Lista - Questões Básicas Ga - 2024-1

Trabalho 02 Responder as questões justificando sua resposta enviar o trabalho no formato pdf 1 Responder o pedido a A passa pelo ponto e é paralela à reta Se o ponto determine m e n b Determine o ponto que pertence à reta que passa pelos pontos e 2 Determine um ponto e um vetor diretor da reta dada pelas seguintes equações simétricas Em seguida escreva as equações paramétricas das seguintes retas 3 Responder a Determine de modo que sejam ortogonais as retas e b Decidir se as retas e são o não concorrentes Caso afirmativo dê o ponto de intersecção 4 Responder a Obter uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e onde b Obter uma equação geral do plano que passa pelos pontos nos casos 5 Determine o ponto de interseção da reta com o plano onde 6 Calcular a Calcular a distância do ponto à reta dada pela intersecção de dois planos b Calcular a distância do ponto ao plano 7 Responder a Obtenha as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação geral dada por b Uma circunferência inscrita num quadrado tem equação Determine a equação da circunferência circunscrita a esse quadrado Esboçar o gráfico 8 Resolver a Determine a equação reduzida da elipse Esboçar o gráfico b Uma elipse de focos nos pontos e tem excentricidade Determine sua equação geral e esboçar o gráfico 9 Resolver a Determine o valor de as coordenadas do foco e do vértice e a equação da reta diretriz da parábola Esboçar seu gráfico b Determine a equação da parábola sabendose que seu foco esta à esquerda de numa reta paralela ao eixo e o ponto pertence à parábola Esboçar seu gráfico 10 Resolver c Determine as medidas dos eixos real e imaginário e as coordenadas dos focos da hipérbole de equação Esboçar o gráfico d Os pontos e são extremidades do eixo real de uma hipérbole cuja distância focal é 6 Determine a equação dessa hipérbole e esboçar seu gráfico QUESTÃO 1 Letra A Parábola I Parábola II Parábola III Parábola IV Letra B Equação reduzida da parábola 𝑥 𝑥02 4𝑝𝑦 𝑦0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑥 𝑥02 4𝑝𝑦 𝑦0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑦 𝑦02 4𝑝𝑥 𝑥0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑦02 4𝑝𝑥 𝑥0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 Onde 𝑥0𝑦0 é 𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒 𝑝 é 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑎𝑡é 𝑜 𝑓𝑜𝑐𝑜 Então Parábola I O foco está mais baixo que o vértice logo a concavidade é para baixo 𝑥 2 2 4 2𝑦 3 𝒙 𝟐𝟐 𝟖𝒚 𝟑 Parábola II O foco está mais a direita que o vértice logo a concavidade é para a direita 𝑦 1 2 4 3𝑥 2 𝒚 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝒙 𝟐 Parábola III O foco está mais acima que o vértice logo a concavidade é para cima 𝑥 4 2 4 5𝑦 1 𝒙 𝟒𝟐 𝟐𝟎𝒚 𝟏 Parábola IV O foco está mais a esquerda que o vértice logo a concavidade é para esquerda 𝑦 32 4 2𝑥 5 𝒚 𝟑𝟐 𝟖𝒙 𝟓 Letra C Equação geral da parábola Parábola I 𝑥 22 8𝑦 3 𝑥2 4𝑥 4 8𝑦 24 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟖𝒚 𝟐𝟎 𝟎 Parábola II 𝑦 12 12𝑥 2 𝑦2 2𝑦 1 12𝑥 24 𝒚𝟐 𝟐𝒚 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝒙 𝟎 Parábola III 𝑥 42 20𝑦 1 𝑥2 8𝑥 16 20𝑦 20 𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟐𝟎𝒚 𝟑𝟔 𝟎 Parábola IV 𝑦 32 8𝑥 5 𝑦2 6𝑦 9 8𝑥 40 𝒚𝟐 𝟔𝒚 𝟖𝒙 𝟒𝟗 𝟎 Letra D Equação explícita da parábola Parábola I 𝑥 22 8𝑦 3 𝑥2 4𝑥 4 8𝑦 24 8𝑦 𝑥2 4𝑥 20 𝒚 𝟏 𝟖 𝒙𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐𝟎 𝟖 Parábola II 𝑦 12 12𝑥 2 𝑦2 2𝑦 1 12𝑥 24 12𝑥 𝑦2 2𝑦 25 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 𝒚𝟐 𝟏 𝟔 𝒚 𝟐𝟓 𝟏𝟐 Parábola III 𝑥 42 20𝑦 1 𝑥2 8𝑥 16 20𝑦 20 20𝑦 𝑥2 8𝑥 36 𝒚 𝟏 𝟐𝟎 𝒙𝟐 𝟖 𝟐𝟎 𝒙 𝟑𝟔 𝟐𝟎 Parábola IV 𝑦 32 8𝑥 5 𝑦2 6𝑦 9 8𝑥 40 8𝑥 𝑦2 6𝑦 49 𝒙 𝟏 𝟖 𝒚𝟐 𝟔 𝟖 𝒚 𝟒𝟗 𝟖 Letra E Equação paramétrica da parábola A equação paramétrica é da seguinte forma Quando a parábola tem o eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas eixo dos y 𝑥 𝑥0 𝑡 𝑦 𝑦0 𝑡2 4𝑝 Quando a parábola tem o eixo de simetria paralelo ao eixo das abscissas eixo dos x 𝑥 𝑥0 𝑡2 4𝑝 𝑦 𝑦0 𝑡 Parábola I 𝒙 𝟐 𝒕 𝒚 𝟑 𝒕𝟐 𝟖 Parábola II 𝒙 𝟐 𝒕𝟐 𝟏𝟐 𝒚 𝟏 𝒕 Parábola III 𝒙 𝟒 𝒕 𝒚 𝟏 𝒕𝟐 𝟐𝟎 Parábola IV 𝒙 𝟓 𝒕𝟐 𝟖 𝒚 𝟑 𝒕 Letra F Achar as raízes da parábola Parábola I 𝑦 1 8 𝑥2 1 2 𝑥 20 8 1 8 𝑥2 1 2 𝑥 20 8 0 𝑥2 4𝑥 20 0 Δ 16 4120 16 80 96 𝑥 4 96 2 𝒙𝟏 𝟒 𝟗 𝟖 𝟐 𝟔𝟖𝟗 𝒙𝟐 𝟒 𝟗 𝟖 𝟐 𝟐 𝟗 Parábola II 𝑥 1 12 𝑦2 1 6 𝑦 25 12 1 12 𝑦2 1 6 𝑦 25 12 0 𝑦2 2𝑦 25 Δ 4 4125 Δ 4 100 96 𝐍ã𝐨 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐮𝐢 𝐫𝐚í𝐳𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐚𝐢𝐬 Parábola III 𝑦 1 20 𝑥2 8 20 𝑥 36 20 1 20 𝑥2 8 20 𝑥 36 20 0 𝑥2 8𝑥 36 0 Δ 64 4136 Δ 64 144 80 𝐍ã𝐨 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐮𝐢 𝐫𝐚í𝐳𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐚𝐢𝐬 Parábola IV 𝑥 1 8 𝑦2 6 8 𝑦 49 8 1 8 𝑦2 6 8 𝑦 49 8 0 𝑦2 6𝑦 49 0 Δ 36 4149 Δ 36 196 160 𝑵ã𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 QUESTÃO 2 Como é uma parábola temos que a distância de um ponto qualquer da parábola até o foco é igual a distância desse ponto até a reta diretriz Pelos dados da questão temos 𝐹13 𝑃𝑥 𝑦 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑦 3 Logo a concavidade é voltada para cima e o eixo de simetria é paralelo ao eixo dos y Temos que o vértice será 𝑉10 Já que o vértice está no mesmo alinhamento do foco e a mesma distância do foco e da reta diretriz que nesse caso é 3 e vale P Então 𝑑𝑃 𝐹 𝑑𝑃 𝑟 𝑥 12 𝑦 32 𝑦 3 𝑥 12 𝑦 32 𝑦 32 𝑥2 2𝑥 1 𝑦2 6𝑦 9 𝑦2 6𝑦 9 𝑥2 2𝑥 1 12𝑦 𝒚 𝟏 𝟏𝟐 𝒙𝟐 𝟏 𝟔 𝒙 𝟏 𝟏𝟐 QUESTÃO 3 Equação reduzida da parábola 𝑥 𝑥02 4𝑝𝑦 𝑦0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑥 𝑥02 4𝑝𝑦 𝑦0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑦 𝑦02 4𝑝𝑥 𝑥0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑦 𝑦02 4𝑝𝑥 𝑥0 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 Letra A Equação reduzida Concavidade para direita 𝑦 𝑦02 4𝑝𝑥 𝑥0 𝑦 12 4 1𝑥 1 𝒚 𝟏𝟐 𝟒𝒙 𝟏 Equação geral 𝑦2 2𝑦 1 4𝑥 4 𝒚𝟐 𝟐𝒚 𝟒𝒙 𝟓 𝟎 Letra B Equação reduzida Concavidade para cima 𝑥 𝑥02 4𝑝𝑦 𝑦0 Como o ponto 24 pertence a parábola ele satisfaz a equação acima 2 12 4𝑝4 3 1 4𝑝 𝑝 1 4 Então 𝒙 𝟏𝟐 𝟏𝒚 𝟑 Equação geral 𝑥2 2𝑥 1 𝑦 3 𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝒚 𝟒 𝟎 QUESTÃO 4 Cônica I 25𝑥2 9𝑦2 100𝑥 54𝑦 44 0 25𝑥2 100𝑥 9𝑦2 54𝑦 44 25𝑥2 4𝑥 9𝑦2 6𝑦 44 25𝑥2 4𝑥 4 9𝑦2 6𝑦 9 44 4 25 9 9 25𝑥 22 9𝑦 32 44 100 81 25𝑥 22 9𝑦 32 225 25 225 𝑥 22 9 225 𝑦 32 1 𝒙 𝟐𝟐 𝟗 𝒚 𝟑𝟐 𝟐𝟓 𝟏 Letra A 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝟐 𝟑 𝒂 𝟓 𝒃 𝟑 𝒄 𝟒 Letra B 𝒆 𝒄 𝒂 𝟒 𝟓 Letra C 𝑨𝟏𝟐𝟐𝑨𝟐𝟐𝟖𝑩𝟏𝟏 𝟑𝑩𝟐𝟓𝟑 Letra D 𝑭𝟏𝟐 𝟏 𝑭𝟐𝟐𝟕 Letra E Parametrização 𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos2 𝑡 1 𝑥 2 3 2 𝑦 3 5 2 1 𝑥 22 9𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑥 2 3𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒙 𝟐 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝑦 32 25 cos2 𝑡 𝑦 3 5 cos 𝑡 𝒚 𝟑 𝟓 𝐜𝐨𝐬𝒕 LETRA F Achar as raízes Se y0 25𝑥2 9𝑦2 100𝑥 54𝑦 44 0 25𝑥2 100𝑥 44 0 Δ 1002 42544 Δ 14400 𝑥1 100 120 50 𝒙𝟏 𝟒 𝟒 𝑥2 100 120 50 𝒙𝟐 𝟎𝟒 Se x0 25𝑥2 9𝑦2 100𝑥 54𝑦 44 0 9𝑦2 54𝑦 44 0 Δ 542 4944 Δ 4500 𝑦1 54 6708 18 𝒚𝟏 𝟔 𝟕𝟑 𝑦2 54 6708 18 𝒚𝟐 𝟎 𝟕𝟑 Cônica II 𝑥2 𝑦2 4𝑥 6𝑦 4 0 𝑥2 4𝑥 𝑦2 6𝑦 4 𝑥2 4𝑥 𝑦2 6𝑦 4 𝑥2 4𝑥 4 𝑦2 6𝑦 9 4 4 9 𝑥 22 𝑦 32 9 𝒙 𝟐𝟐 𝟗 𝒚 𝟑𝟐 𝟗 𝟏 NÃO É UMA ELIPSE Letra A 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐𝟐𝟑 𝒂 𝟑 𝒃 𝟑 𝒄 𝟎 Letra B 𝒆 𝒄 𝒂 𝟎 Letra C 𝑨𝟏𝟓 𝟑𝑨𝟐𝟏 𝟑𝑩𝟏𝟐 𝟔𝑩𝟐𝟐 𝟎 Letra D 𝑵ã𝒐 𝒕𝒆𝒎 𝑭𝑶𝑪𝑶 Letra E Parametrização 𝑠𝑒𝑛2𝑡 cos2 𝑡 1 𝑥 2 3 2 𝑦 3 3 2 1 𝑥 22 9𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑥 2 3𝑠𝑒𝑛𝑡 𝒙 𝟐 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝑦 32 9 cos2 𝑡 𝑦 3 3 cos 𝑡 𝒚 𝟑 𝟑 𝐜𝐨𝐬𝒕 LETRA F Achar as raízes Se y0 𝑥2 𝑦2 4𝑥 6𝑦 4 0 𝑥2 4𝑥 4 0 Δ 16 414 0 𝑥1 4 2 𝒙𝟏 𝟐 𝑥2 4 2 𝒙𝟐 𝟐 Se x0 𝑥2 𝑦2 4𝑥 6𝑦 4 0 𝑦2 6𝑦 4 0 Δ 62 414 Δ 20 𝑦1 6 447 2 𝒚𝟏 𝟓 𝟐𝟒 𝑦2 6 447 2 𝒚𝟐 𝟎 𝟕𝟔 QUESTÃO 5 𝑉151𝑉211𝑉323𝑉42 1 2𝑎 6 𝑎 3 2𝑏 4 𝑏 2 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑐2 5 𝑐 5 𝐶21 𝐹12 5 1 𝐹22 5 1 Equação 𝑥 22 9 𝑦 12 4 1 Letra A 𝑬𝒊𝒙𝒐 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝟔 𝑬𝒊𝒙𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝟒𝒅𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒐𝒄𝒂𝒍 𝟐𝟓 Letra B 𝒆 𝒄 𝒂 𝒆 𝟓 𝟑 Letra C Equação reduzida 𝒙 𝟐𝟐 𝟗 𝒚 𝟏𝟐 𝟒 𝟏 Letra D Equação geral 𝑥 22 9𝑦 12 4 9 4𝑥 22 9𝑦 12 36 4𝑥2 4𝑥 4 9𝑦2 2𝑦 1 36 4𝑥2 16𝑥 16 9𝑦2 18𝑦 9 36 𝟒𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒙 𝟗𝒚𝟐 𝟏𝟖𝒚 𝟏𝟏 𝟎 Equação paramétrica 𝒙 𝟐 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒚 𝟏 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝒕 QUESTÃO 6 Achar a equação da elipse 9𝑥2 16𝑦2 100 9 100 𝑥2 16 100 𝑦2 1 𝑥2 100 9 𝑦2 100 16 1 𝑥2 10 3 2 𝑦2 10 4 2 1 Então 𝑎 10 3 𝑏 10 4 Então o eixo menor vale duas vezes b Logo 𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2 10 4 5 Logo a diagonal do quadrado é 𝑑 5 𝑑 𝑙2 𝑙 5 2 𝑨 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟐 𝟓 QUESTÃO 7 A equação da hipérbole é 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 1 Como o eixo real está sobre o eixo y ela se torna 𝑦2 𝑎2 𝑥2 𝑏2 1 Temos que 𝑒 𝑐 𝑎 𝑒 5 3 𝑐 𝑎 5 3 3𝑐 5𝑎 𝑐 5 3 𝑎 𝑏 8 Agora achando a 𝑐2 𝑎2 𝑏2 25 9 𝑎2 𝑎2 64 16 9 𝑎2 64 𝑎2 64 9 16 𝑎 8 3 4 6 𝒂 𝟔 𝒃 𝟖 𝒄 𝟏𝟎 Sua equação reduzida é 𝒚𝟐 𝟑𝟔 𝒙𝟐 𝟔𝟒 𝟏 Sua equação geral será 𝑦2 36𝑥2 64 36 64𝑦2 36𝑥2 2304 𝟑𝟔𝒙𝟐 𝟔𝟒𝒚𝟐 𝟐𝟑𝟎𝟒 𝟎 QUESTÃO 8 Hipérbole I 𝑥2 4𝑦2 6𝑥 24𝑦 31 0 𝑥2 6𝑥 4𝑦2 24𝑦 31 𝑥2 6𝑥 9 4𝑦2 6𝑦 9 31 9 36 𝑥 32 4𝑦 32 4 Equação reduzida 𝒙 𝟑𝟐 𝟒 𝒚 𝟑𝟐 𝟏 𝟏 Eixo real paralelo ao eixo do x LETRA A 𝑥 32 4 𝑦 32 1 1 Centro 𝑪𝟑𝟑 𝒂 𝟐 𝒃 𝟏 𝑐2 𝑎2 𝑏2 𝑐2 4 1 𝒄 𝟓 LETRA B 𝑒 𝑐 𝑎 𝟓 𝟐 LETRA C 𝑨𝟏𝟓𝟑 𝑨𝟐𝟏 𝟑 LETRA D 𝑩𝟏𝟑𝟒 𝑩𝟐𝟑 𝟐 LETRA E 𝑭𝟏𝟑 𝟓𝟑𝑭𝟐𝟑 𝟓 𝟑 LETRA F 𝒙 𝟑 𝟐𝐬𝐞𝒄𝜽 𝒚 𝟑 𝟏 𝒕𝒈𝜽 LETRA G Achar as assíntotas 𝑥 32 4 𝑦 32 1 0 𝑥 32 4 𝑦 32 1 𝑦 32 𝑥 32 4 𝑦 3 𝑥 3 2 𝑦1 𝑥 2 9 2 𝑒 𝑦2 𝑥 2 3 2 Hipérbole II 9𝑥2 4𝑦2 54𝑥 8𝑦 113 0 9𝑥2 54𝑥 4𝑦2 8𝑦 113 9𝑥2 6𝑥 9 4𝑦2 2𝑦 1 113 81 4 9𝑥 32 4𝑦 12 36 𝑥 32 4 𝑦 12 9 1 Equação reduzida 𝒙 𝟑𝟐 𝟒 𝒚 𝟏𝟐 𝟗 𝟏 Eixo real paralelo ao eixo do y LETRA A 𝑥 32 4 𝑦 12 9 1 Centro 𝑪𝟑𝟏 𝒂 𝟑 𝒃 𝟐 𝑐2 𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 4 𝒄 𝟏𝟑 LETRA B 𝑒 𝑐 𝑎 𝟏𝟑 𝟑 LETRA C 𝑨𝟏𝟑 𝟒𝑨𝟐𝟑 𝟐 LETRA D 𝑩𝟏𝟏𝟏 𝑩𝟐𝟓 𝟏 LETRA E 𝑭𝟏𝟑 𝟏 𝟏𝟑𝑭𝟐𝟑 𝟏 𝟏𝟑 LETRA F 𝒙 𝟑 𝟐𝐭𝐠𝛉 𝒚 𝟏 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝜽 LETRA G Achar as assíntotas 𝑥 32 4 𝑦 12 9 0 𝑦 12 9 𝑥 32 4 𝑦 12 9 4 𝑥 32 𝑦 1 3 2 𝑥 3 𝑦1 3 2 𝑥 9 2 1 𝒚𝟏 𝟑 𝟐 𝒙 𝟏𝟏 𝟐 𝑦2 3 2 𝑥 9 2 1 𝒚𝟐 𝟑 𝟐 𝒙 𝟕 𝟐 QUESTÃO 9 LETRA A 𝑥 2 3𝑡𝑔𝜃 𝑦 1 4𝑠𝑒𝑐𝜃 Eixo real paralelo ao eixo dos y 𝑥 𝑥02 𝑏2 𝑦 𝑦02 𝑎2 1 Temos que 𝑥0 2 𝑏 3 𝑦0 1𝑎 4 𝑐2 9 16 𝒄 𝟓 𝒙 𝟐𝟐 𝟗 𝒚 𝟏𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝑭𝟏 𝟐 𝟔𝑭𝟐 𝟐 𝟒 16𝑥 22 9𝑦 12 144 16𝑥2 4𝑥 4 9𝑦 2𝑦 1 144 16𝑥2 64𝑥 64 9𝑦2 18𝑦 9 144 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟔𝟒𝒙 𝟗𝒚𝟐 𝟏𝟖𝒚 𝟕𝟏 𝟎 LETRA B 𝑥 2𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑦 4 3𝑡𝑔𝜃 Eixo real paralelo ao eixo dos x 𝑥 𝑥02 𝑎2 𝑦 𝑦02 𝑏2 1 Temos que 𝑥0 0𝑎 2 𝑦0 4 𝑏 3 𝑐2 4 3 𝒄 𝟕 𝒙𝟐 𝟒 𝒚 𝟒𝟐 𝟑 𝟏 𝑭𝟏 𝟕 𝟒 𝑭𝟐 𝟕 𝟒 3𝑥2 4𝑦 42 12 3𝑥2 4𝑦2 8𝑦 16 12 3𝑥2 4𝑦2 32𝑦 64 12 𝟑𝒙𝟐 𝟒𝒚𝟐 𝟑𝟐𝒚 𝟕𝟔 𝟎 QUESTÃO 10 LETRA A O ponto médio entre os extremos é o centro logo 𝑀21 4 Agora a distância entre um dos extremos e esse ponto médio que é o centro é o raio Logo 𝑑𝐴 𝑀 32 22 12 9 4 1 14 Logo esse é o raio Então a equação é 𝒙 𝟐𝟐 𝒚 𝟏𝟐 𝒛 𝟒𝟐 𝟏𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟒 𝒚𝟐 𝟐𝒚 𝟏 𝒛𝟐 𝟖𝒛 𝟏𝟔 𝟏𝟒 𝟎 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝒚𝟐 𝟐𝒚 𝒛𝟐 𝟖𝒛 𝟕 𝟎 LETRA B Achando o vetor normal do plano 𝑛 12 2 Agora um vetor do ponto extremo da esfera até o centro 𝑥 𝑦 4 𝑧 3 Agora fazendo o produto escalar 122 𝑥 𝑦 4 𝑧 3 0 𝑥 2𝑦 8 2𝑧 6 0 𝑥 2𝑦 2𝑧 14 𝑥 14 2𝑦 2𝑧 Fazendo yz1 temos 𝑥 14 2 2 𝑥 14 Então o extremo é 1411 𝑟 𝑑𝑃 𝐶 142 52 22 196 25 4 225 Então a equação é 𝒙 𝟎𝟐 𝒚 𝟒𝟐 𝒛 𝟑𝟐 𝟐𝟐𝟓 QUESTÃO 11 Primeiramente escrever a equação da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 4𝑥 2𝑦 6𝑧 11 𝑥2 4𝑥 𝑦2 2𝑦 𝑧2 6𝑧 11 𝑥2 4𝑥 4 𝑦2 2𝑦 1 𝑧2 6𝑧 9 11 4 1 9 𝒙 𝟐𝟐 𝒚 𝟏𝟐 𝒛 𝟑𝟐 𝟐𝟓 Então o centro é 𝐶2 13𝑒 𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑜 é 5 Agora vamos analisar Podemos observar que o vetor PC é perpendicular ao vetor PA onde A é um ponto genérico do plano 𝑃𝐶 0 43𝑃𝐴𝑥 2 𝑦 5𝑧 6 O produto escalar entre eles é zero pois são perpendiculares 043 𝑥 2 𝑦 5 𝑧 6 0 4𝑦 20 3𝑧 18 0 𝟒𝒚 𝟑𝒛 𝟑𝟖 𝟎 QUESTÃO 12 Letra a 𝑥2 𝑦2 𝑧2 6𝑥 4𝑦 9 0 𝑥2 6𝑥 𝑦2 4𝑦 𝑧2 9 𝑥2 6𝑥 9 𝑦2 4𝑦 4 𝑧2 9 9 4 𝑥 32 𝑦 22 𝑧 02 4 𝒙 𝟑𝟐 𝒚 𝟐𝟐 𝒛 𝟎𝟐 𝟐𝟐 É uma esfera de centro 𝑪𝟑 𝟐 𝟎𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒐 𝟐 Letra b 2𝑥2 4𝑦2 𝑧2 16 0 𝒙𝟐 𝟖 𝒚𝟐 𝟒 𝒛𝟐 𝟏𝟔 𝟏 Elipsoide de centro 𝑪𝟎 𝟎𝟎 Letra C 4𝑥2 𝑦2 4𝑧2 4 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟒 𝒛𝟐 𝟏 Hiperbolóide de uma folha Letra D 𝑧2 4𝑥2 4𝑦2 4 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒛𝟐 𝟒 𝟏 Hiperbolóide de duas folhas Letra E 𝑦2 4𝑧2 𝑥 0 𝑦2 4𝑧2 𝑥 𝒚𝟐 𝟏𝟐 𝒛𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝒙 Paraboloide Elíptico