Algebra Linear Suas Aplicações quinta Edição - 1 1-1 8

ÁLGEBRA LINEAR E SUAS APLICAÇÕES David C. Lay | Steven R. Lay | Judi J. McDonald 5ª EDIÇÃO LTC EXEMPLO INTRODUTÓRIO Modelos Lineares em Economia e Engenharia Era o final do verão de 1949. Wassily Leontief, professor de Harvard, estava cuidadosamente inserindo o último cartão perfurado no computador Mark II da universidade. Os cartões continham informações sobre a economia americana e representavam um resumo de mais de 250.000 itens produzidos pelo Departamento de Estatística do Trabalho dos EUA após dois anos de trabalho intenso. Leontief dividiu a economia americana em 500 “setores”, como indústria de carvão, indústria automobilística, comunicações e assim por diante. Para cada setor, ele escreveu uma equação linear que descrevia como o setor distribuía sua produção com respeito aos outros setores da Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD • • • economia. Uma vez que o Mark II, um dos maiores computadores de sua época, não podia lidar com o sistema resultante de 500 equações e 500 incógnitas, Leontief precisou resumir o problema em um sistema de 42 equações e 42 incógnitas. A programação do computador Mark II para resolver as 42 equações de Leontief levou vários meses de trabalho, e ele estava ansioso para ver quanto tempo o computador demoraria para resolver o problema. O Mark II roncou e piscou durante 56 horas até que finalmente produziu uma solução. Vamos discutir a natureza dessa solução nas Seções 1.6 e 2.6. Leontief, que ganhou o Prêmio Nobel de Economia de 1973, abriu a porta para uma nova era da modelagem matemática na economia. Seus esforços de 1949 em Harvard marcaram uma das primeiras aplicações significativas do computador na análise do que era então um modelo matemático de grande escala. Desde aquela época, pesquisadores de muitas outras áreas têm usado computadores para analisar modelos matemáticos. Por causa da enorme quantidade de dados envolvidos, os modelos são geralmente lineares; ou seja, são descritos por sistemas de equações lineares. A importância da álgebra linear nas aplicações tem crescido de modo diretamente proporcional ao aumento do poder computacional, em que cada nova geração de hardware e software dispara uma demanda para capacidades ainda maiores. Assim, a ciência da computação está muito ligada à álgebra linear através do crescimento explosivo de processamento paralelo e de computação em grande escala. Na atualidade, cientistas e engenheiros trabalham em problemas muito mais complexos que se sonhava possíveis há algumas décadas. Hoje, a álgebra linear tem mais valor em potencial para os alunos, em muitas áreas científicas e de negócios, que qualquer outro assunto em matemática no âmbito graduação. O material deste texto fornece a base para o trabalho subsequente em muitas áreas interessantes. Aqui estão algumas possibilidades; outras serão descritas mais adiante. Exploração de petróleo. Quando um navio sai em busca de depósitos de petróleo submarinos, seus computadores resolvem milhares de sistemas de equações diferenciais todos os dias. Os dados sísmicos para as equações são obtidos a partir de ondas de choques submarinas geradas por explosões. As ondas são refletidas por rochas submarinas e medidas por geofones presos em longos cabos arrastados pelo navio. Programação linear. Hoje, muitas decisões gerenciais importantes são tomadas com base em modelos de programação linear que utilizam centenas de variáveis. As companhias aéreas, por exemplo, usam programas lineares para escalar o pessoal de bordo, monitorar as localizações das aeronaves ou planejar as diversas escalas dos serviços de apoio, como as operações de manutenção e de terminal. Circuitos elétricos. Os engenheiros usam programas de simulação para projetar circuitos elétricos e circuitos integrados envolvendo milhões de transistores. Os programas dependem de técnicas de álgebra linear e de sistemas de equações lineares. Os sistemas de equações lineares estão no âmago da álgebra linear e são usados, neste capítulo, para introduzir alguns dos conceitos centrais da álgebra linear em um contexto simples e concreto. As Seções 1.1 e 1.2 apresentam um método sistemático para resolver sistemas de equações lineares. Esse algoritmo será usado para cálculos ao longo de todo o texto. As Seções 1.3 e 1.4 mostram como um sistema linear é equivalente a uma equação vetorial e a uma equação matricial. Essa equivalência reduzirá problemas envolvendo combinações lineares de vetores a questões sobre sistemas de equações lineares. Os conceitos fundamentais de subespaços gerados, independência linear e transformações lineares, estudados na segunda metade do capítulo, vão desempenhar papel essencial ao longo do texto, à medida que explorarmos a beleza e a força da álgebra linear. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Uma equação linear nas variáveis x1, ..., xn, é uma equação que pode ser escrita na forma em que b e os coeficientes a1, …, an são números reais ou complexos, em geral já conhecidos. O índice n pode ser qualquer inteiro positivo. Nos exemplos e exercícios de livros, n está normalmente entre 2 e 5. Em problemas reais, n pode ser 50 ou 5.000, ou até mesmo maior. As equações são ambas lineares porque podem ser reescritas na forma da equação (1): As equações não são lineares por causa da presença de x1x2 na primeira equação e na segunda. Um sistema de equações lineares (ou um sistema linear) é uma coleção de uma ou mais equações lineares envolvendo as mesmas variáveis, digamos x1, ..., xn. Um exemplo é Uma solução do sistema é uma lista (s1, s2, ..., sn) de números que torna cada equação uma afirmação verdadeira quando os valores s1, ..., sn são substituídos por x1, ..., xn, respectivamente. Por exemplo, (5; 6,5; 3) é uma solução para o sistema (2) porque, quando esses valores são substituídos em (2), no lugar de x1, x2, x3, respectivamente, as equações são simplificadas para 8 = 8 e –7 = –7. O conjunto de todas as soluções possíveis é conhecido como conjunto solução do sistema linear. Dois sistemas lineares são chamados equivalentes se tiveram o mesmo conjunto solução, ou seja, cada solução do primeiro sistema é uma solução do segundo sistema, e cada solução do segundo sistema é uma solução do primeiro. É fácil determinar o conjunto solução de um sistema linear de duas equações, porque isso é equivalente a determinar a interseção de duas retas. Um problema típico é x1 – 2x2 = –1 –x1 + 3x2 = 3 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Os gráficos dessas equações são retas, que denotamos por ℓ1 e ℓ 2. Um par de números (x1, x2) satisfaz ambas as equações do sistema se, e somente se, o ponto (x1, x2) pertencer a ambas as retas ℓ1 e ℓ2. No sistema já mencionado, a solução é o único ponto (3, 2), como se pode de forma fácil verificar. Veja a Figura 1. FIGURA 1 Exatamente uma solução. É claro que duas retas não precisam se intersectar em um único ponto — podem ser paralelas, ou podem coincidir e, portanto, se “intersectar” em todos os pontos. A Figura 2 mostra os gráficos que correspondem aos seguintes sistemas: FIGURA 2 (a) Sem solução. (b) Uma infinidade de soluções. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. As Figuras 1 e 2 ilustram o seguinte fato geral sobre sistemas lineares, que será verificado na Seção 1.2. Um sistema de equações lineares tem: nenhuma solução, ou exatamente uma solução, ou infinitas soluções. Dizemos que um sistema linear é consistente se tiver uma solução ou infinitas soluções; um sistema é inconsistente ou impossível se não tiver nenhuma solução. Notação Matricial A informação essencial de um sistema linear pode ser representada de forma compacta por meio de um arranjo retangular chamado matriz. Dado o sistema podemos formar uma matriz com os coeficientes de cada variável alinhados em colunas Essa matriz é chamada matriz dos coeficientes (ou matriz associada) do sistema (3) e a matriz é conhecida como matriz aumentada do sistema. (A segunda linha contém um zero porque a segunda equação poderia ter sido escrita como 0 · x1 + 2x2 – 8x3 = 8.) Uma matriz aumentada de um sistema consiste na matriz dos coeficientes, com uma coluna adicional que contém as constantes à direita do sinal de igualdade nas equações. O tamanho de uma matriz informa quantas linhas e colunas a matriz tem. A matriz aumentada (4) anterior tem 3 linhas e 4 colunas e é chamada uma matriz 3 × 4 (leia “três por quatro”). Se m e n forem inteiros positivos, uma matriz m × n será um arranjo retangular de números com m linhas e n colunas. (O número de linhas sempre vem Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD primeiro.) A notação matricial irá simplificar os cálculos nos exemplos que se seguem. Resolvendo um Sistema Linear Esta seção e a próxima descrevem um algoritmo, ou seja, um procedimento sistemático, para resolver sistemas lineares. A estratégia básica é substituir um sistema por um sistema equivalente (isto é, um com o mesmo conjunto solução) que seja mais fácil de resolver. Basicamente, usamos o termo em x1 da primeira equação do sistema para eliminar os termos em x1 das outras equações. Depois, usamos o termo em x2 da segunda equação para eliminar os termos em x2 das outras equações, e assim por diante, até por final obtermos um sistema equivalente bem simples. Três operações básicas são usadas para simplificar um sistema linear: substituir uma equação por sua própria soma com um múltiplo de outra equação, trocar entre si duas equações e multiplicar todos os termos de uma equação por uma constante não nula. Após o primeiro exemplo, veremos por que essas três operações não alteram o conjunto solução do sistema. EXEMPLO 1 Resolva o sistema (3). SOLUÇÃO Vamos realizar o procedimento de eliminação com e sem a notação matricial e colocar os resultados lado a lado para compararmos: Queremos manter x1 na primeira equação e eliminá-lo das outras. Para isso, somamos –5 vezes a primeira equação à terceira. Depois de alguma prática, o cálculo seguinte costuma ser feito mentalmente: O resultado desse cálculo é colocado no lugar da terceira equação original: A seguir, multiplicamos a segunda equação por 1/2 para obter o coeficiente de x2 igual a 1. (Esse cálculo irá simplificar a aritmética do próximo passo.) Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Usamos o x2 na segunda equação para eliminar o –10x2 na terceira equação. O cálculo “mental” é O resultado desses cálculos é escrito no lugar da terceira equação (linha) anterior: Agora, multiplique a equação 3 por para obter 1 como coeficientes de x3. (Este cálculo irá simplificar a aritmética no próximo passo.) O novo sistema tem uma forma triangular (o termo intuitivo triangular será substituído por um termo preciso na próxima seção): Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Cada uma das equações originais determina um plano no espaço tridimensional. O ponto (1, 0, –1) pertence aos três planos. Em algum momento, vamos querer eliminar o termo –2x2 da primeira equação, mas é mais eficiente usar, primeiro, o x3 na terceira equação para eliminar os termos –4x3 e +x3 nas segunda e primeira equações. Os dois cálculos “mentais” são Combinando os resultados dessas duas operações, obtemos: Assim, tendo eliminado a coluna acima do x3 na terceira equação, retornamos ao x2 na segunda equação para eliminar o –2x2 acima dele. Por causa do trabalho anterior com o x3, agora não temos nenhuma conta envolvendo os termos em x3. Somando 2 vezes a segunda equação à primeira, obtemos o sistema: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. O trabalho está praticamente terminado, e indica que a única solução do sistema original é (1, 0, –1). No entanto, já que fizemos tantos cálculos, seria uma boa ideia verificar nosso resultado. Para verificar que (1, 0, –1) é, de fato, uma solução, substituímos esses valores nas expressões à esquerda dos sinais de igualdade no sistema original e calculamos: Os resultados conferem com os números à direita dos sinais de igualdade no sistema original, de modo que (1, 0, –1) é uma solução do sistema. ■ O Exemplo 1 ilustra como as operações nas equações de um sistema linear correspondem a operações nas linhas apropriadas da matriz aumentada. As três operações básicas descritas anteriormente correspondem às seguintes operações na matriz aumentada. OPERAÇÕES ELEMENTARES NAS LINHAS (Substituição) Substituir uma linha por sua própria soma com um múltiplo de outra.1 (Troca) Trocar duas linhas entre si. (Mudança de escala) Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma constante não nula. As operações elementares podem ser aplicadas a qualquer matriz, não só àquelas que surgem como matriz aumentada de um sistema linear. Diremos que duas matrizes são equivalentes por linhas se existir uma sequência de operações elementares de linhas que transforme uma matriz na outra. É importante observar que as operações elementares são reversíveis. Se duas linhas forem trocadas, poderão retornar às suas posições originais por meio de outra troca. Se uma linha for escalonada por uma constante não nula c, então multiplicando a nova linha por 1/c obteremos a linha original. Finalmente, considere uma operação de substituição envolvendo duas linhas, digamos, a primeira e a segunda, e suponha que c vezes a primeira linha é somada à segunda de modo a obter uma nova segunda linha. Para “reverter” essa operação, some –c vezes a primeira linha à (nova) segunda linha para obter a segunda linha original. Veja os Exercícios de 29 a 32 no final desta seção. No momento, estamos interessados em operações elementares na matriz aumentada associada a um sistema linear de equações. Suponha que um sistema seja transformado em um novo por operações elementares. Considerando cada tipo de operação elementar, é fácil ver que qualquer solução do sistema original continua sendo uma solução do novo sistema. Reciprocamente, como o sistema original pode ser obtido do novo sistema através de operações elementares, cada solução do novo sistema também é uma solução do sistema original. Essa discussão justifica a afirmação a seguir. Se as matrizes aumentadas de dois sistemas lineares forem equivalentes por linha, então os dois sistemas terão o mesmo conjunto solução. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. Apesar de o Exemplo 1 ser longo, você descobrirá, depois de um pouco de prática, que os cálculos são feitos com rapidez. Em geral, as operações elementares dos exercícios do texto serão muito mais fáceis de realizar, permitindo que você se mantenha focalizado nos conceitos subjacentes. Mesmo assim, é preciso aprender a realizar operações elementares corretamente, porque serão utilizadas ao longo de todo o texto. O restante desta seção mostra como usar operações elementares para determinar o tamanho de um conjunto solução, sem resolver o sistema linear completamente. O Problema de Existência e Unicidade Na Seção 1.2, veremos por que um conjunto solução de um sistema linear pode não conter solução, conter uma solução ou uma infinidade de soluções. Respostas às duas perguntas a seguir determinarão a natureza do conjunto solução de um sistema linear. A fim de determinar qual possibilidade é verdadeira para um sistema em particular, faremos duas perguntas. DUAS PERGUNTAS FUNDAMENTAIS SOBRE UM SISTEMA LINEAR O sistema é consistente, ou seja, existe pelo menos uma solução? Se existe solução, só existe uma, ou seja, a solução é única? Essas duas perguntas aparecem ao longo de todo o texto de muitas formas diferentes. Nesta e na próxima seção, mostraremos como responder a essas perguntas usando operações elementares na matriz aumentada. EXEMPLO 2 Determine se o sistema a seguir é consistente. SOLUÇÃO Esse é o sistema do Exemplo 1. Suponha que tenhamos realizado as operações elementares necessárias para obter a forma triangular Aqui já conhecemos x3. Se substituíssemos o valor de x3 na segunda equação, determinaríamos x2 e, depois, poderíamos determinar x1 usando a primeira equação. Portanto, existe solução; o sistema é consistente. (De fato, x2 é determinado unicamente pela segunda equação, já que x3 só tem um valor possível, e x1, logo, fica determinado apenas pela primeira equação. Então a solução é única.) Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD ■ EXEMPLO 3 Determine se o sistema a seguir é consistente: SOLUÇÃO A matriz aumentada é Para obter um x1 na primeira equação, trocamos a primeira linha com a segunda: Para eliminar o termo 4x1 na terceira equação, somamos –2 vezes a primeira linha à terceira: Em seguida, usamos o termo x2 na segunda equação para eliminar o termo –2x2 da terceira equação. Some a terceira linha à segunda linha multiplicada por 2: Agora, a matriz aumentada está na forma triangular. Para interpretá-la de maneira correta, vamos voltar para a notação de equações: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD A equação 0 = 15 é uma forma resumida de 0x1 + 0x2 + 0x3 = 15. Esse sistema em forma triangular obviamente tem uma contradição. Não existem valores de x1, x2, x3 que satisfaçam (8), já que a equação 0 = 15 nunca é verdadeira. Como (8) e (5) têm o mesmo conjunto solução, o sistema original é inconsistente (ou seja, não tem solução). ■ Este sistema é inconsistente porque não existe ponto pertencente aos três planos. Preste atenção na matriz aumentada em (7). Sua última linha é típica de um sistema inconsistente em forma triangular. COMENTÁRIOS NUMÉRICOS Em problemas reais, os sistemas de equações lineares são resolvidos por um computador. Para uma matriz de coeficientes quadrada, os programas de computador quase sempre usam o algoritmo de eliminação, dado aqui na Seção 1.2, com uma ligeira modificação a fim de melhorar a precisão. A imensa maioria dos problemas de álgebra linear no mundo dos negócios e na indústria é resolvida com programas que usam aritmética de ponto flutuante. Os números são representados como decimais da forma ± 0,d1…dp × 10r, em que r é um inteiro e o número p de algarismos à direita da vírgula decimal fica em geral entre 8 e 16. A aritmética desses números é tipicamente inexata, porque o resultado precisa ser arredondado (ou truncado) de acordo com o número de algarismos armazenados. “Erros de arredondamento” também são introduzidos quando um número como 1/3 é colocado no computador, já que sua representação decimal precisa ser aproximada por um número finito de algarismos. Por sorte, as imprecisões da aritmética de ponto flutuante raramente causam algum problema. Os comentários numéricos neste livro irão, às vezes, advertir a respeito de questões que você talvez precise considerar mais tarde em sua carreira. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. 4. 1. PROBLEMAS PRÁTICOS Ao longo de todo o livro, os problemas práticos devem ser trabalhados antes dos exercícios. Suas soluções são dadas ao final de cada conjunto de exercícios. Enuncie, em palavras, a próxima operação elementar que deve ser realizada no sistema de modo a resolvê-lo. [É possível mais de uma resposta em (a).] A matriz aumentada associada a um sistema linear foi transformada por operações elementares para a forma a seguir. Determine se o sistema é consistente. Será que (3, 4, –2) é uma solução do sistema a seguir? 5x1 – x2 + 2x3 = 7 –2x1 + 6x2 + 9x3 = 0 –7x1 + 5x2 – 3x3 = –7 Para que valores de h e k o sistema a seguir é consistente? 2x1 – x2 = h –6x1 + 3x2 = k 1.1 EXERCÍCIOS Resolva cada sistema, nos Exercícios 1 a 4, usando operações elementares nas equações ou na matriz aumentada. Siga o procedimento sistemático de eliminação descrito nesta seção. x1 + 5x2 = 7 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 2. 3. 4. –2x1 – 7x2 = –8 2x1 + 4x2 = –4 5x1 + 7x2 = 11 Encontre o ponto (x1, x2) que pertence às retas x1 + 5x2 = 7 e x1 – 2x2 = –2.Veja a figura. Determine o ponto de interseção das retas x1 – 5x2 = 1 e 3x1 – 7x2 = 5. Considere cada matriz nos Exercícios 5 e 6 como a matriz aumentada de um sistema linear. Enuncie, em palavras, as duas próximas operações elementares que devem ser efetuadas nas linhas das matrizes, no processo de resolução dos sistemas. Nos Exercícios 7 a 10, a matriz aumentada de um sistema linear foi reduzida por operações elementares à forma dada. Em cada caso, prossiga com as operações elementares apropriadas e descreva o conjunto solução do sistema original. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Resolva os sistemas nos Exercícios 11 a 14. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 17. 18. Determine se os sistemas nos Exercícios 15 e 16 são consistentes. Não resolva os sistemas completamente. As três retas x1 – 4x2 = 1, 2x1 – x2 = –3 e –x1 – 3x2 = 4 têm algum ponto em comum? Explique. Os três planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 – x3 = 1 e x1 + 3x2 = 0 têm pelo menos um ponto em comum? Explique. Nos Exercícios 19 a 22, determine o(s) valor(es) de h tais que a matriz seja a matriz aumentada associada a um sistema linear consistente. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 23. a. b. c. d. 24. a. b. c. d. 25. 26. 27. Nos Exercícios 23 e 24, afirmações importantes feitas nesta seção são citadas diretamente, um pouco alteradas (mas ainda verdadeiras) ou alteradas de forma a torná-las falsas. Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa e justifique sua resposta. (Se verdadeira, indique o local aproximado em que uma afirmação semelhante foi feita, ou dê uma referência de uma definição ou teorema. Se falsa, indique onde pode ser encontrada uma afirmação que foi citada ou usada incorretamente, ou dê um exemplo que mostre que a afirmação não pode ser verdadeira em todos os casos.) Questões semelhantes, do tipo Verdadeiro/Falso, aparecerão em muitas seções neste texto. Toda operação elementar é reversível. Uma matriz 5 × 6 tem seis linhas. O conjunto solução de um sistema linear envolvendo as variáveis x1, …, xn é uma lista de números (s1, …, sn) que torna cada equação do sistema verdadeira quando as variáveis x1, …, xn assumem os valores s1, …, sn, respectivamente. Duas perguntas fundamentais sobre um sistema linear envolvem existência e unicidade. Operações elementares efetuadas nas linhas da matriz aumentada de um sistema linear nunca mudam o conjunto solução. Duas matrizes são equivalentes por linhas se tiverem o mesmo número de linhas. Um sistema inconsistente tem mais de uma solução. Dois sistemas lineares serão equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. Encontre uma equação envolvendo g, h e k que faça com que a matriz aumentada a seguir corresponda a um sistema consistente: Construa três matrizes aumentadas diferentes para sistemas lineares cujo conjunto solução consiste em x1 = –2, x2 = 1, x3 = 0. Suponha que o sistema a seguir seja consistente para todos os valores de f e g. O que você pode dizer sobre os coeficientes c e d? Justifique sua resposta. x1 + 3x2 = f Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 28. cx1 + dx2 = g Suponha que a, b, c e d sejam constantes, a seja diferente de zero e o sistema a seguir seja consistente para todos os valores possíveis de f e de g. O que você pode dizer sobre os números a, b, c e d? Justifique sua resposta. ax1 + bx2 = f cx1 + dx2 = g Nos Exercícios 29 a 32, determine a operação elementar que transforma a primeira matriz na segunda e, depois, determine a operação elementar inversa que transforma a segunda matriz na primeira. Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é determinar a distribuição de temperatura do estado estacionário de uma placa fina quando a temperatura em seu bordo é conhecida. Suponha que a placa, na figura a seguir, represente uma seção transversal de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam T1, …, T4 as temperaturas nos quatro nós interiores do reticulado na figura. A temperatura em um nó é igual, aproximadamente, à média dos quatro nós vizinhos — à esquerda, acima, à direita e abaixo.2 Por exemplo, T1 = (10 + 20 + T2 + T4)/4 ou 4T1 – T2 – T4 = 30 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 33. 34. 1. a. b. 2. 3. Escreva um sistema com quatro equações cuja solução fornece estimativas para as temperaturas T1, …, T4. Resolva o sistema de equações do Exercício 33. [Sugestão: Para acelerar os cálculos, troque a primeira com a quarta linha antes de começar as operações de “substituição”.] SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS Para o “cálculo braçal”, a melhor escolha é trocar a terceira com a quarta equação. Outra possibilidade é multiplicar a terceira equação por 1/5. Ou substituir a quarta equação por sua soma com a terceira multiplicada por –1/5. (Em qualquer caso, não use o x2 na segunda equação para eliminar o 4x2 na primeira. Espere até obter uma forma triangular e eliminar os termos em x3 e x4 nas duas primeiras equações.) O sistema está em forma triangular. Uma simplificação adicional começa com o termo x4 na quarta equação. Use esse x4 para eliminar todos os x4 acima. O passo apropriado, agora, é somar 2 vezes a quarta equação à primeira. (Depois, multiplique a terceira equação por 1/2 e use-a para eliminar os termos em x3 acima.) O sistema associado à matriz aumentada é x1 + 5x2 + 2x3 = –6 4x2 – 7x3 = 2 5x3 = 0 A terceira equação torna x3 = 0, o que certamente é um valor permitido para x3. Após a eliminação dos termos em x3 nas duas primeiras equações, poderíamos prosseguir com a resolução para determinar valores únicos de x2 e x1. Portanto, a solução existe e é única. Observe a diferença entre esta situação e a do Exemplo 3. É fácil verificar se uma lista específica de números é uma solução ou não. Substituindo x1 = 3, x2 = 4 e x3 = –2, obtemos 5(3) – (4) + 2 (–2) = 15 – 4 – 4 = 7 2(3) + 6(4) + 9(–2) = –6 + 24 – 18 = 0 –7(3) + 5(4) – 3(–2) = –21 + 20 + 6 = 5 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 4. 1.2 Apesar de as duas primeiras equações serem satisfeitas, a terceira não é, de modo que (3, 4, –2) não é uma solução do sistema. Observe o uso dos parênteses quando fazemos as substituições. Eles são fortemente recomendados como precaução contra erros de aritmética. Quando somamos à segunda equação 3 vezes a primeira, o sistema obtido é 2x1 – x2 = h 0 = k + 3h Se k + 3h não for zero, o sistema não terá solução. O sistema é consistente para quaisquer valores de h e k que tornem k + 3h = 0. Como o ponto (3, 4, –2) satisfaz as duas primeiras equações, ele pertence à reta de interseção dos dois primeiros planos. Como (3, 4, –2) não satisfaz todas as três equações, ele não pertence a todos os três planos. REDUÇÃO POR LINHAS E FORMAS ESCALONADAS Nesta seção, vamos refinar o método da Seção 1.1 transformando-o em um algoritmo de redução por linhas, que nos possibilitará analisar qualquer sistema linear de equações.1 Usando apenas a primeira parte do algoritmo, seremos capazes de responder às perguntas fundamentais sobre existência e unicidade feitas na Seção 1.1. O algoritmo se aplica a qualquer matriz, seja uma matriz aumentada de um sistema linear ou não. Assim, a primeira parte desta seção se aplica a qualquer matriz retangular e começa introduzindo duas classes importantes de matrizes que incluem as matrizes “triangulares” da Seção 1.1. Nas definições que se seguem, uma linha ou uma coluna não nula em uma matriz significa uma linha ou coluna que contém pelo menos um elemento não nulo; algumas vezes, nos referiremos ao primeiro elemento não nulo de uma linha, considerado da esquerda para a direita (em uma linha não nula), como um elemento líder. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. 4. 5. DEFINIÇÃO Uma matriz retangular está em forma escalonada (ou em forma escalonada por linhas) se satisfizer as três seguintes propriedades: Todas as linhas não nulas estão acima de qualquer linha que só contenha zeros. O elemento líder de cada linha não nula está em uma coluna à direita do elemento líder da linha acima. Todos os elementos na coluna de um elemento líder que estão abaixo do mesmo são iguais a zero. Se uma matriz em forma escalonada satisfizer as condições adicionais a seguir, então estará na forma escalonada reduzida (ou em forma escalonada reduzida por linhas): O elemento líder de cada linha não nula é igual a 1. Cada elemento líder igual a 1 é o único elemento não nulo em sua coluna. Uma matriz escalonada (matriz escalonada reduzida, respectivamente) é uma matriz em forma escalonada (forma escalonada reduzida, respectivamente). A propriedade 2 diz que os elementos líderes formam um padrão escalonado (“de escada”) que desce para a direita pela matriz. A propriedade 3 é uma simples consequência da propriedade 2, mas está incluída para enfatizar. As matrizes “triangulares” da Seção 1.1, como estão em forma escalonada. De fato, a segunda matriz está em forma escalonada reduzida. Vejamos agora exemplos adicionais. EXEMPLO 1 As matrizes a seguir estão em forma escalonada. Os elementos líderes (■) podem assumir qualquer valor não nulo; os elementos com asterisco (*) podem assumir qualquer valor (incluindo zero). Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD As matrizes a seguir estão na forma escalonada reduzida porque os elementos líderes são todos iguais a 1 e só tem elementos iguais a 0 abaixo e acima de cada líder. Qualquer matriz não nula pode ser escalonada (ou seja, transformada por operações elementares) em mais de uma matriz em forma escalonada, usando sequências diferentes de operações elementares. No entanto, a forma escalonada reduzida obtida de uma matriz é única. O próximo teorema está demonstrado no Apêndice A, no final do livro. TEOREMA 1 Unicidade da Forma Escalonada Reduzida Cada matriz é equivalente por linhas a uma e somente uma matriz escalonada reduzida. Se uma matriz A for equivalente por linhas a uma matriz escalonada U, dizemos que U é uma forma escalonada (ou forma escalonada por linhas) de A; se U estiver em forma escalonada reduzida, dizemos que U é a forma escalonada reduzida de A. [A maioria dos programas matriciais e das calculadoras com capacidade para manipular matrizes usa a abreviação RREF para a forma escalonada reduzida (por linhas); alguns usam REF para a forma escalonada (por linhas).] Posição de Pivôs Quando as operações elementares geram uma forma escalonada de uma matriz, as operações adicionais para se obter a forma escalonada reduzida não mudam as posições dos elementos líderes. Como a forma escalonada reduzida é única, os elementos líderes estão sempre nas mesmas posições em qualquer forma escalonada de dada matriz. Esses elementos líderes correspondem aos elementos líderes iguais a 1 na forma escalonada reduzida. DEFINIÇÃO Em uma matriz A, uma posição de pivô é um local em A que corresponde a um elemento líder em uma forma escalonada de A. Uma coluna pivô é uma coluna de A que contém uma posição de pivô. No Exemplo 1, os quadrados (■) identificam as posições de pivôs. Muitos conceitos fundamentais nos quatro primeiros capítulos estarão relacionados, de uma forma ou de outra, às posições de pivô de uma matriz. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD EXEMPLO 2 Faça o escalonamento da matriz A a seguir e localize as colunas pivôs de A. SOLUÇÃO Use a mesma estratégia básica da Seção 1.1. O primeiro elemento (ao alto) da primeira coluna não nula (da esquerda para a direita) é a primeira posição de pivô. Um valor não nulo, chamado pivô, deve ser colocado nessa posição. Uma boa escolha é trocar a primeira com a quarta linha (porque, assim, os cálculos mentais do próximo passo não envolverão frações). Crie zeros abaixo do pivô, 1, somando múltiplos da primeira linha às linhas de baixo e obtenha a matriz (1) abaixo. A próxima posição de pivô, na segunda linha, deve estar o mais possível à esquerda, a saber, na segunda coluna. Escolheremos o 2 nessa posição como o próximo pivô. Some a segunda linha multiplicada por –5/2 à terceira e some a segunda linha multiplicada por 3/2 à quarta. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD A matriz em (2) é diferente das matrizes obtidas na Seção 1.1. Não há como criar um elemento líder na terceira coluna. (Não podemos usar as duas primeiras linhas, senão destruiríamos a formação escalonada dos elementos líderes obtida até agora.) No entanto, se trocarmos a terceira com a quarta linha, poderemos criar um elemento líder na quarta coluna. A matriz está em forma escalonada, revelando que a primeira, a segunda e a quarta são as colunas pivôs. Um pivô, como ilustrado no Exemplo 2, é um número não nulo em uma posição de pivô que é usado para criar zeros por meio de operações elementares. Os pivôs no Exemplo 2 são 1, 2 e –5. Observe que esses números não são iguais aos elementos de A que estão indicados nas posições de pivô em (3). Com o Exemplo 2 como guia, estamos prontos para descrever um procedimento eficiente que transforme uma matriz em uma matriz escalonada ou escalonada reduzida. Um estudo cuidadoso e o domínio do procedimento agora irão pagar ótimos dividendos mais tarde. O Algoritmo de Escalonamento ou de Redução por Linhas O algoritmo que se segue consiste em quatro passos e produz uma matriz em forma escalonada. Um quinto passo produz uma matriz em forma escalonada reduzida. Vamos ilustrar o algoritmo fazendo uso de um exemplo. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD EXEMPLO 3 Aplique as operações elementares para transformar a matriz a seguir em primeiro lugar para uma forma escalonada e, depois, para a forma escalonada reduzida. SOLUÇÃO PASSO 1 Inicie com a primeira coluna não nula, da esquerda para a direita. Esta é uma coluna pivô. A posição de pivô é a primeira de cima. PASSO 2 Escolha um elemento não nulo na coluna pivô para servir de pivô. Se necessário, troque linhas de modo a deslocar esse elemento para a posição de pivô. Troque a primeira com a terceira linha. (Poderíamos também ter trocado a primeira com a segunda linha.) PASSO 3 Use as operações de substituição de linha para criar zeros em todas as posições abaixo do pivô. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Como um passo preliminar, poderíamos dividir a primeira linha pelo valor do pivô, 3. Mas com dois elementos iguais a 3 na primeira coluna, fica bem fácil somar a primeira linha multiplicada por –1 à segunda. PASSO 4 Cubra (ou ignore) a linha contendo a posição de pivô e cubra todas as linhas acima dela, se houver. Aplique os passos de 1 a 3 no restante da matriz. Repita o processo até que não existam mais linhas não nulas a serem modificadas. Com a primeira linha coberta, o passo 1 mostra que a coluna 2 é a próxima coluna pivô; para o passo 2, vamos escolher como pivô o elemento “de cima” nesta coluna. Para o passo 3, poderíamos realizar um passo adicional que consiste em dividir a linha “de cima” da matriz restante pelo pivô, 2. Em vez disso, vamos somar a linha “de cima” multiplicada por –3/2 à linha abaixo. Isso nos dá Quando cobrimos a linha contendo a segunda posição de pivô para o passo 4, resta-nos uma nova matriz que tem somente uma linha: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Os passos de 1 a 3 não exigem nenhum trabalho para essa matriz e, assim, atingimos uma forma escalonada da matriz original. Se quisermos uma matriz na forma escalonada reduzida, então realizaremos mais um passo. PASSO 5 Iniciando com o pivô mais à direita e prosseguindo para cima e à esquerda, crie zeros acima de cada pivô. Se um pivô não for igual a 1, faça-o assumir o valor 1 através de uma operação de escalonamento. O pivô mais à direita está na coluna 3. Crie zeros acima deste pivô, somando múltiplos convenientes da terceira linha à primeira e à segunda linha. O próximo pivô está na linha 2. Vamos mudar a escala nessa linha dividindo pelo pivô. Crie um zero na coluna 2 somando a segunda linha multiplicada por 9 à primeira. Finalmente, vamos mudar a escala na primeira linha dividindo pelo pivô, 3. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Essa é a forma escalonada reduzida da matriz original. ■ A combinação dos passos de 1 a 4 é chamada fase progressiva do algoritmo de escalonamento. O passo 5, que gera a forma escalonada reduzida única, é conhecido como fase regressiva. COMENTÁRIO NUMÉRICO No passo 2 já mencionado, um programa de computador vai normalmente escolher, como pivô, o elemento de uma coluna que tenha o maior valor em módulo. Essa estratégia, chamada pivô parcial, é usada para reduzir os erros de arredondamento nos cálculos. Soluções de Sistemas Lineares Quando aplicado à matriz aumentada de um sistema linear, o algoritmo de escalonamento leva diretamente a uma descrição explícita do conjunto solução para o sistema. Suponha, por exemplo, que a matriz aumentada de um sistema linear tenha sido transformada na forma escalonada reduzida equivalente. Existem três variáveis porque a matriz aumentada tem quatro colunas. O sistema de equações associado é As variáveis x1 e x2, correspondentes às colunas pivôs da matriz, são chamadas variáveis dependentes ou básicas.2 A outra variável, x3, é denominada variável livre. Sempre que um sistema for consistente, como em (4), o conjunto solução pode ser descrito de forma explícita resolvendo-se o sistema de equações reduzido para as variáveis básicas em função das variáveis livres. Essa operação se torna possível porque a forma escalonada reduzida posiciona cada variável dependente em exatamente uma equação. Em (4), podemos resolver a primeira equação para obter x1, e a segunda equação para obter x2. (Ignoramos a terceira equação, que não oferece nenhuma restrição para as variáveis.) Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD A afirmação “x3 é livre” significa que estamos livres para escolher qualquer valor para x3. Uma vez feito isso, as fórmulas em (5) determinam os valores de x1 e x2. Por exemplo, quando x3 = 0, a solução é (1, 4, 0); quando x3 = 1, a solução é (6, 3, 1). Cada escolha de x3 determina uma solução (diferente) do sistema, e toda solução do sistema é determinada por uma escolha de x3. EXEMPLO 4 Determine a solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada foi reduzida para SOLUÇÃO A matriz está em forma escalonada, mas queremos obter a forma escalonada reduzida antes de resolver para as variáveis básicas. A seguir, completamos a redução por linhas. O símbolo ~ antes de uma matriz indica que a matriz é equivalente por linhas à matriz anterior. Existem cinco variáveis, já que a matriz aumentada tem seis colunas. O sistema associado agora é As colunas pivôs da matriz são 1, 3 e 5, de modo que as variáveis dependentes são x1, x3 e x5. As variáveis restantes, x2 e x4, são necessariamente livres. Resolvendo para as variáveis dependentes, obtemos a solução geral: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Observe que o valor de x5 já foi fixado pela terceira equação do sistema (6). ■ Descrições Paramétricas do Conjunto Solução As descrições em (5) e (7) são descrições paramétricas de conjuntos solução nos quais as variáveis livres atuam como parâmetros. Resolver um sistema significa determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução ou concluir que o conjunto solução é vazio. Sempre que um sistema for consistente e tiver variáveis livres, o conjunto solução terá muitas descrições paramétricas. Por exemplo, no sistema (4), podemos somar a segunda equação multiplicada por 5 à primeira equação e obter o sistema equivalente x1 + 5x2 = 21 x2 + x3 = 4 Poderíamos considerar x2 como um parâmetro e resolver para x1 e x3 em função de x2 e, assim, teríamos uma descrição precisa do conjunto solução. No entanto, para sermos coerentes, seguiremos a convenção (arbitrária) de usar sempre as variáveis livres como parâmetros para descrever um conjunto solução. (A seção de respostas, ao final do livro, também reflete essa convenção.) Sempre que um sistema for inconsistente, o conjunto solução será vazio, mesmo se o sistema tiver variáveis livres. Nesse caso, o conjunto solução não tem representação paramétrica. Substituição de Trás para a Frente Considere o seguinte sistema cuja matriz aumentada está em forma escalonada, mas não está na forma escalonada reduzida. x1 – 7x2 + 2x3 – 5x4 + 8x5 = 10 x2 – 3x3 + 3x4 + x5 = –5 x4 – x5 = 4 Um programa de computador resolveria esse sistema por substituição de trás para a frente, em vez de calcular a forma escalonada reduzida. Ou seja, o programa resolveria a equação 3 para x4 em função de x5 e substituiria a expressão para x4 na equação 2; resolveria a equação 2 para x2; e, então, substituiria as expressões para x2 e x4 na Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD equação 1 e resolveria para x1. Nosso processo para a fase regressiva do escalonamento, que gera a forma escalonada reduzida, tem o mesmo número de operações aritméticas que a substituição de trás para a frente. Mas o formato matricial reduz substancialmente a tendência de se cometerem erros durante os cálculos. A melhor estratégia é usar somente a forma escalonada reduzida para resolver um sistema. COMENTÁRIO NUMÉRICO Em geral, a fase progressiva do escalonamento leva muito mais tempo do que a fase regressiva. Um algoritmo que resolve um sistema costuma ser medido em flops (do inglês floating point operations ou operações de ponto flutuante). Um flop é uma operação aritmética (+, –, *, /) de dois números reais em ponto flutuante.3 Para uma matriz n × (n + 1), o processo até uma forma escalonada pode consumir 2n3/3 + n2/2 – 7n/6 flops (o que dá próximo a 2n3/3 flops quando n for moderadamente grande, digamos, n ≥ 30). Por outro lado, a continuação do processo até a forma escalonada reduzida consome no máximo n2 flops. Sobre a Existência e a Unicidade Apesar de a forma escalonada não reduzida ser uma ferramenta fraca para resolver um sistema, é exatamente o que é preciso para responder às duas perguntas fundamentais feitas na Seção 1.1. EXEMPLO 5 Determine a existência e a unicidade de soluções do sistema 3x2 – 6x3 + 6x4 + 4x5 = –5 3x1 – 7x2 + 8x3 – 5x4 + 8x5 = 9 3x1 – 9x2 + 12x3 – 9x4 + 6x5 = 15 SOLUÇÃO A matriz aumentada desse sistema foi escalonada no Exemplo 3: As variáveis dependentes são x1, x2 e x5; as variáveis livres são x3 e x4. Não existe nenhuma equação da forma 0 = 1 que indicaria um sistema inconsistente, de modo que podemos aplicar a substituição de trás para a frente para determinar uma solução. Mas a existência de uma solução já está clara em (8). Além disso, a solução não é única porque existem variáveis livres. Cada escolha de x3 e x4 determina uma solução diferente. Portanto, o sistema admite infinitas soluções. ■ Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. 4. 5. 1. Quando um sistema está na forma escalonada e não há nenhuma equação da forma 0 = b, com b diferente de zero, toda equação não nula contém uma variável dependente com um coeficiente não nulo. Ou as variáveis dependentes ficam completamente determinadas (sem nenhuma variável livre), ou pelo menos uma das variáveis dependentes pode ser escrita em função de uma ou mais variáveis livres. No primeiro caso, a solução é única; no segundo caso, existem infinitas soluções (uma para cada escolha de valores das variáveis livres). Essas observações justificam o teorema a seguir. TEOREMA 2 Teorema de Existência e Unicidade Um sistema linear é consistente se e somente se a última coluna (à direita) da matriz aumentada não for uma coluna pivô, ou seja, se e somente se uma forma escalonada da matriz aumentada não tiver nenhuma linha da forma [0 ... 0 b] com b diferente de zero Se um sistema linear for consistente, então o conjunto solução conterá (i) uma única solução, no caso em que não haja variáveis livres, ou (ii) infinitas soluções, no caso em que exista pelo menos uma variável livre. O procedimento a seguir descreve como se determinam todas as soluções de um sistema linear. USANDO ESCALONAMENTO PARA RESOLVER UM SISTEMA LINEAR Escreva a matriz aumentada do sistema. Use o algoritmo de escalonamento para obter uma matriz aumentada equivalente em forma escalonada. Decida se o sistema é consistente. Se não existir solução, pare; caso contrário, vá para o próximo passo. Continue a redução por linhas até obter a forma escalonada reduzida. Escreva o sistema de equações correspondente à matriz obtida no passo 3. Reescreva cada equação não nula do passo 4 de modo que sua única variável dependente fique expressa em função das variáveis livres que aparecem na equação. PROBLEMAS PRÁTICOS Determine a solução geral do sistema linear cuja matriz aumentada é Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 2. 3. Determine a solução geral do sistema x1 – 2x2 – x3 + 3x4 = 0 –2x1 + 4x2 + 5x3 – 5x4 = 3 3x1 – 6x2 – 6x3 + 8x4 = 2 Suponha que a matriz 4 × 7 de coeficientes de um sistema linear de equações tem 4 pivôs. O sistema é consistente? Se o sistema for consistente, quantas soluções terá? 1.2 EXERCÍCIOS Nos Exercícios 1 e 2, determine quais matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão apenas em forma escalonada. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 5. Faça o escalonamento das matrizes nos Exercícios 3 e 4 para obter a forma escalonada reduzida. Circule as posições de pivô na matriz final e na matriz original, e liste as colunas pivôs. Descreva todas as formas escalonadas possíveis de uma matriz não nula 2 × 2. Use os símbolos ■, * e 0 como na primeira parte do Exemplo 1. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 6. Repita o Exercício 5 para uma matriz não nula 3 × 2. Determine a solução geral dos sistemas cujas matrizes aumentadas são dadas nos Exercícios 7 a 14. Nos Exercícios 15 e 16, use a notação do Exemplo 1 para matrizes em forma escalonada. Suponha que cada matriz represente a matriz aumentada de um sistema de equações lineares. Em cada caso, determine se o sistema é consistente. Se o sistema for consistente, determine se a solução é única. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 19. 20. 21. a. b. c. d. Nos Exercícios 17 e 18, determine o(s) valor(es) de h para que a matriz seja a matriz aumentada de um sistema linear consistente. Nos Exercícios 19 e 20, escolha h e k para que o sistema tenha (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) muitas soluções. Dê respostas separadas para cada item. x1 + hx2 = 2 4x1 + 8x2 = k x1 + 3x2 = 2 3x1 + hx2 = k Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.4 Em alguns casos, uma matriz pode ser equivalente por linhas a mais de uma matriz em forma escalonada reduzida usando sequências diferentes de operações elementares. O algoritmo de escalonamento só se aplica a matrizes aumentadas de um sistema linear. Uma variável dependente em um sistema linear é uma variável que corresponde a uma coluna pivô na matriz dos coeficientes. Determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução de um sistema linear é o mesmo que resolver o sistema. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD e. 22. a. b. c. d. e. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. Se uma linha de uma forma escalonada de uma matriz aumentada for [0 0 0 5 0], então o sistema linear associado será inconsistente. A forma escalonada de uma matriz é única. As posições de pivô em uma matriz dependem se foi usada a troca de linhas no processo de escalonamento da matriz. A redução de uma matriz à sua forma escalonada é chamada de fase progressiva do processo de escalonamento. Sempre que um sistema tiver variáveis livres, o conjunto solução conterá muitas soluções. Uma solução geral de um sistema é uma descrição explícita de todas as soluções do sistema. Suponha que a matriz de coeficientes 3 × 5 de um sistema linear tenha três colunas pivôs. O sistema é consistente? Por quê? Suponha que um sistema de equações lineares tenha uma matriz aumentada 3 × 5 cuja quinta coluna é uma coluna pivô. O sistema é consistente? Por quê? Suponha que a matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares tem uma posição de pivô em todas as linhas. Explique por que o sistema é consistente. Suponha que a matriz de coeficientes de um sistema linear com três equações e três incógnitas tenha um pivô em cada coluna. Explique por que o sistema tem uma única solução. Reescreva a última frase do Teorema 2 usando o conceito de colunas pivôs: “Se um sistema linear for consistente, sua solução será única se e somente se ___________.” O que seria preciso saber sobre as colunas pivôs de uma matriz aumentada para ter certeza de que o sistema linear é consistente e tem uma única solução? Um sistema de equações lineares com menos equações do que incógnitas é, às vezes, denominado sistema subdeterminado. Suponha que um tal sistema é consistente. Explique por que esse sistema tem uma infinidade de soluções. Dê um exemplo de um sistema subdeterminado e inconsistente com duas equações e três incógnitas. Um sistema de equações lineares com mais equações do que incógnitas é, às vezes, denominado sistema superdeterminado. Um sistema como esse pode ser consistente? Ilustre sua resposta com um exemplo particular de um sistema de três equações e duas incógnitas. Suponha que uma matriz n × (n + 1) seja colocada em sua forma escalonada reduzida. Qual é a fração aproximada do número total de operações (flops) envolvidas na fase regressiva do escalonamento quando n = 30? E quando n = 300? Suponha que um conjunto de dados experimentais seja representado por um conjunto de pontos do plano. Um polinômio interpolador para esse conjunto de dados é um polinômio cujo gráfico contém cada ponto. Em trabalhos científicos, esse polinômio pode ser usado, por exemplo, para obter estimativas de valores entre os pontos conhecidos. Outra aplicação é a criação de curvas para imagens gráficas na tela de um computador. Um método para determinar um polinômio interpolador é resolver um sistema de equações lineares. Determine o polinômio interpolador p (t) = a0 + a1t + a2t2 para o conjunto de dados (1, 12), (2, 15), (3, 16). Em outras palavras, determine a0, a1 e a2 tais que Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 34. 1. a0 + a1(1) + a2(1)2 = 12 a0 + a1(2) + a2(2)2 = 15 a0 + a1(3) + a2(3)2 = 16 [M] Em uma experiência em um túnel de vento, a força sobre um projétil devido à resistência do ar foi medida para velocidades diferentes: Velocidade (100 pés/s) 0 2 4 6 8 10 Força (100 lbs) 0 2,90 14,8 39,6 74,3 119 Determine um polinômio interpolador para esse conjunto de dados e obtenha uma estimativa para a força sobre o projétil quando o mesmo estiver se deslocando a uma velocidade de 750 pés/s (1 pé ≈ 30,5 cm). Use p (t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 + a4t4 + a5t5. O que acontece se você tentar usar um polinômio de grau menor que 5? (Tente um polinômio cúbico, por exemplo.)5 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS A solução geral do sistema de equações é a reta de interseção dos dois planos. A forma escalonada reduzida da matriz aumentada e o sistema correspondente são As variáveis dependentes são x1 e x2, e a solução geral é Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 2. 3. 1.3 Obs.: É essencial que a solução geral descreva cada variável, com os parâmetros claramente identificados. As expressões a seguir não descrevem a solução: Essa descrição implica as variáveis x2 e x3 serem ambas livres, o que com certeza não é o caso. Coloque a matriz aumentada do sistema em forma escalonada: Essa matriz escalonada mostra que o sistema é inconsistente, porque sua última coluna (a mais à direita) é uma coluna pivô; a terceira linha corresponde à equação 0 = 5. Não há necessidade de realizar mais nenhuma operação elementar. Observe que a presença de variáveis livres nesse problema é irrelevante, porque o sistema é inconsistente. Como a matriz de coeficientes tem quatro pivôs, tem um pivô em cada linha. Isso significa que, quando for escalonada, não terá uma linha nula, logo a matriz aumentada correspondente escalonada não poderá ter uma linha de forma [0 0 ... 0 b], em que b é um número diferente de zero. Pelo Teorema 2, o sistema é consistente. Além disso, como a matriz de coeficientes tem sete colunas e apenas quatro são colunas pivô, existirão três variáveis livres e, portanto, uma infinidade de soluções. EQUAÇÕES VETORIAIS Propriedades importantes de sistemas lineares podem ser descritas por meio do conceito e da notação de vetores. Esta seção faz a ligação entre equações que envolvem vetores e sistemas de equações. O termo vetor aparece em grande variedade de contextos matemáticos e físicos, que discutiremos no Capítulo 4, “Espaços Vetoriais”. Até Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD lá, usaremos o termo vetor para designar uma lista ordenada de números. Essa ideia simples nos possibilita obter aplicações interessantes e importantes da forma mais rápida possível. Vetores em ℝ2 Uma matriz com apenas uma coluna é chamada vetor coluna ou simplesmente vetor. Exemplos de vetores com duas componentes são em que w1 e w2 são números reais arbitrários. O conjunto de todos os vetores com duas componentes é denotado por ℝ2 (leia “erre dois”). O ℝ representa os números reais que aparecem nas componentes dos vetores, e o expoente 2 indica que cada vetor contém duas componentes.1 Dois vetores em ℝ2 são iguais se e somente se suas componentes correspondentes forem iguais. Assim, não são iguais, já que os vetores em ℝ2 são pares ordenados de números reais. Dados dois vetores u e v em ℝ2, sua soma é o vetor u + v obtido somando-se as componentes correspondentes de u e v. Por exemplo, Dados um vetor v e um número real c, o múltiplo escalar de v por c é o vetor cv obtido multiplicando-se cada componente de v por c. Por exemplo, O número c em cv é chamado escalar; sua escrita não está em negrito para distingui-lo do tipo em negrito do vetor v. As operações de multiplicação por escalar e soma de vetores podem ser combinadas, como no exemplo a seguir. EXEMPLO 1 Dados , calcule 4u, (–3) v e 4u + (–3) v. SOLUÇÃO Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD e Algumas vezes, por conveniência (e também para economizar espaço), escrevemos um vetor coluna como na forma (3, –1). Nesse caso, usamos parênteses e uma vírgula para distinguir o vetor (3, –1) da matriz linha 1 × 2 [3 –1], escrita com colchetes e sem vírgula. Assim, pois as matrizes são de tamanhos diferentes, apesar de terem os mesmos elementos. Descrição Geométrica de ℝ2 Considere um sistema de coordenadas cartesianas no plano. Como cada ponto do plano fica determinado por um par ordenado de números, podemos identificar um ponto geométrico (a, b) com o vetor coluna . Podemos considerar, então, ℝ2 como o conjunto de todos os pontos do plano. Veja a Figura 1. FIGURA 1 Vetores como pontos. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 2 Vetores com setas. A visualização geométrica de um vetor como é auxiliada pela inclusão de uma seta (um segmento de reta orientado) da origem (0, 0) até o ponto (3, –1), como na Figura 2. Nesse caso, os pontos sobre a seta não têm nenhum significado especial.2 A soma de dois vetores tem uma interpretação geométrica muito útil. A regra que se segue pode ser verificada por geometria analítica. A Regra do Paralelogramo para a Soma Se u e v em ℝ2 forem representados como pontos no plano, então u + v corresponderá ao quarto vértice do paralelogramo cujos outros vértices serão u, 0 e v. Veja a Figura 3. FIGURA 3 A regra do paralelogramo. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD EXEMPLO 2 Os vetores estão representados graficamente na Figura 4. ■ FIGURA 4 O próximo exemplo ilustra o fato de que o conjunto de todos os múltiplos escalares de um vetor fixo é uma reta contendo a origem (0, 0). EXEMPLO 3 Seja . Represente graficamente os vetores v, . SOLUÇÃO Veja a Figura 5 na qual v, estão representados graficamente. A seta que representa 2v tem o dobro do comprimento da seta que representa v, e apontam na mesma direção. A seta que representa é dois terços do comprimento da seta que representa v, e apontam em direções opostas. Em geral, o comprimento da seta que representa cv é |c| vezes o comprimento da seta que representa v. [Lembre que o comprimento de um segmento de reta de (0, 0) a (a, b) é . Discutiremos mais sobre isso no Capítulo 6.] Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 5 ■ Vetores em ℝ3 Vetores em ℝ3 são matrizes colunas 3 × 1 com três componentes. São representados de forma geométrica por pontos em um espaço cartesiano tridimensional, com as setas que partem da origem incluídas, para que se possa ter uma visualização mais clara. Os vetores e 2a estão representados graficamente na Figura 6. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 6 Múltiplos escalares. Vetores em ℝn Se n for um inteiro positivo, ℝn (leia “erre n”) denota a coleção de todas as listas (ou n-uplas ordenadas) de n números reais, geralmente escritas na forma de uma matriz coluna n × 1, tal como O vetor cujas componentes são todas iguais a zero é chamado vetor nulo e é denotado por 0. (O contexto deixará claro o número de componentes de 0.) A igualdade de vetores em ℝn e as operações de multiplicação por escalar e soma de vetores são definidas componente a componente, como em ℝ2. Essas operações sobre vetores têm as seguintes propriedades, que podem ser verificadas diretamente das propriedades correspondentes para os números reais. Veja o Problema Prático 1 e os Exercícios 33 e 34 ao final desta seção. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) FIGURA 7 Subtração de vetores. Propriedades Algébricas de ℝn Quaisquer que sejam u, v, w em ℝn e quaisquer que sejam os escalares c e d: u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) u + 0 = 0 + u = u u + (–u) = –u + u = 0, em que –u denota (–1)u c(v + w) = cv + cw (c + d)v = cv + dv c(dv) = (cd)(v) lv = v Para simplificar a notação, um vetor da forma u + (–1) v é denotado por u – v. A Figura 7 mostra u – v visto como a soma de u e – v. Combinações Lineares Dados os vetores v1, v2, ..., vp em ℝn e dados os escalares c1, c2, ..., cp, o vetor y definido por y = c1v1 + ... + cpvp Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD é denotado uma combinação linear de v1, ..., vp com pesos c1, ..., cp. A propriedade (ii) acima nos permite omitir os parênteses sempre que formarmos uma combinação linear. Os pesos de uma combinação linear podem ser quaisquer números reais, incluindo o zero. Por exemplo, algumas combinações lineares dos vetores v1 e v2 são EXEMPLO 4 A Figura 8 identifica algumas combinações lineares de . (Observe os conjuntos de retas paralelas do reticulado traçadas por múltiplos inteiros de v1 e v2.) Faça uma estimativa das combinações lineares de v1 e v2 que geram os vetores u e w. FIGURA 8 Combinações lineares de v1 e v2. SOLUÇÃO A regra do paralelogramo mostra que u é a soma de 3v1 e –2v2, ou seja, u = 3v1 – 2v2 Essa expressão para u pode ser interpretada como instruções para chegar da origem até u ao longo de dois caminhos retilíneos. Primeiro, percorra 3 unidades na direção e sentido de v1 até 3v1, depois percorra duas unidades na direção e sentido oposto de v2 (a direção é paralela à reta que une v2 à origem). Apesar de w não pertencer a nenhuma das retas traçadas, w aparenta estar a meio caminho entre dois pares das retas do reticulado, no vértice de um paralelogramo determinado por (5/2) v1 e (–1/2) v2. (Veja a Figura 9.) Assim, uma estimativa razoável para w é Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD O próximo exemplo faz a ligação entre um problema importante sobre combinações lineares e a questão fundamental de existência estudada nas Seções 1.1 e 1.2. FIGURA 9 EXEMPLO 5 Sejam . Determine se b pode ser gerado (ou escrito) como uma combinação linear de a1 e a2. Em outras palavras, determine se existem pesos x1 e x2 tais que Se a equação vetorial (1) tiver solução, encontre-a. SOLUÇÃO Use as definições de multiplicação por escalar e de soma de vetores para reescrever a equação vetorial o que é o mesmo que Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD e Os vetores à esquerda e à direita do sinal de igualdade em (2) são iguais se e somente se suas componentes correspondentes forem iguais. Ou seja, x1 e x2 tornam a equação vetorial (1) verdadeira se e somente se x1 e x2 satisfizerem o sistema Resolvemos esse sistema escalonando a matriz aumentada do sistema, como se segue:3 A solução de (3) é x1 = 3 e x2 = 2. Portanto, b é uma combinação linear de a1 e a2, com pesos x1 = 3 e x2 = 2. Ou seja, Note que os vetores originais a1, a2, e b, no Exemplo 5, formam as colunas da matriz aumentada que foi escalonada: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Vamos escrever essa matriz de forma a ressaltar suas colunas, digamos, Está claro como se escreve a matriz aumentada imediatamente a partir da equação vetorial (1), sem ter de passar pelos passos intermediários do Exemplo 5. Basta colocar os vetores na ordem em que aparecem em (1) como colunas de uma matriz, como em (4). A discussão anterior pode ser modificada, com facilidade, de modo a estabelecer o seguinte fato fundamental. Uma equação vetorial x1a1 + x2a2 + … + xban = b tem o mesmo conjunto solução que o sistema linear cuja matriz aumentada é Em particular, b pode ser gerado por uma combinação linear de a1, …, an se e somente se existir solução para o sistema linear correspondente à matriz (5). Uma das ideias-chave na álgebra linear é o estudo do conjunto de todos os vetores que podem ser gerados ou escritos como combinação linear de um conjunto fixo de vetores {v1, …, vp}. DEFINIÇÃO Dados v1, …, vp em ℝn, o conjunto de todas as combinações lineares de v1, …, vp é denotado por ℒ{v1, …, vp} e é chamado subconjunto de ℝn gerado por v1, …,vp. Ou seja, ℒ{v1, …, vp} é a coleção de todos os vetores que podem ser escritos na forma c1v1 + c2v2 + ... + cpvp com c1, …, cp escalares. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Perguntar se um vetor b está em ℒ{v1, …, vp} significa perguntar se a equação vetorial x1v1 + x2v2 + ... + xpvp = b tem solução ou, de forma equivalente, perguntar se o sistema linear cuja matriz aumentada é [v1 … vp b] tem solução. Observe que ℒ{v1, …, vp} contém todo múltiplo escalar de v1 (por exemplo), já que cv1 = cv1 + 0v2 + … + 0vp. Em particular, o vetor nulo pertence a ℒ{v1, …, vp}. Uma Descrição Geométrica de ℒ{v} e ℒ {u, v} Seja v um vetor não nulo do ℝ3. Então ℒ{v} é o conjunto de todos os múltiplos escalares de v e pode ser visualizado como o conjunto dos pontos na reta em ℝ3 contendo v e 0. Veja a Figura 10. Se u e v forem vetores não nulos em ℝ3 e se v não for um múltiplo de u, então ℒ{u, v} será o plano em ℝ3 que contém os pontos u, v e 0. Em particular, ℒ{u, v} contém a reta em ℝ3 contendo u e 0 e a reta contendo v e 0. Veja a Figura 11. FIGURA 10 ℒ{v} é uma reta contendo a origem. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 11 ℒ{u, v} é um plano contendo a origem. EXEMPLO 6 Sejam . Então ℒ{a1, a2} é um plano em ℝ3 contendo a origem. O vetor b pertence a esse plano? SOLUÇÃO A equação x1a1 + x2a2 = b tem solução? Para responder, escalonamos a matriz aumentada [a1 a2 b]: A terceira equação é 0 = –2, o que mostra que o sistema não tem solução. A equação vetorial x1a1 + x2a2 = b não tem solução e, portanto, b não pertence a ℒ{a1,a2}. ■ Combinações Lineares em Aplicações O último exemplo vai mostrar como múltiplos escalares e equações lineares podem surgir quando uma grandeza como o “custo” é quebrada em diversas categorias. O princípio básico para o exemplo diz respeito ao custo de produzir diversas unidades de um artigo quando é conhecido o custo por unidade: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. a. b. 1. 2. EXEMPLO 7 Uma empresa produz dois artigos. Para cada real faturado com o produto B, a empresa gasta R$0,45 com matéria-prima, R$0,25 com mão de obra e R$0,15 com as demais despesas. Para cada real do produto C, a empresa gasta R$0,40 com matéria-prima, R$0,30 com mão de obra e R$0,15 com as demais despesas. Sejam Então b e c representam o “custo por real de faturamento” para os dois produtos. Qual é a interpretação econômica que pode ser dada ao vetor 100b? Suponha que a empresa queira produzir x1 reais do produto B e x2 reais do produto C. Encontre um vetor que descreva os diferentes custos da empresa (para matéria- prima, mão de obra e demais custos). SOLUÇÃO Temos O vetor 100b fornece os diferentes custos para produzir R$100,00 do produto B, a saber, R$45,00 com matéria-prima, R$25,00 com mão de obra e R$15,00 com os demais custos. O custo para produzir x1 reais de B é dado pelo vetor x1b, e o custo para produzir x2 reais de C é dado pelo vetor x2c. Portanto, o custo total de produção de ambos os produtos é dado pelo vetor x1b + x2c. ■ PROBLEMAS PRÁTICOS Prove que u + v = v + u para todos os vetores u e v em ℝn. Para que valores de h o vetor y irá pertencer a ℒ{v1, v2, v3} se Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 3. 3. 4. Sejam w1, w2, w3, u e v vetores em ℝn. Suponha que os vetores u e v estão em ℒ{w1, w2, w3}. Mostre que u + v também pertence a ℒ{w1, w2, w3}. [Sugestão: É necessário usar a definição do espaço gerado por um conjunto de vetores para a solução deste problema. É melhor ver esta definição antes de começar o exercício.] 1.3 EXERCÍCIOS Nos Exercícios 1 e 2, calcule u + v e u – 2v. Nos Exercícios 3 e 4, represente graficamente os seguintes vetores no plano xy: u, v, –v, –2v, u + v, u – v e u – 2v. Note que u – v é o vértice de um paralelogramo cujos outros vértices são u, 0 e –v. u e v como no Exercício 1. u e v como no Exercício 2. Nos Exercícios 5 e 6, obtenha um sistema de equações que seja equivalente à equação vetorial dada. Use a figura a seguir para escrever cada vetor listado nos Exercícios 7 e 8 como combinação linear de u e v. Todo vetor em ℝ2 é combinação linear de u e v? Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 7. 8. Os vetores a, b, c e d. Os vetores w, x, y e z. Nos Exercícios 9 e 10, escreva uma equação vetorial que seja equivalente ao sistema de equações dado. Nos Exercícios 11 e 12, determine se b é combinação linear de a1, a2 e a3. Nos Exercícios 13 e 14, determine se b é combinação linear dos vetores formados pelas colunas da matriz A. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 17. 18. 19. 20. 21. 22. Nos Exercícios 15 e 16, liste cinco vetores pertencentes a ℒ{v1, v2}. Para cada vetor, mostre os pesos usados em v1 e v2 para gerá-lo e dê suas três componentes. Não é preciso fazer sua representação geométrica. Sejam . Para que valor (ou valores) de h o vetor b pertence ao plano gerado por a1 e a2? Sejam . Para que valor (ou valores) de h o vetor y pertence ao plano gerado por v1 e v2? Descreva geometricamente ℒ{v1, v2} para os vetores e . Descreva geometricamente ℒ{v1, v2} para os vetores do Exercício 16. Sejam . Mostre que pertence a ℒ{u, v} quaisquer que sejam h e k. Construa uma matriz A 3 × 3 com elementos diferentes de zero e um vetor b em ℝ3 tal que b não pertença ao espaço gerado pelas colunas de A. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 23. a. b. c. d. e. 24. a. b. c. d. e. 25. a. b. c. 26. a. b. 27. Nos Exercícios 23 e 24, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique sua resposta. Outra notação para o vetor . Os pontos no plano correspondentes a e a estão em uma mesma reta contendo a origem. Um exemplo de uma combinação linear dos vetores v1 e v2 é v1. O conjunto solução de um sistema linear cuja matriz aumentada é [a1 a2 a3 b] é idêntico ao conjunto solução da equação x1a1 + x2a2 + x3a3 = b. O conjunto ℒ{u, v} é sempre visualizado como um plano contendo a origem. Qualquer lista de cinco números reais é um vetor em ℝ5. O vetor u resulta quando um vetor u – v é somado ao vetor v. Os pesos c1, …, cp em uma combinação linear c1v1 + … + cpvp não podem ser todos nulos. Quando u e v são vetores não nulos, ℒ{u, v} contém a reta determinada por u e 0. Perguntar se um sistema linear cuja matriz aumentada é [a1 a2 a3 b] tem uma solução e é o mesmo que perguntar se b pertence a ℒ{a1, a2, a3}. Sejam . Denote as colunas de A por a1, a2, a3 e seja W = ℒ{a1, a2, a3}. O vetor b pertence a {a1, a2, a3}? Quantos vetores pertencem a {a1, a2, a3}? O vetor b pertence a W? Quantos vetores pertencem a W? Mostre que a1 pertence a W. [Sugestão: Operações nas linhas são desnecessárias.] Sejam . Seja W o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. O vetor b pertence a W? Mostre que a segunda coluna de A pertence a W. Uma empresa de mineração tem duas minas. Um dia de funcionamento da mina no 1 produz uma quantidade de minério que contém 20 toneladas de cobre e 550 quilos de prata, ao passo que um dia de funcionamento da mina no 2 produz uma quantidade de minério que contém 30 toneladas de cobre e 500 quilos de prata. Sejam . Então v1 e v2 representam a “produção diária” das minas no 1 e no 2, respectivamente. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. c. 28. a. b. c. 29. Que interpretação física pode ser dada ao vetor 5v1? Suponha que a empresa opere a mina no 1 durante x1 dias, e a mina no 2 durante x2 dias. Obtenha uma equação vetorial cujas soluções forneçam o número de dias que cada mina deve funcionar de modo a produzir 150 toneladas de cobre e 2.825 quilos de prata. Não resolva a equação. [M] Resolva a equação obtida em (b). Uma usina de calor queima dois tipos de carvão: antracito (A) e betuminoso (B). Para cada tonelada queimada de A, a usina produz 27,6 milhões de BTU de calor, 3.100 gramas (g) de dióxido de enxofre e 250 g de resíduos sólidos (poluentes em forma de partículas). Para cada tonelada queimada de B, a usina produz 30,2 milhões de BTU, 6.400 g de dióxido de enxofre e 360 g de resíduos sólidos. Qual é a quantidade de calor que a usina produz quando queima x1 toneladas de A e x2 toneladas de B? Suponha que a produção total da usina seja descrita por um vetor que lista as quantidades de calor, de dióxido de enxofre e de resíduos sólidos. Expresse essa produção total como uma combinação linear de dois vetores, supondo que a usina queime x1 toneladas de A e x2 toneladas de B. [M] Suponha que, ao longo de certo período, a usina produziu 162 milhões de BTU de calor, 23.610 g de dióxido de enxofre e 1.623 g de resíduos sólidos. Determine quantas toneladas de cada tipo de carvão a usina precisou queimar. Inclua uma equação vetorial como parte de sua solução. Sejam v1, …, vk pontos em ℝ3 e suponha que, para j = 1, …, k, um objeto de massa mj esteja localizado no ponto vj. Os físicos chamam a esses objetos massas pontuais. A massa total do sistema de massas pontuais é m = m1 + ... + mk O centro de gravidade (ou centro de massa) do sistema é Calcule o centro de gravidade do sistema que consiste nas seguintes massas pontuais (veja a figura): Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 30. 31. a. b. Seja v o centro de massa de um sistema de massas pontuais localizadas em v1, …, vk como no Exercício 29. O vetor v pertence a ℒ{v1, …, vk}? Explique. Uma placa triangular fina de densidade e espessura uniformes tem vértices em v1 = (0, 1), v2 = (8, 1) e v3 = (2, 4), como na figura a seguir, e a massa da placa é 3 g. Encontre as coordenadas (x, y) do centro de massa da placa. Esse “ponto de equilíbrio” da placa coincide com o centro de massa de três massas pontuais de 1 grama localizadas nos vértices da placa. Determine como distribuir uma massa adicional de 6 g em todos os três vértices da placa para mover o ponto de equilíbrio da placa para o ponto (2, 2). [Sugestão: Denote por w1, w2 e w3 as massas adicionais em cada vértice, de modo quew1 + w2 + w3 = 6.] Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 32. 33. a. b. 34. a. b. Considere os vetores v1, v2, v3 e b em ℝ2 ilustrados na figura. A equação x1v1 + x2v2 + x3v3 = b tem solução? Essa solução é única? Use a figura para explicar suas respostas. Use os vetores u = (u1, …, un), v = (v1, …, vn) e w = (w1, …, wn) para verificar as seguintes propriedades algébricas de ℝn. (u + v) + w = u + (v + w) c(v + w) = cv + cw para cada escalar c Use o vetor v = (v1, …, vn) para verificar as seguintes propriedades algébricas de ℝn. v + (– v) = (– v) + v = 0 c(dv) = (cd) v para todos os escalares c e d SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. 1.4 Os pontos pertencem a uma reta que intersecta o plano quando h = 5. Tome vetores arbitrários u = (u1, …, un) e v = (v1, …, vn) em ℝn e calcule u + v = (u1 + v1, ..., un + vn) Definição da soma de vetores = (v1 + u1, ..., vn + un) Comutatividade da some en ℝ = v + u Definição da soma de vetores O vetor y pertence a ℒ{v1, v2, v3} se e somente se existirem escalares x1, x2, x3 tais que Essa equação vetorial é equivalente a um sistema linear de três equações e três incógnitas. Escalonando a matriz aumentada para esse sistema, encontramos Esse sistema é consistente se e somente se não existir pivô na quarta coluna. Ou seja, h – 5 precisa ser igual a 0. Portanto, y pertence a ℒ{v1, v2, v3} se e somente se h = 5. Lembre-se: A presença de uma variável livre em um sistema não garante que o sistema seja consistente. Como os vetores u e v pertencem a ℒ{w1, w2, w3}, existem escalares c1, c2, c3 e d1, d2, d3 tais que u = c1 w1 + c2 w2 + c3 w3 e v = d1 w1 + d2 w2 + d3 w3. Note que u + v = c1 w1 + c2 w2 + c3 w3 + d1 w1 + d2 w2 + d3 w3 = (c1 + d1) w1 + (c2 + d2) w2 + (c3 + d3) w3 Como c1 + d1, c2 + d2 e c3 + d3 também são escalares, o vetor u + v pertence a ℒ{w1, w2, w3}. A EQUAÇÃO MATRICIAL Ax = b Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Uma ideia fundamental em álgebra linear é ver uma combinação linear de vetores como um produto de uma matriz com um vetor. A definição a seguir nos permitirá reescrever alguns dos conceitos da Seção 1.3 de novas formas. DEFINIÇÃO Se A for uma matriz m × n com colunas a1, …, an e se x pertencer a ℝn, então o produto de A e x, denotado por Ax, será a combinação linear das colunas de A usando as componentes correspondentes de x como pesos, ou seja, Note que Ax só é definido se o número de colunas de A for igual ao número de componentes de x. EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 Para v1, v2, v3 em ℝm, escreva a combinação linear 3v1 – 5v2 + 7v3 como o produto de uma matriz por um vetor. SOLUÇÃO Coloque v1, v2, v3 nas colunas de uma matriz A e coloque os pesos 3, –5 e 7 em um vetor x: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Na Seção 1.3, aprendemos a escrever um sistema de equações lineares como uma equação vetorial envolvendo uma combinação linear de vetores. Por exemplo, sabemos que o sistema é equivalente a Como no Exemplo 2, podemos escrever a combinação linear à esquerda do sinal de igualdade como o produto de uma matriz por um vetor, de modo que (2) se torna A equação (3) tem a forma Ax = b. Tal equação é denominada uma equação matricial, para distingui-la de uma equação vetorial como a que é dada em (2). Observe como a matriz em (3) é simplesmente a matriz de coeficientes do sistema (1). Cálculos análogos mostram que qualquer sistema de equações lineares, ou qualquer equação vetorial como em (2), pode ser escrito como uma equação matricial equivalente da forma Ax = b. Essa observação simples será usada várias vezes ao longo do livro. Eis aqui o resultado formal. TEOREMA 3 Se A for uma matriz m × n com colunas a1, …, an e se b pertencer a ℝm, a equação matricial terá o mesmo conjunto solução que a equação vetorial Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD que, por sua vez, terá o mesmo conjunto solução que o sistema de equações lineares cuja matriz aumentada será O Teorema 3 fornece uma ferramenta poderosa para se desenvolver a intuição a respeito de problemas em álgebra linear, porque, agora, podemos ver um sistema de equações lineares de formas diferentes, porém equivalentes: como uma equação matricial, como uma equação vetorial ou um sistema de equações lineares. Quando montamos um modelo matemático para um problema real, estamos livres para escolher o ponto de vista mais natural. E, depois, podemos mudar de uma formulação do problema para outra, sempre que for conveniente. Em qualquer caso, a equação matricial (4), a equação vetorial (5) e o sistema de equações são todos resolvidos da mesma forma — escalonando a matriz aumentada (6). Outros métodos de resolução serão discutidos posteriormente. Existência de Soluções A definição de Ax leva direto ao seguinte fato útil. A equação Ax = b tem solução se e somente se b for uma combinação linear das colunas de A. Na Seção 1.3, consideramos o seguinte problema de existência: “b pertence a ℒ{a1, …, an}?” De modo equivalente: “Ax = b é consistente?” Um problema de existência mais difícil é determinar se a equação Ax = b é possível para todas as escolhas possíveis de b. EXEMPLO 3 Sejam . A equação Ax = b é consistente para todas as escolhas de b1, b2, b3? SOLUÇÃO Escalone a matriz aumentada de Ax = b: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. O terceiro elemento da quarta coluna é . A equação Ax = b não é possível para todo b porque algumas escolhas de b tornam não nulo. ■ FIGURA 1 As colunas de A = [a1 a2 a3] geram um plano contendo a origem. A matriz escalonada no Exemplo 3 fornece uma descrição de todos os b para os quais a equação Ax = b é consistente: as componentes de b devem satisfazer Essa é a equação de um plano em ℝ3 contendo a origem. O plano é o conjunto de todas as combinações lineares das três colunas de A. Veja a Figura 1. A equação Ax = b no Exemplo 3 não é possível para todo b, porque a forma escalonada de A tem uma linha só de zeros. Se A tivesse um pivô em todas as três linhas, não teríamos de nos preocupar com os cálculos da última coluna da matriz aumentada, porque, nesse caso, qualquer forma escalonada da matriz aumentada não poderia ter uma linha do tipo [0 0 0 1]. No próximo teorema, quando dizemos que “as colunas de A geram o ℝm”, significa que todo b em ℝm é uma combinação linear das colunas de A. Em geral, um conjunto de vetores {v1, …,vp} em ℝm gera ℝm se todo vetor em ℝm for uma combinação linear de v1, …, vp, ou seja, se ℒ{v1, …, vp} = ℝm. TEOREMA 4 Seja A uma matriz m × n. Então as seguintes afirmações são logicamente equivalentes. Em outras palavras, para uma matriz qualquer A, todas as afirmações são verdadeiras ou todas são falsas. Para cada b em ℝm, a equação Ax = b tem solução. Cada b em ℝm é uma combinação linear das colunas de A. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD c. d. As colunas de A geram ℝm. Cada linha de A tem uma posição de pivô. O Teorema 4 é um dos mais úteis deste capítulo. As afirmações (a), (b) e (c) são equivalentes por causa da definição de Ax e do significado de um conjunto de vetores gerar ℝm. A discussão após o Exemplo 3 sugere por que (a) e (d) são equivalentes; uma demonstração é dada ao final desta seção. Os exercícios fornecerão exemplos de como o Teorema 4 é utilizado. Cuidado: O Teorema 4 diz respeito a uma matriz de coeficientes, e não a uma matriz aumentada. Se uma matriz aumentada [A b] tiver posição de pivô em cada linha, então a equação Ax = b poderá ou não ser consistente. O Cálculo de Ax Os cálculos no Exemplo 1 foram baseados na definição do produto de uma matriz A com um vetor x. O exemplo simples que se segue levará a um método mais eficiente para o cálculo das componentes de Ax quando for preciso desenvolver um problema de forma manual. EXEMPLO 4 Calcule Ax, em que SOLUÇÃO Da definição, A primeira componente do produto Ax é uma soma de produtos (às vezes chamada produto escalar) da primeira linha de A com as componentes de x: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Essa matriz mostra como calcular a primeira componente de Ax direto, sem ter de escrever todos os cálculos mostrados em (7). Analogamente, a segunda componente de Ax pode ser calculada de imediato multiplicando-se os elementos da segunda linha de A pelas componentes correspondentes de x e, depois, somando-se esses produtos: Da mesma forma, a terceira componente de Ax pode ser calculada a partir da terceira coluna de A e das componentes de x. ■ Regra para Calcular Ax Se o produto Ax estiver definido, então a i-ésima componente de Ax será a soma dos produtos dos elementos da linha i de A com as componentes correspondentes do vetor x. EXEMPLO 5 Por definição, a matriz no Exemplo 5(c), com todos os elementos na diagonal iguais a 1 e todos os outros elementos iguais a 0, é chamada matriz identidade e denotada por I. O cálculo no item (c) mostra que Ix = x para todo x em ℝ3. Existe uma matriz n × n análoga, escrita algumas vezes como In. Como no item (c), Inx = x para Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. todo x em ℝn. Propriedades do Produto Ax de Matriz com Vetor Os fatos do próximo teorema são importantes e serão usados no decorrer do livro. A demonstração está baseada na definição de Ax e nas propriedades algébricas de ℝn. TEOREMA 5 Se A for uma matriz m × n, u e v forem vetores em ℝn e c for um escalar, então: A(u + v) = Au + Av; A(cv) = c(Av). DEMONSTRAÇÃO Para simplificar, vamos considerar n = 3, A = [a1 a2 a3] e u, v em ℝ3. (A demonstração no caso geral é análoga.) Para i = 1, 2, 3, sejam ui e vi as i- ésimas componentes de u e v, respectivamente. Para provar a afirmação (a), calculamos A(u + v) como uma combinação linear das colunas de A, usando como pesos as componentes de u + v. Para provar a afirmação (b), calculamos A(cv) como uma combinação linear das colunas de A, usando as componentes de cv como pesos. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD COMENTÁRIO NUMÉRICO Para otimizar um algoritmo computacional que calcule Ax, a sequência de cálculos deve envolver dados armazenados em locais de memória contíguos. Os algoritmos profissionais mais usados para cálculos com matrizes estão escritos em Fortran, linguagem que armazena uma matriz como um conjunto de colunas. Esses algoritmos calculam Ax como uma combinação linear das colunas de A. Ao contrário, se um programa estiver escrito na linguagem popular C, que armazena matrizes por linhas, Ax deverá ser calculado pela regra alternativa que utiliza as linhas de A. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 4 Como foi observado depois do enunciado do Teorema 4, as afirmações (a), (b) e (c) são logicamente equivalentes. Para completar a demonstração, basta mostrar (para uma matriz arbitrária A) que (a) e (d) são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Isto mostrará a equivalência das quatro afirmações. Seja U uma forma escalonada de A. Dado b em ℝm, podemos escalonar a matriz aumentada [A b] até a matriz aumentada [U d] para algum d em ℝm: [A b] ∼ … ∼ [U d] Se a afirmação (d) for verdadeira, então cada linha de U conterá uma posição de pivô, e não poderá haver pivô na última coluna da matriz aumentada. Assim, Ax = b tem solução para qualquer b e (a) é verdadeira. Se (d) for falsa, a última linha de U só terá elementos iguais a zero. Seja d qualquer vetor que tenha um elemento igual a 1 na sua última componente. Então [U d] representa um sistema inconsistente. Como as operações elementares são reversíveis, [U d] pode ser transformada em [A b]. O novo sistema Ax = b também é impossível e (a) é falsa. ■ PROBLEMAS PRÁTICOS Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. Sejam . Pode-se mostrar que p é uma solução de Ax = b. Use esse fato para exibir b como uma combinação linear das colunas de A. Sejam . Verifique o Teorema 5(a) nesse caso calculando A(u + v) e Au + Av. Construa uma matriz A 3 × 3 e vetores b e c em ℝ3 tal que Ax = b tem solução, mas Ax = c não tem. 1.4 EXERCÍCIOS Calcule os produtos nos Exercícios 1 a 4 usando: (a) a definição, como no Exemplo 1, e (b) a regra para o cálculo de Ax. Se um produto não estiver definido, explique por quê. Nos Exercícios 5 a 8, use a definição de Ax para escrever a equação matricial como uma equação vetorial ou vice-versa. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 9. 10. Nos Exercícios 9 e 10, escreva o sistema primeiro como uma equação vetorial e depois como uma equação matricial. 3x1 + x2 – 5x3 = 9 x2 + 4x3 = 0 8x1 – x2 = 4 5x1 + 4x2 = 1 x1 – 3x2 = 2 Dados A e b nos Exercícios 11 e 12, escreva a matriz aumentada do sistema que corresponde à equação matricial Ax = b. Depois, resolva o sistema e escreva a solução como um vetor. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 13. 14. 15. 16. Sejam . O vetor u pertence ao plano em ℝ3 gerado pelas colunas de A? (Veja a figura.) Por quê? Plano gerado pelas colunas de A. Sejam . O vetor u pertence ao subconjunto de ℝ3 gerado pelas colunas de A? Por quê? Sejam . Mostre que a equação Ax = b não tem solução para todo os b possíveis e descreva o conjunto de todos os b para os quais Ax = b tem solução. Repita o Exercício 15 com Os Exercícios 17 a 20 referem-se às matrizes A e B a seguir. Faça cálculos apropriados para justificar suas respostas e mencione um teorema adequado. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. a. b. c. d. e. f. 24. a. b. c. d. Quantas linhas de A contêm uma posição de pivô? A equação Ax = b tem solução para todo b em ℝ4? As colunas da matriz B geram ℝ4? A equação Bx = y tem solução para todo y em ℝ4? Todo vetor em ℝ4 pode ser escrito como uma combinação linear das colunas da matriz A? As colunas da matriz A geram ℝ4? Todo vetor em ℝ4 pode ser escrito como uma combinação linear das colunas da matriz B? As colunas da matriz B geram ℝ3? Sejam . {v1, v2, v3} geram ℝ4? Por quê? Sejam . {v1, v2, v3} geram ℝ3? Por quê? Nos Exercícios 23 e 24, classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. A equação Ax = b é conhecida como uma equação vetorial. Um vetor b é uma combinação linear das colunas de uma matriz A se e somente se a equação Ax = b tiver pelo menos uma solução. A equação Ax = b é consistente se a matriz aumentada [A b] tiver uma posição de pivô em cada linha. A primeira componente do produto Ax é uma soma de produtos. Se as colunas de uma matriz A m × n gerarem o ℝm, então a equação Ax = b será consistente para todo b em ℝm. Se A for uma matriz m × n e se a equação Ax = b for inconsistente para algum b em ℝm, então A não poderá ter uma posição de pivô em cada linha. Toda equação matricial Ax = b corresponde a uma equação vetorial que tem o mesmo conjunto solução. Toda combinação linear de vetores sempre pode ser escrita na forma Ax para alguma matriz A e algum vetor x. O conjunto solução de um sistema linear cuja matriz aumentada é [a1 a2 a3 b] é igual ao conjunto solução de Ax = b, se A = [a1 a2 a3]. Se a equação Ax = b for inconsistente, então b não estará no conjunto gerado pelas colunas de A. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD e. f. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. Se a matriz aumentada [A b] tiver uma posição de pivô em cada linha, então a equação Ax = b será inconsistente. Se A for uma matriz m × n cujas colunas não geram ℝm, então a equação Ax = b será inconsistente para algum b em ℝm. Note que . Use esse fato (sem operação por linhas) para encontrar escalares c1, c2, c3 tais que . Sejam . Pode-se mostrar que 3u – 5v – w = 0. Use esse fato (sem operações por linhas) para encontrar x1 e x2 que satisfazem a equação . Suponha que q1, q2, q3 e v representem vetores em ℝ5 e x1, x2, x3 denotem escalares. Escreva a equação vetorial a seguir como uma equação matricial. Identifique os símbolos usados. x1q1 + x2q2 + x3q3 = v Reescreva a equação matricial (numérica) a seguir de forma simbólica como uma equação vetorial usando os símbolos v1, v2, … para os vetores e c1, c2, … para os escalares. Defina o que cada símbolo representa usando os dados da equação matricial. Construa uma matriz 3 × 3, que não esteja em forma escalonada, cujas colunas geram ℝ3. Mostre que a matriz que você construiu tem a propriedade desejada. Construa uma matriz 3 × 3, que não esteja em forma escalonada, cujas colunas não geram ℝ3. Mostre que a matriz que você construiu tem a propriedade desejada. Seja A uma matriz 3 × 2. Explique por que a equação Ax = b não pode ser consistente para todo b em ℝ3. Generalize seu argumento para o caso de uma matriz A arbitrária com mais linhas do que colunas. Um conjunto de três vetores em ℝ4 pode gerar todo o ℝ4? Explique. E um conjunto de n vetores em ℝm quando n é menor do que m? Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 33. 34. 35. 36. 41. 42. Suponha que A seja uma matriz 4 × 3 e b seja um vetor em ℝ4 com a propriedade de que Ax = b tenha uma única solução. O que você pode dizer sobre a forma escalonada reduzida de A? Justifique sua resposta. Suponha que A é uma matriz 3 × 3 e que b é um vetor em ℝ3 com a propriedade de que Ax = b tem uma única solução. Explique por que as colunas de A têm que gerar ℝ3. Seja A uma matriz 3 × 4, sejam y1 e y2 vetores em ℝ3 e w = y1 + y2. Suponha que existam vetores x1 e x2 em ℝ4 tais que y1 = Ax1 e y2 = Ax2. Que fato permite concluir que o sistema Ax = w é consistente? (Obs.: x1 e x2 denotam vetores, não componentes escalares de vetores.) Seja A uma matriz 5 × 3, seja y um vetor em ℝ3 e z um vetor em ℝ5. Suponha que Ay = z. Que fato permite concluir que o sistema Ay = 4z é consistente? [M] Nos Exercícios 37 a 40, determine se as colunas da matriz geram ℝ4. [M] Encontre uma coluna da matriz no Exercício 39 que possa ser omitida e, mesmo assim, as colunas restantes da matriz ainda gerem ℝ4. [M] Encontre uma coluna da matriz no Exercício 40 que possa ser omitida e, mesmo assim, as colunas restantes da matriz ainda gerem ℝ4. É possível omitir mais de uma coluna? Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS A equação matricial é equivalente à equação vetorial que expressa b como uma combinação linear das colunas de A. Observação: Existem, de fato, uma infinidade de soluções corretas para o Problema Prático 3. Ao criar matrizes que satisfazem critérios específicos, muitas vezes é melhor criar matrizes simples, como as que já estão em forma escalonada reduzida. Eis, a seguir, uma solução possível: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 3. 1.5 Sejam Note que a forma escalonada reduzida da matriz aumentada correspondente a Ax = b é que corresponde a um sistema consistente, logo Ax = b tem soluções. A forma escalonada reduzida da matriz aumentada correspondente a Ax = c é que corresponde a um sistema inconsistente, logo Ax = c não tem solução. CONJUNTOS SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Os conjuntos solução de sistemas lineares são objetos de estudo importantes na álgebra linear. Esses conjuntos aparecerão mais tarde em diversos contextos. Esta seção usa a notação vetorial para dar uma descrição explícita e geométrica desses conjuntos solução. Sistemas Lineares Homogêneos Um sistema linear é homogêneo se puder ser escrito na forma Ax = 0, em que A é uma matriz m × n e 0 é o vetor nulo em ℝm. Um sistema do tipo Ax = 0 sempre tem pelo menos uma solução, a saber, x = 0 (o vetor nulo em ℝn). Essa solução nula costuma ser chamada solução trivial. Para uma equação do tipo Ax = 0, a pergunta importante é se existe uma solução não trivial, ou seja, um vetor não nulo x que satisfaça Ax = 0. O Teorema de Existência e Unicidade na Seção 1.2 (Teorema 2) implica imediatamente o seguinte fato. A equação homogênea Ax = 0 tem solução não trivial se e somente se a equação tiver pelo menos uma variável livre. EXEMPLO 1 Determine se o sistema linear homogêneo a seguir admite solução não trivial. Depois, descreva o conjunto solução. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 3x1 + 5x2 – 4x3 = 0 –3x1 + 2x2 + 4x3 = 0 6x1 + x2 – 8x3 = 0 SOLUÇÃO Seja A a matriz de coeficientes do sistema e escalone a matriz aumentada [A 0]: Como x3 é uma variável livre, Ax = 0 admite soluções não triviais (uma para cada escolha de x3). Para descrever o conjunto solução, prossiga no escalonamento de [A 0] até obter a forma escalonada reduzida: Resolva para as variáveis dependentes x1 e x2 e obtenha x1 = x3, x2 = 0, com x3 livre. Como vetor, a solução geral de Ax = 0 assume a forma FIGURA 1 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Aqui, o x3 foi colocado em evidência na expressão do vetor solução geral. Isso mostra que, nesse caso, toda solução de Ax = 0 é um múltiplo escalar de v. A solução trivial é obtida escolhendo-se x3 = 0. Geometricamente, o conjunto solução é uma reta contendo 0 em ℝ3. Veja a Figura 1. ■ Observe que uma solução não trivial x pode ter algumas componentes iguais a zero, mas não todas. EXEMPLO 2 Uma única equação linear pode ser tratada como um sistema muito simples de equações. Descreva todas as soluções do “sistema” homogêneo SOLUÇÃO Não há necessidade da notação matricial. Resolva para a variável dependente x1 em função das variáveis livres. A solução geral é x1 = 0,3x2 + 0,2x3, com x2 e x3 livres. Em notação vetorial, a solução geral é Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 2 Esse cálculo mostra que toda solução de (1) é uma combinação linear dos vetores u e v, indicados em (2). Assim, o conjunto solução é ℒ{u, v}. Como nem u nem v é um múltiplo escalar do outro, o conjunto solução é um plano contendo a origem. Veja a Figura 2. ■ Os Exemplos 1 e 2, junto com os exercícios, ilustram o fato de que o conjunto solução de uma equação homogênea Ax = 0 sempre pode ser escrito explicitamente como ℒ{v1, …, vp} para vetores apropriados v1, …, vp. Se a única solução for o vetor nulo, então o conjunto solução será ℒ{0}. Se a equação Ax = 0 tiver apenas uma variável livre, o conjunto solução será uma reta contendo origem, como na Figura 1. Um plano contendo a origem, como na Figura 2, fornece uma boa imagem mental para o conjunto solução de Ax = 0 quando há duas ou mais variáveis livres. Observe, no entanto, que uma figura semelhante também pode ser usada para visualizar ℒ{u, v} mesmo quando u e v não surgem como soluções de Ax = 0. Veja a Figura 11 na Seção 1.3. Forma Vetorial Paramétrica A equação original (1) para o plano no Exemplo 2 é uma descrição implícita do plano. Resolvendo essa equação, obtemos uma descrição explícita do plano como o conjunto gerado por u e v. A equação (2) é chamada uma equação vetorial paramétrica do plano. Algumas vezes, essa equação é escrita como x = su + tv (s, t em ℝ) para enfatizar o fato de que os parâmetros variam sobre todos os números reais. No Exemplo 1, a equação x = x3v (com x3 livre), ou x = tv (com t em ℝ), é uma equação vetorial paramétrica de uma reta. Seja qual for o conjunto solução descrito explicitamente com vetores, como nos Exemplos 1 e 2, dizemos que a solução está na forma vetorial paramétrica. Soluções de Sistemas Não Homogêneos Quando um sistema linear não homogêneo tem muitas soluções, a solução geral pode ser escrita na forma vetorial paramétrica como um vetor mais uma combinação linear arbitrária de vetores que satisfazem o sistema homogêneo correspondente. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD EXEMPLO 3 Descreva todas as soluções de Ax = b, em que SOLUÇÃO Aqui, A é a matriz de coeficientes do Exemplo 1. As operações elementares em [A b] produzem Assim, é livre. Como vetor, a solução geral de Ax = b assume a forma A equação x = p + x3v, ou, escrevendo t como um parâmetro geral, descreve o conjunto solução de Ax = b na forma vetorial paramétrica. Lembre-se do Exemplo 1 em que o conjunto solução Ax = 0 tem a equação vetorial paramétrica [com o mesmo v que aparece em (3)]. Assim, as soluções de Ax = b são obtidas somando o vetor p às soluções de Ax = 0. O vetor p é apenas uma solução particular de Ax = b [correspondente a t = 0 em (3)]. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 3 Somar p a v translada v para v + p. Para descrever geometricamente o conjunto solução de Ax = b, podemos pensar na soma de vetores como uma translação. Dados v e p em ℝ2 ou ℝ3, o efeito de somar p a v é o de deslocar v em uma direção paralela à reta determinada por p e 0. Dizemos que v foi transladado por p para v + p. Veja a Figura 3. Se cada ponto pertencente a uma reta L, em ℝ2 ou ℝ3, for transladado por um vetor p, o resultado é uma reta paralela a L. Veja a Figura 4. FIGURA 4 Reta transladada. Suponha que L seja a reta determinada por 0 e v, descrita pela equação (4). Somar p a cada ponto de L produz a reta transladada descrita pela equação (3). Observe que p pertence à reta (3). Dizemos que (3) é a equação da reta paralela a v contendo p. Assim, o conjunto solução de Ax = b é a reta paralela ao conjunto solução de Ax = 0 contendo p. A Figura 5 ilustra esse caso. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 5 Conjuntos solução paralelos de Ax = b e Ax = 0. A relação entre os conjuntos solução de Ax = b e Ax = 0, mostrada na Figura 5, pode ser generalizada para qualquer equação consistente Ax = b, apesar de o conjunto solução ser maior do que uma reta quando existem várias variáveis livres. O próximo teorema traz o enunciado preciso. Veja o Exercício 25 para uma demonstração. TEOREMA 6 Suponha que a equação Ax = b seja consistente para algum b, e que p seja uma solução. Então o conjunto solução de Ax = b será o conjunto de todos os vetores da forma w = p + vh, em que vh é qualquer solução da equação homogênea Ax = 0. O Teorema 6 diz que, se Ax = b tiver solução, então o conjunto solução será obtido pela translação do conjunto solução de Ax = 0, usando para a translação qualquer solução particular p de Ax = b. A Figura 6 ilustra o caso quando existem duas variáveis livres. Mesmo quando n > 3, a nossa imagem mental do conjunto solução de um sistema consistente Ax = b (com b ≠ 0) é um único ponto não nulo ou uma reta ou um plano não contendo a origem. FIGURA 6 Conjuntos paralelos de soluções de Ax = b e Ax = 0. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 1. 2. 3. Cuidado: O Teorema 6 e a Figura 6 se aplicam apenas a uma equação Ax = b que tenha pelo menos uma solução não nula p. Quando Ax = b não tem solução, o conjunto solução é vazio. O algoritmo a seguir descreve os cálculos mostrados nos Exemplos 1, 2 e 3. COMO OBTER O CONJUNTO SOLUÇÃO (DE UM SISTEMA CONSISTENTE) NA FORMA VETORIAL PARAMÉTRICA Escalone a matriz aumentada até obter a forma escalonada reduzida. Expresse cada variável dependente em função das variáveis livres em cada equação. Escreva uma solução típica x como um vetor cujas componentes dependem das variáveis livres, caso exista alguma. Decomponha x em uma combinação linear de vetores (com componentes numéricas) usando as variáveis livres como parâmetros. PROBLEMAS PRÁTICOS Cada uma das equações a seguir determina um plano em ℝ3. Os dois planos se interceptam? Se for o caso, descreva a interseção. x1 + 4x2 – 5x3 = 0 2x1 – x2 + 8x3 = 9 Descreva a solução geral de 10x1 – 3x2 – 2x3 = 7 na forma vetorial paramétrica e relacione o conjunto solução com o obtido no Exemplo 2. Demonstre a primeira parte do Teorema 6: Suponha que p é uma solução de Ax = b, de modo que Ap = b. Seja vh uma solução arbitrária da equação homogênea Ax = 0 e seja w = p + vh. Mostre que w é solução de Ax = b. 1.5 EXERCÍCIOS Nos Exercícios 1 a 4, determine se o sistema tem solução não trivial. Tente usar a menor quantidade possível de operações elementares. 2x1 – 5x2 + 8x3 = 0 –2x1 – 7x2 + x3 = 0 4x1 + 2x2 + 7x3 = 0 x1 – 3x2 + 7x3 = 0 –2x1 + x2 + 4x3 = 0 x1 + 2x2 + 9x3 = 0 –3x1 + 5x2 – 7x3 = 0 –6x1 + 7x2 + x3 = 0 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 4. 5. 6. 13. –5x1 + 7x2 + 9x3 = 0 x1 – 2x2 + 6x3 = 0 Nos Exercícios 5 e 6, siga o método dos Exemplos 1 e 2 para escrever o conjunto solução do sistema homogêneo dado na forma vetorial paramétrica. x1 – 3x2 + x3 = 0 –4x1 – 9x2 + 2x3 = 0 –3x2 – 6x3 = 0 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 x1 + 4x2 – 8x3 = 0 –3x1 – 7x2 + 9x3 = 0 Nos Exercícios 7 a 12, descreva todas as soluções de Ax = 0 na forma vetorial paramétrica, na qual A é equivalente por linhas à matriz dada. Suponha que o conjunto solução de certo sistema de equações possa ser descrito como x1 = 5 + 4x3, x2 = −2 − 7x3, com x3 livre. Use vetores para descrever este conjunto como uma reta em ℝ3. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 14. 15. 16. 17. 18. Suponha que o conjunto solução de certo sistema de equações possa ser descrito como x1 = 3x4, x2 = 8 + x4, x3 = 2 – 5x4, com x4 livre. Use vetores para descrever este conjunto como uma “reta” em ℝ4. Siga o método do Exemplo 3 para descrever as soluções do sistema a seguir em forma vetorial paramétrica. Faça também uma descrição geométrica do conjunto solução e compare-o com o do Exercício 5. x1 + 3x2 + x3 = 1 –4x1 – 9x2 + 2x3 = –1 – 3x2 – 6x3 = – 3 Como no Exercício 15, descreva as soluções do sistema a seguir em forma vetorial paramétrica e faça uma comparação geométrica com o conjunto solução do Exercício 6. x1 + 3x2 – 5x3 = 4 x1 + 4x2 – 8x3 = 7 –3x1 – 7x2 + 9x3 = –6 Descreva e compare os conjuntos solução de x1 + 9x2 – 4x3 = 0 e x1 + 9x2 – 4x3 = –2. Descreva e compare os conjuntos solução de x1 – 3x2 + 5x3 = 0 e x1 – 3x2 + 5x3 = 4. Nos Exercícios 19 e 20, determine a equação paramétrica da reta contendo a e paralela a b. Nos Exercícios 21 e 22, encontre uma equação paramétrica para a reta M contendo p e q. [Sugestão: M é paralela ao vetor q – p. Veja a figura a seguir.] Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 23. a. b. c. d. e. 24. a. b. c. d. e. 25. 26. 27. 28. 29. Nos Exercícios 23 e 24, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. Uma equação homogênea é sempre consistente. A equação Ax = 0 fornece uma descrição explícita de seu conjunto solução. A equação homogênea Ax = 0 tem a solução trivial se e somente se a equação tem pelo menos uma variável livre. A equação x = p + tv descreve a reta contendo v paralela a p. O conjunto solução de Ax = b é o conjunto de todos os vetores da forma w = p + vh, em que vh é qualquer solução da equação Ax = 0. Se x for uma solução não trivial de Ax = 0, então toda componente de x será não nula. A equação x = x2u + x3v, com x2 e x3 livres (e u e v não sendo múltiplos um do outro), descreve um plano contendo a origem. A equação Ax = b é homogênea se o vetor nulo for uma solução. O efeito de somar p a um vetor é o de deslocar o vetor em uma direção paralela a p. O conjunto solução de Ax = b é obtido transladando-se o conjunto solução de Ax = 0. Prove a segunda parte do Teorema 6: Seja w qualquer solução de Ax = b e defina vh = w – p. Mostre que vh é uma solução de Ax = 0. Isso mostra que toda solução de Ax = b tem a forma w = p + vh, com p uma solução particular de Ax = b e vh uma solução de Ax = 0. Suponha que Ax = b tenha solução. Explique por que a solução é única exatamente quando Ax = 0 só tem a solução trivial. Suponha que A seja a matriz nula (todos os elementos iguais a zero) 3 × 3. Descreva o conjunto solução da equação Ax = 0. Se b ≠ 0, o conjunto solução de Ax = b pode ser um plano contendo a origem? Explique. Nos Exercícios 29 a 32: (a) A equação Ax = 0 tem uma solução não trivial? (b) A equação Ax = b tem pelo menos uma solução para todos os b possíveis? A é uma matriz 3 × 3 com três posições de pivô. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 1. A é uma matriz 3 × 3 com duas posições de pivô. A é uma matriz 3 × 2 com duas posições de pivô. A é uma matriz 2 × 4 com duas posições de pivô. Dada encontre uma solução não trivial de Ax = 0 por simples inspeção. [Sugestão: Pense na equação Ax = 0 como uma equação vetorial.] Dada , encontre uma solução não trivial de Ax = 0 por simples inspeção. Construa uma matriz A não nula 3 × 3 tal que o vetor é solução de Ax = 0. Construa uma matriz A não nula 3 × 3 tal que o vetor é solução de Ax = 0. Construa uma matriz A 2 × 2 tal que o conjunto solução da equação Ax = 0 é a reta em ℝ2 contendo (4, 1) e a origem. Depois, encontre um vetor b em ℝ2 tal que o conjunto solução de Ax = b não é uma reta em ℝ2 paralela ao conjunto solução de Ax = 0. Por que isto não contradiz o Teorema 6? Seja A uma matriz 3 × 3 e y seja um vetor em ℝ3 tal que a equação Ax = y não tem solução. Existe algum vetor z em ℝ3 tal que a equação Ax = z tem uma única solução? Discuta. Seja A uma matriz m × n e seja u um vetor em ℝn que satisfaz a equação Ax = 0. Mostre que, qualquer que seja o escalar c, o vetor cu também satisfaz Ax = 0. [Ou seja, mostre que A (cu) = 0.] Seja A uma matriz m × n e sejam u e v vetores em ℝn tais que Au = 0 e Av = 0. Explique por que A (u + v) tem de ser o vetor nulo. Depois explique por que A (cu + dv) = 0 para todos os pares de escalares c e d. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS Escalone a matriz aumentada: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 2. 3. 1.6 Logo x1 = 4 – 3x3, x2 = –1 + 2x3, com x3 livre. A solução geral em forma vetorial paramétrica é A interseção dos dois planos é a reta paralela a v contendo p. A matriz aumentada [10 –3 –2 7] é equivalente por linhas a [1 –0,3 –0,2 0,7] e a solução geral é x1 = 0,7 + 0,3x2 + 0,2x3 com x2 e x3 livres, ou seja, O conjunto solução da equação não homogênea Ax = b é o plano transladado p + ℒ{u, v}, que contém p e é paralelo ao conjunto solução da equação homogênea no Exemplo 2. Usando o Teorema 5 da Seção 1.4, Note que A(p + vh) = Ap + Avh = b + 0 = b. logo p + vh é uma solução de Ax = b. APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES Você poderia esperar que um problema na vida real envolvendo álgebra linear tivesse uma única solução ou talvez não tivesse solução. O objetivo desta seção é mostrar como sistemas lineares com muitas soluções podem aparecer naturalmente. As aplicações aqui vêm da economia, da química e do fluxo em redes. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Um Sistema Homogêneo em Economia O sistema com 500 equações e 500 variáveis, mencionado na introdução deste capítulo, é conhecido como modelo de “entrada e saída” (ou “de produção”) de Leontief.1 A Seção 2.6 irá examinar esse modelo com mais detalhes, quando tivermos disponíveis mais teoria e uma notação melhor. Por enquanto, vamos considerar o “modelo de troca” simplificado, também devido a Leontief. Suponha que a economia de uma nação esteja dividida em muitos setores, como manufaturados diversos, comunicação, entretenimento e serviços. Suponha que, para cada setor, sabemos sua produção total em um ano e sabemos exatamente como é a divisão ou “troca” dessa produção entre os outros setores da economia. O preço de uma produção é o valor total, em dólar* da produção de um setor. Leontief provou o seguinte resultado. Existem preços de equilíbrio que podem ser atribuídos às produções totais dos diversos setores, de modo que a receita de cada setor equilibre exatamente as suas despesas. O próximo exemplo mostra como se determinam os preços de equilíbrio. EXEMPLO 1 Suponha que uma economia consista nos setores de Carvão, Energia Elétrica e Aço, e a produção de cada setor esteja distribuída entre os vários setores de acordo com a Tabela 1, em que os elementos de cada coluna representam as partes fracionárias da produção total de determinado setor. A segunda coluna da Tabela 1, por exemplo, mostra que a produção total de Energia Elétrica é dividida da seguinte forma: 40% para Carvão, 50% para Aço e os restantes 10% para Energia Elétrica. (A Energia Elétrica considera esses 10% parte dos custos necessários para manter seu negócio.) Como toda a produção precisa ser contabilizada, os valores de cada coluna precisam ter soma igual a um. Denote os preços (ou seja, os valores em dólares) das produções anuais totais dos setores de Carvão, Energia Elétrica e Aço por pC, pE e pA, respectivamente. Se possível, determine os preços de equilíbrio que tornam a receita de cada setor igual à sua despesa. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD TABELA 1 Uma Economia Simples Distribuição da Produção de: Carvão Energia Elétrica Aço Comprado por: 0,0 0,4 0,6 Carvão Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 0,6 0,1 0,2 Energia elétrica 0,4 0,5 0,2 Aço SOLUÇÃO Cada setor examina uma coluna para ver para onde vai a sua produção e examina uma linha para ver sua necessidade de insumos. Por exemplo, a primeira linha da Tabela 1 mostra que Carvão recebe (e paga por isso) 40% da produção de Energia Elétrica e 60% da produção de Aço. Como os respectivos valores das produções totais são pE e pA, Carvão deverá gastar 0,4pE dólares por sua cota da produção de Energia Elétrica e 0,6pA por sua cota da produção de Aço. Assim, as despesas totais do Carvão são 0,4pE + 0,6pA. Para tornar a receita do Carvão, pC, igual à sua despesa, queremos que A segunda coluna da tabela de trocas mostra que o setor de Energia Elétrica gasta 0,6pC com Carvão, 0,1pE com Energia Elétrica e 0,2pA com Aço. Assim, as necessidades de receita/despesa para a Energia Elétrica são Finalmente, a terceira coluna da tabela de trocas leva à exigência final: Para resolver o sistema de equações (1), (2) e (3), passe todas as incógnitas para a esquerda do sinal de igualdade em cada equação e junte os termos correspondentes. [Por exemplo, à esquerda do sinal de igualdade em (2), troque pE – 0,1pE por 0,9pE.] Em seguida, vem o escalonamento. Para simplificar, os números serão arredondados para duas casas decimais. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD A solução geral é pC = 0,94pA, pE = 0,85pA e pA é livre. O vetor para o preço de equilíbrio da economia tem a seguinte forma Qualquer escolha (não negativa) de pA resulta em uma escolha de preços de equilíbrio. Por exemplo, se tomarmos pA igual a 100 (ou $100 milhões), então pC = 94 e pE = 85. As receitas e despesas de cada setor serão iguais se a produção de Carvão tiver o valor de $94 milhões, a produção de Energia Elétrica o valor de $85 milhões, e a produção de Aço o valor de $100 milhões. ■ Equilibrando Equações Químicas Equações químicas descrevem a quantidade de substâncias consumidas e produzidas por reações químicas. Por exemplo, quando o gás propano queima, o propano (C3H8) se combina com o oxigênio (O2) para formar dióxido de carbono (CO2) e água (H2O), de acordo com uma equação da forma Para “equilibrar” essa equação, um químico precisa encontrar números inteiros x1, …, x4 tais que o número total de átomos de carbono (C), de hidrogênio (H) e de oxigênio (O) à esquerda da seta sejam iguais aos números de átomos correspondentes à direita da seta (já que átomos não são destruídos nem criados na reação). Um método sistemático para equilibrar equações químicas é escrever uma equação vetorial que descreva o número de átomos de cada tipo presente na reação. Como a equação (4) envolve três tipos de átomos (carbono, hidrogênio e oxigênio), construa um vetor em ℝ3 para cada reagente e produto em (4) que liste o número de “átomos por molécula”, da seguinte maneira: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Para equilibrar a equação (4), os coeficientes x1, …, x4 têm de satisfazer Para resolver, mude todos os termos para a esquerda do sinal de igualdade (mudando o sinal do terceiro e do quarto vetores): Escalonando a matriz aumentada para essa equação, chegamos à solução geral Como os coeficientes em uma reação química têm de ser inteiros, escolha x4 = 4, de modo que x1 = 1, x2 = 5 e x3 = 3. A equação equilibrada é C3H8 + 5O2 → 3CO2 + 4H2O A equação também estaria equilibrada se, por exemplo, cada coeficiente fosse dobrado. Na maioria das vezes, no entanto, os químicos preferem usar uma equação equilibrada cujos coeficientes são os menores inteiros possíveis. Fluxo em Redes Sistemas de equações lineares aparecem naturalmente quando cientistas, engenheiros ou economistas estudam o fluxo de alguma quantidade por meio de uma rede ou reticulado. Por exemplo, planejadores urbanos e engenheiros de tráfego monitoram o padrão do fluxo de tráfego em um reticulado de ruas da cidade. Engenheiros elétricos calculam o fluxo de corrente em circuitos elétricos. E economistas analisam a distribuição de produtos dos produtores aos consumidores por intermédio de uma rede de vendas no atacado e no varejo. Para muitas redes, os sistemas de equações envolvem centenas ou até milhares de variáveis e equações. Uma rede consiste em um conjunto de pontos chamados junções ou nós, com linhas ou arcos denominados ramos ou arestas ligando alguns ou todos os nós. O sentido do fluxo em cada ramo é indicado, e a quantidade de fluxo (ou taxa) é mostrada ou denotada por uma variável. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 1 Uma junção ou nó. A premissa básica do fluxo em uma rede é que o fluxo total que entra na rede é igual ao fluxo total que sai da rede, e o fluxo total que entra em cada nó é igual ao fluxo total que sai daquele nó. Por exemplo, a Figura 1 mostra 30 unidades entrando em uma junção através de um ramo, com x1 e x2 denotando os fluxos que estão saindo da junção por meio de dois outros ramos. Como o fluxo é “conservado” em cada junção, temos de ter x1 + x2 = 30. De maneira análoga, o fluxo em cada junção é descrito por uma equação linear. O problema da análise de redes é determinar o fluxo em cada ramo quando é conhecida uma informação parcial (como o fluxo de entrada e de saída na rede). EXEMPLO 2 A rede na Figura 2 mostra o fluxo de tráfego (em veículos por hora) em diversas ruas de mão única no centro da cidade de Baltimore durante uma tarde típica. Determine o padrão geral do fluxo nessa rede. FIGURA 2 Ruas de Baltimore. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD SOLUÇÃO Escreva equações que descrevam o fluxo e, depois, encontre a solução geral do sistema. Marque as interseções das ruas (as junções) e os fluxos desconhecidos nos ramos, como ilustrado na Figura 2. Em cada interseção, iguale o fluxo de entrada com o de saída. Interseção Fluxo de entrada Fluxo de saĩda A 300 + 500 = x1 + x2 B x2 + x4 = 300 + x3 C 100 + 400 = x4 + x5 D x1 + x5 = 600 Além disso, o fluxo total que entra na rede (500 + 300 + 100 + 400) é igual ao fluxo total que sai (300 + x3 + 600), o que fornece x3 = 400. Combine essa equação com as quatro primeiras equações rearrumadas para obter o seguinte sistema de equações: Escalonando a matriz aumentada associada, obtemos O padrão de fluxo geral para a rede é descrito por Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 1. 2. Um fluxo negativo em um ramo da rede corresponde a um fluxo no sentido oposto do ilustrado no modelo. Como as ruas nesse problema são de mão única, nenhuma das variáveis pode ser negativa. Esse fato leva a certas limitações nos valores possíveis das variáveis. Por exemplo, x5 ≤ 500, já que x4 não pode ser negativa. Outras limitações nas variáveis são consideradas no Problema Prático 2. ■ PROBLEMAS PRÁTICOS Suponha que uma economia tenha três setores: Agricultura, Mineração e Indústria. A Agricultura vende 5% de sua produção para a Mineração, 30% para a Indústria e retém o restante. A Mineração vende 20% de sua produção para a Agricultura, 70% para a Indústria e retém o restante. A Indústria vende 20% de sua produção para a Agricultura, 30% para a Mineração e retém o restante. Determine a tabela de trocas para essa economia, com as colunas descrevendo como a produção de cada setor é distribuída entre os três setores. Considere o fluxo de rede estudado no Exemplo 2. Determine o intervalo de valores possíveis para as variáveis x1 e x2. [Sugestão: O exemplo mostrou que x5 ≤ 500. O que isto significa para x1 e x2? Use também o fato de que x5 ≥ 0.] 1.6 EXERCÍCIOS Suponha que uma economia tenha apenas dois setores, Bens e Serviços. A cada ano, o setor de Bens vende 80% de sua produção para Serviços e guarda o restante, enquanto o setor de Serviços vende 70% de sua produção para Bens e mantém o restante. Encontre preços de equilíbrio para a produção anual dos setores de Bens e Serviços que façam com que a receita de cada setor seja igual às suas despesas. Determine outro conjunto de preços de equilíbrio para a economia no Exemplo 1. Suponha que a mesma economia use o iene japonês em vez do dólar para medir os valores da produção dos diversos setores. Isso mudaria o problema de alguma forma? Discuta. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 3. a. b. c. 4. a. b. 5. 6. Considere uma economia com três setores, Química e Metalurgia, Combustíveis e Energia e Maquinário. Química vende 30% de sua produção para Combustíveis, 50% para Maquinário e retém o restante. Combustíveis vende 80% de sua produção para Química, 10% para Maquinário e retém o restante. Maquinário vende 40% de sua produção para Química, 40% para Combustíveis e retém o restante. Construa a tabela de trocas para esta economia. Desenvolva um sistema de equações que leve a preços segundo os quais a renda de cada setor seja igual às suas despesas. Depois escreva a matriz aumentada que pode ser escalonada para encontrar esses preços. [M] Encontre um conjunto de preços de equilíbrio para a economia. Considere que uma economia tenha quatro setores: Agricultura (A), Energia (E), Indústria (I) e Transportes (T). O setor A vende 10% de sua produção para E e 25% para I, e retém o restante. O setor E vende 30% de sua produção para A, 35% para I e 25% para T, e retém o restante. O setor I vende 30% de sua produção para A, 15% para E e 40% para T, e retém o restante. O setor T vende 20% de sua produção para A, 10% para E e 30% para I e retém o restante. Construa a tabela de trocas para essa economia. [M] Encontre um conjunto de preços de equilíbrio para a economia. Nos Exercícios 5 a 10, equilibre as equações químicas usando a abordagem de equações vetoriais discutida nesta seção. O sulfeto de boro reage violentamente com a água para formar ácido bórico e gás sulfídrico (que tem cheiro de ovo podre). A equação não equilibrada é B2S3 + H20 → H3BO3 + H2S [Para cada composto, construa um vetor que liste os números de átomos de boro, enxofre, hidrogênio e oxigênio.] Quando são misturadas soluções de fosfato de sódio e nitrato de bário, o resultado é fostato de bário (como um precipitado) e nitrato de sódio. A equação não equilibrada é Na3PO4 + Ba(NO3)2 → Ba3(PO4)2 + NaNO3 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 7. 8. 9. 10. 11. 12. a. b. c. [Para cada composto, construa um vetor que liste os números de átomos de sódio (Na), fósforo, oxigênio, bário e nitrogênio. Por exemplo, o nitrato de bário corresponde a (0, 0, 6, 1, 2).] Alka-Seltzer contém bicarbonato de sódio (NaHCO3) e ácido cítrico (H3C6H5O7). Quando um comprimido efervescente é diluído em água, a reação produz citrato de sódio, água e dióxido de carbono (gás): NaHCO3 + H3C6H5O7 → Na3C6H5O7 + H2O + CO2 A reação a seguir entre permanganato de potássio (KMnO4) e sulfato de manganês em água produz dióxido de manganês, sulfato de potássio e ácido sulfúrico: KMnO4 + MnSO4 + H2O → MnO2 + K2SO4 + H2SO4 [Para cada composto, construa um vetor que liste os números de átomos de potássio (K), manganês, oxigênio, enxofre e hidrogênio.] [M] Se possível, use aritmética exata ou um formato racional nos cálculos para equilibrar a reação química a seguir: PbN6 + CrMn2O8 → Pb3O4 + Cr2O3 + MnO2 + No [M] A reação química a seguir pode ser usada em alguns processos industriais, como na produção de arsênico (AsH3). Use aritmética exata ou um formato racional nos cálculos para equilibrar essa equação. Mns + As2Cr10O35 + H2SO4 → HMnO4 + AsH3 + CrS3O12 + H2O Encontre o padrão de fluxo geral na rede ilustrada na figura a seguir. Supondo que todos os fluxos são não negativos, qual é o maior valor possível para x3? Encontre o padrão de tráfego geral na rede de estradas ilustrada na figura a seguir. (As taxas de fluxo estão medidas em carros/ minuto.) Encontre o padrão de tráfego geral quando a estrada cujo fluxo está denotado por x4 se encontra fechada. Quando x4 = 0, qual é o valor mínimo possível de x1? Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 13. a. b. 14. Encontre o padrão de fluxo geral na rede ilustrada na figura. Supondo que os fluxos tenham de seguir nos sentidos indicados, encontre os fluxos mínimos nos ramos denotados por x2, x3, x4 e x5. As interseções na Inglaterra são construídas, muitas vezes, como “rotatórias” de mão única, como a ilustrada na figura a seguir. Suponha que o tráfego tenha de fluir no sentido indicado. Encontre a solução geral do fluxo na rede. Encontre o menor valor possível para x6. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 1.7 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS Escreva os percentuais em forma decimal. Como todas as produções devem ser consideradas, os valores em cada coluna têm de somar 1. Esse fato ajuda a preencher todos os campos vazios. Distribuição da Produção de: Agricultura Mineração Indústria Comprada por: 0,65 0,20 0,20 Agricultura 0,05 0,10 0,30 Mineração 0,30 0,70 0,50 Indústria Como x5 ≤ 500, as equações correspondentes às interseções D e A para x1 e x2 implicam x1 ≥ 100 e x2 ≤ 700. O fato de que x5 ≥ 0 implica que x1 ≤ 600 e x2 ≥ 200. Portanto, 100 ≤ x1 ≤ 600 e 200 ≤ x2 ≤ 700. INDEPENDÊNCIA LINEAR As equações homogêneas na Seção 1.5 podem ser estudadas de um ponto de vista diferente, reescrevendo-as como equações vetoriais. Dessa forma, o foco muda das soluções desconhecidas de Ax = 0 para os vetores que aparecem nas equações vetoriais. Por exemplo, considere a equação Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. a. Essa equação, é claro, tem a solução trivial, com x1 = x2 = x3 = 0. Como na Seção 1.5, o assunto principal é saber se a solução trivial é a única. DEFINIÇÃO Um conjunto indexado de vetores {v1, …, vp} em ℝn é dito linearmente independente se a equação vetorial x1v1 + x2v2 + … xpvp = 0 tiver apenas a solução trivial. O conjunto {v1, …, vp} é dito linearmente dependente se existirem constantes c1, …, cp, nem todas nulas, tais que A Equação (2) é chamada uma relação de dependência linear entre v1, …, vp quando as constantes não são todas iguais a zero. Um conjunto indexado é linearmente dependente se e somente se não for linearmente independente. Por comodidade, podemos dizer que v1, …, vp são linearmente dependentes quando, na verdade, o que queremos dizer é que {v1, …, vp} é um conjunto linearmente dependente. Usaremos uma terminologia análoga para os conjuntos linearmente independentes. EXEMPLO 1 Sejam . Determine se o conjunto {v1, v2, v3} é linearmente independente. Se possível, encontre uma relação de dependência linear entre v1, v2 e v3. SOLUÇÃO É preciso determinar se existe uma solução não trivial da equação (1) anterior. As operações elementares na matriz aumentada associada mostram que Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD b. É claro que x1 e x2 são variáveis dependentes e x3 é livre. Cada valor não nulo de x3 determina uma solução não trivial de (1). Portanto, v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (e não linearmente independentes). Para determinar uma relação de dependência linear para v1, v2 e v3, complete o escalonamento da matriz aumentada e reescreva o novo sistema: Assim, x1 = 2x3, x2 = –x3 e x3 é livre. Escolha um valor não nulo para x3, digamos, x3 = 5. Então, x1 = 10 e x2 = −5. Substitua esses valores em (1) e obtenha 10v1 – 5v2 + 5v3 = 0 Essa é uma dentre uma infinidade de relações de dependência linear possíveis para v1, v2 e v3. ■ Independência Linear das Colunas de uma Matriz Vamos considerar uma matriz A = [a1 ... an], em vez de um conjunto de vetores. A equação matricial Ax = 0 pode ser escrita como x1a1 + x2a2 + … + xnan = 0 Cada relação de dependência linear entre as colunas de A corresponde a uma solução não trivial de Ax = 0. Assim, temos o seguinte fato importante. As colunas de uma matriz A são linearmente independentes se e somente se a equação Ax = 0 tiver somente a solução trivial. (3) EXEMPLO 2 Determine se as colunas da matriz são linearmente independentes. SOLUÇÃO Para estudar Ax = 0, escalone a matriz aumentada: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. a. b. Agora, está claro que existem três variáveis dependentes e nenhuma variável livre. Portanto, a equação Ax = 0 tem somente a solução trivial, e as colunas de A são linearmente independentes. ■ Conjuntos com Um ou Dois Vetores Um conjunto com apenas um vetor — digamos, v — é linearmente independente se e somente se v não for o vetor nulo. Isso ocorre porque a equação vetorial x1v = 0 tem apenas a solução trivial quando v ≠ 0. O vetor nulo é linearmente dependente porque x10 = 0 tem muitas soluções não triviais. O próximo exemplo vai explicar a natureza de um conjunto linearmente dependente de dois vetores. EXEMPLO 3 Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente independentes. SOLUÇÃO Observe que v2 é um múltiplo de v1, a saber, v2 = 2v1. Portanto, –2v1 + v2 = 0, o que mostra que {v1, v2} é linearmente dependente. Com certeza, v1 e v2 não são múltiplos um do outro. Ambos podem ser linearmente dependentes? Suponha que c e d satisfaçam cv1 + dv2 = 0 Se c ≠ 0, então podemos resolver para v1 em função de v2, a saber, v= (–d/c) v2. Esse resultado é impossível porque v1 não é múltiplo de v2. Portanto, c tem de ser igual a zero. De modo análogo, d também é zero. Assim, {v1, v2} é um conjunto linearmente independente. ■ A argumentação no Exemplo 3 mostra que sempre podemos decidir por simples inspeção se um conjunto de dois vetores for linearmente dependente. As operações elementares são desnecessárias. Basta verificar se um vetor é um múltiplo escalar do outro. (O teste se aplica apenas a conjuntos de dois vetores.) Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 1 Um conjunto de dois vetores {v1, v2} é linearmente dependente se e somente se um dos vetores for múltiplo do outro. O conjunto é linearmente independente se e somente se nenhum dos vetores for múltiplo do outro. Em termos geométricos, dois vetores são linearmente dependentes se e somente se pertencerem à mesma reta contendo a origem. A Figura 1 mostra os vetores do Exemplo 3. Conjuntos de Dois ou Mais Vetores A demonstração do próximo teorema é semelhante à solução do Exemplo 3. Os detalhes são dados no final desta seção. TEOREMA 7 Caracterização de Conjuntos Linearmente Dependentes Um conjunto indexado S = {v1, …, vp} de dois ou mais vetores é linearmente dependente se e somente se pelo menos um dos vetores de S for uma combinação linear dos demais. De fato, se S for linearmente dependente, e v1 ≠ 0, então algum vj (com j > 1) será uma combinação linear dos vetores Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD anteriores, v1, …, vj–1. Cuidado: O Teorema 7 não diz que todo vetor de um conjunto linearmente dependente é uma combinação linear dos vetores anteriores. Um vetor em um conjunto linearmente dependente pode não ser uma combinação linear dos outros vetores. Veja o Problema Prático 1(c). EXEMPLO 4 Sejam . Descreva o conjunto gerado por u e v e explique por que um vetor w pertence a ℒ{u, v} se e somente se {u, v, w} for linearmente dependente. SOLUÇÃO Os vetores u e v são linearmente independentes porque nenhum dos dois é múltiplo do outro e, portanto, geram um plano em ℝ3. (Veja a Seção 1.3.) Na verdade, ℒ{u, v} é o plano x1x2 (com x3 = 0). Se w for uma combinação linear de u e v, então {u, v, w} será linearmente dependente, pelo Teorema 7. De forma recíproca, suponha que {u, v, w} seja linearmente dependente. Pelo Teorema 7, algum vetor em {u, v, w} é uma combinação linear dos vetores precedentes (já que u ≠ 0). Esse vetor tem de ser w, já que v não é múltiplo de u. Portanto, w pertence a ℒ{u, v}. Veja a Figura 2. ■ FIGURA 2 Dependência linear em ℝ3. O Exemplo 4 pode ser generalizado para qualquer conjunto {u, v, w} em ℝ3 com u e v linearmente independentes. O conjunto {u, v, w} será linearmente dependente se e somente se w estiver no plano gerado por u e v. Os dois próximos teoremas descrevem casos especiais em que a dependência linear é automática. Além disso, o Teorema 8 terá importância fundamental nos capítulos posteriores. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD TEOREMA 8 Se um conjunto contiver mais vetores do que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente dependente. Em outras palavras, todo conjunto {v1, …, vp} em ℝn é linearmente dependente se p > n. FIGURA 3 Se p > n, as colunas serão linearmente dependentes. DEMONSTRAÇÃO Seja A = [v1 … vp]. Então A é uma matriz n × p, e a equação Ax = 0 corresponde a um sistema de n equações e p incógnitas. Se p > n, então existirão mais variáveis que equações e, portanto, existirá alguma variável livre. Assim, Ax = 0 tem solução não trivial, e as colunas de A são linearmente dependentes. Veja a Figura 3 para uma versão matricial deste teorema. ■ Cuidado: O Teorema 8 não diz nada sobre o caso em que o número de vetores do conjunto não ultrapassa o número de componentes de cada vetor. EXEMPLO 5 Os vetores são linearmente dependentes pelo Teorema 8, já que existem três vetores no conjunto e apenas duas componentes em cada vetor. Observe, no entanto, que nenhum dos vetores é múltiplo de um dos outros. Veja a Figura 4. ■ FIGURA 4 Um conjunto linearmente dependente em ℝ2. TEOREMA 9 Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. c. Se um conjunto S = {v1, …, vp} em ℝn contiver o vetor nulo, então o conjunto será linearmente dependente. DEMONSTRAÇÃO Reordenando os vetores, podemos supor que v1 = 0. Então a equação 1v1 + 0v2 + … + 0vp = 0 mostra que S é linearmente dependente. ■ EXEMPLO 6 Determine, por simples inspeção, se o conjunto dado é linearmente dependente. SOLUÇÃO O conjunto contém quatro vetores, cada um dos quais com apenas três componentes. Portanto, pelo Teorema 8, o conjunto é linearmente dependente. O Teorema 8 não se aplica aqui porque o número de vetores não excede o número de componentes de cada vetor. Como o vetor nulo pertence ao conjunto, o conjunto é linearmente dependente pelo Teorema 9. Ao compararmos as componentes correspondentes dos dois vetores, parece que o segundo vetor é –3/2 vezes o primeiro vetor. Essa relação vale para as primeiras três componentes, mas falha para a quarta. Assim, nenhum dos vetores é múltiplo do outro, e, portanto, são linearmente independentes. ■ De modo geral, você deve ler cada seção cuidadosamente diversas vezes para absorver um conceito importante como a independência linear. Por exemplo, a demonstração a seguir deve ser lida com cuidado porque ilustra como a definição de independência linear pode ser usada. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 7 (Caracterização dos Conjuntos Linearmente Dependentes) Se algum vj em S for uma combinação linear dos outros vetores, então vj poderá ser subtraído dos dois lados da equação, produzindo uma relação de dependência linear com uma constante não nula (–1) para vj. [Por exemplo, se v1 = c2v2 + c3v3, então 0 = (–1) v1 + c2v2 + c3v3 + 0v4 + … + 0vp.] Logo, S é linearmente dependente. De forma recíproca, suponha que S seja linearmente dependente. Se v1 for o vetor nulo, então será combinação linear (a trivial) dos outros vetores de S. Caso contrário, v1 ≠ 0 e existem constantes c1, ..., cp, nem todas nulas, tais que c1v1 + c2v2 + … + cpvp = 0 Seja j o maior índice para o qual cj ≠ 0. Se j = 1, então c1v1 = 0, o que é impossível porque v1 ≠ 0. Portanto, j > 1 e Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. a. b. c. d. 2. PROBLEMAS PRÁTICOS Sejam . Os conjuntos {u, v}, {u, w}, {u, z}, {v, w}, {v, z} e {w, z} são, cada um deles, linearmente independentes? Por quê? A resposta do item (a) implica {u, v, w, z} ser linearmente independente? Para determinar se {u, v, w, z} é linearmente dependente, seria interessante verificar se, digamos, w é combinação linear de u, v e z? O conjunto {u, v, w, z} é linearmente dependente? Suponha que {v1, v2, v3} é um conjunto linearmente dependente de vetores em ℝn e que v4 é um vetor emℝn. Mostre que {v1, v2, v3, v4} também é um conjunto linearmente dependente. 1.7 EXERCÍCIOS Nos Exercícios 1 a 4, determine se os vetores são linearmente independentes. Justifique cada resposta. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Nos Exercícios 5 a 8, determine se as colunas da matriz dada formam um conjunto linearmente independente. Justifique cada resposta. Nos Exercícios 9 e 10: (a) Para que valores de h o vetor v3 pertence a ℒ{v1, v2}? (b) Para que valores de h o conjunto {v1, v2, v3} é linearmente dependente? Justifique cada resposta. Nos Exercícios 11 a 14, determine o(s) valor(es) de h que torna(m) os vetores linearmente dependentes. Justifique cada resposta. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 21. a. b. Determine, por simples inspeção, se os vetores dos Exercícios 15 a 20 são linearmente independentes. Justifique cada resposta. Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta com base em uma leitura cuidadosa do texto. As colunas de uma matriz A são linearmente independentes se a equação Ax = 0 tiver a solução trivial. Se S for um conjunto linearmente dependente, então cada vetor será uma combinação linear dos outros vetores em S. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD c. d. 22. a. b. c. d. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. a. b. 31. 32. As colunas de qualquer matriz 4 × 5 são linearmente dependentes. Se x e y forem linearmente independentes e se {x, y, z} for linearmente dependente, então z pertencerá a ℒ{x, y}. Dois vetores serão livremente dependentes se e somente se estiverem contidos em uma mesma reta contendo a origem. Se um conjunto contiver menos vetores do que o número de componentes de cada vetor, então o conjunto será linearmente independente. Se x e y forem linearmente independentes e z pertencer a ℒ{x, y}, então {x, y, z} será linearmente dependente. Se um conjunto em ℝn for linearmente dependente, então o conjunto conterá mais vetores do que o número de componentes de cada vetor. Nos Exercícios 23 a 26, descreva as formas escalonadas possíveis da matriz. Use a notação do Exemplo 1 na Seção 1.2. A é uma matriz 3 × 3 com colunas linearmente independentes. A é uma matriz 2 × 2 com colunas linearmente dependentes. A é uma matriz 4 × 2, A = [a1 a2] e a2 não é múltiplo de a1. A é uma matriz 4 × 3, A = [a1 a2 a3] tal que {a1, a2} é linearmente independente e a3 não pertence a ℒ{a1, a2}. Quantas colunas pivôs uma matriz 7 × 5 tem de ter se suas colunas forem linearmente independentes? Por quê? Quantas colunas pivôs uma matriz 5 × 7 tem de ter se suas colunas gerarem ℝ5? Por quê? Construa matrizes A e B, 3 × 2, tais que Ax = 0 só tem a solução trivial, mas Bx = 0 tem uma solução não trivial. Preencha o espaço vazio (sublinhado) na seguinte afirmação: “Se A for uma matriz m × n, então as colunas de A serão linearmente independentes se e somente se A tiver _______ colunas pivôs.” Explique por que a afirmação em (a) é verdadeira. Os Exercícios 31 e 32 devem ser resolvidos sem realizar qualquer operação elementar. [Sugestão: Escreva Ax = 0 como uma equação vetorial.] Dada a matriz note que a terceira coluna é a soma das duas primeiras. Determine uma solução não trivial de Ax = 0. Dada a matriz observe que a primeira coluna mais duas vezes a segunda é igual à terceira. Determine uma solução não trivial de Ax = 0. Cada afirmação nos Exercícios 33 a 38 é verdadeira (em todos os casos) ou falsa (para pelo menos um exemplo). Se for falsa, construa um exemplo particular mostrando que a afirmação nem sempre é verdadeira. Tal exemplo é chamado um contraexemplo para a afirmação. Se for verdadeira, justifique. (Um caso particular não justifica a Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 43. 44. validade de uma afirmação verdadeira. Vai ser preciso trabalhar mais aqui que nos Exercícios 21 e 22.) Se v1, …, v4 estiverem em ℝ4 e v3 = 2v1 + v2, então {v1, v2, v3, v4} será linearmente dependente. Se v1, …, v4 estiverem em ℝ4 e v3 = 0, então {v1, v2, v3, v4} será linearmente dependente. Se v1, v2 estiverem em ℝ4 e v2 não for múltiplo escalar de v1, então {v1, v2} será linearmente independente. Se v1, …, v4 estiverem em ℝ4 e v3 não for uma combinação linear de v1, v2, v4, então {v1, v2, v3, v4} será linearmente independente. Se v1, …, v4 estiverem em ℝ4 e {v1, v2, v3} for linearmente dependente, então {v1, v2, v3, v4} também será linearmente dependente. Se v1, …, v4 forem vetores linearmente independentes em ℝ4, então {v1, v2, v3} também será linearmente independente. [Sugestão: Considere x1v1 + x2v2 + x3v3 + 0 ? v4 = 0.] Suponha que A seja uma matriz m × n com a propriedade que, para todo b em ℝm, a equação Ax = b tenha no máximo uma solução. Use a definição de independência linear para explicar por que as colunas de A têm de ser linearmente independentes. Suponha que uma matriz A m × n tenha n colunas pivôs. Explique por que, para cada b em ℝm, a equação Ax = b tem no máximo uma solução. [Sugestão: Explique por que Ax = b não pode ter uma infinidade de soluções.] [M] Nos Exercícios 41 e 42, use tantas colunas de A quantas forem possíveis para montar uma matriz B com a propriedade de que a equação Bx = 0 só tenha a solução trivial. Faça a verificação resolvendo a equação Bx = 0. [M] Com A e B como no Exercício 41, escolha uma coluna v de A que não tenha sido usada na construção de B e determine se v pertence ao conjunto gerado pelas colunas de B. (Descreva seus cálculos.) [M] Repita o Exercício 43 com as matrizes A e B do Exercício 42. Depois, justifique o que você encontrou, supondo que B foi obtida como especificado. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. a. b. c. d. 2. 1.8 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS Sim. Em cada caso, nenhum dos vetores é múltiplo do outro. Assim, cada conjunto é linearmente independente. Não. A observação no item (a), por si só, não diz nada sobre a independência linear de {u, v, w, z}. Não. Ao testar a independência linear, não é uma boa ideia, em geral, verificar se um dos vetores é uma combinação linear dos demais. Pode acontecer de o vetor escolhido não ser combinação linear dos demais e, mesmo assim, todo o conjunto ser linearmente dependente. Nesse problema, w não é combinação linear de u, v e z. Sim, pelo Teorema 8. Existem mais vetores (quatro) que componentes (três) em cada um. A aplicação da definição de dependência linear a {v1, v2, v3} implica a existência de escalares c1, c2, c3, nem todos nulos, tais que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0. Somando 0 v4 = 0 aos dois lados desta equação resulta em c1v1 + c2v2 + c3v3 + 0v4 = 0. Como c1, c2, c3 e 0 não são todos iguais a zero, o conjunto {v1, v2, v3, v4} satisfaz à definição de um conjunto linearmente dependente. INTRODUÇÃO ÀS TRANSFORMAÇÕES LINEARES A diferença entre uma equação matricial Ax = b e a equação vetorial associada x1a1 + … + xnan = b é uma mera questão de notação. No entanto, uma equação matricial Ax = b pode surgir na álgebra linear (e em aplicações como computação gráfica e processamento de sinais) de maneira a não estar diretamente ligada a combinações lineares de vetores. Isso acontece quando pensamos na matriz A como um objeto que “age” sobre um vetor x, por multiplicação, produzindo um novo vetor chamado Ax. Por exemplo, as equações Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD dizem que a multiplicação por A transforma x em b e transforma u no vetor nulo. Veja a Figura 1. FIGURA 1 Transformando vetores por meio da multiplicação por matrizes. Sob esse novo ponto de vista, resolver a equação Ax = b significa determinar todos os vetores x em ℝ4 que são transformados no vetor b em ℝ2 sob a “ação” da multiplicação por A. A correspondência de x para Ax é uma função de um conjunto de vetores em outro. Esse conceito generaliza a noção usual de função, que é uma regra que transforma um número real em outro. Uma transformação (ou função, ou aplicação) T de ℝn em ℝm é uma regra que associa a cada vetor x em ℝn um vetor T (x) em ℝm. O conjunto ℝn é o domínio de T e ℝm é o contradomínio de T. A notação T : ℝn → ℝm indica que o domínio de T é ℝn e o contradomínio é ℝm. Para x em ℝn, o vetor T (x) em ℝm é chamado imagem de x (sob a ação de T). O conjunto de todas as imagens T (x) é denominado imagem de T. Veja a Figura 2. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. c. d. FIGURA 2 Domínio, contradomínio e imagem de T : ℝn → ℝm. A nova terminologia nesta seção é importante porque uma visão dinâmica da multiplicação de matriz por vetor é a chave para a compreensão de diversos conceitos de álgebra linear e a construção de modelos matemáticos de sistemas físicos que evoluem com o tempo. Esses sistemas dinâmicos serão discutidos nas Seções 1.10, 4.8, 4.9 e ao longo do Capítulo 5. Transformações Matriciais O restante desta seção trata de aplicações associadas à multiplicação de matrizes. Para cada x em ℝn, T (x) é dado por Ax, em que A é uma matriz m × n. Para simplificar, muitas vezes denotamos essa transformação matricial por x ↦ Ax. Observe que o domínio de T é ℝn quando A tem n colunas, e o contradomínio de T é ℝm quando cada coluna de A tem m elementos. A imagem de T é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A, já que cada imagem T (x) é da forma Ax. EXEMPLO 1 Sejam e defina a transformação T : ℝ2 → ℝ3 por T (x) = Ax, de modo que Calcule T (u), a imagem de u pela transformação T. Encontre um vetor x em ℝ2 cuja imagem por T é b. Existe mais de um x cuja imagem por T é b? Determine se c pertence à imagem da transformação T. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD a. b. SOLUÇÃO Calcule Resolva T (x) = b para x. Ou seja, resolva Ax = b, ou Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD c. d. Usando o discutido na Seção 1.4, escalone a matriz aumentada: Portanto, x1 = 1,5, x2 = –0,5 e . A imagem de x por T é o vetor dado b. Todo x cuja imagem por T é b tem de satisfazer (1). De (2), é claro que a equação (1) tem uma única solução. Portanto, existe exatamente um x cuja imagem é b. O vetor c está na imagem de T se c for a imagem de algum x em ℝ2, ou seja, se c = T(x) para algum x. Essa é outra maneira de perguntar se o sistema Ax = c é consistente. Para determinar a resposta, escalone a matriz aumentada: A terceira equação, 0 = –35, mostra que o sistema é impossível. Portanto, c não está na imagem de T. ■ A pergunta no Exemplo 1(c) é um problema de unicidade para um sistema de equações lineares, traduzido, agora, para a linguagem de transformação matricial: b é a imagem de um único x em ℝn? Analogamente, o Exemplo 1(d) é um problema de existência: existe um x cuja imagem é c? As duas próximas transformações matriciais podem ser visualizadas de forma geométrica. Reforçam a abordagem dinâmica de uma matriz como um objeto que transforma vetores em outros vetores. A Seção 2.7 contém outros exemplos interessantes ligados à computação gráfica. EXEMPLO 2 Se , então a transformação x ↦ Ax projeta os pontos em ℝ3 no plano x1x2, pois Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD FIGURA 3 Uma transformação de projeção. Veja a Figura 3. ■ EXEMPLO 3 Seja transformada T : ℝ2 → ℝ2 definida por T (x) = Ax é chamada uma transformação de cisalhamento. Pode-se mostrar que, se T for aplicado em cada ponto do quadrado 2 × 2 ilustrado na Figura 4, então o conjunto das imagens formará o paralelogramo sombreado. A ideia-chave é mostrar que T transforma segmentos de reta em segmentos de reta (como é mostrado no Exercício 27) e depois verificar que os vértices do quadrado são transformados nos vértices do paralelogramo. Por exemplo, a imagem do ponto e a imagem de . T deforma o quadrado transladando a aresta superior para a direita e mantendo a inferior fixa. Transformações de cisalhamento aparecem na física, geologia e cristalografia. Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD ■ FIGURA 4 Uma transformação de cisalhamento. Transformações Lineares Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD O Teorema 5 na Seção 1.4 mostra que, se A for m × n, então a transformação x ↦ Ax terá as propriedades A(u + v) = Au + Av e A(cv) = cAv para todos os vetores u, v em ℝn e todos os escalares c. Essas propriedades, reescritas em notação funcional, identificam a classe mais importante de transformações em álgebra linear. DEFINIÇÃO Uma transformação (ou aplicação) T é linear se: (i) T (u + v) = T (u) + T (v) para todos os vetores u, v no domínio de T; (ii) T (cv) = cT (v) todos os escalares c e para todo v no domínio de T. Toda transformação matricial é uma transformação linear. Exemplos importantes de transformações lineares que não são transformações matriciais serão discutidos nos Capítulos 4 e 5. As transformações lineares preservam as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. A propriedade (i) diz que o resultado de T (u + v), que primeiro soma u e v em ℝn e, depois, aplica T, é o mesmo que aplicar T primeiro a u e a v e, depois, somar T (u) e T (v) em ℝm. Essas duas propriedades levam facilmente aos seguintes fatos úteis. Se T for uma transformação linear, então e para todos os vetores v, w no domínio de T e todos os escalares c, d. A propriedade (3) segue da condição (ii) na definição, pois T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0. A propriedade (4) requer tanto (i) quanto (ii): T(cv + dw) = T(cv) + T(dw) = cT(v) + dT(w) Observe que, se uma transformação satisfizer (4) para todo v, w e c, d, então terá de ser linear. (Escolha c = d = 1 para mostrar que a soma é preservada e escolha d = 0 para mostrar que a multiplicação por escalar é preservada.) Aplicações seguidas de (4) produzem a seguinte generalização, que é útil: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Na engenharia e na física, a equação (5) é conhecida como princípio da superposição. Pense em v1, …, vp como sinais que chegam a um sistema e em T (v1), …, T (vp) como as respostas do sistema aos sinais. O sistema satisfaz o princípio da superposição quando: sempre que a entrada for representada como uma combinação linear desses sinais, a resposta do sistema é representada pela mesma combinação linear das respostas dos sinais individuais. Voltaremos a essa ideia no Capítulo 4. EXEMPLO 4 Dado um escalar r, defina T : ℝ2 → ℝ2 por T (x) = rx. T é chamada uma contração quando 0 ≤ r ≤ 1 e uma dilatação quando r > 1. Seja r = 3 e mostre que T é uma transformação linear. SOLUÇÃO Sejam v, w vetores em ℝ2 e c, d escalares. Então Portanto, T é uma transformação linear porque satisfaz (4). Veja a Figura 5. ■ FIGURA 5 Uma transformação de dilatação. EXEMPLO 5 Defina uma transformação linear T : ℝ2 → ℝ2 por Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD Encontre as imagens por T de . SOLUÇÃO Note que T (u + v) é obviamente igual a T (u) + T (v). Fica aparente, na Figura 6, que T gira u, v e u + v no sentido trigonométrico (anti-horário) de 90°. Na verdade, T transforma todo o paralelogramo determinado por u e v no paralelogramo determinado por T (u) e T (v). (Veja o Exercício 28.) ■ O último exemplo não é geométrico; ao contrário, mostra como uma aplicação linear pode transformar um tipo de dados em outro. FIGURA 6 Uma transformação de rotação. EXEMPLO 6 Uma empresa fabrica dois produtos, B e C. Usando os dados do Exemplo 7 na Seção 1.3, construímos uma matriz de “custo unitário”, U = [b c], cujas colunas descrevem o “custo por real de produção” para os produtos: Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 1. 2. 1. 2. 3. 1. 2. Seja x = (x1, x2) um vetor de “produção”, correspondendo a x1 reais do produto B e x2 reais do produto C, e defina T : ℝ2 → ℝ3 por A aplicação T transforma a lista de quantidades produzidas (medidas em reais) em uma lista de custo total. A linearidade dessa aplicação é refletida de duas formas: Se a produção for aumentada de um fator, digamos, 4, de x para 4x, então os custos aumentarão pelo mesmo fator, de T (x) para 4T (x). Se x e y forem vetores de produção, então o vetor de custo total associado à produção x + y será precisamente a soma dos vetores de custo T (x) e T (y). ■ PROBLEMAS PRÁTICOS Seja T : ℝ5 → ℝ2 tal que T (x) = Ax para alguma matriz A e cada x em ℝ5. Quantas linhas e quantas colunas a matriz A tem? Seja . Dê uma descrição geométrica da transformação x ↦ Ax. O segmento de reta de 0 ao vetor u é o conjunto dos pontos da forma tu, em que 0 ≤ t ≤ 1. Mostre que uma transformação linear T leva esse segmento de reta no segmento de 0 a T (u). 1.8 EXERCÍCIOS Seja e defina T : ℝ2 → ℝ2 por T (x) = Ax. Calcule as imagens por T de . Sejam . Defina T : ℝ3 → ℝ3 por T (x) = Ax. Calcule T (u) e T (v). Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 7. 8. 11. Nos Exercícios 3 a 6, encontre um vetor x cuja imagem por T é b, em que T é dada por T (x) = Ax, e determine se este x é único. Seja A uma matriz 6 × 5. Quais os valores de a e b que fazem com que T : ℝa → ℝb possa ser definida por T (x) = Ax? Quantas linhas e colunas é preciso que a matriz A tenha para que se possa definir uma aplicação de ℝ4 em ℝ5 pela regra T (x) = Ax? Nos Exercícios 9 e 10, encontre todos os vetores x em ℝ4 que são transformados no vetor nulo pela aplicação x ↦ Ax. Sejam e A a matriz no Exercício 9. O vetor b está na imagem da transformação linear x ↦ Ax? Por quê? Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 12. 17. 18. Sejam e A a matriz no Exercício 10. O vetor b está na imagem da transformação linear x ↦ Ax? Por quê? Nos Exercícios 13 a 16, use um sistema de coordenadas retangulares para desenhar os vetores e suas imagens sob a transformação T. (Faça desenhos separados e razoavelmente grandes para cada exercício.) Descreva geometricamente o efeito da aplicação T em cada vetor x em ℝ2. Seja T : ℝ2 → ℝ2 a transformação linear que leva e . Use o fato de que T é linear para encontrar as imagens pela transformação T de 3u, 2v e 3u + 2v. A figura a seguir mostra os vetores u, v e w junto com as imagens T (u) e T (v) pela transformação linear T : ℝ2 → ℝ2. Copie essa figura com cuidado e desenhe a imagem T (w) da maneira mais precisa possível. [Sugestão: Escreva, primeiro, w como combinação linear de u e v.] Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 19. 20. 21. a. b. c. d. e. 22. a. b. c. d. e. 23. 24. 25. 26. Sejam e T : ℝ2 → ℝ2 a transformação linear que leva e1 em y1 e e2 em y2. Encontre as imagens de . Sejam T : ℝ2 → ℝ2 a transformação linear que leva x em x1v1 + x2v2. Encontre uma matriz A tal que T (x) = Ax para todo x em ℝ2. Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. Uma transformação linear é um tipo especial de função. Se A for uma matriz 3 × 5 e T for a transformação definida por T (x) = Ax, então o domínio de T será ℝ3. Se A for uma matriz m × n, então a imagem da transformação x → Ax será ℝm. Toda transformação linear é uma transformação matricial. Uma transformação T é linear se e somente se T (c1v1 + c2v2) = c1T (v1) + c2T (v2) para todo v1, v2 no domínio de T e para todos os escalares c1 e c2. Toda transformação matricial é uma transformação linear. O contradomínio da transformação x ↦ Ax é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Se T : ℝn → ℝm for uma transformação linear e c estiver em ℝm, então uma pergunta sobre unicidade: “Será que c está na imagem de T?” Uma transformação linear preserva as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. O princípio de superposição é uma descrição física de uma transformação linear. Seja T : ℝ2 → ℝ2 a transformação linear que reflete cada ponto em relação ao eixo dos x1. (Veja o Problema Prático 2.) Faça dois desenhos semelhantes ao da Figura 6 que ilustrem as propriedades (i) e (ii) de uma transformação linear. Suponha que os vetores v1, …, vp gerem ℝn e seja T : ℝn → ℝn uma transformação linear. Suponha que T (vi) = 0 para i = 1, …, p. Mostre que T é a transformação nula, ou seja, mostre que T (x) = 0 para todo x em ℝn. Dados v ≠ 0 e p em ℝn, a reta contendo p na direção de v tem como equação paramétrica x = p + tv. Mostre que uma transformação linear T : ℝn → ℝn transforma essa reta em outra reta ou em um ponto (uma reta degenerada). Sejam u, v vetores linearmente independentes em ℝ3 e seja P o plano contendo u, v e 0. A equação paramétrica de P é x = su + tv (com s, t em ℝ). Mostre que uma transformação linear T : ℝ3 → ℝ3 transforma P em um plano contendo 0, ou em uma reta contendo 0 ou apenas na origem em ℝ3. O que precisa acontecer com T (u) Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 27. a. b. 28. 29. a. b. c. 30. 31. 32. 33. 34. 35. e T (v) para que a imagem do plano P seja um plano? Mostre que a reta contendo os pontos p e q em ℝn pode ser escrita na forma paramétrica como x = (1 – t)p + tq. (Refira-se à figura correspondente aos Exercícios 21 e 22 na Seção 1.5.) O segmento de reta de p a q é o conjunto de pontos da forma (1 – t)p + tq para 0 ≤ t ≤ 1 (como mostra a figura a seguir). Mostre que uma transformação linear T leva esse segmento de reta em um segmento de reta ou em um único ponto. Sejam u e v vetores em ℝn. Podemos mostrar que o conjunto P de todos os pontos limitados pelo paralelogramo determinado por u e v é da forma au + bv, com 0 ≤ a ≤ 1 e 0 ≤ b ≤ 1. Seja T : ℝn → ℝm uma transformação linear. Explique por que a imagem por T de um ponto de P pertence à região limitada pelo paralelogramo determinado por T (u) e T (v). Defina f : ℝ → ℝ por f (x) = mx + b. Mostre que f é uma transformação linear quando b = 0. Encontre uma propriedade de transformações lineares que não é válida se b ≠ 0. Por que em alguns livros f é chamada uma função linear? Uma transformação afim T : ℝn → ℝm tem a forma Ax + b, em que A é uma matriz m × n e b é um vetor em ℝm. Mostre que T não é uma transformação linear se b ≠ 0. (Transformações afins são importantes em computação gráfica.) Seja T: ℝn → ℝm uma transformação linear e seja {v1, v2, v3} um conjunto linearmente dependente em ℝn. Explique por que o conjunto {T (v1), T (v2), T (v3)} é linearmente dependente. Nos Exercícios 32 a 36, os vetores colunas estão escritos como linhas, como x = (x1, x2), e T (x) está escrito como T (x1, x2). Mostre que a transformação T definida por T (x1, x2) = (4x1 – 2x2, 3|x2|) não é linear. Mostre que a transformação T definida por T (x1, x2) = (2x1 – 3x2,x1 + 4, 5x2) não é linear. Seja T : ℝn → ℝm uma transformação linear. Mostre que, se T levar dois vetores linearmente independentes sobre um conjunto linearmente dependente, então a equação T (x) = 0 tem uma solução não trivial. [Sugestão: Suponha que u e v em ℝn são linearmente dependentes. Então c1T (u) + c2T (v) = 0 para pesos c1 e c2, pelo menos um deles diferente de zero. Use esta equação.] Seja T : ℝ3 → ℝ3 a transformação que reflete cada vetor x = (x1, x2, x3) em relação ao plano x3 = 0, levando-o ao vetor T (x) = (x1, x2, –x3). Mostre que T é uma transformação linear. [Veja o Exemplo 4 para ideias.] Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD 36. 39. 40. 1. 2. 3. Seja T : ℝ3 → ℝ3 a transformação que projeta cada vetor x = (x1, x2, x3) sobre o plano x2 = 0, de modo que T (x) = (x1, 0, x3). Mostre que T é uma transformação linear. [M] Em cada um dos Exercícios 37 e 38, a matriz dada determina uma transformação linear T. Encontre todos os x tais que T (x) = 0. [M] Seja e seja A a matriz do Exercício 37. O vetor b pertence à imagem da transformação x ↦ Ax? Se for o caso, determine um vetor x cuja imagem pela transformação seja b. [M] Seja e seja A a matriz do Exercício 38. O vetor b está na imagem da transformação x ↦ Ax? Se for o caso, determine um vetor x cuja imagem pela transformação seja b. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PRÁTICOS A matriz A tem de ter cinco colunas para que Ax esteja definida e tem de ter duas linhas para que o contradomínio de T seja ℝ2. Coloque alguns pontos aleatórios (vetores) em um papel milimetrado para ver o que acontece. Um ponto como (4, 1) é transformado em (4, –1). A transformada x ↦ Ax reflete pontos em relação ao eixo dos x (ou eixo x1). Seja x = tu para algum t tal que 0 ≤ t ≤ 1. Como T é linear, T (tu) = t T (u), que é um ponto no segmento de reta que une 0 a T (u). Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API PDFCROWD