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Design Gráfico ·
Cálculo
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Capítulo 4\nLimites\n\nNesse capítulo começaremos o estudo do conceito fundamental do Cálculo: limite.\n\nA ordem na qual a matéria é apresentada aqui é um pouco diferente da ordem usual. Na Seção 4.1 começaremos descrevendo os limites no infinito, isto é, estudaremos o comportamento dos valores de uma função f(x) quando x é grande (positivo ou negativo). Depois, na Seção 4.2, olharemos o que acontece quando x → a, onde a é um ponto da reta real. A noção de continuidade será considerada na Seção ??.\n\n4.1 Limites limₓ→±∞ f(x)\nA primeira informação que será extraída sobre uma função será o seu comportamento no infinito. Portanto, começaremos estudando os valores de uma função f(x), quando x fica arbitrariamente grande e positivo, ou arbitrariamente grande e negativo.\n\n4.1.1 Introdução\n\nApesar de elementar, o nosso primeiro exemplo será um dos mais importantes, pois ele nos permite introduzir pela primeira vez a ideia de tender a zero. \nExemplo 4.1. Já montamos o gráfico da função 1/x no Capítulo 2. Consideremos aqui o que acontece com 1/x quando x toma valores grandes, positivos ou negativos:\n61 4.1 Limites limₓ→±∞ f(x)\nCAPÍTULO 4. LIMITES\n\nQuando x se afasta da origem, tomando valores grandes e positivos, o que será denotado x → +∞, vemos que os valores de 1/x tendem a zero. Para ilustrar isso podemos observar os valores da função quando a variável toma por exemplo os valores x = 10, x = 100, x = 1000, ...:\n\nx = 10 100 1000 10'000\n1/x = 0.1 0.01 0.001 0.0001\n\nNa verdade, pegando uma outra sequência de números, por exemplo x = 4, x = 8, x = 16, x = 32, ..., observaríamos também que os valores se aproximam de zero. O fato de 1/x se aproximar de zero à medida que x aumenta é obviamente devido ao fato de divisão de 1 por um número grande resultar em um número pequeno.\n\nVamos agora um pouco mais precisos, e render quantitativa a seguinte afirmação: tomar x grande o suficiente permite tornar 1/x arbitrariamente pequeno. Vamos proceder da seguinte maneira. Primeiro escolhemos um número positivo arbitrário, pequeno, que chamaremos de tolerância. Por exemplo: 0.000002. Em seguida, façamos a pergunta: quão grande x precisa ser tomado para tornar 1/x menor que a tolerância escolhida, isto é\n\n0 ≤ 1/x ≤ 0.000002 ?\n\nPara responder, basta resolver a desigualdade acima. Multiplicando ambos lados por x (pode ser feito sem mudar o sentido da desigualdade, já que x é positivo), e dividindo ambos lados por 0.000002,\n\n1/0.000002 ≤ x ≤ 0.\n\nComo 1/0.000002 = 500000, isso significa que qualquer número x que satisfaça\n\nx ≥ 500000,\n\ntambém satisfaz (4.1). Isto é, tomar um número x qualquer maior ou igual a 500000 garante que a sua imagem (pela função 1/x ) será contida entre 0 e 0.000002 (a tolerância que fixamos). O importante é que o mesmo raciocínio pode ser feito com qualquer tolerância, mesmo muito pequena. Por exemplo, podemos escolher uma tolerância igual a 0.00000000123, e verificar que todos os x grandes, dessa vez x ≥ 813008131, satisfazem\n\n0 ≤ 1/x ≤ 0.00000000123.\n\n62 CAPÍTULO 4. LIMITES\n4.1 Limites limₓ→±∞ f(x)\n\nO fato de ser possível mostrar que para uma tolerância arbitrariamente pequena, existe sempre um intervalo infinito de valores de x para os quais a desigualdade 0 ≤ 1/x ≤ ε é verdadeira é o que define rigorosamente o limite. A seguinte notação costuma ser usada:\n\nlimₓ→+∞ 1/x = 0.\n\nLeia-se: o limite de 1/x, quando x tende a +∞, é igual a 0, ou 1/x tende a zero quando x tende a +∞. Enfatizemos que isso não significa, de forma alguma, que 1/x é igual a zero quando x é grande, mas somente que se aproxima arbitrariamente perto de zero à medida que x vai crescendo.\n\nConsideremos agora o que acontece com 1/x quando x → -∞. Dessa vez a função tende a zero também mas com valores negativos, já que 1/x < 0 (dê uma olhada na figura do início do exemplo). Logo, gostaríamos de fixar uma tolerância ε > 0, e achar os x que satisfazem\n\n-ε ≤ 1/x ≤ 0.\n\nDesta vez, essa desigualdade é satisfeita para qualquer x ≤ -1/ε. Escrevemos também:\n\nlimₓ→-∞ 1/x = 0.\n\nPoderíamos ter calculado os dois limites de uma vez, x → -∞ e x → +∞, observando simplesmente que para um ε > 0 fixo, é possível garantir\n\n|1/x| ≤ ε\n\npara todo x à distância maior que 1/ε da origem, isto é |x| > 1/ε.\n\nPodemos agora considerar o caso geral:\n\nDefinição 4.1. Diremos que f(x) tende a zero quando x → ∞ se para qualquer tolerância ε > 0, é possível garantir que\n\n|f(x)| ≤ ε para todo x > 0 suficientemente grande. (4.2)\n\nEscreve-se:\n\nlimₓ→∞ f(x) = 0.\n\n63 4.1 A. Usando a definição acima, mostre que lim x→∞ 500/x = 0, lim x→∞ 9/x² = 0, lim x→∞ 2/(3 – x) = 0. Exemplo 4.2. Consideremos em seguida o comportamento de x/(x + 2), quando x → ∞. Para ver o que está acontecendo, calculamos primeiro a função para alguns valores de x, grandes e positivos: x/(x + 2) = 10/(10 + 2) = 0.8333, 100/(100 + 2) = 0.9803, 1000/(1000 + 2) = 0.9980, 10'000/(10'000 + 2) = 0.9998. Isso parece indicar que x/(x + 2) se aproxima de 1 quando x → ∞. Esse fato pode ser observado no traço do gráfico da função (feito com um computador): Gostaríamos então de dar um sentido ao seguinte símbolo: lim x→∞ x/(x + 2) = 1. A dificuldade, aqui, é que quando x toma valores grandes, x/(x + 2) é uma divisão de dois números grandes, o que representa uma forma de indeterminação (falaremos mais sobre isso depois). No entanto, mostraremos que x/(x + 2) tende a 1, mostrando que x/(x + 2) – 1 tende a zero no sentido da Definição 4.2. Fixemos uma tolerância ε > 0, e procuramos saber se dá para garantir que |x/(x + 2) – 1| ≤ ε, para todo x suficientemente grande. Comecemos explicitando a diferença: |x/(x + 2) – 1| = |x – (x + 2)|/(x + 2) = |-2|/(x + 2) = 2/(x + 2). Os valores absolutos foram removidos na última igualdade, já que x será tomado grande, positivo, o que implica x + 2 > 0. Agora, (4.4) será satisfeita se saber se dá para garantir que 2/(x + 2) ≤ ε. CAPÍTULO 4. LIMITES 4.1. Limites limx→∞ f(x) Resolvendo a desigualdade obtemos: x ≥ 2/ε – 2. Como isso pode ser feito com qualquer tolerância, conseguimos provar (4.3). Vejamos agora um exemplo em que o comportamento quando x → ∞ pode ser diferente do comportamento quando x → –∞. Exemplo 4.3. Considere f(x) := |x|/(x + 1). Usando a definição do valor absoluto, vemos que essa função é dada por f(x) = x/(x + 1) se x ≥ 0, f(x) = 0 se x = 0, f(x) = –x/(x + 1) se x < 0. Logo, lim x→–∞ f(x) = lim x→–∞ –x/(x + 1), e é fácil mostrar que esse limite vale 1. Por outro lado, lim x→∞ f(x) = lim x→∞ x/(x + 1), e esse limite se calcula facilmente, e é igual a –1. f(x) = |x|/(x + 1). Portanto, essa função não possui limite, e esse limite se calcula facilmente, e é igual a –1. Observação 4.1. Podemos ver, graças aos gráficos montados acima com um computador, que a existência dos limites limx→∞ f(x) implica que o gráfico da função se aproxima, longe da origem, de uma reta horizontal (que será chamada de assintota horizontal). Mas é claro que aprender a esboçar gráficos é um dos objetivos desse curso, então o uso de gráficos até agora deve ser considerado somente como uma ajuda para entender a definição de limite. Observação 4.2. Em geral, um limite nem sempre existe. Por exemplo, \"limx→–∞ sen.x\" não existe, pois à medida que x cresce, sen.x oscila em torno de 0, sem tender a nenhum valor. Um limite pode também ser infinito, como veremos mais adiante. Exercício 4.2. Explique porque sen.x não tende a zero quando x → ∞ no sentido da Definição 4.1. Dica: distinguir os casos ε ≥ 1 e 0 < ε < 1. 4.1.2 A definição de limite Mostramos no Exemplo 4.2 que f(x) = x / (x² + 1) tende a 1 quando x → ∞, provando que a diferença |1/x - 1| se torna sempre menor a medida que x cresce. Em geral, dizer que os valores de uma função f(x) se aproximam arbitrariamente perto de um valor ℓ quando x é grande, é equivalente a dizer que |f(x) – ℓ| se torna arbitrariamente pequeno desde que x seja grande o suficiente. Em outras palavras, Definição 4.2. Diz-se que f(x) tende a ℓ quando x → ∞, escreve-se lim x→∞ f(x) = ℓ, (ou às vezes f(x) → ℓ se não tiver ambiguidade) se f(x) – ℓ tende a zero, isto é para todo ε > 0 (subentendido: arbitrariamente pequeno, mas fixo) existir um N tal que x ≥ N, então |f(x) – ℓ| ≤ ε. A definição de limx→∞ f(x) = ℓ é parecida, mas \"x ≥ N\" é trocado por \"x < –N\". Observação 4.3. É sempre subentendido, ao escrever \"limx→∞ f(x)\", que f(x) é bem definida para todo x suficientemente grande. Observação 4.4. Em geral, o número N associado a um ε > 0 não é único. De fato, suponha que foi mostrado que para um certo ε > 0, existe um N > 0 tal que |f(x) – ℓ| ≤ ε para todos x ≥ N. Então, definindo por exemplo N' = 3N, a desigualdade |f(x) – ℓ| ≤ ε vale também se x ≥ N', novamente. O que importa é ser capaz achar pelo menos um N, não importa quão grande for. Exercício 4.3. Usando o método acima, mostre que lim x→∞ (2x – 2)/(3x + 5) = 2/3, lim x→∞ (2x – 1)/(3x) = 2/3. CAPÍTULO 4. LIMITES\n\n4.1. Limites lim{x→−∞} f(x)\n\nMencionemos algumas propriedades básicas que decorrem da Definição 4.2:\n\nProposição 4.1. Suponha que duas funções, f e g, possuam limites quando x → −∞:\n\nlim_{x→−∞} f(x) = ℓ₁, lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₂,\n\nonde ℓ₁ e ℓ₂ são ambos finitos. Então\n\nlim_{x→−∞} {f(x) + g(x)} = lim_{x→−∞} f(x) + lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₁ + ℓ₂, (4.6)\n\nlim_{x→−∞} {f(x)g(x)} = (lim_{x→−∞} f(x)) · (lim_{x→−∞} g(x)) = ℓ₁ · ℓ₂. (4.7)\n\nAlém disso, se ℓ₂ ≠ 0, então\n\nlim_{x→−∞} {f(x) / g(x)} = lim_{x→−∞} f(x) / lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₁ / ℓ₂ . (4.8)\n\nAs mesmas propriedades valem no caso x → +∞.\n\nDemonstrando. Provaremos somente (4.6). Seja ε > 0. Definamos ε₁ := ε/2. Por definição, lim_{x→−∞} f(x) = ℓ₁ implica que existe N₁ tal que x > N₁ então |f(x)−ℓ₁| ≤ ε₁. Por outro lado, se g(x) → ℓ₂ , então lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₂ implica, por definição, que existe N₂ tal que se x > N₂ então |g(x)−ℓ₂| ≤ ε₂. Logo, se x é maior que N₁ e N₂ ao mesmo tempo, temos\n\n|{f(x) + g(x)} − (ℓ₁ + ℓ₂)| = |{f(x)−ℓ₁} + (g(x)−ℓ₂)| ≤ |f(x)−ℓ₁| + |g(x)−ℓ₂| ≤ ε₁ + ε₂ = ε .\n\nA identidade (4.7) implica em particular que se λ é uma constante (isto é, um número que não depende de x), então\n\nlim_{x→−∞} {λf(x)} = λ lim_{x→−∞} f(x). (4.9)\n\nA maior parte do tempo não precisaremos passar pelo uso de tolerâncias para calcular limites. Em vez disso, usaremos as propriedades acima, e alguns limites conhecidos, para calcular outros limites mais complicados. Por exemplo, tendo feito o Exercício 4.4, podemos calcular o seguinte limite, usando somente as propriedades básicas da proposição, sem passar pela escolha de tolerâncias arbitrariamente pequenas, etc.: 4.1.3 Limites infinitos\n\nEm geral, uma função qualquer f(x) não precisa possuir limites no infinito. Isto é, f(x) pode não se aproximar de nenhum valor finito quando x toma valores grandes. Por exemplo, já mencionamos que as funções trigonométricas, por serem periódicas, não possuem limites quando x → ±∞.\n\nMas já sabemos que várias funções não-limitadas, como x², tomam valores arbitrariamente grandes ao x se afastar da origem. Neste caso, o limite não existe no sentido de ser finito. No entanto, gostaríamos de poder escrever:\n\nlim_{x→∞} x² = +∞ .\n\nAqui não se trata de usar tolerâncias, mas de definir precisamente o que significa ultrapassar qualquer valor finito a medida que x cresce. Por exemplos, f(x) = x² ultrapassa o valor 100, a partir de x = 10 em diante, isto é para todos os x ≥ 10. Mas ela também ultrapassa o valor 10.000, para todos os x ≥ 100, etc. 4.1. Limites lim{x→−∞} f(x)\n\nDefinição 4.3. Diz-se que f(x) tende a +∞ quando x → ∞ se para qualquer A > 0 (subentendido: arbitrariamente grande, fixo) existe um N tal que f(x) ≥ A para todo x ≥ N. Diz-se que f(x) tende a −∞ quando x → −∞ se para qualquer A < 0 existe um N tal que f(x) ≤ A para todo x ≥ N. (Limites infinitos no caso x → −∞ se definem da maneira parecida, trocando “x ≥ N” por “x ≤ −N”.)\n\nVejamos primeiro alguns exemplos de funções fundamentais que tem limites infinitos. Começaremos com potências inteiras, x^p, p > 0,\n\nlim_{x→−∞} x^p = +∞, lim_{x→−∞} x^p = −∞ se p é par,\n\n−∞ se p é ímpar. (4.10)\n\nExemplo 4.4. Calculemos o limite\n\nlim_{x→−∞} {x² + sen(10x)} .\n\nSabemos que x² tende a +∞, mas que o sen(·) não tem limite. No entanto, o sen(10x) é limitado por 1 em valor absoluto. Logo, parece que a soma acima deve também tender a +∞. Para provar isso, fixemos um A > 0 qualquer. Para mostrar que x² + sen(10x) ≥ A,\n\nlim_{x→−∞} {x² + sen(10x)} = +∞ . 4.1. Limites limx→±∞ f(x)\nCAPÍTULO 4. LIMITES\n\nA propriedade provada no último exercício permite obter o comportamento no infinito para as potências negativas: x^−q = 1/x^q, com q > 0. Como limx→−∞ x^q = +∞, temos\n\nlim x→∞ 1/x^q = 0.\n\nO limite x → −∞ se calcula da mesma maneira.\n\nExercício 4.6. Mostre que\n\nlim L→∞ 1/L^1−p = {\n0 se p < 1,\n1 se p = 1,\n∞ se p > 1.\n}\n\nÉ importante notar que em geral, as propriedades descritas na Proposição 4.1 não se aplicam quando os limites envolvidos são infinitos. Aparece frequentemente de ter lidar com quocientes f(x)/g(x) ou diferenças f(x) − g(x), em que ambos f(x) → ∞ e g(x) → ∞. Neste caso, as identidades da Proposição 4.1 não se aplicam, e um estudo caso a caso é preciso.\n\nProdutos de números grandes\nNa propriedade (4.7), insistimos sobre o fato dos limites limx→∞ f(x) e limx→∞ g(x) existirem e serem finitos para poder escrever\n\nlim x→∞ {f(x)·g(x)} = (lim x→∞ f(x))·(lim x→∞ g(x)).\n\n(4.16)\n\nÉ importante entender que existem casos em que essa relação não pode ser usada.\n\nConsidere f(x) = x, g(x) = 1/x. Neste caso, f(x)g(x) = 1. Portanto, o lado esquerdo de\n(4.16) é igual a\n\nlim x→∞ f(x)·g(x) = lim x→∞ 1 = 1.\n\nMas o lado direito é igual a\n\n(lim x→∞ f(x))·(lim x→∞ g(x)) = ∞·0.\n\nPortanto, se (4.16) fosse verdadeira, teríamos\n\n“1 = ∞·0”,\n\no que mostra que há um problema: zero multiplicado por outra coisa dificilmente pode dar 1... Mas, se agora f(x) = 2x, g(x) = 1/x, então f(x)g(x) = 2, e o mesmo raciocínio leva a\n\n“2 = ∞·0”.\n\nOu, com f(x) = x² e g(x) = 1/x,\n\n“∞ = ∞·0”.
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Capítulo 4\nLimites\n\nNesse capítulo começaremos o estudo do conceito fundamental do Cálculo: limite.\n\nA ordem na qual a matéria é apresentada aqui é um pouco diferente da ordem usual. Na Seção 4.1 começaremos descrevendo os limites no infinito, isto é, estudaremos o comportamento dos valores de uma função f(x) quando x é grande (positivo ou negativo). Depois, na Seção 4.2, olharemos o que acontece quando x → a, onde a é um ponto da reta real. A noção de continuidade será considerada na Seção ??.\n\n4.1 Limites limₓ→±∞ f(x)\nA primeira informação que será extraída sobre uma função será o seu comportamento no infinito. Portanto, começaremos estudando os valores de uma função f(x), quando x fica arbitrariamente grande e positivo, ou arbitrariamente grande e negativo.\n\n4.1.1 Introdução\n\nApesar de elementar, o nosso primeiro exemplo será um dos mais importantes, pois ele nos permite introduzir pela primeira vez a ideia de tender a zero. \nExemplo 4.1. Já montamos o gráfico da função 1/x no Capítulo 2. Consideremos aqui o que acontece com 1/x quando x toma valores grandes, positivos ou negativos:\n61 4.1 Limites limₓ→±∞ f(x)\nCAPÍTULO 4. LIMITES\n\nQuando x se afasta da origem, tomando valores grandes e positivos, o que será denotado x → +∞, vemos que os valores de 1/x tendem a zero. Para ilustrar isso podemos observar os valores da função quando a variável toma por exemplo os valores x = 10, x = 100, x = 1000, ...:\n\nx = 10 100 1000 10'000\n1/x = 0.1 0.01 0.001 0.0001\n\nNa verdade, pegando uma outra sequência de números, por exemplo x = 4, x = 8, x = 16, x = 32, ..., observaríamos também que os valores se aproximam de zero. O fato de 1/x se aproximar de zero à medida que x aumenta é obviamente devido ao fato de divisão de 1 por um número grande resultar em um número pequeno.\n\nVamos agora um pouco mais precisos, e render quantitativa a seguinte afirmação: tomar x grande o suficiente permite tornar 1/x arbitrariamente pequeno. Vamos proceder da seguinte maneira. Primeiro escolhemos um número positivo arbitrário, pequeno, que chamaremos de tolerância. Por exemplo: 0.000002. Em seguida, façamos a pergunta: quão grande x precisa ser tomado para tornar 1/x menor que a tolerância escolhida, isto é\n\n0 ≤ 1/x ≤ 0.000002 ?\n\nPara responder, basta resolver a desigualdade acima. Multiplicando ambos lados por x (pode ser feito sem mudar o sentido da desigualdade, já que x é positivo), e dividindo ambos lados por 0.000002,\n\n1/0.000002 ≤ x ≤ 0.\n\nComo 1/0.000002 = 500000, isso significa que qualquer número x que satisfaça\n\nx ≥ 500000,\n\ntambém satisfaz (4.1). Isto é, tomar um número x qualquer maior ou igual a 500000 garante que a sua imagem (pela função 1/x ) será contida entre 0 e 0.000002 (a tolerância que fixamos). O importante é que o mesmo raciocínio pode ser feito com qualquer tolerância, mesmo muito pequena. Por exemplo, podemos escolher uma tolerância igual a 0.00000000123, e verificar que todos os x grandes, dessa vez x ≥ 813008131, satisfazem\n\n0 ≤ 1/x ≤ 0.00000000123.\n\n62 CAPÍTULO 4. LIMITES\n4.1 Limites limₓ→±∞ f(x)\n\nO fato de ser possível mostrar que para uma tolerância arbitrariamente pequena, existe sempre um intervalo infinito de valores de x para os quais a desigualdade 0 ≤ 1/x ≤ ε é verdadeira é o que define rigorosamente o limite. A seguinte notação costuma ser usada:\n\nlimₓ→+∞ 1/x = 0.\n\nLeia-se: o limite de 1/x, quando x tende a +∞, é igual a 0, ou 1/x tende a zero quando x tende a +∞. Enfatizemos que isso não significa, de forma alguma, que 1/x é igual a zero quando x é grande, mas somente que se aproxima arbitrariamente perto de zero à medida que x vai crescendo.\n\nConsideremos agora o que acontece com 1/x quando x → -∞. Dessa vez a função tende a zero também mas com valores negativos, já que 1/x < 0 (dê uma olhada na figura do início do exemplo). Logo, gostaríamos de fixar uma tolerância ε > 0, e achar os x que satisfazem\n\n-ε ≤ 1/x ≤ 0.\n\nDesta vez, essa desigualdade é satisfeita para qualquer x ≤ -1/ε. Escrevemos também:\n\nlimₓ→-∞ 1/x = 0.\n\nPoderíamos ter calculado os dois limites de uma vez, x → -∞ e x → +∞, observando simplesmente que para um ε > 0 fixo, é possível garantir\n\n|1/x| ≤ ε\n\npara todo x à distância maior que 1/ε da origem, isto é |x| > 1/ε.\n\nPodemos agora considerar o caso geral:\n\nDefinição 4.1. Diremos que f(x) tende a zero quando x → ∞ se para qualquer tolerância ε > 0, é possível garantir que\n\n|f(x)| ≤ ε para todo x > 0 suficientemente grande. (4.2)\n\nEscreve-se:\n\nlimₓ→∞ f(x) = 0.\n\n63 4.1 A. Usando a definição acima, mostre que lim x→∞ 500/x = 0, lim x→∞ 9/x² = 0, lim x→∞ 2/(3 – x) = 0. Exemplo 4.2. Consideremos em seguida o comportamento de x/(x + 2), quando x → ∞. Para ver o que está acontecendo, calculamos primeiro a função para alguns valores de x, grandes e positivos: x/(x + 2) = 10/(10 + 2) = 0.8333, 100/(100 + 2) = 0.9803, 1000/(1000 + 2) = 0.9980, 10'000/(10'000 + 2) = 0.9998. Isso parece indicar que x/(x + 2) se aproxima de 1 quando x → ∞. Esse fato pode ser observado no traço do gráfico da função (feito com um computador): Gostaríamos então de dar um sentido ao seguinte símbolo: lim x→∞ x/(x + 2) = 1. A dificuldade, aqui, é que quando x toma valores grandes, x/(x + 2) é uma divisão de dois números grandes, o que representa uma forma de indeterminação (falaremos mais sobre isso depois). No entanto, mostraremos que x/(x + 2) tende a 1, mostrando que x/(x + 2) – 1 tende a zero no sentido da Definição 4.2. Fixemos uma tolerância ε > 0, e procuramos saber se dá para garantir que |x/(x + 2) – 1| ≤ ε, para todo x suficientemente grande. Comecemos explicitando a diferença: |x/(x + 2) – 1| = |x – (x + 2)|/(x + 2) = |-2|/(x + 2) = 2/(x + 2). Os valores absolutos foram removidos na última igualdade, já que x será tomado grande, positivo, o que implica x + 2 > 0. Agora, (4.4) será satisfeita se saber se dá para garantir que 2/(x + 2) ≤ ε. CAPÍTULO 4. LIMITES 4.1. Limites limx→∞ f(x) Resolvendo a desigualdade obtemos: x ≥ 2/ε – 2. Como isso pode ser feito com qualquer tolerância, conseguimos provar (4.3). Vejamos agora um exemplo em que o comportamento quando x → ∞ pode ser diferente do comportamento quando x → –∞. Exemplo 4.3. Considere f(x) := |x|/(x + 1). Usando a definição do valor absoluto, vemos que essa função é dada por f(x) = x/(x + 1) se x ≥ 0, f(x) = 0 se x = 0, f(x) = –x/(x + 1) se x < 0. Logo, lim x→–∞ f(x) = lim x→–∞ –x/(x + 1), e é fácil mostrar que esse limite vale 1. Por outro lado, lim x→∞ f(x) = lim x→∞ x/(x + 1), e esse limite se calcula facilmente, e é igual a –1. f(x) = |x|/(x + 1). Portanto, essa função não possui limite, e esse limite se calcula facilmente, e é igual a –1. Observação 4.1. Podemos ver, graças aos gráficos montados acima com um computador, que a existência dos limites limx→∞ f(x) implica que o gráfico da função se aproxima, longe da origem, de uma reta horizontal (que será chamada de assintota horizontal). Mas é claro que aprender a esboçar gráficos é um dos objetivos desse curso, então o uso de gráficos até agora deve ser considerado somente como uma ajuda para entender a definição de limite. Observação 4.2. Em geral, um limite nem sempre existe. Por exemplo, \"limx→–∞ sen.x\" não existe, pois à medida que x cresce, sen.x oscila em torno de 0, sem tender a nenhum valor. Um limite pode também ser infinito, como veremos mais adiante. Exercício 4.2. Explique porque sen.x não tende a zero quando x → ∞ no sentido da Definição 4.1. Dica: distinguir os casos ε ≥ 1 e 0 < ε < 1. 4.1.2 A definição de limite Mostramos no Exemplo 4.2 que f(x) = x / (x² + 1) tende a 1 quando x → ∞, provando que a diferença |1/x - 1| se torna sempre menor a medida que x cresce. Em geral, dizer que os valores de uma função f(x) se aproximam arbitrariamente perto de um valor ℓ quando x é grande, é equivalente a dizer que |f(x) – ℓ| se torna arbitrariamente pequeno desde que x seja grande o suficiente. Em outras palavras, Definição 4.2. Diz-se que f(x) tende a ℓ quando x → ∞, escreve-se lim x→∞ f(x) = ℓ, (ou às vezes f(x) → ℓ se não tiver ambiguidade) se f(x) – ℓ tende a zero, isto é para todo ε > 0 (subentendido: arbitrariamente pequeno, mas fixo) existir um N tal que x ≥ N, então |f(x) – ℓ| ≤ ε. A definição de limx→∞ f(x) = ℓ é parecida, mas \"x ≥ N\" é trocado por \"x < –N\". Observação 4.3. É sempre subentendido, ao escrever \"limx→∞ f(x)\", que f(x) é bem definida para todo x suficientemente grande. Observação 4.4. Em geral, o número N associado a um ε > 0 não é único. De fato, suponha que foi mostrado que para um certo ε > 0, existe um N > 0 tal que |f(x) – ℓ| ≤ ε para todos x ≥ N. Então, definindo por exemplo N' = 3N, a desigualdade |f(x) – ℓ| ≤ ε vale também se x ≥ N', novamente. O que importa é ser capaz achar pelo menos um N, não importa quão grande for. Exercício 4.3. Usando o método acima, mostre que lim x→∞ (2x – 2)/(3x + 5) = 2/3, lim x→∞ (2x – 1)/(3x) = 2/3. CAPÍTULO 4. LIMITES\n\n4.1. Limites lim{x→−∞} f(x)\n\nMencionemos algumas propriedades básicas que decorrem da Definição 4.2:\n\nProposição 4.1. Suponha que duas funções, f e g, possuam limites quando x → −∞:\n\nlim_{x→−∞} f(x) = ℓ₁, lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₂,\n\nonde ℓ₁ e ℓ₂ são ambos finitos. Então\n\nlim_{x→−∞} {f(x) + g(x)} = lim_{x→−∞} f(x) + lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₁ + ℓ₂, (4.6)\n\nlim_{x→−∞} {f(x)g(x)} = (lim_{x→−∞} f(x)) · (lim_{x→−∞} g(x)) = ℓ₁ · ℓ₂. (4.7)\n\nAlém disso, se ℓ₂ ≠ 0, então\n\nlim_{x→−∞} {f(x) / g(x)} = lim_{x→−∞} f(x) / lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₁ / ℓ₂ . (4.8)\n\nAs mesmas propriedades valem no caso x → +∞.\n\nDemonstrando. Provaremos somente (4.6). Seja ε > 0. Definamos ε₁ := ε/2. Por definição, lim_{x→−∞} f(x) = ℓ₁ implica que existe N₁ tal que x > N₁ então |f(x)−ℓ₁| ≤ ε₁. Por outro lado, se g(x) → ℓ₂ , então lim_{x→−∞} g(x) = ℓ₂ implica, por definição, que existe N₂ tal que se x > N₂ então |g(x)−ℓ₂| ≤ ε₂. Logo, se x é maior que N₁ e N₂ ao mesmo tempo, temos\n\n|{f(x) + g(x)} − (ℓ₁ + ℓ₂)| = |{f(x)−ℓ₁} + (g(x)−ℓ₂)| ≤ |f(x)−ℓ₁| + |g(x)−ℓ₂| ≤ ε₁ + ε₂ = ε .\n\nA identidade (4.7) implica em particular que se λ é uma constante (isto é, um número que não depende de x), então\n\nlim_{x→−∞} {λf(x)} = λ lim_{x→−∞} f(x). (4.9)\n\nA maior parte do tempo não precisaremos passar pelo uso de tolerâncias para calcular limites. Em vez disso, usaremos as propriedades acima, e alguns limites conhecidos, para calcular outros limites mais complicados. Por exemplo, tendo feito o Exercício 4.4, podemos calcular o seguinte limite, usando somente as propriedades básicas da proposição, sem passar pela escolha de tolerâncias arbitrariamente pequenas, etc.: 4.1.3 Limites infinitos\n\nEm geral, uma função qualquer f(x) não precisa possuir limites no infinito. Isto é, f(x) pode não se aproximar de nenhum valor finito quando x toma valores grandes. Por exemplo, já mencionamos que as funções trigonométricas, por serem periódicas, não possuem limites quando x → ±∞.\n\nMas já sabemos que várias funções não-limitadas, como x², tomam valores arbitrariamente grandes ao x se afastar da origem. Neste caso, o limite não existe no sentido de ser finito. No entanto, gostaríamos de poder escrever:\n\nlim_{x→∞} x² = +∞ .\n\nAqui não se trata de usar tolerâncias, mas de definir precisamente o que significa ultrapassar qualquer valor finito a medida que x cresce. Por exemplos, f(x) = x² ultrapassa o valor 100, a partir de x = 10 em diante, isto é para todos os x ≥ 10. Mas ela também ultrapassa o valor 10.000, para todos os x ≥ 100, etc. 4.1. Limites lim{x→−∞} f(x)\n\nDefinição 4.3. Diz-se que f(x) tende a +∞ quando x → ∞ se para qualquer A > 0 (subentendido: arbitrariamente grande, fixo) existe um N tal que f(x) ≥ A para todo x ≥ N. Diz-se que f(x) tende a −∞ quando x → −∞ se para qualquer A < 0 existe um N tal que f(x) ≤ A para todo x ≥ N. (Limites infinitos no caso x → −∞ se definem da maneira parecida, trocando “x ≥ N” por “x ≤ −N”.)\n\nVejamos primeiro alguns exemplos de funções fundamentais que tem limites infinitos. Começaremos com potências inteiras, x^p, p > 0,\n\nlim_{x→−∞} x^p = +∞, lim_{x→−∞} x^p = −∞ se p é par,\n\n−∞ se p é ímpar. (4.10)\n\nExemplo 4.4. Calculemos o limite\n\nlim_{x→−∞} {x² + sen(10x)} .\n\nSabemos que x² tende a +∞, mas que o sen(·) não tem limite. No entanto, o sen(10x) é limitado por 1 em valor absoluto. Logo, parece que a soma acima deve também tender a +∞. Para provar isso, fixemos um A > 0 qualquer. Para mostrar que x² + sen(10x) ≥ A,\n\nlim_{x→−∞} {x² + sen(10x)} = +∞ . 4.1. Limites limx→±∞ f(x)\nCAPÍTULO 4. LIMITES\n\nA propriedade provada no último exercício permite obter o comportamento no infinito para as potências negativas: x^−q = 1/x^q, com q > 0. Como limx→−∞ x^q = +∞, temos\n\nlim x→∞ 1/x^q = 0.\n\nO limite x → −∞ se calcula da mesma maneira.\n\nExercício 4.6. Mostre que\n\nlim L→∞ 1/L^1−p = {\n0 se p < 1,\n1 se p = 1,\n∞ se p > 1.\n}\n\nÉ importante notar que em geral, as propriedades descritas na Proposição 4.1 não se aplicam quando os limites envolvidos são infinitos. Aparece frequentemente de ter lidar com quocientes f(x)/g(x) ou diferenças f(x) − g(x), em que ambos f(x) → ∞ e g(x) → ∞. Neste caso, as identidades da Proposição 4.1 não se aplicam, e um estudo caso a caso é preciso.\n\nProdutos de números grandes\nNa propriedade (4.7), insistimos sobre o fato dos limites limx→∞ f(x) e limx→∞ g(x) existirem e serem finitos para poder escrever\n\nlim x→∞ {f(x)·g(x)} = (lim x→∞ f(x))·(lim x→∞ g(x)).\n\n(4.16)\n\nÉ importante entender que existem casos em que essa relação não pode ser usada.\n\nConsidere f(x) = x, g(x) = 1/x. Neste caso, f(x)g(x) = 1. Portanto, o lado esquerdo de\n(4.16) é igual a\n\nlim x→∞ f(x)·g(x) = lim x→∞ 1 = 1.\n\nMas o lado direito é igual a\n\n(lim x→∞ f(x))·(lim x→∞ g(x)) = ∞·0.\n\nPortanto, se (4.16) fosse verdadeira, teríamos\n\n“1 = ∞·0”,\n\no que mostra que há um problema: zero multiplicado por outra coisa dificilmente pode dar 1... Mas, se agora f(x) = 2x, g(x) = 1/x, então f(x)g(x) = 2, e o mesmo raciocínio leva a\n\n“2 = ∞·0”.\n\nOu, com f(x) = x² e g(x) = 1/x,\n\n“∞ = ∞·0”.