· 2022/2
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1) Resumir o capítulo 11 do livro Matemática Financeira e suas aplicações(Alexandre Assaf Neto), 12 ed. -Link para o pdf do livro: https://docero.com.br/doc/s81ev0v Capítulo 11 - Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa Os títulos de renda fixa são aqueles que sabemos quais serão os seus rendimentos. Eles são fixados no momento da aquisição. Ex.: CDB/RDB, debêntures e letras de câmbio. Divididos em: (1) Prefixados: seu retorno NOMINAL é conhecido no momento da operação (2) Pós-fixados: definem a taxa real de juros e o indexador de correção monetária. O retorno nominal dependerá do comportamento, por exemplo, da inflação e será conhecido ao final da operação. 1. Certificados/recibos de depósitos bancários - CDB/RDB Emitidos pelas instituições financeiras, com o objetivo de financiar as operações de empréstimo. O CDB pode ser endossado, enquanto o RDB é intransferível. Há incidência de imposto de renda sobre esses rendimentos, mas não existe uma regra geral para a prática de tributação. Ainda, para definir a alíquota, é necessário conhecer os rendimentos bruto e líquido da operação. A taxa de juros é definida com base na taxa anual efetiva e, para intervalos menores que um ano, calcula-se a taxa equivalente. CDB/RDB com taxas prefixadas Para definir o retorno nominal, é necessário incorporar uma expectativa de inflação. Esta expectativa não precisa se concretizar para que o proprietário do título receba o seu retorno. O cálculo do imposto sobre esse tipo de operação vem sofrendo alterações ao longo do tempo. A incidência do imposto pode se dar de duas formas: (1) no início da operação, retido na fonte e (2) ao final da operação, no seu resgate. Cálculo do Rendimento Bruto: FV = PV x (1 + ib); onde PV = valor presente, ib = taxa bruta da operação RB = FV - PV Cálculo do Imposto de Renda: IR = T x (PV x ib); onde T = alíquota. Rendimento Líquido: RL = PV x i – T x (PV x ib) Muitas vezes, apenas a taxa bruta de rendimento é divulgada, fazendo-se necessário o cálculo do seu rendimento líquido. É no rendimento líquido que o investidor está interessado, pois é o valor do qual ele se apropria ao final da operação. Ela é determinada a partir da expressão: iL = FV / (PV + IR) – 1 Por mais que o comum seja a divulgação da taxa bruta, também é possível utilizar o cálculo para se chegar à taxa bruta a partir da taxa líquida. Ainda, a fórmula é válida apenas quando a tributação é incidida sobre a fonte. Nos casos em que o tributo incide sobre o rendimento final, calculamos a taxa líquida a partir da seguinte expressão, simplificada: iL = ib x (1 – T) Taxa Prefixada com rendimento periódico Neste tipo de operação, os juros são resgatados a cada período e o principal ao final da operação. A principal diferença é que ela oferece diversos fluxos durante a operação. A taxa de juros da operação também é calculada a partir do método da taxa equivalente composta. Os juros recebidos obedecem a seguinte expressão: J = PV x ib,q ; onde ib,q = taxa nominal bruta equivalente a ser aplicada em cada período O Imposto de Renda é determinado, portanto, por: IR = T x PV x ib,q x n; onde n = número de períodos de rendimento O imposto de renda a cada período será, portanto: IR = T x J A expressão acima contém implicitamente a determinação dos juros e, também de forma implícita, representa o IR total sobre o número de períodos. CDB/RDB com taxas pós-fixadas A correção monetária deste título acompanha a evolução de um índice de preços definido para a operação. Os rendimentos nominais só serão conhecidos a posteriori. É composta por um indexador (que corrige os efeitos da inflação) e uma taxa real de juros. O imposto de renda incidirá na ocasião de resgate. Como o indexador corrige os efeitos da inflação, o cálculo do rendimento líquido só precisa levar em conta a taxa bruta e o imposto de renda. A taxa líquida é definida a partir da expressão: rL = rb x (1 – IR) Exemplo numérico Suponha rb = 12% e IR = 25% O retorno líquido será de 0,12 x 0,75 = 9% Taxa prefixada x Taxa pós-fixada A taxa prefixada é vantajosa apenas até o ponto em que a inflação não supere as expectativas. Enquanto a inflação estiver abaixo da expectativa, há expressivos ganhos reais. Quando a inflação passa deste patamar, os juros reais são consumidos e o investimento pode chegar a apresentar uma rentabilidade negativa (caso em que o hiato entre a inflação e a expectativa de inflação superam os juros reais). A taxa pós-fixada sempre irá, com a condição de que o indexador seja representativo da economia, preservar o valor do capital contra a inflação. No entanto, não há possibilidade de ganhos maiores no caso em que a inflação se encontre abaixo das expectativas. Inflação esperada > Inflação verificada; prefere-se a taxa prefixada Inflação esperada = Inflação verificada; operações equivalentes Inflação esperada < Inflação verificada prefere-se a taxa pós-fixada Desmembramento da taxa prefixada Vimos que a taxa prefixada tem um componente relacionado à expectativa de inflação e outro relacionado à taxa de juros reais. Ainda, a taxa de juros reais pode ser desmembrada em: (1) taxa livre de risco da economia, dita pura; (2) remuneração pelo risco da operação. A taxa bruta prefixada desta forma, passa a depender não de 2, mas de 3 fatores, a saber: expectativa de inflação; taxa livre de risco e remuneração pelo risco. Diferentes variação dos índices de preços O índice escolhido para a correção monetária de um título pode destoar dos índices utilizados pelo mercado. Quando os preços de mercado evoluem de forma mais rápida do que prevê o indexador, dizemos que a correção está defasada e o capital investido perde valor. Caso contrário, o capital ganha valor. Custo de Captação com Recolhimento Compulsório Reprodução do exemplo do livro “Admita que uma instituição financeira tenha colocado no mercado um CDB de sua emissão pagando a taxa efetiva de 15,3% a.a. O prazo de colocação do título é de 63 dias. O Banco Central, para formação de um depósito compulsório, recolhe 8% do principal captado pela instituição financeira pelo prazo de emissão do título, liberando o valor retido somente quando de sua liquidação. Durante todo o período da operação, o Banco Central não paga qualquer remuneração sobre o valor retido. Pede-se determinar: a) Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título. Considere uma alíquota de 20% incidindo sobre a remuneração. ... b) Valor líquido de resgate do aplicador, admitindo que tenha investido $ 200.000,00 ... c) Custo Efetivo do CDB para a Instituição Financeira emitente ...” a) ib = (1,153)63/360 – 1 = 2,52% p/ 63 dias ib = (1,153) 301360 - 1 = 1,19% a.m. iL = 1,19% x (1- 0,20) = 0,95% a.m. b) VB = 200.000 * 0,0252 = 5.040 VL = 0,8 * 5040 = 4032 c) Custo Efetivo = [ 205.040 – (8% x 200.000)] / [200.000 – (8% x 200.000)] – 1 = = 2,74% considerando um período de 63 dias 1,0274 30/63 = 1,29% a.m. 2. Debêntures “...são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto, visando financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro”. A cada emissão, todas as condições do título são especificadas, como garantias, prazos de vencimento, bônus. Divididos em: (1) simples; quando apenas é possível resgatá-lo em dinheiro e (2) conversíveis em ações. Os investidores costuma receber os juros 2 vezes ano, com possibilidade de adicionais (para manter a atratividade do investimento). Podem prever, também, correção monetária. Debêntures garantem preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa. Exemplo (adaptado): 500 debêntures no mercado, cada um no valor de R$ 1.000 efornecendo 15% de juros nominais por semestre. O principal é pago no resgate. A colocação das debêntures no mercado representou um custo de 8% sobre o valor colocado. VB captação = 500 x 1000 = 500.000 VL = (92% * 500.000) = 460.000 Encargos semestrais = 15% x 500.000 = 75.000 A taxa efetiva, pelo método dos fluxos descontados, é de 17,97% a.s ou 39,17% a.a. 3. Obrigações (Bônus) Outro tipo de título que visa o financiamento dos investimentos de uma entidade. Podem ser emitidos por empresas privadas ou órgãos governamentais. Zero Cupom Bound Título emitido sem cupom de juros, é negociado no mercado com desconto. Este título é caracterizado por não prever pagamento de juros. O investidor recebe apenas o valor investido e o preço do cupom. Seu preço de negociação é dado pelo valor presente do seu valor de face. A taxa de desconto considerada é a expectativa de remuneração do investidor. E expressão que fornece o preço do título é P0 = Cn / (1 + K); onde Cn = valor de resgate, K = taxa de retorno exigida Exemplo (adaptado): Cn = 1150, K = 15%, seu preço será: P0 = 1150 / 1,15 = 1000 O título será negociado a 1000 Conforme o tempo passa, o valor do título se aproxima do seu Valor de Face. Segue a lógica dos fluxos descontados, quão menor o período a ser descontado, menor será o desconto. Reprodução do Livro: “O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto. Quanto maior o prazo transcorrido do título, seu preço converge ao valor de face”. Títulos (Bônus) com cupons Diferente do caso anterior, esses títulos fornecem juros periódicos, além da devolução do principal na data de vencimento do título. São títulos, geralmente, de longo prazo (5 a 30 anos). Acontece que podem ocorrer variações nos juros prometidos pelo título, causando também mudanças no valor de negociação do título. O preço de negociação desse título é dado pela soma do valor presente dos fluxos esperados descontados por uma taxa. Essa taxa é considerada o limite inferior dos retornos esperados para que o investimento seja atrativo. P0 = [ C1 / (1 + K1) + C1 / (1 + K2) + ... Cn + Pn / (1 + Kn)] O método de cálculo, em sua essência, não se diferencia dos títulos sem cupons (Fluxos Descontados). Algumas Considerações Yeld to Maturity – YTM Reflete o rendimento do título até a data do seu vencimento. É uma taxa que iguala os fluxos de entrada e os fluxos de saída. A partir da ótica do Valor Presente Líquido, é a taxa que zera esse valor. YTM e IRR A YTM geralmente é expressa como uma taxa nominal anual. A IRR é uma taxa efetiva de juros. Ela representa o quanto um determinado investimento é capaz de gerar retornos sobre um principal investido. Se IRR = 0, houve apenas ressarcimento do valor investido. Considerando o valor do dinheiro no tempo, não basta que uma IRR seja positiva para que o investimento seja considerado atrativo. A IRR precisa ser superior a uma taxa mínima de atratividade. Relação entre valor do título e taxa de desconto Os títulos podem ser renegociados no mercado. Pelos métodos que já analisamos, quão maior for a taxa de retorno exigida pelos investidores, menor será o preço de um titulo. Tributação vigente das aplicações de renda fixa A legislação brasileira prevê dois tipos de tributação: (1) Imposto de Renda (IR): incide sobre a fonte e leva em conta a diferença entre o valor investido e o valor de resgate. Quão maior for o prazo da aplicação, menor a alíquota do imposto. Variam de 22,5%, para as operações de CP, até 15%, para prazos acima de 2 anos comerciais. (2) Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): A principal diferença entre esta e a modalidade anterior é que só há incidência deste tipo de imposto quando o resgate é feito antes que a aplicação complete 30 dias. É uma forma de evitar uma retirada massiva imprevista.
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1) Resumir o capítulo 11 do livro Matemática Financeira e suas aplicações(Alexandre Assaf Neto), 12 ed. -Link para o pdf do livro: https://docero.com.br/doc/s81ev0v Capítulo 11 - Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa Os títulos de renda fixa são aqueles que sabemos quais serão os seus rendimentos. Eles são fixados no momento da aquisição. Ex.: CDB/RDB, debêntures e letras de câmbio. Divididos em: (1) Prefixados: seu retorno NOMINAL é conhecido no momento da operação (2) Pós-fixados: definem a taxa real de juros e o indexador de correção monetária. O retorno nominal dependerá do comportamento, por exemplo, da inflação e será conhecido ao final da operação. 1. Certificados/recibos de depósitos bancários - CDB/RDB Emitidos pelas instituições financeiras, com o objetivo de financiar as operações de empréstimo. O CDB pode ser endossado, enquanto o RDB é intransferível. Há incidência de imposto de renda sobre esses rendimentos, mas não existe uma regra geral para a prática de tributação. Ainda, para definir a alíquota, é necessário conhecer os rendimentos bruto e líquido da operação. A taxa de juros é definida com base na taxa anual efetiva e, para intervalos menores que um ano, calcula-se a taxa equivalente. CDB/RDB com taxas prefixadas Para definir o retorno nominal, é necessário incorporar uma expectativa de inflação. Esta expectativa não precisa se concretizar para que o proprietário do título receba o seu retorno. O cálculo do imposto sobre esse tipo de operação vem sofrendo alterações ao longo do tempo. A incidência do imposto pode se dar de duas formas: (1) no início da operação, retido na fonte e (2) ao final da operação, no seu resgate. Cálculo do Rendimento Bruto: FV = PV x (1 + ib); onde PV = valor presente, ib = taxa bruta da operação RB = FV - PV Cálculo do Imposto de Renda: IR = T x (PV x ib); onde T = alíquota. Rendimento Líquido: RL = PV x i – T x (PV x ib) Muitas vezes, apenas a taxa bruta de rendimento é divulgada, fazendo-se necessário o cálculo do seu rendimento líquido. É no rendimento líquido que o investidor está interessado, pois é o valor do qual ele se apropria ao final da operação. Ela é determinada a partir da expressão: iL = FV / (PV + IR) – 1 Por mais que o comum seja a divulgação da taxa bruta, também é possível utilizar o cálculo para se chegar à taxa bruta a partir da taxa líquida. Ainda, a fórmula é válida apenas quando a tributação é incidida sobre a fonte. Nos casos em que o tributo incide sobre o rendimento final, calculamos a taxa líquida a partir da seguinte expressão, simplificada: iL = ib x (1 – T) Taxa Prefixada com rendimento periódico Neste tipo de operação, os juros são resgatados a cada período e o principal ao final da operação. A principal diferença é que ela oferece diversos fluxos durante a operação. A taxa de juros da operação também é calculada a partir do método da taxa equivalente composta. Os juros recebidos obedecem a seguinte expressão: J = PV x ib,q ; onde ib,q = taxa nominal bruta equivalente a ser aplicada em cada período O Imposto de Renda é determinado, portanto, por: IR = T x PV x ib,q x n; onde n = número de períodos de rendimento O imposto de renda a cada período será, portanto: IR = T x J A expressão acima contém implicitamente a determinação dos juros e, também de forma implícita, representa o IR total sobre o número de períodos. CDB/RDB com taxas pós-fixadas A correção monetária deste título acompanha a evolução de um índice de preços definido para a operação. Os rendimentos nominais só serão conhecidos a posteriori. É composta por um indexador (que corrige os efeitos da inflação) e uma taxa real de juros. O imposto de renda incidirá na ocasião de resgate. Como o indexador corrige os efeitos da inflação, o cálculo do rendimento líquido só precisa levar em conta a taxa bruta e o imposto de renda. A taxa líquida é definida a partir da expressão: rL = rb x (1 – IR) Exemplo numérico Suponha rb = 12% e IR = 25% O retorno líquido será de 0,12 x 0,75 = 9% Taxa prefixada x Taxa pós-fixada A taxa prefixada é vantajosa apenas até o ponto em que a inflação não supere as expectativas. Enquanto a inflação estiver abaixo da expectativa, há expressivos ganhos reais. Quando a inflação passa deste patamar, os juros reais são consumidos e o investimento pode chegar a apresentar uma rentabilidade negativa (caso em que o hiato entre a inflação e a expectativa de inflação superam os juros reais). A taxa pós-fixada sempre irá, com a condição de que o indexador seja representativo da economia, preservar o valor do capital contra a inflação. No entanto, não há possibilidade de ganhos maiores no caso em que a inflação se encontre abaixo das expectativas. Inflação esperada > Inflação verificada; prefere-se a taxa prefixada Inflação esperada = Inflação verificada; operações equivalentes Inflação esperada < Inflação verificada prefere-se a taxa pós-fixada Desmembramento da taxa prefixada Vimos que a taxa prefixada tem um componente relacionado à expectativa de inflação e outro relacionado à taxa de juros reais. Ainda, a taxa de juros reais pode ser desmembrada em: (1) taxa livre de risco da economia, dita pura; (2) remuneração pelo risco da operação. A taxa bruta prefixada desta forma, passa a depender não de 2, mas de 3 fatores, a saber: expectativa de inflação; taxa livre de risco e remuneração pelo risco. Diferentes variação dos índices de preços O índice escolhido para a correção monetária de um título pode destoar dos índices utilizados pelo mercado. Quando os preços de mercado evoluem de forma mais rápida do que prevê o indexador, dizemos que a correção está defasada e o capital investido perde valor. Caso contrário, o capital ganha valor. Custo de Captação com Recolhimento Compulsório Reprodução do exemplo do livro “Admita que uma instituição financeira tenha colocado no mercado um CDB de sua emissão pagando a taxa efetiva de 15,3% a.a. O prazo de colocação do título é de 63 dias. O Banco Central, para formação de um depósito compulsório, recolhe 8% do principal captado pela instituição financeira pelo prazo de emissão do título, liberando o valor retido somente quando de sua liquidação. Durante todo o período da operação, o Banco Central não paga qualquer remuneração sobre o valor retido. Pede-se determinar: a) Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título. Considere uma alíquota de 20% incidindo sobre a remuneração. ... b) Valor líquido de resgate do aplicador, admitindo que tenha investido $ 200.000,00 ... c) Custo Efetivo do CDB para a Instituição Financeira emitente ...” a) ib = (1,153)63/360 – 1 = 2,52% p/ 63 dias ib = (1,153) 301360 - 1 = 1,19% a.m. iL = 1,19% x (1- 0,20) = 0,95% a.m. b) VB = 200.000 * 0,0252 = 5.040 VL = 0,8 * 5040 = 4032 c) Custo Efetivo = [ 205.040 – (8% x 200.000)] / [200.000 – (8% x 200.000)] – 1 = = 2,74% considerando um período de 63 dias 1,0274 30/63 = 1,29% a.m. 2. Debêntures “...são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto, visando financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro”. A cada emissão, todas as condições do título são especificadas, como garantias, prazos de vencimento, bônus. Divididos em: (1) simples; quando apenas é possível resgatá-lo em dinheiro e (2) conversíveis em ações. Os investidores costuma receber os juros 2 vezes ano, com possibilidade de adicionais (para manter a atratividade do investimento). Podem prever, também, correção monetária. Debêntures garantem preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa. Exemplo (adaptado): 500 debêntures no mercado, cada um no valor de R$ 1.000 efornecendo 15% de juros nominais por semestre. O principal é pago no resgate. A colocação das debêntures no mercado representou um custo de 8% sobre o valor colocado. VB captação = 500 x 1000 = 500.000 VL = (92% * 500.000) = 460.000 Encargos semestrais = 15% x 500.000 = 75.000 A taxa efetiva, pelo método dos fluxos descontados, é de 17,97% a.s ou 39,17% a.a. 3. Obrigações (Bônus) Outro tipo de título que visa o financiamento dos investimentos de uma entidade. Podem ser emitidos por empresas privadas ou órgãos governamentais. Zero Cupom Bound Título emitido sem cupom de juros, é negociado no mercado com desconto. Este título é caracterizado por não prever pagamento de juros. O investidor recebe apenas o valor investido e o preço do cupom. Seu preço de negociação é dado pelo valor presente do seu valor de face. A taxa de desconto considerada é a expectativa de remuneração do investidor. E expressão que fornece o preço do título é P0 = Cn / (1 + K); onde Cn = valor de resgate, K = taxa de retorno exigida Exemplo (adaptado): Cn = 1150, K = 15%, seu preço será: P0 = 1150 / 1,15 = 1000 O título será negociado a 1000 Conforme o tempo passa, o valor do título se aproxima do seu Valor de Face. Segue a lógica dos fluxos descontados, quão menor o período a ser descontado, menor será o desconto. Reprodução do Livro: “O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto. Quanto maior o prazo transcorrido do título, seu preço converge ao valor de face”. Títulos (Bônus) com cupons Diferente do caso anterior, esses títulos fornecem juros periódicos, além da devolução do principal na data de vencimento do título. São títulos, geralmente, de longo prazo (5 a 30 anos). Acontece que podem ocorrer variações nos juros prometidos pelo título, causando também mudanças no valor de negociação do título. O preço de negociação desse título é dado pela soma do valor presente dos fluxos esperados descontados por uma taxa. Essa taxa é considerada o limite inferior dos retornos esperados para que o investimento seja atrativo. P0 = [ C1 / (1 + K1) + C1 / (1 + K2) + ... Cn + Pn / (1 + Kn)] O método de cálculo, em sua essência, não se diferencia dos títulos sem cupons (Fluxos Descontados). Algumas Considerações Yeld to Maturity – YTM Reflete o rendimento do título até a data do seu vencimento. É uma taxa que iguala os fluxos de entrada e os fluxos de saída. A partir da ótica do Valor Presente Líquido, é a taxa que zera esse valor. YTM e IRR A YTM geralmente é expressa como uma taxa nominal anual. A IRR é uma taxa efetiva de juros. Ela representa o quanto um determinado investimento é capaz de gerar retornos sobre um principal investido. Se IRR = 0, houve apenas ressarcimento do valor investido. Considerando o valor do dinheiro no tempo, não basta que uma IRR seja positiva para que o investimento seja considerado atrativo. A IRR precisa ser superior a uma taxa mínima de atratividade. Relação entre valor do título e taxa de desconto Os títulos podem ser renegociados no mercado. Pelos métodos que já analisamos, quão maior for a taxa de retorno exigida pelos investidores, menor será o preço de um titulo. Tributação vigente das aplicações de renda fixa A legislação brasileira prevê dois tipos de tributação: (1) Imposto de Renda (IR): incide sobre a fonte e leva em conta a diferença entre o valor investido e o valor de resgate. Quão maior for o prazo da aplicação, menor a alíquota do imposto. Variam de 22,5%, para as operações de CP, até 15%, para prazos acima de 2 anos comerciais. (2) Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): A principal diferença entre esta e a modalidade anterior é que só há incidência deste tipo de imposto quando o resgate é feito antes que a aplicação complete 30 dias. É uma forma de evitar uma retirada massiva imprevista.