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Ciência e Tecnologia ·
Cálculo Diferencial e Integral 1
· 2021/2
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Capítulo 8 Funções Polinomiais Neste capítulo serão estudadas as funções polinomiais um tipo específico de funções reais bastante comuns em Matemática Na Seção 81 serão apresentadas as classes de funções polinomiais mais conhecidas Já a Seção 82 introduzirá a definição de função polinomial de fato bem como conceitos inerentes a funções polinomiais de forma geral 81 Funções Polinomiais Especiais Iniciaremos o estudo das funções polinomiais com algumas funções comuns que podem ser classificadas como polinomiais a saber as funções lineares Seção 811 as funções afins Seção 812 e as funções quadráticas Seção 813 811 Funções Lineares É algo comum escutar a seguinte frase Em matemática eu resolvo tudo com regra de três Será mesmo que isto é possível Por exemplo o lado do quadrado e sua área são proporcionais 8111 Introdução As funções lineares são usadas para modelar problemas de proporcionalidade direta Quando duas grandezas são diretamente proporcionais podemos escrevêlas sob a lei de formação de uma função linear 8112 Definição Definição 81 Chamamos de função linear uma função real com lei de formação fx ax para algum a R Quando a 0 dizemos que f é identicamente nula Observação Note que sabendo que uma função é linear o valor de a é igual a f1 101 CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 102 No caso das grandezas inversamente proporcionais a fungaéo matematica que modela tal problema é uma fungao f R R tal que fx Nesse caso também temos a particularidade de que f1 a R A seguir veremos um teorema de grande relevancia para fungoes lineares Teorema 82 Teorema Fundamental da Proporcionalidade Seja f R R uma fungaéo crescente tal que f1 0 As seguintes afirmagées sao equivalentes i f é linear ii fy fx fy para quaisquer xy R iii fnx nfx para todo n Ze todo x ER Demonstragao Seja f R R uma fungao crescente Para provar que os trés itens sao equivalentes basta provar as implicagdes i ii ii iii e iii i e iii i A demonstragao deste fato esta fora do escopo deste texto e i ii Suponha que fx az para algum a R Sejam xy R Teremos fxyaey Definigao de f axay i fx fly Definigao de f e ii iii Suponha que fx y fx fy para todos xy R Provemos inicialmente que fx fx sempre que x R Para isso tomemos x R Note que fx f 22 fafea ii f2 fx F ii A igualdade fx fx fa fx implica que fx f2 Seja agora n Z Separaremos a prova de fnx nf a em casos Caso n 0 Temos que fnx fxa2 fa fa fe Gi eS nf x CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 103 Caso n 0 Temos que fnx f nz f nz fa fx para todo x R f n nfx Caso anterior pois n 0 nfx Caso n 0 Temos que fOx fa 2 fx fx ii fx fx f f x para todo R 0 0 fx Da verificagao dos trés casos concluimos que para quaisquer n Ze x R vale que fnx nf x O Observagao Um resultado andlogo ao do Teorema 82 é valido no caso de f ser decrescente com f1 0 A importancia do Teorema 82 esta no fato de que se quisermos saber se f R R é uma funcao linear nao identicamente nula basta verificar duas coisas 1 f écrescente com f1 0 ou decrescente com f1 0 2 fnxz nfx para todo x Re todo n Z No caso de 0 dominio e 0 contrado minio de f serem o conjunto R basta verificar a condigao para n N Exemplo 83 O lado de um quadrado é proporcional 4 sua area Em outras palavras essas duas grandezas podem ser relacionadas por meio de uma fungao linear Solugao O lado de um quadrado nao é proporcional a sua area Para chegar a um absurdo considere que o lado e a area de um quadrado sao diretamente proporcionais ou seja eles podem ser relacionados pela fungaéo linear A RE RL Ll ws Ad CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 104 que mapeia um ntmero a area A de um quadrado cujo lado mede Como A é linear entao A3 A1 2 A1 A2 pelo Teorema 82 No entanto A3 9 e A1 A2 14 5 levandonos a concluir que 9 5 o que evidentemente é falso Portanto 0 lado e a area de um quadrado nao sao diretamente proporcionais 812 Funcoes Afins 8121 Definigao Definigao 84 Uma fungao real chamase afim quando existem constantes ab R tais que fx axb para todo x R A constante a em particular é chamada de taza de variagao ou taxa de crescimento da fungao Observacaéo E muito comum se referir ao coeficiente a de uma funcao afim como coefici ente angular Esse termo nao é apropriado pois definese coeficiente angular para retas e nao para fungoes mesmo que o grafico de uma fungao afim seja uma reta Exemplo 85 A fungao identidade Zz relembre a Definigao 54 é afim assim como as fungoes reais com lei de formagao gx Zax b x 5 cujos graficos sao translagoes verticais de Zp Exemplo 86 As fungoes lineares fz ax e as fungoes constantes fx b sao casos especiais de fungoes afins Exemplo 87 O prego a se pagar por uma corrida de taxi é dado por uma fungao afim f xc axb em que zx é a distancia percorrida usualmente medida em quilémetros o valor inicial b é a chamada bandeirada e o coeficiente a é o prego de cada quilémetro rodado 8122 Grdafico Proposigao 88 O grafico de uma fungao afim fx ax b é uma reta Demonstragao Sejam fx ax b uma fungao afim e P 21 f1 Po 2 f x2 e P x3 fx3 pontos de seu grafico tais que 71 2 e Lg x3 Provemos que esses pontos sao colineares ou seja dP P3 dP P2 dP2 Ps onde dP P éa distancia entre os pontos P e P Para isso calculemos os valores de cada uma dessas CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 105 trés distancias dPi Pr awe B ar BY x2 21 ar2 24 x2 71 a 4 1x2 21 42 x1Va 1 dP2 P3 3 2 Va 1 dP P3 x3 2Va1 Temos de fato que dP P2 dP2 P3 tg 1Va 14 23 rVa 1 x3 21Va 1dP P3 Portanto o grafico da fungao afim é uma reta O Observagao Para desenhar o grafico de uma funcgao afim basta conhecer dois pontos pois uma reta é inteiramente determinada por dois pontos 8123 Funcoes Afins e PAs Proposigao 89 Seja f RR Se f 6 uma fungao afim e x1 r27 uma PA entao a sequéncia formada pelos pontos y fx 7 N 6 uma PA Reciprocamente se f for monotona e transformar qualquer PA 2 222 numa PA com termo geral yi fa i N entéo f é uma funcao afim Demonstragdao Seja f R R uma fungao afim e 2en uma PA de razaéo r Provemos que a sequéncia yienx onde y fx para cada i N é uma PA Para tanto seja n N Note que Yn1 Yn Fn1 f Xn Como f é afim existem ab R tais que fx ax b Logo Yn41 Un A2n41 h arn B ALn41 Ln ar Assim yien 6 uma PA pois ar é um valor constante Suponha reciprocamente que f 6 monotona e transforma qualquer PA 21 22j numa PA com termo geral y fx com i N Para provar que f é afim é suficiente verificar a linearidade da fungao gx tal que CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 106 fx gxf0 uma vez que gx seria da forma ax e f0 é constante Pelo Teorema 82 basta provar que gnx ngx para todo n Z e todo x R Note que gx fxf0 Seja agora xiiN uma PA Segue que fxiiN é uma PA de razão digamos r Assim a sequência fxi f0iN gxiiN também é uma PA de razão r Dessa forma podemos concluir que g também transforma uma PA em outra Considere a PA 0 x 2x 3x Temos que g0 gx g2x g3x também é uma PA com razão gx g0 No entanto g0 f0 f0 0 o que implica que a PA tem razão gx Pela fórmula do termo geral de uma PA com a1 g0 e an1 gnx concluímos que gnx g0 n gx n gx para todo n N Falta mostrar que gnx n gx para cada n Z tal que n 0 Para nos ajudar nessa tarefa vamos demonstrar que gx gx em que x R Primeiro note que para qualquer x R os números x 0 e x constituem uma PA e portanto gx g0 e gx também estão em PA Daí temos que gx g0 g0 gx No entanto g0 f0 f0 0 o que implica que gx gx Seja agora n Z tal que n 0 ou seja n N Calculemos gnx g nx ngx gmx mgx para m N n gx gk gk para k R ngx Demonstramos então que gnx ngx para todo n Z Pelo Teorema 82 g é linear isto é gx ax para algum a R Logo fx ax f0 Como a e f0 são constantes temos que f é afim Observação Na Khan Academy a definição de função linear é igual à definição de função afim aqui apresentada Essa definição trata como função linear qualquer uma em que seu gráfico é uma reta ou pontos colineares Atenção para essa diferença nas atividades online que envolvam esse tipo de função Atividade online Problemas de Modelos de Funções Lineares Atividade online Problemas de Como Escrever Funções Atividade online Funções Lineares e Não Lineares 813 Funções Quadráticas CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 107 8131 Definigao Definigao 810 Uma fungao f R R chamase quadrdatica quando existem nimeros reais abc com a 0 tais que fx ax br c para todo x ER Proposicaéo 811 Seja f uma funcgao quadratica da forma fx ax br c em que a 0 Mostre que f nao é limitada superiormente e que 0 ponto 2 3 é o minimo absoluto da fungao Caso tenhamos a 0 entao f nao é limitada inferiormente e o ponto Z 3 é o maximo absoluto da fungao Demonstracao Note que fx ax br e Proees alux a a 24524 4 b e a x L 2a 2a 2a a 2 oP e ar 4 2a 4a a 4 b 4 b dac ar 2a 4a 2 7 A arx 2a 4a A ultima expressdo é chamada de forma canénica da fungao quadratica Note que o termo 4 nao depende de x Assim se a 0 entaéo fx atingiré o seu minimo quando x by 0 isto é quando x 2 Além disso segue que fx é ilimitada superiormente pois x by também o é Teremos o minimo da fungao como sendo b A j 0 ar ae ee da O caso em que a 0 é analogo O Proposicgéo 812 Seja f uma funcgao quadratica da forma fx az br c Se fx1 fx2 para x7 Xo entao xr 2 sAo equidistantes de 2 ou seja oy ete 2 CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 108 Demonstragado Sejam x 2 tais que fx fx2 Assim 2 7 A 7 A aa s aart a SS at e 2a 4a 2a 4a 2a 2a fait y 2 2a 2a peat Vy v2 2a 2a b SS t XM 2 2a t122 b 2 2a Portanto x1 e X2 sao equidistantes de 2 O 8132 Grdafico Exemplo 813 O grafico da funcao quadratica fx ax é uma parabola cujo foco é F 0 a e cuja diretriz é a reta horizontal y z Ademais 0 vértice da parabola é a origem do plano cartesiano Proposicgéo 814 O grafico de uma funcdo quadratica fr ax br c 6 uma parabola tem a reta 7 2 como eixo de simetria e o ponto Z 3 é o vértice da parabola Demonstragao Da forma candnica da fungao quadratica temos que b A valx I t xn 4a Assim obtemos 0 grafico de f através do grafico de gx ax mediante um deslocamento vertical de e um deslocamento horizontal de Logo 0 vértice da parabola é o ponto 4 exr 2 é o eixo de simetria da parabola O Atividade online Problemas com Expressées do Segundo Grau Forma Padrdo Atividade online Faga o Grafico de Parabolas em Todas as Formas Atividade online Deslocamento de Pardabolas Atividade online Dimensionar e Refletir Pardbolas 82 Funcoes Polinomiais Gerais Nesta segao sera visto 0 caso mais geral de fungao polinomial Inicialmente na Segao 821 serao abordados os polinémios estritamente necessarios para o entendimento de CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 109 fungoes polinomiais Em seguida a Segao 822 introduziraé a definigao de fungao polino mial bem como algumas de suas propriedades Por fim na Segao 823 serao apresentadas algumas caracteristicas acerca do grafico de uma funcgao polinomial 821 Polinédmios Definigao 815 Polindmio Um polindmio é uma expressao formal do tipo PX aX dn 1X aX ao onde ao 1 Gn uma lista ordenada de ntimeros reais e X um simbolo chamado de indeterminada sendo X uma abreviatura para X X X i fatores Ao maior nimero n tal que a 0 damos o nome de grau do polindmio pX Definigao 816 Igualdade de Polinémios Dizemos que dois polindmios pX aX An1X 1 4 aX 49 GX by X bm X 1 b X p sao iguais quando nme a b para todo i 01 n Atividade online Verificagéo de Identidades Polinomiais 822 Definicgao Definigao 817 Dizse que p R Ré uma funao polinomial quando existem nimeros reais do Q1n tais que para todo x R temse px anx apy ax ao 81 Os elementos de p0 sao chamados de ratzes de p Exemplo 818 Além das fungoes lineares afins e quadraticas a soma e o produto de fungoes polinomiais sao fungoes polinomiais Considere a fungao polinomial p tal que px a 2 tar axr a 7 a Nesse caso dizemos que px é divistvel por x a Proposigao 819 Se a R raiz da fungao polinomial px de grau n entao existe uma fungao polinomial qx de grau n 1 tal que pa a a qx Além disso px nao pode ter mais do que n raizes CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 110 Demonstragao Seja px uma fungao polinomial de grau n ou seja px ax ax dg Teremos para a R px pa a a aix a a6 of Colocando 0 termo x a em evidéncia de cada parcela dos x a teremos p pla x aq2 82 em que qx um polinédmio de grau n 1 proveniente da fatoragaéo de x a pelo Exemplo 818 Agora se a é uma raiz de px entao pa 0 e 82 tem a forma px a aqx Ademais note que esse processo s6 pode ser repetido no maximo n vezes pois 0 grau de qx én 1 O Definigao 820 Uma funcao polinomial p chamase denticamente nula quando se tem px 0 para todo x ER Observagao Note que uma fungao polinomial identicamente nula tem uma infinidade de raizes jA que todo nimero real é raiz do polinédmio correspondente Isso nao contradiz a Proposigao 819 j4 que o grau de uma fungao polinomial nao esta definido para a fungao identicamente nula Teorema 821 Teorema de rafzes racionais Seja rx ax ap12 1 ax2a9 uma fungao polinomial de grau n e coeficientes inteiros Se 6 é uma fragao irredutivel e raiz de rx entao p é divisor de ag e g é divisor de ay O Teorema de raizes racionais 821 nos permite encontrar facilmente as raizes racio nais de um polinémio de coeficientes inteiros caso exista alguma Basta listar os divisores p de ag os divisores qg de a e testar se r 2 0 para todas as possiveis fragoes a Caso haja alguma raiz racional de rx ela estaraé entre as fracgoes obtidas Exemplo 822 Encontre todas as raizes reais do polindmio px 2x 3x 6x 12x 8 Solugao Considere a fungao polinomial px 2x 3x 6x 12x 8 Inicialmente calculemos as possiveis raizes racionais de px Para tanto listemos os divisores inteiros de e do 8 8 4 2 ce 1 ea2 H2eH1 CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 111 Assim pelo Teorema de raizes racionais 821 os candidatos 4 raiz racional de px sao 4 8 2 le 3 Obtidos através da divisao dos divisores de ap pelos divisores de a4 Apos calcular px para esses candidatos teremos que somente 2 e 5 sao as raizes racionais de p Verifique Segue da Proposicgao 819 que 1 px 5 2ala I 2 ow or e5 x 2 227 8 diviséo de polindmios Restanos calcular as raizes de qx 2x 8 Teremos 2n780 aw 4 Dessa forma qx nao possui raiz real e portanto as rafzes reais de px sao 2 e 3 Proposigao 823 Férmula de Interpolacgéo de Lagrange Dados n 1 ntmeros reais distintos 79 1y e fixados arbitrariamente Yo y1Yn reais existe um e somente um polinémio p de grau menor ou igual a n tal que PXo Yo P1 Y1 Vr Yn px pode ser obtido pela formula vt Xk ne 9 fw TT Z i0 kei SSE wR TV Elementar Interpolago polinomial 823 Grafico Quando se deseja tracgar o grafico ao menos um esboco de uma fungao polinomial qual quer px a2 dn1x 1ax24 ao certas informacoes sao de grande utilidade Algumas delas sao e Se n é par entao para x suficientemente grande px tem o mesmo sinal de a e Se n é impar entéo px tem o mesmo sinal de a para valores positivos muito grandes de x e tem o sinal oposto de a para valores negativos muito grandes em modulo de x CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 112 Exemplo 824 Sejam p1 p2 p3 e p4 funções polinomiais cujos gráficos são mostrados nas Imagens 81 82 83 e 84 Imagem 81 Gráfico da função p1 Imagem 82 Gráfico da função p2 CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 113 Imagem 83 Gráfico da função p3 Imagem 84 Gráfico da função p4 Para cada gráfico identifique se o grau n da função polinomial correspondente é par ou ímpar e qual o sinal de an Solução Note que nas funções dos gráficos nas Imagens 82 e 84 temse que para x suficientemente grande isto é para os maiores valores de x ou os menores valores de x px tem o mesmo sinal seja positivo Imagem 82 ou negativo Imagem 84 Se CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 114 n fosse ímpar então px seria positivo para os maiores valores de x e negativo para os menores maiores em módulo ou viceversa mas como vimos isso não é verdade Logo para essas funções n é par Ademais como na função da Imagem 82 px é positivo nos maiores valores de x temse que an também o é Na função da Imagem 84 px é negativo nos maiores valores de x Consequentemente seu an é negativo Nas funções dos gráficos nas Imagens 81 e 83 temos que o sinal de px nos maiores valores de x é diferente do sinal nos menores valores de x Se n fosse par então o sinal de px teria que ser o mesmo a saber o sinal de an Logo o valor de n de cada uma dessas funções é ímpar A função cujo gráfico é mostrado na Imagem 81 é positiva nos maiores valores de x o que quer dizer que an é positivo Já a função da Imagem 83 por outro lado é negativa nos maiores valores de x Assim an é negativo Outros fatos que nos ajudam a traçar gráficos de funções polinomiais são Se o grau de p é maior do que o grau de outra função polinomial q então para todo x com valor absoluto suficientemente grande temse px qx Sejam x1 x2 R Se px1 0 e px2 0 então p deve possuir uma raiz entre x1 e x2 Exemplo 825 Considere os polinômios px x7 e qx x3 Quando 0 x 1 temos que px qx Porém quando x 1 temos que px qx Além disso em ambos os casos p1 q1 1 0 e p1 q1 1 0 Assim os polinômios possuem cada um ao menos uma raiz no intervalo 1 1 a saber x 0 Imagem 85 Gráfico das funções p e q Atividade online Zeros de Polinômios e seus Gráficos CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 115 83 Exercícios Exercício 1 A escala N de temperaturas foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu A correspondência com a escala Celsius é a seguinte N C 0 18 100 43 Modele o problema com funções afins que transformem a temperatura em N em C e viceversa Qual a relação entre essas duas funções Em que temperatura ferve a água na escala N Exercício 2 Mostre que uma função afim f R R fica inteiramente determinada quando conhecemos fx1 e fx2 para x1 x2 Exercício 3 Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada no percurso Para uma certa escada observase que uma pessoa gasta 30 s na escada quando sobe 5 degraus e 20 s quando sobe 10 degraus Quantos são os degraus da escada e qual o tempo gasto no percurso Exercício 4 Uma aplicação financeira rende a juros simples quando os juros são calcu lados somente sobre a aplicação inicial durante todo o período de tempo Edson faz uma aplicação que rende juros j 0 em um mês Ou seja se ele investiu um capital inicial c0 então ao fim de 1 mês Edson poderia resgatar c c01 j Caso a aplicação renda juros simples defina uma função afim que calcule o capital cs em função do tempo t em meses da aplicação Exercício 5 Dada as PAs a1 a2 an de razão não nula e b1 b2 bn mostre que existe uma e somente uma função afim f R R tal que fa1 b1 fa2 b2 fan bn Exercício 6 Os termos a1 a2 an de uma PA são os valores f1 f2 fn de uma função afim tal que fn 0 para todo n N a Mostre que cada ai é igual à área de um trapézio delimitado pelo gráfico de f pelo eixo x e pelas retas verticais de equações x i 1 2 e x i 1 2 CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 116 b Mostre por indução que a soma Sn a1 a2 an é igual à área do trapézio delimitado pelo gráfico de f pelo eixo x e pelas retas verticais x 1 2 e x n 1 2 c Conclua a partir da área do trapézio que Sn a1an 2 n Exercício 7 Para cada uma das funções quadráticas abaixo escrevaa na forma fx axm2k A seguir calcule suas raízes se existirem o eixo de simetria de seu gráfico e seu valor mínimo e máximo a fx x2 8x 23 b fx 8x 2x2 c fx 2x2 16x 46 Exercício 8 Considere a função real f R R tal que fx x2 7x 12 a Calcule as raízes de f e qual x0 R é mínimo absoluto de f b Mostre que f é monótona crescente ou decrescente no intervalo x0 x R x x0 c Utilize os itens anteriores e o exercício 9 do Capítulo 4 para concluir que n2 7n 12 0 para todo n Z Exercício 9 Encontre os valores mínimo e máximo assumidos pela função fx x2 4x 3 em cada um dos intervalos abaixo a 1 4 CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 117 b 6 10 Dica Esboce o gráfico de fx nos intervalos indicados para visualizar melhor os valores mínimo e máximo assumidos pela função Exercício 10 Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais custo de uma excursão Todos contribuíram igualmente Na última hora dois alunos desistiram Com isso a parte de cada um sofreu um aumento de um real e vinte centavos Quantos alunos tem a turma Exercício 11 Considere o retângulo ABCD inscrito em uma circunferência de raio r 2 conforme ilustra a figura abaixo Imagem 86 Retângulo inscrito em circunferência a Qual a equação que determina y em função de x e r b Defina uma função polinomial incluindo domínio e contradomínio que receba o valor de x e retorne a área do retângulo c Quais os valores de x e y tais que a área do retângulo seja máxima Dica Obtenha o valor de x que maximiza a área ao quadrado pois é o mesmo que maximiza a área já que são valores positivos Ao encontrar um polinômio de grau 4 faça z x2 para calcular onde ocorre máximo do novo polinômio agora de grau 2 Exercício 12 Considere a função polinomial px x2 2 a Usando o Teorema de raízes racionais prove que px não possui raízes racionais b Mostre que 2 é raiz de px c Conclua que 2 é irracional Exercício 13 Considere a função polinomial px x2 q onde q N é um número primo CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 118 a Usando o Teorema de raízes racionais prove que px não possui raízes racionais b Mostre que q é raiz de px c Conclua que q é irracional Exercício 14 Determine o polinômio px de menor grau possível tal que p1 2 p2 1 p3 4 e p4 3 Exercício 15 Considere a função polinomial f R R com grau no máximo 4 tal que f2 16 f1 5 f0 4 f1 1 e f2 8 a Qual o polinômio que define a lei de associação da função f b Quais as raízes de f que se pode obter através do Teorema de Raízes Racionais c A função f ainda possui raízes Se sim quais Se não justifique por que não há mais raízes para f Exercício 16 Mostre que se n é um número par então o polinômio px xn xn1 x 1 não possui raiz real Dica Note que para x 1 px xn11 x1 Proceda supondo por contradição que existe a 1 raiz de px 84 Bibliografia 2 Gelson Iezzi Fundamentos de Matemática Elementar Vol 1 Conjuntos e Funções Editora Atual 5 Elon L Lima et al A Matemática do Ensino Médio Vol 1 9ª ed SBM 2006 Capítulo 9 Funções Exponenciais e Logarítmicas 91 Introdução As funções do tipo exponenciais modelam problemas nos quais o crescimento é calculado dependendo do valor no momento anterior como em juros compostos Por que será que a expressão crescimento exponencial é sinônimo de um crescimento muito acentuado Além disso a função exponencial é a única função real contínua que transforma somas em produtos ou seja fx y fx fy A função logarítmica que será apresentada na segunda parte desse capítulo é a inversa da função exponencial Por isso teremos que ela é a única função real contínua que transforma produtos em somas ou seja fxy fx fy 92 Funções Exponenciais 921 Definição Definição 91 Seja a um número real positivo diferente de 1 Chamamos de função exponencial uma função f R R com lei de formação fx ax O número a é chamado de base da função exponencial Definição 92 Dizemos que uma função f R R é de tipo exponencial quando fx b ax onde a b R b é não nulo e a é positivo e diferente de 1 Proposição 93 Propriedades Fundamentais da Função Exponencial Seja f R R uma função exponencial de base a Então para quaisquer x y R valem 119 CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 120 i a a a ou seja fa y fx fly ii at a ou seja f1 a a a quando a1 iii ry av a quando Oal Como consequéncias das propriedades listadas na Proposicgao 93 podese listar os seguintes resultados acerca de uma fungao exponencial f R R e f0 9Q ou seja f nao pode assumir o valor zero e fx 0 para todo x R e Ao escolhermos o conjunto R como contradominio de f obtemos a sobrejetividade da fungao e f é ilimitada superiormente e O grafico de f é uma linha continua e f é bijetiva e crescente se a 1 ou decrescente se 0 a 1 Demonstragao Serao apresentadas as demonstracoes dos dois primeiros itens apenas Os demais sao consequéncias imediatas dessas demonstragoes ou nao estao no escopo deste texto e Suponha que fz9 0 para algum zp R Agora seja y R Note que fy flao y 0 f0 fy to 0 Temos em particular que f1 0 porém f1 a 0 que contradiz o fato de que a base da funcgao exponencial nao é nula Portanto f0 0 e Seja x R Note que Lo 2 x x r fe F 545 5 G f Como fx 4 0 para todo x R temos que f 0 Portanto fx 0 para todo x ER O CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 121 922 Grafico Exemplo 94 Seja f R R uma funcao exponencial tal que fx a Na Ima gem 91 sao mostrados os graficos nos casos dea leOa 1 4 sx 3 fv 2 i 3 2 1 0 1 2 3 1 Imagem 91 Graficos da fungao f nos casos0 aleal O grafico de f nunca toca o eixo x mas fica tao pr6ximo quanto queiramos Isso equivale dizer que a reta y 0 é assintota do grafico de f Observagao Quando as bases de duas fungoes exponenciais sao uma o inverso multiplica tivo da outra o grafico de uma das fungoes consiste em uma reflexao do grafico da outra Em outras palavras se f R R é uma fungao exponencial tal que fx a entao a fungao g R R com regra gx é tal que 1 g a f2 a e conforme visto na Secgao 7222 o grafico de g é obtivel a partir do grafico de f refletindoo em relacgéo ao eixo y Ademais note que como a 0e a 1 temos que 1 al0l1 a Exemplo 95 O crescimento exponencial supera o de qualquer polindmio Ao compa rarmos por exemplo as fungoes fx 2 e px x temos que Oa 1077 27 1078 a 5877 x 2 x 5878 272 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 122 Na Imagem 92 são mostrados os gráficos das funções Podese perceber que a partir de certo valor de x o valor da função exponencial fica maior que o da polinomial Imagem 92 Gráficos das funções f e p Atividade online Problemas Algébricos de Expressões Exponenciais Atividade online Representação Gráfica de Crescimento e Decaimento Exponencial Atividade online Gráficos de Funções Exponenciais 923 Caracterização Teorema 96 Caracterização da Função Exponencial Seja f R R uma função monótona injetiva As seguintes afirmações são equivalentes i fnx fxn para todo n Z e todo x R ii fx ax para todo x R onde a f1 iii fx y fx fy para quaisquer x y R Demonstração i ii Esta prova está fora do escopo do texto ii iii Suponha que fx ax para todo x R Sejam x y R Note que fx y axy ax ay fx fy iii i Suponha que fx y fx fy para todo x y R Temos que fx fx 0 fx f0 Logo f0 1 fx0 Além disso para qualquer x R 1 f0 fx x fx fx CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 123 Logo f2 shy fe Sejam n Nee x ER Note que fna fta 2 fa fla f fa oO eS n termos n termos Agora sejam n Z ex ER Assim n Ne njl n fna f na fna Fy f L 924 Funcgoes Exponenciais e Progressoes Proposigao 97 Seja f RR Se f é uma fungao do tipo exponencial e x1 72 é uma PA entao a sequéncia formada pelos pontos y fx 7 N é uma PG Recipro camente se f for mon6tona injetiva e transformar qualquer PA 21 22j numa PG com termo geral y fx 7 N entao f uma fungaéo real tal que fz b a fQ com b f0ea F0 Demonstragao Seja f R R Inicialmente suponha que fx ba com ab R tais quea0eal1 Além disso suponha que 2y 6 uma PA de razao r Considere a sequéncia tal que b fa para cada i N Seja n N Temos que Dn44 f n41 Bb qentt gintitn ql Dn f n Bat Logo bj en uma PG Reciprocamente suponha que f é mondtona e injetiva e transforma qualquer PA vienx em uma PG y cy tal que y fv para todo i N Ademais tome b f0 Seja g R R tal que gx Lea Temos que g assim como f transforma PAs em PGs exercicio para o leitor Agora considere a g1 Note que g1 oF o que implica que a i e consequentemente f1 ba Note que para qualquer x R z 0 e x estaéo em PA Assim g2 g0 e gx estao em PG Como g0 0 a 1 essa PG tem razao oe gx Logo gx aa o que implica que l 1 g gx gx Ademais a PG g0 1 9x g2zgnx tem razao gx Logo gnx gx para todos n Ne aw R Como temos também que gx gx7 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 124 podemos concluir que gnx gxn para todos n Z e x R Segue do Teorema 96 que gx ax em que a g1 Assim fx b gx b ax com f0 b e f1 b a ou seja a f1 f0 93 Funções Logarítmicas 931 Definição Definição 98 A inversa da função exponencial de base a é a função logarítmica loga R R que associa a cada número real positivo x o número real loga x chamado logaritmo de x na base a No caso de a 10 escrevemos por simplicidade log10 x log x Observação Pela definição de função inversa temse aloga x x e loga ax x Assim loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x Em outras palavras y loga x ay x Proposição 99 Seja f R R uma função logarítmica tal que fx loga x Os seguintes valem para quaisquer x y b R b 1 e qualquer k R a loga xy loga x loga y b loga xk k loga x c loga 1 0 e loga a 1 d loga x logb x logb a e f é bijetiva com contradomínio R logo é ilimitada superiormente e inferiormente f O gráfico de f é traçado por uma linha contínua g f é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Demonstração Sejam x y b R com b 1 e k R CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 125 a Seja z R Ora zlogxlogy a aattBay Note que ql8a8a qla gla ry Logo zlogxlogy a aattBay wry zlogry Portanto log xy log x log y b Seja z R Ora zklog a ah Note que a 8 aleso x Logo zklog a a zlog 2 Portanto log k log x c Temos que a 1 e portanto log 1 0 d Note que 2 qe ploss2 98a les tle Com isso temos que log x log a log x Portanto log ae ce A fungaéo f tem inversa a saber a exponencial gx a e portanto pelo Teorema 517 é bijetiva Consequentemente sua imagem é o conjunto R o que implica que é ilimitada tanto superiormente quanto inferiormente f A explicacgao do porqué de o grafico de f ser tragado por uma linha continua esta fora do escopo do texto g Temos como uma das consequéncias da Proposigao 93 que a inversa de f ou seja f x a é crescente quando a 1 ou decrescente quando 0 a 1 além de ser bijetiva Logo sua inversa que é a propria funcgao f pela Definigao 59 também é crescente quando a 1 ou decrescente quando 0 a 1 Exercicio 11 Capitulo 5 O Atividade online Calculo de Logaritmos Avangado Atividade online Use as Propriedades dos Logaritmos CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 126 Atividade online Use a Regra da Mudança de Base dos Logaritmos 932 Gráfico Exemplo 910 Considere as funções logarítmicas tais que fx log2 x e gx log 1 2 x Os gráficos de f e g são apresentados abaixo Imagem 93 Gráficos das funções f e g Qual a relação entre os gráficos dessas funções Solução De modo geral o gráfico de hx logb x terá forma semelhante ao de f quando b 1 e semelhante ao de g quando 0 b 1 Agora verificaremos que o gráfico de g é um reflexo vertical do gráfico de f ou seja gx fx para todo x R Seja x R Note que gx log 1 2 x log2 x log2 1 2 log2 x log2 21 log2 x 1 fx Assim o gráfico de gx é simplesmente uma reflexão do gráfico de fx Mais geral mente se f e g são funções logarítmicas de base a e b respectivamente então a b 1 se e somente se o gráfico de g é reflexo vertical do gráfico de f exercício para o leitor Observação Já vimos que o crescimento exponencial supera o de qualquer polinômio Por ser a inversa da função exponencial a função logarítmica possui um crescimento muito lento Mesmo assim a função logarítmica é ilimitada superiormente Compare os gráficos abaixo CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 127 T s aa fx logax 2 1 0 1 2 3 4 1 Imagem 94 Graficos das fungoes f e g Atividade online Graficos de Fungées Logaritmicas 933 Caracterizagao Teorema 911 Caracterizacao da Funcgao Logaritmica Seja f R R uma funcao monotona injetiva tal que fxy fx fy para quaisquer xy R Entao existe a0 tal que fx log x para todo x R 934 O Nutmero ec e o Logaritmo Natural Definigao 912 Definimos o niimero e como sendo o nimero cujos valores aproximados por falta sao os nimeros racionais da forma 1 rE N n Em outras palavras quanto maior for n N melhor a aproximagao de 1 4 para e e ela se dé na medida que desejarmos Observagao O nimero e é irracional Um valor aproximado dessa importante constante é 2718281828459 Muito usado como base das fungdes exponenciais e logaritmicas principalmente no estudo dessas fungoes no Calculo Infinitesimal o logaritmo na base e é tratado de forma especial Definicgao 913 Denotamos log x Inzx e o chamamos de logaritmo natural CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 128 Atividade online Solução de Equações Exponenciais Usando Logaritmos Base 10 e Base e Atividade online Problemas com Modelos Exponenciais 94 Exercícios Exercício 1 Mostre que a função f Z R definida por fx ax é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Exercício 2 Mostre que a função f Q R definida por fx ax é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Exercício 3 Uma alga cresce de modo que em cada dia ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior a Defina uma função do tipo exponencial que modele o problema b Se uma alga cobre a superfície de um lago em 100 dias qual é o número de dias necessários para que três algas da mesma anterior cubram a superfície do mesmo lago c Defina uma função que recebe a quantidade inicial de algas e que calcule em quantos dias o lago estará coberto pelas algas Exercício 4 O gordinho Jaguatirica certo dia fez compras em 5 lojas de um shopping Em cada loja gastou metade do que possuía e pagou na saída R 200 de estacionamento Se após toda essa atividade ainda ficou com R 2000 que quantia ele tinha inicialmente Exercício 5 Se an é uma PA prove que bn definida por bn ean é uma PG Exercício 6 Existe exemplo de função crescente f N R tal que para todo x N a sequência fx fx 1 fx 2 fx n é uma progressão geométrica mas f não é do tipo fx b ax Exercício 7 Sejam x1 x2 xn uma PA f R R uma função do tipo expo nencial tal que fx bax e y1 y2 yn uma sequência tal que fxi yi para todo i N y1 y2 yn é uma PG Exercício 8 Uma aplicação rende a juros compostos se o rendimento diário é somado ao capital inicial para o cálculo dos juros dos dias seguintes Edson faz uma aplicação que rende juros j 0 em um mês Ou seja se ele investiu um capital inicial c0 então ao fim de 1 mês Edson poderia resgatar c c01 j igual à situação do Exercício 4 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 129 a Caso a aplicação renda juros composto defina uma função do tipo exponencial que calcule o capital cc em função do tempo t em meses da aplicação b Suponha que Edson precisará resgatar todo o dinheiro da aplicação em um tempo t menor que um mês É mais vantajoso aplicar com juros simples ou com juros compostos Compare com a função criada no Exercício 4 e utilize a Desigualdade de Bernoulli enunciada abaixo Desigualdade de Bernoulli Seja a R tal que a 1 Seja também b R Caso 0 b 1 Então 1 ab 1 ab Caso seja b 0 ou b 1 então 1 ab 1 ab Em ambos os casos a igualdade só é satisfeita quando a 0 c A conclusão do item anterior também é válida caso o tempo de aplicação fosse mais de 1 mês Exercício 9 Certa cidade teve seus casos de covid19 perfeitamente monitorados durante n dias Observouse que a sequência formada pela quantidade de casos acumulados a cada dia estavam em PG de razão q 1 a Se no primeiro dia foi detectado 1 caso expresse o termo geral da PG no iésimo dia do monitoramento b Defina uma função do tipo exponencial podendo ser uma translação ou uma dilata ção de uma função do tipo exponencial com domínio 1 n que modele o problema Existe alguma função que não seja do tipo exponencial ou seja que não se encaixe na descrição anterior que satisfaça o termo geral do item a para todo i 1 2 n Justifique c Estime em que momento do monitoramento a cidade passou a ter uma quantidade y de casos Exercício 10 Use as aproximações log 2 0 301 log 3 0 477 e log 5 0 699 para obter valores aproximados para a log 9 b log 18 c log 40 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 130 d log 50 e log 200 f log 3000 g log 0003 h log 081 i Os valores de x que satisfazem a equação 2x 3 j Os valores de x que satisfazem a equação 5x 2 Exercício 11 Mostre que logbn an logb a para todo a b n R e b 1 Exercício 12 Uma interpretação do logaritmo decimal é sua relação com a ordem de grandeza isto é com o número de algarismos na representação decimal As questões a seguir ex ploram essa relação a Considere o número x 589321503 Qual é a parte inteira de log x b Considere x 1 um número real cuja parte inteira tem k algarismos Use que a função logarítmica é crescente para mostrar que a parte inteira de log x é igual a k 1 c Generalizando o item anterior considere o sistema de numeração posicional de base b 2 Mostre que se a representação de um número real x 1 nesse sistema tem k algarismos então a parte inteira de logb x é igual a k 1 Exercício 13 UNIRIO1994 Um explorador descobriu na selva amazônica uma es pécie nova de planta e pesquisandoa durante anos comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula A 40 11t onde a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos Sabendose que log 2 030 e log 11 104 determine a A altura média em centímetros de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida b A idade em anos na qual a planta tem uma altura média de 16m Exercício 14 Considere x y R tais que x 10ky com k Z Qual é a relação entre log x e log y Exercício 15 Se an é uma PG com todos os termos positivos prove que bn definida por bn ln an é uma PA CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 131 Exercicio 16 O acidente do reator nuclear de Chernobyl URSS em 1986 langou na atmosfera grande quantidade do isétopo radioativo estréncio90 cuja meiavida tempo necessério para que uma substancia seja reduzida a metade da quantidade inicial é de vinte e oito anos ou seja sendo f a funcgao do tipo exponencial de base a que modele 0 a quantidade de estr6ncio90 em fungaéo do tempo temse f28 LO Supondo ser este isOtopo a tinica contaminacao radioativa e sabendo que o local podera ser conside rado seguro quando a quantidade de estréncio90 se reduzir por desintegragao a is da quantidade inicialmente presente em que ano o local podera ser habitado novamente Exercicio 17 A escala logaritmica é utilizada para representar certas grandezas ao invés da convencional escala linear Um exemplo é a escala Richter de terremotos Nessa escala a magnitude m de um terremoto é expressa em graus e medida através da fungao real 2 E mE log 2 gles 3 Onde EF é a energia liberada no terremoto medida em kWh e Ey 107 kWh a Ha 10 anos o Japao passou pelo seu terremoto de maior magnitude Esse terremoto gerou um tsunami que atingiu a cidade de Fukushima causando um acidente nuclear ha usina que havia lé O terremoto atingiu 91 na escala Richter Em novembro deste ano 0 maior terremoto do nosso estado completara 35 anos Ele ocorreu na cidade de Joao Camara e atingiu 51 na escala Richter Calcule a energia liberada em cada um desses terremotos usando uma calculadora somente uma vez para cada uma das situagoes Observagao O uso da calculadora s6 é permitido para o calculo de poténcias de base 10 e expoente racional em forma de fragao de nimeros inteiros Expresse esse resultado com duas casas decimais b Calcule a razao entre as energias liberadas em um terremoto de grau n 1 e outro de grau n ambos na escala Richter a fim de responder qual a relacao entre elas 95 Bibliografia 3 Gelson lezzi Fundamentos de Matematica Elementar Vol 2 Logaritmos Editora Atual 5 Elon L Lima et al A Matemdtica do Ensino Médio Vol 1 97 ed SBM 2006
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Capítulo 8 Funções Polinomiais Neste capítulo serão estudadas as funções polinomiais um tipo específico de funções reais bastante comuns em Matemática Na Seção 81 serão apresentadas as classes de funções polinomiais mais conhecidas Já a Seção 82 introduzirá a definição de função polinomial de fato bem como conceitos inerentes a funções polinomiais de forma geral 81 Funções Polinomiais Especiais Iniciaremos o estudo das funções polinomiais com algumas funções comuns que podem ser classificadas como polinomiais a saber as funções lineares Seção 811 as funções afins Seção 812 e as funções quadráticas Seção 813 811 Funções Lineares É algo comum escutar a seguinte frase Em matemática eu resolvo tudo com regra de três Será mesmo que isto é possível Por exemplo o lado do quadrado e sua área são proporcionais 8111 Introdução As funções lineares são usadas para modelar problemas de proporcionalidade direta Quando duas grandezas são diretamente proporcionais podemos escrevêlas sob a lei de formação de uma função linear 8112 Definição Definição 81 Chamamos de função linear uma função real com lei de formação fx ax para algum a R Quando a 0 dizemos que f é identicamente nula Observação Note que sabendo que uma função é linear o valor de a é igual a f1 101 CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 102 No caso das grandezas inversamente proporcionais a fungaéo matematica que modela tal problema é uma fungao f R R tal que fx Nesse caso também temos a particularidade de que f1 a R A seguir veremos um teorema de grande relevancia para fungoes lineares Teorema 82 Teorema Fundamental da Proporcionalidade Seja f R R uma fungaéo crescente tal que f1 0 As seguintes afirmagées sao equivalentes i f é linear ii fy fx fy para quaisquer xy R iii fnx nfx para todo n Ze todo x ER Demonstragao Seja f R R uma fungao crescente Para provar que os trés itens sao equivalentes basta provar as implicagdes i ii ii iii e iii i e iii i A demonstragao deste fato esta fora do escopo deste texto e i ii Suponha que fx az para algum a R Sejam xy R Teremos fxyaey Definigao de f axay i fx fly Definigao de f e ii iii Suponha que fx y fx fy para todos xy R Provemos inicialmente que fx fx sempre que x R Para isso tomemos x R Note que fx f 22 fafea ii f2 fx F ii A igualdade fx fx fa fx implica que fx f2 Seja agora n Z Separaremos a prova de fnx nf a em casos Caso n 0 Temos que fnx fxa2 fa fa fe Gi eS nf x CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 103 Caso n 0 Temos que fnx f nz f nz fa fx para todo x R f n nfx Caso anterior pois n 0 nfx Caso n 0 Temos que fOx fa 2 fx fx ii fx fx f f x para todo R 0 0 fx Da verificagao dos trés casos concluimos que para quaisquer n Ze x R vale que fnx nf x O Observagao Um resultado andlogo ao do Teorema 82 é valido no caso de f ser decrescente com f1 0 A importancia do Teorema 82 esta no fato de que se quisermos saber se f R R é uma funcao linear nao identicamente nula basta verificar duas coisas 1 f écrescente com f1 0 ou decrescente com f1 0 2 fnxz nfx para todo x Re todo n Z No caso de 0 dominio e 0 contrado minio de f serem o conjunto R basta verificar a condigao para n N Exemplo 83 O lado de um quadrado é proporcional 4 sua area Em outras palavras essas duas grandezas podem ser relacionadas por meio de uma fungao linear Solugao O lado de um quadrado nao é proporcional a sua area Para chegar a um absurdo considere que o lado e a area de um quadrado sao diretamente proporcionais ou seja eles podem ser relacionados pela fungaéo linear A RE RL Ll ws Ad CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 104 que mapeia um ntmero a area A de um quadrado cujo lado mede Como A é linear entao A3 A1 2 A1 A2 pelo Teorema 82 No entanto A3 9 e A1 A2 14 5 levandonos a concluir que 9 5 o que evidentemente é falso Portanto 0 lado e a area de um quadrado nao sao diretamente proporcionais 812 Funcoes Afins 8121 Definigao Definigao 84 Uma fungao real chamase afim quando existem constantes ab R tais que fx axb para todo x R A constante a em particular é chamada de taza de variagao ou taxa de crescimento da fungao Observacaéo E muito comum se referir ao coeficiente a de uma funcao afim como coefici ente angular Esse termo nao é apropriado pois definese coeficiente angular para retas e nao para fungoes mesmo que o grafico de uma fungao afim seja uma reta Exemplo 85 A fungao identidade Zz relembre a Definigao 54 é afim assim como as fungoes reais com lei de formagao gx Zax b x 5 cujos graficos sao translagoes verticais de Zp Exemplo 86 As fungoes lineares fz ax e as fungoes constantes fx b sao casos especiais de fungoes afins Exemplo 87 O prego a se pagar por uma corrida de taxi é dado por uma fungao afim f xc axb em que zx é a distancia percorrida usualmente medida em quilémetros o valor inicial b é a chamada bandeirada e o coeficiente a é o prego de cada quilémetro rodado 8122 Grdafico Proposigao 88 O grafico de uma fungao afim fx ax b é uma reta Demonstragao Sejam fx ax b uma fungao afim e P 21 f1 Po 2 f x2 e P x3 fx3 pontos de seu grafico tais que 71 2 e Lg x3 Provemos que esses pontos sao colineares ou seja dP P3 dP P2 dP2 Ps onde dP P éa distancia entre os pontos P e P Para isso calculemos os valores de cada uma dessas CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 105 trés distancias dPi Pr awe B ar BY x2 21 ar2 24 x2 71 a 4 1x2 21 42 x1Va 1 dP2 P3 3 2 Va 1 dP P3 x3 2Va1 Temos de fato que dP P2 dP2 P3 tg 1Va 14 23 rVa 1 x3 21Va 1dP P3 Portanto o grafico da fungao afim é uma reta O Observagao Para desenhar o grafico de uma funcgao afim basta conhecer dois pontos pois uma reta é inteiramente determinada por dois pontos 8123 Funcoes Afins e PAs Proposigao 89 Seja f RR Se f 6 uma fungao afim e x1 r27 uma PA entao a sequéncia formada pelos pontos y fx 7 N 6 uma PA Reciprocamente se f for monotona e transformar qualquer PA 2 222 numa PA com termo geral yi fa i N entéo f é uma funcao afim Demonstragdao Seja f R R uma fungao afim e 2en uma PA de razaéo r Provemos que a sequéncia yienx onde y fx para cada i N é uma PA Para tanto seja n N Note que Yn1 Yn Fn1 f Xn Como f é afim existem ab R tais que fx ax b Logo Yn41 Un A2n41 h arn B ALn41 Ln ar Assim yien 6 uma PA pois ar é um valor constante Suponha reciprocamente que f 6 monotona e transforma qualquer PA 21 22j numa PA com termo geral y fx com i N Para provar que f é afim é suficiente verificar a linearidade da fungao gx tal que CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 106 fx gxf0 uma vez que gx seria da forma ax e f0 é constante Pelo Teorema 82 basta provar que gnx ngx para todo n Z e todo x R Note que gx fxf0 Seja agora xiiN uma PA Segue que fxiiN é uma PA de razão digamos r Assim a sequência fxi f0iN gxiiN também é uma PA de razão r Dessa forma podemos concluir que g também transforma uma PA em outra Considere a PA 0 x 2x 3x Temos que g0 gx g2x g3x também é uma PA com razão gx g0 No entanto g0 f0 f0 0 o que implica que a PA tem razão gx Pela fórmula do termo geral de uma PA com a1 g0 e an1 gnx concluímos que gnx g0 n gx n gx para todo n N Falta mostrar que gnx n gx para cada n Z tal que n 0 Para nos ajudar nessa tarefa vamos demonstrar que gx gx em que x R Primeiro note que para qualquer x R os números x 0 e x constituem uma PA e portanto gx g0 e gx também estão em PA Daí temos que gx g0 g0 gx No entanto g0 f0 f0 0 o que implica que gx gx Seja agora n Z tal que n 0 ou seja n N Calculemos gnx g nx ngx gmx mgx para m N n gx gk gk para k R ngx Demonstramos então que gnx ngx para todo n Z Pelo Teorema 82 g é linear isto é gx ax para algum a R Logo fx ax f0 Como a e f0 são constantes temos que f é afim Observação Na Khan Academy a definição de função linear é igual à definição de função afim aqui apresentada Essa definição trata como função linear qualquer uma em que seu gráfico é uma reta ou pontos colineares Atenção para essa diferença nas atividades online que envolvam esse tipo de função Atividade online Problemas de Modelos de Funções Lineares Atividade online Problemas de Como Escrever Funções Atividade online Funções Lineares e Não Lineares 813 Funções Quadráticas CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 107 8131 Definigao Definigao 810 Uma fungao f R R chamase quadrdatica quando existem nimeros reais abc com a 0 tais que fx ax br c para todo x ER Proposicaéo 811 Seja f uma funcgao quadratica da forma fx ax br c em que a 0 Mostre que f nao é limitada superiormente e que 0 ponto 2 3 é o minimo absoluto da fungao Caso tenhamos a 0 entao f nao é limitada inferiormente e o ponto Z 3 é o maximo absoluto da fungao Demonstracao Note que fx ax br e Proees alux a a 24524 4 b e a x L 2a 2a 2a a 2 oP e ar 4 2a 4a a 4 b 4 b dac ar 2a 4a 2 7 A arx 2a 4a A ultima expressdo é chamada de forma canénica da fungao quadratica Note que o termo 4 nao depende de x Assim se a 0 entaéo fx atingiré o seu minimo quando x by 0 isto é quando x 2 Além disso segue que fx é ilimitada superiormente pois x by também o é Teremos o minimo da fungao como sendo b A j 0 ar ae ee da O caso em que a 0 é analogo O Proposicgéo 812 Seja f uma funcgao quadratica da forma fx az br c Se fx1 fx2 para x7 Xo entao xr 2 sAo equidistantes de 2 ou seja oy ete 2 CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 108 Demonstragado Sejam x 2 tais que fx fx2 Assim 2 7 A 7 A aa s aart a SS at e 2a 4a 2a 4a 2a 2a fait y 2 2a 2a peat Vy v2 2a 2a b SS t XM 2 2a t122 b 2 2a Portanto x1 e X2 sao equidistantes de 2 O 8132 Grdafico Exemplo 813 O grafico da funcao quadratica fx ax é uma parabola cujo foco é F 0 a e cuja diretriz é a reta horizontal y z Ademais 0 vértice da parabola é a origem do plano cartesiano Proposicgéo 814 O grafico de uma funcdo quadratica fr ax br c 6 uma parabola tem a reta 7 2 como eixo de simetria e o ponto Z 3 é o vértice da parabola Demonstragao Da forma candnica da fungao quadratica temos que b A valx I t xn 4a Assim obtemos 0 grafico de f através do grafico de gx ax mediante um deslocamento vertical de e um deslocamento horizontal de Logo 0 vértice da parabola é o ponto 4 exr 2 é o eixo de simetria da parabola O Atividade online Problemas com Expressées do Segundo Grau Forma Padrdo Atividade online Faga o Grafico de Parabolas em Todas as Formas Atividade online Deslocamento de Pardabolas Atividade online Dimensionar e Refletir Pardbolas 82 Funcoes Polinomiais Gerais Nesta segao sera visto 0 caso mais geral de fungao polinomial Inicialmente na Segao 821 serao abordados os polinémios estritamente necessarios para o entendimento de CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 109 fungoes polinomiais Em seguida a Segao 822 introduziraé a definigao de fungao polino mial bem como algumas de suas propriedades Por fim na Segao 823 serao apresentadas algumas caracteristicas acerca do grafico de uma funcgao polinomial 821 Polinédmios Definigao 815 Polindmio Um polindmio é uma expressao formal do tipo PX aX dn 1X aX ao onde ao 1 Gn uma lista ordenada de ntimeros reais e X um simbolo chamado de indeterminada sendo X uma abreviatura para X X X i fatores Ao maior nimero n tal que a 0 damos o nome de grau do polindmio pX Definigao 816 Igualdade de Polinémios Dizemos que dois polindmios pX aX An1X 1 4 aX 49 GX by X bm X 1 b X p sao iguais quando nme a b para todo i 01 n Atividade online Verificagéo de Identidades Polinomiais 822 Definicgao Definigao 817 Dizse que p R Ré uma funao polinomial quando existem nimeros reais do Q1n tais que para todo x R temse px anx apy ax ao 81 Os elementos de p0 sao chamados de ratzes de p Exemplo 818 Além das fungoes lineares afins e quadraticas a soma e o produto de fungoes polinomiais sao fungoes polinomiais Considere a fungao polinomial p tal que px a 2 tar axr a 7 a Nesse caso dizemos que px é divistvel por x a Proposigao 819 Se a R raiz da fungao polinomial px de grau n entao existe uma fungao polinomial qx de grau n 1 tal que pa a a qx Além disso px nao pode ter mais do que n raizes CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 110 Demonstragao Seja px uma fungao polinomial de grau n ou seja px ax ax dg Teremos para a R px pa a a aix a a6 of Colocando 0 termo x a em evidéncia de cada parcela dos x a teremos p pla x aq2 82 em que qx um polinédmio de grau n 1 proveniente da fatoragaéo de x a pelo Exemplo 818 Agora se a é uma raiz de px entao pa 0 e 82 tem a forma px a aqx Ademais note que esse processo s6 pode ser repetido no maximo n vezes pois 0 grau de qx én 1 O Definigao 820 Uma funcao polinomial p chamase denticamente nula quando se tem px 0 para todo x ER Observagao Note que uma fungao polinomial identicamente nula tem uma infinidade de raizes jA que todo nimero real é raiz do polinédmio correspondente Isso nao contradiz a Proposigao 819 j4 que o grau de uma fungao polinomial nao esta definido para a fungao identicamente nula Teorema 821 Teorema de rafzes racionais Seja rx ax ap12 1 ax2a9 uma fungao polinomial de grau n e coeficientes inteiros Se 6 é uma fragao irredutivel e raiz de rx entao p é divisor de ag e g é divisor de ay O Teorema de raizes racionais 821 nos permite encontrar facilmente as raizes racio nais de um polinémio de coeficientes inteiros caso exista alguma Basta listar os divisores p de ag os divisores qg de a e testar se r 2 0 para todas as possiveis fragoes a Caso haja alguma raiz racional de rx ela estaraé entre as fracgoes obtidas Exemplo 822 Encontre todas as raizes reais do polindmio px 2x 3x 6x 12x 8 Solugao Considere a fungao polinomial px 2x 3x 6x 12x 8 Inicialmente calculemos as possiveis raizes racionais de px Para tanto listemos os divisores inteiros de e do 8 8 4 2 ce 1 ea2 H2eH1 CAPITULO 8 FUNCOES POLINOMIAIS 111 Assim pelo Teorema de raizes racionais 821 os candidatos 4 raiz racional de px sao 4 8 2 le 3 Obtidos através da divisao dos divisores de ap pelos divisores de a4 Apos calcular px para esses candidatos teremos que somente 2 e 5 sao as raizes racionais de p Verifique Segue da Proposicgao 819 que 1 px 5 2ala I 2 ow or e5 x 2 227 8 diviséo de polindmios Restanos calcular as raizes de qx 2x 8 Teremos 2n780 aw 4 Dessa forma qx nao possui raiz real e portanto as rafzes reais de px sao 2 e 3 Proposigao 823 Férmula de Interpolacgéo de Lagrange Dados n 1 ntmeros reais distintos 79 1y e fixados arbitrariamente Yo y1Yn reais existe um e somente um polinémio p de grau menor ou igual a n tal que PXo Yo P1 Y1 Vr Yn px pode ser obtido pela formula vt Xk ne 9 fw TT Z i0 kei SSE wR TV Elementar Interpolago polinomial 823 Grafico Quando se deseja tracgar o grafico ao menos um esboco de uma fungao polinomial qual quer px a2 dn1x 1ax24 ao certas informacoes sao de grande utilidade Algumas delas sao e Se n é par entao para x suficientemente grande px tem o mesmo sinal de a e Se n é impar entéo px tem o mesmo sinal de a para valores positivos muito grandes de x e tem o sinal oposto de a para valores negativos muito grandes em modulo de x CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 112 Exemplo 824 Sejam p1 p2 p3 e p4 funções polinomiais cujos gráficos são mostrados nas Imagens 81 82 83 e 84 Imagem 81 Gráfico da função p1 Imagem 82 Gráfico da função p2 CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 113 Imagem 83 Gráfico da função p3 Imagem 84 Gráfico da função p4 Para cada gráfico identifique se o grau n da função polinomial correspondente é par ou ímpar e qual o sinal de an Solução Note que nas funções dos gráficos nas Imagens 82 e 84 temse que para x suficientemente grande isto é para os maiores valores de x ou os menores valores de x px tem o mesmo sinal seja positivo Imagem 82 ou negativo Imagem 84 Se CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 114 n fosse ímpar então px seria positivo para os maiores valores de x e negativo para os menores maiores em módulo ou viceversa mas como vimos isso não é verdade Logo para essas funções n é par Ademais como na função da Imagem 82 px é positivo nos maiores valores de x temse que an também o é Na função da Imagem 84 px é negativo nos maiores valores de x Consequentemente seu an é negativo Nas funções dos gráficos nas Imagens 81 e 83 temos que o sinal de px nos maiores valores de x é diferente do sinal nos menores valores de x Se n fosse par então o sinal de px teria que ser o mesmo a saber o sinal de an Logo o valor de n de cada uma dessas funções é ímpar A função cujo gráfico é mostrado na Imagem 81 é positiva nos maiores valores de x o que quer dizer que an é positivo Já a função da Imagem 83 por outro lado é negativa nos maiores valores de x Assim an é negativo Outros fatos que nos ajudam a traçar gráficos de funções polinomiais são Se o grau de p é maior do que o grau de outra função polinomial q então para todo x com valor absoluto suficientemente grande temse px qx Sejam x1 x2 R Se px1 0 e px2 0 então p deve possuir uma raiz entre x1 e x2 Exemplo 825 Considere os polinômios px x7 e qx x3 Quando 0 x 1 temos que px qx Porém quando x 1 temos que px qx Além disso em ambos os casos p1 q1 1 0 e p1 q1 1 0 Assim os polinômios possuem cada um ao menos uma raiz no intervalo 1 1 a saber x 0 Imagem 85 Gráfico das funções p e q Atividade online Zeros de Polinômios e seus Gráficos CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 115 83 Exercícios Exercício 1 A escala N de temperaturas foi feita com base nas temperaturas máxima e mínima em Nova Iguaçu A correspondência com a escala Celsius é a seguinte N C 0 18 100 43 Modele o problema com funções afins que transformem a temperatura em N em C e viceversa Qual a relação entre essas duas funções Em que temperatura ferve a água na escala N Exercício 2 Mostre que uma função afim f R R fica inteiramente determinada quando conhecemos fx1 e fx2 para x1 x2 Exercício 3 Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada no percurso Para uma certa escada observase que uma pessoa gasta 30 s na escada quando sobe 5 degraus e 20 s quando sobe 10 degraus Quantos são os degraus da escada e qual o tempo gasto no percurso Exercício 4 Uma aplicação financeira rende a juros simples quando os juros são calcu lados somente sobre a aplicação inicial durante todo o período de tempo Edson faz uma aplicação que rende juros j 0 em um mês Ou seja se ele investiu um capital inicial c0 então ao fim de 1 mês Edson poderia resgatar c c01 j Caso a aplicação renda juros simples defina uma função afim que calcule o capital cs em função do tempo t em meses da aplicação Exercício 5 Dada as PAs a1 a2 an de razão não nula e b1 b2 bn mostre que existe uma e somente uma função afim f R R tal que fa1 b1 fa2 b2 fan bn Exercício 6 Os termos a1 a2 an de uma PA são os valores f1 f2 fn de uma função afim tal que fn 0 para todo n N a Mostre que cada ai é igual à área de um trapézio delimitado pelo gráfico de f pelo eixo x e pelas retas verticais de equações x i 1 2 e x i 1 2 CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 116 b Mostre por indução que a soma Sn a1 a2 an é igual à área do trapézio delimitado pelo gráfico de f pelo eixo x e pelas retas verticais x 1 2 e x n 1 2 c Conclua a partir da área do trapézio que Sn a1an 2 n Exercício 7 Para cada uma das funções quadráticas abaixo escrevaa na forma fx axm2k A seguir calcule suas raízes se existirem o eixo de simetria de seu gráfico e seu valor mínimo e máximo a fx x2 8x 23 b fx 8x 2x2 c fx 2x2 16x 46 Exercício 8 Considere a função real f R R tal que fx x2 7x 12 a Calcule as raízes de f e qual x0 R é mínimo absoluto de f b Mostre que f é monótona crescente ou decrescente no intervalo x0 x R x x0 c Utilize os itens anteriores e o exercício 9 do Capítulo 4 para concluir que n2 7n 12 0 para todo n Z Exercício 9 Encontre os valores mínimo e máximo assumidos pela função fx x2 4x 3 em cada um dos intervalos abaixo a 1 4 CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 117 b 6 10 Dica Esboce o gráfico de fx nos intervalos indicados para visualizar melhor os valores mínimo e máximo assumidos pela função Exercício 10 Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais custo de uma excursão Todos contribuíram igualmente Na última hora dois alunos desistiram Com isso a parte de cada um sofreu um aumento de um real e vinte centavos Quantos alunos tem a turma Exercício 11 Considere o retângulo ABCD inscrito em uma circunferência de raio r 2 conforme ilustra a figura abaixo Imagem 86 Retângulo inscrito em circunferência a Qual a equação que determina y em função de x e r b Defina uma função polinomial incluindo domínio e contradomínio que receba o valor de x e retorne a área do retângulo c Quais os valores de x e y tais que a área do retângulo seja máxima Dica Obtenha o valor de x que maximiza a área ao quadrado pois é o mesmo que maximiza a área já que são valores positivos Ao encontrar um polinômio de grau 4 faça z x2 para calcular onde ocorre máximo do novo polinômio agora de grau 2 Exercício 12 Considere a função polinomial px x2 2 a Usando o Teorema de raízes racionais prove que px não possui raízes racionais b Mostre que 2 é raiz de px c Conclua que 2 é irracional Exercício 13 Considere a função polinomial px x2 q onde q N é um número primo CAPÍTULO 8 FUNÇÕES POLINOMIAIS 118 a Usando o Teorema de raízes racionais prove que px não possui raízes racionais b Mostre que q é raiz de px c Conclua que q é irracional Exercício 14 Determine o polinômio px de menor grau possível tal que p1 2 p2 1 p3 4 e p4 3 Exercício 15 Considere a função polinomial f R R com grau no máximo 4 tal que f2 16 f1 5 f0 4 f1 1 e f2 8 a Qual o polinômio que define a lei de associação da função f b Quais as raízes de f que se pode obter através do Teorema de Raízes Racionais c A função f ainda possui raízes Se sim quais Se não justifique por que não há mais raízes para f Exercício 16 Mostre que se n é um número par então o polinômio px xn xn1 x 1 não possui raiz real Dica Note que para x 1 px xn11 x1 Proceda supondo por contradição que existe a 1 raiz de px 84 Bibliografia 2 Gelson Iezzi Fundamentos de Matemática Elementar Vol 1 Conjuntos e Funções Editora Atual 5 Elon L Lima et al A Matemática do Ensino Médio Vol 1 9ª ed SBM 2006 Capítulo 9 Funções Exponenciais e Logarítmicas 91 Introdução As funções do tipo exponenciais modelam problemas nos quais o crescimento é calculado dependendo do valor no momento anterior como em juros compostos Por que será que a expressão crescimento exponencial é sinônimo de um crescimento muito acentuado Além disso a função exponencial é a única função real contínua que transforma somas em produtos ou seja fx y fx fy A função logarítmica que será apresentada na segunda parte desse capítulo é a inversa da função exponencial Por isso teremos que ela é a única função real contínua que transforma produtos em somas ou seja fxy fx fy 92 Funções Exponenciais 921 Definição Definição 91 Seja a um número real positivo diferente de 1 Chamamos de função exponencial uma função f R R com lei de formação fx ax O número a é chamado de base da função exponencial Definição 92 Dizemos que uma função f R R é de tipo exponencial quando fx b ax onde a b R b é não nulo e a é positivo e diferente de 1 Proposição 93 Propriedades Fundamentais da Função Exponencial Seja f R R uma função exponencial de base a Então para quaisquer x y R valem 119 CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 120 i a a a ou seja fa y fx fly ii at a ou seja f1 a a a quando a1 iii ry av a quando Oal Como consequéncias das propriedades listadas na Proposicgao 93 podese listar os seguintes resultados acerca de uma fungao exponencial f R R e f0 9Q ou seja f nao pode assumir o valor zero e fx 0 para todo x R e Ao escolhermos o conjunto R como contradominio de f obtemos a sobrejetividade da fungao e f é ilimitada superiormente e O grafico de f é uma linha continua e f é bijetiva e crescente se a 1 ou decrescente se 0 a 1 Demonstragao Serao apresentadas as demonstracoes dos dois primeiros itens apenas Os demais sao consequéncias imediatas dessas demonstragoes ou nao estao no escopo deste texto e Suponha que fz9 0 para algum zp R Agora seja y R Note que fy flao y 0 f0 fy to 0 Temos em particular que f1 0 porém f1 a 0 que contradiz o fato de que a base da funcgao exponencial nao é nula Portanto f0 0 e Seja x R Note que Lo 2 x x r fe F 545 5 G f Como fx 4 0 para todo x R temos que f 0 Portanto fx 0 para todo x ER O CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 121 922 Grafico Exemplo 94 Seja f R R uma funcao exponencial tal que fx a Na Ima gem 91 sao mostrados os graficos nos casos dea leOa 1 4 sx 3 fv 2 i 3 2 1 0 1 2 3 1 Imagem 91 Graficos da fungao f nos casos0 aleal O grafico de f nunca toca o eixo x mas fica tao pr6ximo quanto queiramos Isso equivale dizer que a reta y 0 é assintota do grafico de f Observagao Quando as bases de duas fungoes exponenciais sao uma o inverso multiplica tivo da outra o grafico de uma das fungoes consiste em uma reflexao do grafico da outra Em outras palavras se f R R é uma fungao exponencial tal que fx a entao a fungao g R R com regra gx é tal que 1 g a f2 a e conforme visto na Secgao 7222 o grafico de g é obtivel a partir do grafico de f refletindoo em relacgéo ao eixo y Ademais note que como a 0e a 1 temos que 1 al0l1 a Exemplo 95 O crescimento exponencial supera o de qualquer polindmio Ao compa rarmos por exemplo as fungoes fx 2 e px x temos que Oa 1077 27 1078 a 5877 x 2 x 5878 272 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 122 Na Imagem 92 são mostrados os gráficos das funções Podese perceber que a partir de certo valor de x o valor da função exponencial fica maior que o da polinomial Imagem 92 Gráficos das funções f e p Atividade online Problemas Algébricos de Expressões Exponenciais Atividade online Representação Gráfica de Crescimento e Decaimento Exponencial Atividade online Gráficos de Funções Exponenciais 923 Caracterização Teorema 96 Caracterização da Função Exponencial Seja f R R uma função monótona injetiva As seguintes afirmações são equivalentes i fnx fxn para todo n Z e todo x R ii fx ax para todo x R onde a f1 iii fx y fx fy para quaisquer x y R Demonstração i ii Esta prova está fora do escopo do texto ii iii Suponha que fx ax para todo x R Sejam x y R Note que fx y axy ax ay fx fy iii i Suponha que fx y fx fy para todo x y R Temos que fx fx 0 fx f0 Logo f0 1 fx0 Além disso para qualquer x R 1 f0 fx x fx fx CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 123 Logo f2 shy fe Sejam n Nee x ER Note que fna fta 2 fa fla f fa oO eS n termos n termos Agora sejam n Z ex ER Assim n Ne njl n fna f na fna Fy f L 924 Funcgoes Exponenciais e Progressoes Proposigao 97 Seja f RR Se f é uma fungao do tipo exponencial e x1 72 é uma PA entao a sequéncia formada pelos pontos y fx 7 N é uma PG Recipro camente se f for mon6tona injetiva e transformar qualquer PA 21 22j numa PG com termo geral y fx 7 N entao f uma fungaéo real tal que fz b a fQ com b f0ea F0 Demonstragao Seja f R R Inicialmente suponha que fx ba com ab R tais quea0eal1 Além disso suponha que 2y 6 uma PA de razao r Considere a sequéncia tal que b fa para cada i N Seja n N Temos que Dn44 f n41 Bb qentt gintitn ql Dn f n Bat Logo bj en uma PG Reciprocamente suponha que f é mondtona e injetiva e transforma qualquer PA vienx em uma PG y cy tal que y fv para todo i N Ademais tome b f0 Seja g R R tal que gx Lea Temos que g assim como f transforma PAs em PGs exercicio para o leitor Agora considere a g1 Note que g1 oF o que implica que a i e consequentemente f1 ba Note que para qualquer x R z 0 e x estaéo em PA Assim g2 g0 e gx estao em PG Como g0 0 a 1 essa PG tem razao oe gx Logo gx aa o que implica que l 1 g gx gx Ademais a PG g0 1 9x g2zgnx tem razao gx Logo gnx gx para todos n Ne aw R Como temos também que gx gx7 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 124 podemos concluir que gnx gxn para todos n Z e x R Segue do Teorema 96 que gx ax em que a g1 Assim fx b gx b ax com f0 b e f1 b a ou seja a f1 f0 93 Funções Logarítmicas 931 Definição Definição 98 A inversa da função exponencial de base a é a função logarítmica loga R R que associa a cada número real positivo x o número real loga x chamado logaritmo de x na base a No caso de a 10 escrevemos por simplicidade log10 x log x Observação Pela definição de função inversa temse aloga x x e loga ax x Assim loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x Em outras palavras y loga x ay x Proposição 99 Seja f R R uma função logarítmica tal que fx loga x Os seguintes valem para quaisquer x y b R b 1 e qualquer k R a loga xy loga x loga y b loga xk k loga x c loga 1 0 e loga a 1 d loga x logb x logb a e f é bijetiva com contradomínio R logo é ilimitada superiormente e inferiormente f O gráfico de f é traçado por uma linha contínua g f é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Demonstração Sejam x y b R com b 1 e k R CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 125 a Seja z R Ora zlogxlogy a aattBay Note que ql8a8a qla gla ry Logo zlogxlogy a aattBay wry zlogry Portanto log xy log x log y b Seja z R Ora zklog a ah Note que a 8 aleso x Logo zklog a a zlog 2 Portanto log k log x c Temos que a 1 e portanto log 1 0 d Note que 2 qe ploss2 98a les tle Com isso temos que log x log a log x Portanto log ae ce A fungaéo f tem inversa a saber a exponencial gx a e portanto pelo Teorema 517 é bijetiva Consequentemente sua imagem é o conjunto R o que implica que é ilimitada tanto superiormente quanto inferiormente f A explicacgao do porqué de o grafico de f ser tragado por uma linha continua esta fora do escopo do texto g Temos como uma das consequéncias da Proposigao 93 que a inversa de f ou seja f x a é crescente quando a 1 ou decrescente quando 0 a 1 além de ser bijetiva Logo sua inversa que é a propria funcgao f pela Definigao 59 também é crescente quando a 1 ou decrescente quando 0 a 1 Exercicio 11 Capitulo 5 O Atividade online Calculo de Logaritmos Avangado Atividade online Use as Propriedades dos Logaritmos CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 126 Atividade online Use a Regra da Mudança de Base dos Logaritmos 932 Gráfico Exemplo 910 Considere as funções logarítmicas tais que fx log2 x e gx log 1 2 x Os gráficos de f e g são apresentados abaixo Imagem 93 Gráficos das funções f e g Qual a relação entre os gráficos dessas funções Solução De modo geral o gráfico de hx logb x terá forma semelhante ao de f quando b 1 e semelhante ao de g quando 0 b 1 Agora verificaremos que o gráfico de g é um reflexo vertical do gráfico de f ou seja gx fx para todo x R Seja x R Note que gx log 1 2 x log2 x log2 1 2 log2 x log2 21 log2 x 1 fx Assim o gráfico de gx é simplesmente uma reflexão do gráfico de fx Mais geral mente se f e g são funções logarítmicas de base a e b respectivamente então a b 1 se e somente se o gráfico de g é reflexo vertical do gráfico de f exercício para o leitor Observação Já vimos que o crescimento exponencial supera o de qualquer polinômio Por ser a inversa da função exponencial a função logarítmica possui um crescimento muito lento Mesmo assim a função logarítmica é ilimitada superiormente Compare os gráficos abaixo CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 127 T s aa fx logax 2 1 0 1 2 3 4 1 Imagem 94 Graficos das fungoes f e g Atividade online Graficos de Fungées Logaritmicas 933 Caracterizagao Teorema 911 Caracterizacao da Funcgao Logaritmica Seja f R R uma funcao monotona injetiva tal que fxy fx fy para quaisquer xy R Entao existe a0 tal que fx log x para todo x R 934 O Nutmero ec e o Logaritmo Natural Definigao 912 Definimos o niimero e como sendo o nimero cujos valores aproximados por falta sao os nimeros racionais da forma 1 rE N n Em outras palavras quanto maior for n N melhor a aproximagao de 1 4 para e e ela se dé na medida que desejarmos Observagao O nimero e é irracional Um valor aproximado dessa importante constante é 2718281828459 Muito usado como base das fungdes exponenciais e logaritmicas principalmente no estudo dessas fungoes no Calculo Infinitesimal o logaritmo na base e é tratado de forma especial Definicgao 913 Denotamos log x Inzx e o chamamos de logaritmo natural CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 128 Atividade online Solução de Equações Exponenciais Usando Logaritmos Base 10 e Base e Atividade online Problemas com Modelos Exponenciais 94 Exercícios Exercício 1 Mostre que a função f Z R definida por fx ax é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Exercício 2 Mostre que a função f Q R definida por fx ax é crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Exercício 3 Uma alga cresce de modo que em cada dia ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior a Defina uma função do tipo exponencial que modele o problema b Se uma alga cobre a superfície de um lago em 100 dias qual é o número de dias necessários para que três algas da mesma anterior cubram a superfície do mesmo lago c Defina uma função que recebe a quantidade inicial de algas e que calcule em quantos dias o lago estará coberto pelas algas Exercício 4 O gordinho Jaguatirica certo dia fez compras em 5 lojas de um shopping Em cada loja gastou metade do que possuía e pagou na saída R 200 de estacionamento Se após toda essa atividade ainda ficou com R 2000 que quantia ele tinha inicialmente Exercício 5 Se an é uma PA prove que bn definida por bn ean é uma PG Exercício 6 Existe exemplo de função crescente f N R tal que para todo x N a sequência fx fx 1 fx 2 fx n é uma progressão geométrica mas f não é do tipo fx b ax Exercício 7 Sejam x1 x2 xn uma PA f R R uma função do tipo expo nencial tal que fx bax e y1 y2 yn uma sequência tal que fxi yi para todo i N y1 y2 yn é uma PG Exercício 8 Uma aplicação rende a juros compostos se o rendimento diário é somado ao capital inicial para o cálculo dos juros dos dias seguintes Edson faz uma aplicação que rende juros j 0 em um mês Ou seja se ele investiu um capital inicial c0 então ao fim de 1 mês Edson poderia resgatar c c01 j igual à situação do Exercício 4 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 129 a Caso a aplicação renda juros composto defina uma função do tipo exponencial que calcule o capital cc em função do tempo t em meses da aplicação b Suponha que Edson precisará resgatar todo o dinheiro da aplicação em um tempo t menor que um mês É mais vantajoso aplicar com juros simples ou com juros compostos Compare com a função criada no Exercício 4 e utilize a Desigualdade de Bernoulli enunciada abaixo Desigualdade de Bernoulli Seja a R tal que a 1 Seja também b R Caso 0 b 1 Então 1 ab 1 ab Caso seja b 0 ou b 1 então 1 ab 1 ab Em ambos os casos a igualdade só é satisfeita quando a 0 c A conclusão do item anterior também é válida caso o tempo de aplicação fosse mais de 1 mês Exercício 9 Certa cidade teve seus casos de covid19 perfeitamente monitorados durante n dias Observouse que a sequência formada pela quantidade de casos acumulados a cada dia estavam em PG de razão q 1 a Se no primeiro dia foi detectado 1 caso expresse o termo geral da PG no iésimo dia do monitoramento b Defina uma função do tipo exponencial podendo ser uma translação ou uma dilata ção de uma função do tipo exponencial com domínio 1 n que modele o problema Existe alguma função que não seja do tipo exponencial ou seja que não se encaixe na descrição anterior que satisfaça o termo geral do item a para todo i 1 2 n Justifique c Estime em que momento do monitoramento a cidade passou a ter uma quantidade y de casos Exercício 10 Use as aproximações log 2 0 301 log 3 0 477 e log 5 0 699 para obter valores aproximados para a log 9 b log 18 c log 40 CAPÍTULO 9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 130 d log 50 e log 200 f log 3000 g log 0003 h log 081 i Os valores de x que satisfazem a equação 2x 3 j Os valores de x que satisfazem a equação 5x 2 Exercício 11 Mostre que logbn an logb a para todo a b n R e b 1 Exercício 12 Uma interpretação do logaritmo decimal é sua relação com a ordem de grandeza isto é com o número de algarismos na representação decimal As questões a seguir ex ploram essa relação a Considere o número x 589321503 Qual é a parte inteira de log x b Considere x 1 um número real cuja parte inteira tem k algarismos Use que a função logarítmica é crescente para mostrar que a parte inteira de log x é igual a k 1 c Generalizando o item anterior considere o sistema de numeração posicional de base b 2 Mostre que se a representação de um número real x 1 nesse sistema tem k algarismos então a parte inteira de logb x é igual a k 1 Exercício 13 UNIRIO1994 Um explorador descobriu na selva amazônica uma es pécie nova de planta e pesquisandoa durante anos comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula A 40 11t onde a altura média A é medida em centímetros e o tempo t em anos Sabendose que log 2 030 e log 11 104 determine a A altura média em centímetros de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida b A idade em anos na qual a planta tem uma altura média de 16m Exercício 14 Considere x y R tais que x 10ky com k Z Qual é a relação entre log x e log y Exercício 15 Se an é uma PG com todos os termos positivos prove que bn definida por bn ln an é uma PA CAPITULO 9 FUNCOES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS 131 Exercicio 16 O acidente do reator nuclear de Chernobyl URSS em 1986 langou na atmosfera grande quantidade do isétopo radioativo estréncio90 cuja meiavida tempo necessério para que uma substancia seja reduzida a metade da quantidade inicial é de vinte e oito anos ou seja sendo f a funcgao do tipo exponencial de base a que modele 0 a quantidade de estr6ncio90 em fungaéo do tempo temse f28 LO Supondo ser este isOtopo a tinica contaminacao radioativa e sabendo que o local podera ser conside rado seguro quando a quantidade de estréncio90 se reduzir por desintegragao a is da quantidade inicialmente presente em que ano o local podera ser habitado novamente Exercicio 17 A escala logaritmica é utilizada para representar certas grandezas ao invés da convencional escala linear Um exemplo é a escala Richter de terremotos Nessa escala a magnitude m de um terremoto é expressa em graus e medida através da fungao real 2 E mE log 2 gles 3 Onde EF é a energia liberada no terremoto medida em kWh e Ey 107 kWh a Ha 10 anos o Japao passou pelo seu terremoto de maior magnitude Esse terremoto gerou um tsunami que atingiu a cidade de Fukushima causando um acidente nuclear ha usina que havia lé O terremoto atingiu 91 na escala Richter Em novembro deste ano 0 maior terremoto do nosso estado completara 35 anos Ele ocorreu na cidade de Joao Camara e atingiu 51 na escala Richter Calcule a energia liberada em cada um desses terremotos usando uma calculadora somente uma vez para cada uma das situagoes Observagao O uso da calculadora s6 é permitido para o calculo de poténcias de base 10 e expoente racional em forma de fragao de nimeros inteiros Expresse esse resultado com duas casas decimais b Calcule a razao entre as energias liberadas em um terremoto de grau n 1 e outro de grau n ambos na escala Richter a fim de responder qual a relacao entre elas 95 Bibliografia 3 Gelson lezzi Fundamentos de Matematica Elementar Vol 2 Logaritmos Editora Atual 5 Elon L Lima et al A Matemdtica do Ensino Médio Vol 1 97 ed SBM 2006