor Exercício 4 A tabela abaixo apresenta a variação percentual das vendas industriais de aparelhos domésticos comparando o período de julho e agosto de 2003 com o período de julho e agosto de 2004 Vendas industriais de aparelhos domésticos Variação percentual julago 2003 e julago 2004 Refrigeradores 1506 Freezers verticais 497 Freezers horizontais 4261 Lavadoras automáticas 1818 Fogões 017 Condicionadores de ar 8345 Supondo que no período de julago de 2003 tenham sido vendidas 200000 lavadoras automáticas determine o número de unidades vendidas no mesmo período de 2004 15 Capítulo 4 Distribuição de Freqüência 41 Tabela Primitiva e Rol Tabela primitiva elementos da variável ainda não foram numericamente organizados Ex Total de pontos acertos obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões 166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 Rol é a tabela primitiva ordenada crescente ou decrescente Ex 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 42 Distribuição de freqüência Com isso podese construir uma tabela denominada Distribuição de Freqüência sendo a freqüência o numero de elementos relacionados a um determinado valor da variável Ex Pontos Freqüência Pontos Freqüência Pontos Freqüência 150 1 158 2 167 1 151 1 160 5 168 2 152 1 161 4 169 1 153 1 162 2 170 1 154 1 163 2 172 1 155 4 164 3 173 1 156 3 165 1 157 1 166 1 total 40 Para uma melhor visualização e economia de espaço agrupamse os valores em intervalos de classe Ex Total de pontos acertos obtidos em um teste de 175 questões por 40 alunos Total de pontos Freqüência 150 154 4 154 158 9 158 162 11 162 166 8 166 170 5 170 174 3 Total 40 Para a confecção dessa tabela podese pular o passo anterior ou seja do rol já partir para a tabela de distribuição de freqüências com intervalos de classe 16 43 Elementos de uma distribuição de freqüência a Classes de freqüência são os intervalos de variação da variável representados por i sendo i 1234k onde k é o número total de classes Em nosso exemplo k 6 b Limites da classe são os extremos de cada classe Limite superior Li Limite inferior li O símbolo li Li significa inclusão de li e exclusão de Li l2 154 e L2 158 c Amplitude de um intervalo de classe h é a medida do intervalo que define a classe h Li li h2 154158 4 d Amplitude total da distribuição AT é a diferença entre o limite superior da ultima classe limite superior máximo e o limite inferior da primeira limite inferior mínimo AT Lmax l min AT 174 150 24 Devese notar que ATh k 244 6 e Amplitude amostral AA é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra AA xmáx xmín AA 173150 23 f Ponto médio de uma classe xi é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais xi liLi2 x2 1541582 156 f Freqüência simples ou absoluta é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor f1 4 f2 9 f3 11 f4 8 f5 5 f6 3 44 Número de Classes Intervalos de Classe Determinação do número de classes utilizase a regra de Sturges obs não é obrigatório é apenas uma orientação onde k é o número de classes e n é o numero total de dados Esta fórmula nos permite obter a seguinte tabela n k 3 5 3 17 6 11 4 12 22 5 23 46 6 47 90 7 91 181 8 182 362 9 Para determinação do intervalo de classe h aplicase Quando o resultado não é exato devese arredondálo para mais No caso ou seja 6 classes de intervalo 4 Exercício As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 Complete a distribuição de freqüência abaixo i Notas xi fi 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 Total 50 45 Tipos de freqüências a Freqüência Simples ou Absoluta fi é o valor que representa o número de dados de uma classe onde b Freqüência Relativa fri é a porcentagem entre a freqüência simples e a freqüência total No exemplo fr3 1140 0275 x 100 275 18 É obvio que O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar comparações c Freqüência Acumulada Fi é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe ou No exemplo F3 f1 f2 f3 491124 o que significa que existem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm limite superior do intervalo da terceira classe d Freqüência Acumulada relativa Fri é a porcentagem entre a freqüência relativa acumulada da classe e a freqüência total da distribuição No exemplo temos Fr3 2440 06 60 o que significa que 60 dos alunos acertaram menos de 162 questões Podese então montar a seguinte tabela i Total de Pontos xi fi fri Fi Fri 1 150 154 152 4 1000 4 1000 2 154 158 156 9 2250 13 3250 3 158 162 160 11 2750 24 6000 4 162 166 164 8 2000 32 8000 5 166 170 168 5 1250 37 9250 6 170 174 172 3 750 40 10000 Total 40 10000 Que nos ajuda a responder 1 Quantos alunos acertaram entre 154 inclusive e 158 questões Resp 9 alunos 2 Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154 Resp 10 3 Quantos alunos acertaram menos que 162 questões Resp 24 alunos 4 Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158 Resp 4013 27 alunos 46 Distribuição de Freqüência sem Intervalo de Classe Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe tomando a seguinte forma Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes 6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 19 i resultados fi fri Fi Fri 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 Total 50 100 Exercício Complete a tabela abaixo e responda i Horas de estudo por semana xi fi fri Fi Fri 1 0 5 5 2 5 10 96 3 10 15 57 4 15 20 25 5 20 25 11 6 25 30 6 Total 1000 Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas 20 47 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência Podese ser representado basicamente por um histograma por um polígono de freqüência ou por um polígono de freqüência acumulada a Histograma O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe Seja o exemplo i Total de Pontos xi fi Fi 1 150 154 152 4 4 2 154 158 156 9 13 3 158 162 160 11 24 4 162 166 164 8 32 5 166 170 168 5 37 6 170 174 172 3 40 Total 40 Histograma 0 2 4 6 8 10 12 150 154 154 158 158 162 162 166 166 170 170 174 Frequências fi 150 154 158 162 166 170 174 Total de Pontos b Polígono de freqüência É um gráfico em linha sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe 0 2 4 6 8 10 12 148 152 156 160 164 168 172 176 Estaturas cm f Total de Pontos 21 c Polígono de freqüência acumulada É traçado marcandose as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 150 154 158 162 166 170 174 Estaturas cm F Total de pontos 0 2 4 6 8 10 12 148 152 156 160 164 168 172 176 Estaturas cm fi Total de Pontos Polígono de freqüência com o histograma 48 A Curva de Freqüência Curva Polida O polígono de freqüência nos fornece uma imagem real e a curva uma imagem tendencial A curva polida de uma amostra limitada se assemelha mais a curva resultante de um grande número de dados do que o polígono de freqüência obtido da mesma amostra limitada Utilizase uma nova freqüência denominada calculada fc No exemplo anterior temse 22 i Total de Pontos xi fi Fi fc 0 146 150 148 0 0 02044 1 1 150 154 152 4 4 02494 425 2 154 158 156 9 13 429114 825 3 158 162 160 11 24 921184 975 4 162 166 164 8 32 112854 8 5 166 170 168 5 37 82534 525 6 170 174 172 3 40 52304 275 7 174 178 176 0 40 32004 075 Total 40 1 425 825 975 8 525 275 075 0 2 4 6 8 10 12 148 152 156 160 164 168 172 176 Estaturas cm fc Total de Pontos Exercício Construa o histograma o polígono de freqüência o polígono de freqüência acumulada e a curva polida da seguinte distribuição i Total de Faltas de uma sala com 60 alunos xi fi fci Fi 0 1 0 2 5 2 2 4 15 3 4 6 25 4 6 8 10 5 8 10 5 6 23 Capítulo 5 Medidas de Posição 51 Introdução Até agora os estudos de distribuição de freqüência efetuados nos permite localizar a maior e menor concentração dos valores de uma dada distribuição No entanto para destacar as tendências características necessitase de elementos típicos da distribuição que são as Medidas de posição Medidas de variabilidade ou dispersão Medidas de assimetria Medidas de curtose As medidas de posição nos orienta quanto a posição da distribuição em relação ao eixo horizontal As medidas mais importantes são as medidas de tendência central os dados tendem a se agrupar em torno de valores centrais Dentre elas destacamse A média aritmética A mediana A moda Outras medidas de posição são as separatrizes que são A mediana Os quartis Os percentis 52 Media Aritmética onde xi são os valores da variável e n o número de valores a Desvio em relação a média di b Propriedades A soma algébrica dos desvio em relação a média é nula Somandose ou subtraindose uma constante c de todos os valores de uma variável a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante Multiplicandose ou dividindose uma constante c de todos os valores de uma variável a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante Exemplo Seja a nota de 10 alunos 8 9 7 6 10 55 5 65 75 85 A média é 24 Desvios 8 73 07 9 73 17 7 73 03 6 73 13 10 73 27 55 73 18 5 73 23 65 73 08 75 73 02 85 73 12 Total 00 c para dados agrupados distribuição de freqüência sem intervalos de classe Seja a seguinte distribuição no de filhos xi que se deseja ter fi fi xi 0 2 0 1 6 6 2 10 20 3 12 36 4 4 16 Total 34 78 temse então d para dados agrupados distribuição de freqüência com intervalos de classe Adotase o seguinte todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio Seja a seguinte distribuição i Total de pontos xi fi fi xi 1 150 154 152 4 608 2 154 158 156 9 1404 3 158 162 160 11 1760 4 162 166 164 8 1312 5 166 170 168 5 840 6 170 174 172 3 516 Total 40 6440 temse então pontos Exercício 1 Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição Qtde de cursos de extensão realizados por ano xi fi fi xi 25 pelos alunos do 3o Mat 1 2 2 4 3 6 4 8 5 3 6 1 Exercício 2 Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat R xi fi fi xi 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total e Processo breve Há uma mudança de variável x por outra y tal que x0 é uma constante escolhida convenientemente entre os pontos médios da distribuição de preferência o de maior valor de freqüência e h é o intervalo de classe A média então é calculada por 26 Exemplo Escolhendo x0 160 e como h 4 i Total de Pontos xi fi yi fi yi 1 150 154 152 4 2 8 2 154 158 156 9 1 9 3 158 162 160 11 0 0 4 162 166 164 8 1 8 5 166 170 168 5 2 10 6 170 174 172 3 3 9 Total 40 10 Então pontos Exercício 3 Pelo processo breve calcule a média aritmética da distribuição i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat R xi fi yi fi yi 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total 27 Exercício 4 Pelo processo breve calcule a média aritmética da distribuição i Valor da hora aula de profissionais da educação R xi fi yi fi yi 1 30 50 2 2 50 70 8 3 70 90 12 4 90 110 10 5 110 130 5 Total 53 A Moda Mo Denominase moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores Caso 1 Dados não agrupados Basta procurar o valor que mais se repete Ex 34566667789 A série tem moda igual a 6 valor modal 6 Pode acontecer também uma série sem valor modal Ex 123456789 série amodal Pode acontecer também uma série com mais de uma moda Ex 1222345666789 a série tem duas modas 2 e 6 série bimodal Caso 2 Dados agrupados a sem intervalos de classe Basta identificar o valor da variável que possui maior freqüência Ex Seja a seguinte distribuição Mo 3 no de filhos xi que se deseja ter fi 0 2 1 6 2 10 3 12 4 4 Total 34 b com intervalos de classe A classe com maior freqüência é denominada classe modal o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de classe 28 Ex Seja a distribuição i Total de pontos xi fi 1 150 154 152 4 2 154 158 156 9 3 158 162 160 11 4 162 166 164 8 5 166 170 168 5 6 170 174 172 3 Total 40 Então a classe modal é i 3 logo Mo 160 pontos Exercício Calcule a moda da seguinte distribuição i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat R fi 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total 64 54 Mediana Md A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números ou seja separa os valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos Caso 1 Dados não agrupados Dada uma série de valores 51310218156169 Devese então ordenálos 25691013151618 Determinase então o valor central que é 10 4 valores para cada lado Md 10 Se a série tiver número par de valores a mediana é a média dos dois valores centrais 256910151618 Md 9102 95 29 Caso 2 Dados agrupados No caso de distribuição de freqüência devese primeiramente determinar a freqüência acumulada Determinase então o valor que divide a distribuição em duas partes iguais Aplicase então a sem intervalos de classe Dada a série no de filhos xi que se deseja ter fi Fi 0 2 2 1 6 8 2 10 18 3 12 30 4 4 34 Total 34 Então A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18 que corresponde ao valor 2 da variável Md 2 No caso de acontecer a mediana será dada por Exemplo i no de filhos xi que se deseja ter fi Fi 1 0 2 2 2 1 6 8 3 2 10 18 4 3 12 30 5 4 6 36 Total 36 então Exercícios 1 Calcule a mediana das seguintes distribuições i Qtde de anos de estudo xi fi Fi 1 13 6 2 14 14 3 15 24 4 16 16 5 17 8 Total 30 i Qtde de disciplinas em dependência fi Fi 1 0 2 2 1 5 3 2 9 4 3 7 5 4 6 6 5 3 Total b com intervalos de classe seguese os seguintes passos 1o Determinase as freqüências acumuladas 2o Calculase 3o Marcase a classe correspondente a freqüência acumulada imediatamente superior a classe mediana e empregase a fórmula onde é o limite inferior da classe mediana Fant é a freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana h é a amplitude do intervalo da classe mediana fi é a freqüência do intervalo da classe mediana Exemplo i Total de pontos fi Fi 1 150 154 4 4 2 154 158 9 13 3 158 162 11 24 4 162 166 8 32 5 166 170 5 37 6 170 174 3 40 Total 40 logo classe mediana é i 3 158 Fant 13 h 4 f3 11 No caso de acontecer a mediana será o limite superior da classe correspondente Exercício Calcule a mediana das seguintes distribuições i Salário Mensal dos fi Fi 31 alunos do 3o Mat R 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total 64 i Valor da hora aula de profissionais da educação R fi Fi 1 30 50 2 2 50 70 8 3 70 90 12 4 90 110 10 5 110 130 5 Total 55 Os Quartis Denominase quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais Portanto há três quartis São mais aplicados em distribuição de freqüência com intervalos de classe Primeiro Quartil Q1 25 dos dados são menores que ele e os 75 restantes são maiores Segundo Quartil Q2 coincide com a mediana 50 para cada lado Terceiro Quartil Q3 75 dos dados são menores que ele e os 25 restantes são maiores Para o caso de dados agrupados basta aplicar sendo k o número de ordem do quartil Então Exemplo i Total de Pontos fi Fi 1 150 154 4 4 32 2 154 158 9 13 3 158 162 11 24 4 162 166 8 32 5 166 170 5 37 6 170 174 3 40 Total 40 Primeiro Quartil logo classe do 1o Quartil é i 2 154 Fant 4 h 4 f2 9 Segundo Quartil Mediana logo classe do 2o Quartil é i 3 158 Fant 13 h 4 f3 11 Terceiro Quartil logo classe do 3o Quartil é i 4 162 Fant 24 h 4 f4 8 Exercício Calcule os quartis da seguinte distribuição i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat R fi Fi 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total 64 56 Os Percentis Denominase percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais Indicase da seguinte forma P1P2P3P99 Notese que P50 Md P25 Q1 e P75 Q3 Calculase da mesma forma que os quartis só que aplicando 33 sendo k o número de ordem do percentil Exemplo i Total de Pontos fi Fi 1 150 154 4 4 2 154 158 9 13 3 158 162 11 24 4 162 166 8 32 5 166 170 5 37 6 170 174 3 40 Total 40 Temse para o oitavo percentil logo classe do 8o Percentil é i 1 150 Fant 0 h 4 f1 4 Exercício Calcule o percentil de ordem 20 da seguinte distribuição i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat R fi Fi 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total 64 34 Capítulo 6 Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 61 Amplitude total AT a a amplitude total é a diferença entre o maior valor e o menor valor observado Exemplo 40 45 48 52 54 62 e 70 AT 70 40 30 Quanto maior a amplitude total maior será a dispersão dos valores da variável em torno da média 62 Variância s 2 e Desvio Padrão s São mais estáveis que a amplitude total não sofrem tanto a interferência de valores extremos a para dados não agrupados A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios A variância é um número em unidade quadrada em relação a média por isso definiuse o desvio padrão como a raiz quadrada da variância O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento simplificase o cálculo do desvio padrão com a seguinte que resulta em Obs Quando calculase a variância ou o desvio padrão de uma população através de uma amostra dessa devese substituir o denominador n por n1 Propriedades 1a Somandose ou subtraindose uma constante a de todos os valores de uma variável o desvio padrão não se altera 2a Multiplicandose todos os valores de uma variável por uma constante diferente de zero o desvio padrão fica multiplicado por essa constante Exemplo Calcule o desvio padrão da seguinte série 35 i xi xi 2 1 8 64 2 10 100 3 11 121 4 15 225 5 16 256 6 18 324 Total 78 1090 b para dados agrupados sem intervalos de classe devese levar em conta as freqüências Exemplo i Qtde de filhos que se deseja ter xi fi fi xi fi xi 2 1 0 2 0 0 2 1 6 6 6 3 2 12 24 48 4 3 7 21 63 5 4 3 12 48 Total 30 63 165 Exercício Determine o desvio padrão i Qtde de cursos de extensão realizados por ano xi pelos alunos do 3o Mat fi fi xi fi xi 2 1 1 2 2 2 5 3 3 8 4 4 6 5 5 3 6 6 1 Total 25 c para dados agrupados com intervalos de classe também levase em conta as freqüências e xi é o ponto médio do intervalo de classe Exemplo 36 i Total de Pontos xi fi fixi fixi 2 1 150 154 152 4 608 92416 2 154 158 156 9 1404 219024 3 158 162 160 11 1760 281600 4 162 166 164 8 1312 215168 5 166 170 168 5 840 141120 6 170 174 172 3 516 88752 Total 40 6440 1038080 Processo breve Da mesma maneira que o cálculo da média mudase a variável X por outra Y tal que e Exemplo i Total de Pontos xi fi yi fiyi fiyi 2 1 150 154 152 4 2 8 16 2 154 158 156 9 1 9 9 3 158 162 160 11 0 0 0 4 162 166 164 8 1 8 8 5 166 170 168 5 2 10 20 6 170 174 172 3 3 9 27 Total 40 10 80 Resolva Calcule o desvio padrão pelo processo breve i Salário Mensal dos alunos do 3o Mat R xi fi yi fiyi fiyi 2 1 450 550 8 2 550 650 10 3 650 750 11 4 750 850 16 5 850 950 13 6 950 1050 5 7 1050 1150 1 Total 64 i Peso kg xi fi yi fiyi fiyi2 1 30 50 2 2 50 70 8 37 3 70 90 12 4 90 110 10 5 110 130 5 Total 37 63 Coeficiente de Variação CV É a porcentagem do desvio padrão em relação a sua média Exemplo Para o exemplo anterior das estaturas temse média de 161 cm e desvio padrão de 557 cm Resolva Calcule o CV dos dois últimos exercícios de cálculo de desvio padrão pelo processo breve a b Conclusão Quanto maior o CV maior será a dispersão Quanto menor o CV menor será a dispersão 38 Exercícios de Revisão Os dados abaixo referemse a idade das pessoas que compraram um determinado produto novo durante um dia Determine i Idade xi fi Fi yi fiyi fiyi 2 fixi fixi 2 1 0 10 10 2 10 20 26 3 20 30 15 4 30 40 8 5 40 50 4 6 50 60 3 7 60 70 2 Total a Média b Desvio Padrão c Mediana d Primeiro Quartil e Terceiro Quartil f P40 39 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 40 4 0 8 9 3 2 1 5 0 9 7 2 3 1 1 2 2 9 9 1 6 3 2 2 0 7 3 3 4 2 7 5 7 9 3 5 9 4 2 9 8 8 3 9 5 6 5 6 0 3 5 4 2 1 5 6 0 8 7 6 7 4 7 5 8 4 4 7 4 5 7 4 9 1 6 2 3 4 9 3 5 1 3 1 7 4 6 7 5 9 1 2 3 1 0 9 3 3 7 2 1 7 4 5 0 3 0 7 1 8 9 3 3 5 4 0 7 7 8 0 6 0 0 2 8 8 8 2 0 7 0 6 3 7 2 0 8 6 8 3 4 6 6 7 5 4 6 3 4 6 8 1 0 6 9 1 3 2 0 3 4 5 8 5 1 1 0 4 0 8 4 1 6 6 3 6 5 8 2 2 8 9 7 1 4 1 9 7 8 6 9 5 9 4 1 0 4 3 8 6 8 6 3 7 7 8 0 4 7 7 9 7 7 1 9 3 3 3 3 4 4 8 5 8 0 1 4 1 7 8 0 9 4 9 7 5 9 8 7 7 6 8 6 8 7 9 9 6 6 0 3 7 4 5 4 1 4 2 7 4 5 4 5 3 7 9 6 3 0 7 0 7 8 4 3 7 5 1 0 5 0 0 3 7 8 5 8 3 0 9 3 7 3 7 5 9 0 2 2 6 2 8 6 5 4 3 8 3 6 8 7 6 8 0 0 5 7 6 7 3 0 8 2 3 0 0 3 1 2 5 7 2 2 7 0 0 5 3 8 3 0 1 6 8 9 9 2 0 3 2 6 7 5 0 6 8 9 5 9 7 4 0 5 8 6 0 2 8 6 8 1 9 6 0 1 1 2 4 1 1 2 0 4 9 5 2 8 1 3 8 2 8 3 9 8 0 4 8 5 1 7 7 0 8 2 9 6 1 6 1 5 1 5 1 9 8 3 9 5 2 9 3 6 1 7 7 5 3 4 2 1 3 8 3 7 7 3 8 8 0 7 7 6 8 1 1 0 4 2 1 3 9 2 1 6 8 0 9 1 6 7 5 5 4 5 3 4 4 9 4 7 8 1 3 9 9 9 4 5 8 0 9 3 0 1 4 7 1 2 6 1 1 3 1 3 2 5 3 0 0 1 9 3 7 7 2 5 5 0 1 7 6 5 1 3 7 4 6 7 5 3 8 9 7 0 1 1 2 1 1 1 0 5 2 5 2 3 3 8 0 7 5 0 2 3 0 9 7 0 3 3 6 8 9 7 5 1 7 7 2 7 8 3 8 5 9 5 8 9 2 5 5 8 0 2 2 0 5 4 8 6 6 0 5 9 8 7 6 8 7 8 3 1 6 8 7 4 6 6 8 9 6 3 6 5 4 0 2 2 1 0 1 7 7 3 3 6 5 7 7 5 2 5 9 4 2 7 4 3 6 6 2 1 2 2 4 9 0 6 4 8 9 9 7 0 7 9 8 8 7 1 2 0 7 3 1 5 0 9 1 9 0 1 8 2 9 8 3 1 3 6 4 8 9 6 1 1 5 1 8 1 6 8 8 9 1 4 1 8 8 4 0 5 1 7 4 1 2 9 3 2 5 3 3 9 8 7 6 6 9 3 6 4 7 4 8 4 2 3 5 1 3 3 3 9 9 4 1 5 8 1 8 8 1 2 0 9 7 2 6 1 5 7 5 2 5 2 0 7 5 1 5 8 9 4 5 6 4 0 9 5 0 9 5 0 4 3 3 2 3 6 5 5 6 7 6 0 2 2 9 5 7 8 4 8 6 0 9 0 4 1 5 6 6 1 2 3 5 2 3 3 4 5 3 9 0 2 9 5 4 3 6 5 9 5 0 6 5 6 4 4 7 1 6 7 2 0 6 3 6 8 4 3 8 5 3 1 7 3 3 9 9 3 3 8 5 9 8 1 1 7 1 3 7 6 9 3 2 3 4 4 5 7 9 6 0 9 7 0 3 9 6 6 1 9 5 8 7 2 2 4 8 1 2 4 3 4 4 7 8 7 1 3 8 1 5 8 2 6 9 2 9 5 9 4 1 2 2 8 6 4 5 0 3 4 3 2 8 2 6 7 0 9 0 9 3 9 2 1 4 7 0 4 6 8 6 9 4 9 5 5 5 9 2 5 3 8 8 2 4 9 3 6 4 7 0 3 9 6 7 6 0 7 0 6 8 6 5 6 3 9 2 6 6 7 9 3 5 6 9 3 0 0 3 0 1 3 3 1 7 8 5 1 7 0 7 7 6 5 8 7 0 5 5 9 0 6 5 6 6 5 0 6 2 3 2 2 8 9 5 2 9 0 5 1 5 1 5 4 0 7 5 0 4 9 4 4 2 2 1 2 7 4 1 6 2 6 1 2 2 0 6 0 5 2 5 2 6 3 9 2 8 3 6 2 6 5 9 1 3 5 0 8 2 1 9 6 5 0 3 2 6 6 6 3 1 7 2 8 4 3 5 1 2 8 1 2 6 0 4 9 8 0 1 6 6 0 7 2 2 9 7 6 8 1 4 6 3 1 4 6 0 4 4 7 5 2 9 5 1 7 4 3 7 3 7 7 1 1 5 2 0 8 6 7 8 6 0 5 2 2 4 2 3 1 5 5 0 4 6 7 3 2 9 1 0 3 8 3 7 8 2 3 0 7 8 1 4 3 4 3 6 8 8 8 1 9 1 9 2 8 1 4 2 3 1 5 8 2 0 8 4 0 1 6 9 1 2 5 2 4 0 2 6 5 2 9 4 2 0 0 6 7 1 9 4 8 6 1 3 9 1 3 1 5 8 1 1 7 0 3 6 4 6 3 8 9 1 4 1 7 2 6 0 4 5 1 2 3 9 9 3 1 8 4 1 6 1 2 8 4 8 0 9 0 4 7 5 6 0 0 4 5 8 5 0 4 1 8 0 1 2 7 1 8 0 4 5 8 4 2 0 2 4 6 0 6 4 9 8 2 5 0 7 5 1 8 3 4 8 9 5 9 9 2 6 0 0 6 1 6 8 8 7 5 2 6 5 0 7 2 0 2 2 0 7 2 0 0 6 2 1 5 0 9 2 0 8 2 2 9 9 4 6 8 5 9 3 7 6 6 1 7 5 1 3 7 8 6 5 6 8 9 1 3 1 3 6 4 8 7 8 9 0 7 1 3 6 2 9 8 8 7 3 3 1 7 8 9 0 4 7 7 2 9 4 4 1 4 5 1 1 5 9 4 4 7 1 6 5 7 6 9 5 6 0 2 1 0 0 9 0 5 2 8 9 1 6 6 9 2 2 4 0 4 7 2 1 9 9 2 7 7 5 7 7 4 5 4 9 2 7 6 5 4 3 9 3 3 7 7 4 8 0 4 7 3 2 8 0 6 3 6 5 9 5 8 6 8 2 2 5 6 3 3 8 9 8 7 2 9 4 9 8 4 3 7 1 9 9 8 0 0 2 4 4 5 0 7 3 1 1 8 5 8 1 8 5 8 6 8 6 7 7 0 0 7 3 2 2 9 9 6 4 8 9 2 9 5 4 1 8 1 4 3 1 0 4 6 9 3 6 9 5 0 0 8 6 6 9 2 0 5 3 7 9 9 9 4 7 9 2 9 0 9 4 3 0 1 2 2 4 7 3 6 0 2 4 1 0 2 8 9 5 3 5 5 0 0 9 8 1 6 2 9 6 3 1 5 6 3 1 0 8 5 8 8 5 5 9 2 0 9 1 9 4 4 8 2 1 6 3 5 6 9 3 4 5 7 2 1 6 5 0 1 2 9 9 8 9 2 9 1 1 5 8 3 6 9 5 1 6 6 7 5 3 2 7 1 6 8 2 7 4 0 2 0 7 8 8 9 1 4 0 1 8 7 8 9 1 1 1 1 8 5 3 5 9 8 5 3 8 5 4 2 9 2 9 9 0 2 1 4 0 9 2 5 0 6 3 0 9 9 0 1 1 2 4 9 7 1 5 2 2 4 6 8 3 9 9 9 2 1 5 8 7 4 1 4 7 9 7 4 8 7 0 8 6 2 7 4 5 1 7 0 4 5 1 5 0 3 9 4 4 4 8 3 6 9 0 3 3 5 3 8 3 6 1 0 6 8 9 0 0 7 1 5 2 0 1 8 0 7 4 2 8 2 7 2 8 2 1 8 7 3 5 6 1 8 0 4 8 5 7 8 4 0 3 4 9 2 9 4 4 1 2 7 5 4 9 8 3 5 2 8 0 5 6 0 2 8 2 6 6 5 6 6 0 8 3 9 5 1 6 7 3 7 9 1 7 4 2 5 5 4 2 9 8 6 0 5 5 7 3 8 3 0 4 9 1 3 6 3 8 0 0 4 3 5 2 6 8 2 2 5 4 1 0 3 5 3 7 0 9 9 7 8 0 7 0 8 6 3 1 3 2 3 9 0 5 8 7 8 4 4 0 0 9 6 1 2 2 6 1 4 1 2 3 3 1 5 2 9 3 2 7 3 3 1 4 6 3 8 1 2 7 1 9 8 8 3 7 1 9 7 3 2 7 4 0 0 5 9 5 9 2 3 1 3 2 5 6 3 2 9 4 Tamanho da Amostra para populações finitas n tamanho da amostra N tamanho da população e de erro na forma unitária z intervalo de confiança 196 para 95 de confiança valor usual 258 para 99 de confiança xn proporção esperada O valor de n é máximo para xn 050 Resultando em Exemplo erro 2 002 z 196 xn 05 População Amostra 100 96 200 185 300 267 400 343 500 414 600 480 700 542 800 600 900 655 1000 706 1100 755 1200 800 1300 844 1400 885 1500 923 1600 960 1700 996 1800 1029 1900 1061 2000 1091 População Amostra 10000 1936 20000 2144 30000 2223 40000 2265 50000 2291 60000 2309 70000 2321 80000 2331 90000 2339 100000 2345 População Amostra 100000 2345 200000 2373 300000 2382 400000 2387 500000 2390 600000 2391 700000 2393 800000 2394 900000 2395 1000000 2395 41 População Amostra 1000000 2395 2000000 2398 3000000 2399 4000000 2400 5000000 2400 6000000 2400 7000000 2400 8000000 2400 9000000 2400 10000000 2400 115000000 2401 Cálculo do erro para população desconhecida para população conhecida para z 196 e xn 050 temse para população desconhecida para população conhecida População 100 Amostra Erro 10 030 20 020 30 015 40 012 50 010 60 008 70 006 80 005 90 003 100 000 Bibliografia STEVENSON W J Estatística Aplicada à Administração São Paulo Editora HARBRA Ltda 1981 42 BIBLIOGRAFIA COSTA NETO P L de O Probabilidades São Paulo Editora Edgard Blucher Ltda 1985 COSTA NETO P L de O Estatística São Paulo Editora Edgard Blucher Ltda 17o ed 1999 CRESPO A A Estatística Fácil São Paulo Editora Saraiva 17o ed 1999 DANTE L R Matemática Contexto de Aplicações São Paulo Editora Ática 1999 DOWNING D CLARK J Estatística Aplicada São Paulo Editora Saraiva 2000 KAZMIER L J Estatística Aplicada à Economia e Administração São Paulo Editora Makron books Ltda 1982 LAPPONI J C Estatística Usando Excel São Paulo Editora Lapponi 2000 LEVIN J Estatística Aplicada a Ciências Humanas 2a edição São Paulo Editora Harper Row do Brasil Ltda 1978 NICK E KELLNER S R O Fundamentos de Estatística para as Ciências do Comportamento Rio de Janeiro Editora Renes 1971 SIEGEL S Estatística Não Paramétrica São Paulo Editora McGrawHill do Brasil Ltda 1975 STEVENSON W J Estatística Aplicada à Administração São Paulo Editora Harper Row do Brasil Ltda 1981 TRIOLA M F Introdução à Estatística Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 7a ed 1999 43 Amostragem Seja a seguinte série de valores número de contratos vendidos Frequências Simples Função frequência frequênciasérie de dadosvalor determina o número de vezes que o valor ocorre na série Função Moda módоsérie Mo 14 Função Mediana medsérie Md 135 Função Percentil percentilsérieordem do percentil entre 0 e P70 14 Função Quartil quartilsérieordem do quartil 1 2 ou 3 Q1 1225 Q2 135 Q3 14 Função Média médiasérie Média 1354 Função Desvio Padrão desvpadsérie s 150