Pratica 3 - Experimento Pendulo Simples: Introducao e Analise

Pratica 3 O pˆendulo simples 31 Introducao O movimento de rotacao da Terra e uma especie de cronˆometro 1 As posicoes ins tantˆaneas do Sol no ceu durante o dia ou de algumas estrelas no ceu noturno sao capa zes de nos fornecer alguma orientacao temporal Se o clima estiver bom relogios solares podem marcar intervalos de tempo durante o dia como uma sequˆencia de posicoes da sombra de sua cunha Embora dispositivos de cronometragem de diversas naturezas como relogios dagua velas acesas ou ampulhetas possuam uma historia de milˆenios durante muito tempo podese dizer que precisao nao era uma prioridade lembrando que as relacoes sociais eram sobretudo locais Figura 31 a Galileu Galilei b Interior da Catedral de Pisa e o candelabro de Galileu Provavelmente ninguem sabe quando pˆendulos surgiram no pensamento humano No en tanto e razoavel supor que eles foram objetos de interesse a partir do momento em que a humanidade percebeu que era preciso satisfazer certas necessidades basicas rotineira mente introduzindo uma maneira de se dividir o tempo em intervalos regulares Historicamente e comum associar as primeiras observacoes cientıficas do pˆendulo a Galileu Galilei 1554 1642 De acordo com a lenda em 1583 Galileu observou um acendedor de lˆampadas empurrar um dos candelabros suspensos na estrutura da Catedral de Pisa Galileu entao cronometrou as oscilacoes do candelabro com o pulso de seu coracao e concluiu que mesmo com a amplitude das oscilacoes diminuindo o perıodo de cada oscilacao era uma constante Seria essa a descoberta aparente de Galileu do isocronismo 1 2 aproximado para o movimento do pˆendulo Em 1637 ele se deu conta da possibilidade de usar o pˆendulo como um mecanismo de batimento central em relogios Este e o momento decisivo no qual a historia do relogio de pˆendulo pode ser dita iniciada Neste experimento observaremos o movimento de um pˆendulo simples composto por um fio longo e inextensıvel de comprimento ℓ e massa desprezıvel e uma esfera macica de raio R e massa m estudando a dependˆencia de seu perıodo de oscilacao i com a amplitude inicial de lancamento e ii com o comprimento efetivo do fio ℓ R Com o primeiro estudo determinaremos em que regime de amplitudes inicias de lancamento o resultado verificado por Galileu e verdadeiro Com o segundo determinaremos se existe uma lei de potˆencia que relacione o perıodo do pˆendulo e o comprimento efetivo de seu fio Para tanto precisaremos dos seguintes materiais e utilizaremos as seguintes propostas experimentais 32 Material Cronˆometro do computador ou temporizador do smartphone Regua Paquımetro Pˆendulo simples Folhas brancas Computador com programa grafico para a analise de dados Papel de grafico para a analise de dados 33 Proposta experimental 331 Dependˆencia do perıodo com a amplitude inicial Planejamento Primeiro faremos um estudo da dependˆencia do perıodo do pˆendulo com a amplitude inicial Verifique a precisao e o funcionamento basico de todos os equipamentos que serao utilizados Meca o diˆametro da esfera na extremidade do pˆendulo Ajuste o comprimento efetivo ℓ R do pˆendulo para cerca de 80 cm Utilizaremos um intervalo de amplitudes iniciais de 0o a 50o correspondendo para ℓ R 80 cm a x variando de 0 cm a cerca de 70 cm veja a Fig 32 Calcule os valores de x correspondendo aos ˆangulos de 5o a 50o Divida uma folha de papel branco em duas de forma a obter uma tira com compri mento maior que 70 cm Utilizando uma das extremidades do papel como referˆencia x 0 cm marque no papel os valores de x determinados no item anterior 30 de Junho de 2019 332 Dependˆencia do perıodo com o comprimento do fio 3 Figura 32 Esquema basico do pˆendulo simples Fixe o papel na parede com fita adesiva com a extremidade de referˆencia corres pondendo a posicao em que o pˆendulo esta em repouso Realizacao Faca 3 medidas de perıodo para cada ˆangulo inicial Para melhorar a precisao das medidas vocˆe devera medir o tempo total de cinco oscilacoes consecutivas Para simplificar a notacao vamos definir T 5T como sendo o tempo total Insira os dados em uma tabela semelhante a mostrada abaixo x cm θ rad senθ T 1 s T 2 s T 3 s T1 s T2 s T3 s 332 Dependˆencia do perıodo com o comprimento do fio Planejamento A partir do estudo da dependˆencia do perıodo com a amplitude avalie em qual intervalo de ˆangulos o perıodo do pˆendulo simples nao varia apreciavelmente Ajuste o comprimento efetivo ℓ R do pˆendulo para cerca de 020 m inicialmente Utilizaremos um intervalo de ℓ R de 020 m a 120 m Realizacao 1 Varie o comprimento do fio em passos de 10 cm e meca o perıodo para cada com primento Para melhorar a precisao das medidas vocˆe devera medir o tempo total de varias oscilacoes consecutivas Para simplificar a notacao vamos definir T nT como sendo o tempo total de n oscilacoes consecutivas Preencha uma tabela seme lhante a mostrada abaixo com os dados medidos 30 de Junho de 2019 ℓ cm ℓ R cm T s n T s 34 Análise dos dados 1 Para a análise da dependência do período com a amplitude inicial construa a tabela a seguir com os valores do ângulo inicial o período médio para cada amplitude T e o seu desvio padrão dispersão das medições δT estes dois últimos obtidos através do método usual Vide Material da disciplina Física Experimental I θ0 rad T s δT s 2 Faça o gráfico de T e δT em função de θ0 no QtiPlot e no papel milimetrado Inclua no gráfico Qtiplot e no papel uma curva contínua correspondente à Eq352 3 Para a análise da dependência do período com o comprimento efetivo do fio faça um gráfico do período versus ℓ R no papel dilog Obtenha os valores dos coeficientes relacionados à curva obtida 4 Leia o modelo para este experimento na seção seguinte e relacione os coeficientes obtidos a partir do gráfico com parâmetros físicos relevantes 35 Modelo O pêndulo simples é um modelo simplificado de um pêndulo real ou seja uma massa suspensa por um fio longo e inextensível sob a ação da gravidade g como esquematizado na Figura 32 Essa massa é considerada puntiforme porque seu raio R é muito menor que o comprimento do fio ℓ Aplicando a segunda lei de Newton a esfera obtemos a seguinte equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo d2θdt2 gℓ R senθ 0 351 A partir desta equação podese mostrar que o período do pêndulo T em função da amplitude inicial θ0 é dado por 2 Tθ0 2πℓ Rg 1 116 θ02 352 Na Fig33 apresentamos um exemplo de comparação entre dados experimentais e a curva calculada usando o modelo da Eq352 30 de Junho de 2019 Figura 33 Exemplo de comparação entre dados experimentais pontos e barras de erros e a curva calculada usando o modelo da Eq352 linha contínua A linha pontilhada corresponde a 2πℓ Rg Para pequenas amplitudes 1 θ0 1 rad a equação diferencial 351 pode ser aproximada por d2θdt2 gℓ R θ 0 353 que é a equação de um oscilador harmônico simples e cuja solução tem a forma θt θ0 sen 2πT0 t 354 onde T0 2πℓ Rg é o período de oscilação e θ0 é a amplitude inicial de oscilação Repare que T0 é exatamente o fator em evidência na Eq 352 mostrando que para θ0 1 o período da solução para pequenas amplitudes Eq 354 coincide com o período esperado pela solução exata da Eq 352 Avaliamos se a aproximação de pequenas amplitudes é razoável observando o gráfico de θ senθ em função de θ na Fig 34 30 de Junho de 2019 Figura 34 Podemos avaliar a adequação da aproximação de pequenas amplitudes neste gráfico buscando o valor desejado para θ senθ e verificando até que valor de θ podemos utilizála Referências 1 Michael R Matthews Colin F Gauld and Arthur Stinner The Pendulum Scientific Historical Philosophical and Educational Perspectives Springer Netherlands 1st 2005 2 M Turkyilmazoglu Improvements in the approximate formulae for the period of the simple pendulum European Journal of Physics 3151007 2010 30 de Junho de 2019