Resumo - Momento de Inércia de Massa - 2024-1

ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 175 m r Eixo de rotação 18. MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA O termo “inércia” é normalmente associado com a dificuldade de se colocar em movimento de translação um corpo que está parado. Do mesmo modo, este termo está associado com a dificuldade de parar um corpo que realiza um movimento de translação. É usual falar-se em inércia com objetivo de citar a massa do corpo. Quando o movimento que o corpo realiza é do tipo rotação, a dificuldade de colocar o corpo em movimento ou de parar o movimento que este realiza está associado com o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação, o qual é função do modo como a massa do corpo é distribuída em relação ao eixo de rotação. É importante salientar que o termo “momento de inércia” é empregado, em Engenharia, na maioria das vezes referindo-se ao momento de inércia de área, ou melhor, ao momento estático de segunda ordem que foi estudado no capítulo 14. Sabe-se que o tempo necessário para um partícula alcançar uma determinada velocidade de rotação é proporcional à massa m da partícula e ao quadrado da distância perpendicular r entre o centro da partícula e o eixo de rotação. O resultado representado na equação (18.1) denomina-se momento de inércia da massa m em relação ao eixo de rotação, Fig. (18.1). r m I = 2 (18.1) Figura 18.1 – Momento de inércia de uma partícula. Para um corpo com n partículas o momento de inércia de massa em relação ao eixo de rotação é dado por ∑ = = n i ri mi I 1 2 (18.2) que no caso limite, ou seja quando o número de partículas tende ao infinito, resulta na integral representada na equação (18.3). ∫ = m r dm I 2 (18.3) No caso geral de um corpo feito com material de massa específica variável, ou seja ( , , ) ρ = ρ x y z , a massa elementar dm pode ser expressa como x y z dV dm = ρ( , , ) . Neste caso, a integral (18.3) passa a ser uma integral volumétrica ou seja ∫ = V x y z r dV I ρ( , , ) 2 (18.4) que é uma integral de difícil solução. ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 176 Do ponto de vista prático, é mais comum trabalhar ou aproximar o material como sendo de massa específica constante. Neste caso, a equação (18.4) pode ser rescrita como (18.5), sendo que a integral passa a depender apenas da geometria do corpo. ∫ = V r dV I 2 ρ (18.5) Raio de giração. O raio de giração R de um corpo em relação ao eixo de rotação é definido pela expressão (18.6). O raio de giração representa a distância à qual a massa do corpo deve se concentrar para que seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação permaneça constante. A Fig.(18.1) pode ser empregada para ilustrar este conceito. I = m R2 (18.6) Em alguns casos, o eixo de rotação é um dos eixos coordenados x, y, z. Neste caso, considerando-se a Fig. (18.2), pode-se expressar o momento de inércia em termos destas coordenadas. dm y x I dm z x I dm z y I m z m y m x ∫ ∫ ∫     + =     + =     + = 2 2 2 2 2 2 (18.7) Figura (18.2) – Cálculo do momento de inércia em relação aos eixos x, y e z. y y z x x z O r dm ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 177 18.1 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Quando o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo, que passa pelo centro de massa, é conhecido, pode-se empregar o Teorema dos Eixos Paralelos para determinar o momento de inércia deste corpo em relação a um outro eixo paralelo ao eixo baricêntrico. Para se deduzir a expressão do teorema dos eixos paralelos considera-se a Fig. (18.3), na qual G é o centro de massa do corpo e os eixos x’, y’ e z’ são os eixos baricêntricos deste corpo, sendo paralelos aos eixos x, y e z respectivamente. Figura (18.3) – Sistema de coordenadas para aplicação do teorema dos eixos paralelos. Pela Fig. (18.3), nota-se que as coordenadas do elemento de massa dm podem ser escritas como 'x x x = G + , 'y y y G + = e 'z z z = G + . Tomando-se a primeira das expressões (18.7) e aplicando estas definições tem-se ( ) ( ) [ ] ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫     + + + + +     + = + + + =     + = m G G m G m G m m G G m x dm z y z dm z y dm y dm z y dm z z y y dm z y I 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 ' 2 ' ' ' ' A 1ª integral desta expressão é o momento de inércia 'xI em relação ao eixo baricêntrico x’. A 2ª e 3ª integrais representam os momentos de 1ª ordem do corpo em relação aos planos z’x’ e x’y’ respectivamente. Como estes planos contém o centro de massa G, estas integrais são nulas. A última integral é igual a massa m do corpo. Considerando o mesmo raciocínio para as demais expressões (18.7) tem-se     + + =     + + =     + + = 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' G G z z G G y y G G x x y m x I I z m x I I z m y I I (18.8) z y x xG O dm yG zG B G x' z' y' ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 178 Pode-se notar que a soma 2 2 G G z y + representa o quadrado da distância OB entre os eixos y e y’. Do mesmo modo, 2 2 G G z x + e 2 2 G G y x + representam os quadrados das distâncias entre os eixos x e x’ e os eixos z e z’ respectivamente. Sendo d a distância entre um eixo arbitrário AA’ e um eixo baricêntrico paralelo BB’, Fig. (18.4), pode-se escrever a seguinte relação geral m d 2 I I = G + (18.9) Figura (18.4) – Teorema dos eixos paralelos – caso geral. 18.2 CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO A solução da integral (18.5) requer uma integração tripla. Entretanto, se o corpo possui dois planos de simetria, o cálculo normalmente pode ser substituído por uma integração simples. No caso de corpos cujas superfícies possam ser obtidas por curvas de revolução em relação a um eixo, pode-se empregar elementos de integração do tipo casca; elemento com altura z, raio y e espessura dy, cujo volume vale y z dy dV = 2π ; ou do tipo disco; raio y e espessura dz, cujo volume vale y dz dV 2 = π . A Fig. (18.5) ilustra estes elementos de integração. Exemplo 1. Determine o momento de inércia do cilindro de raio R e altura h, de massa específica constante, em relação ao eixo baricêntrico z. Solução: A massa de um cilindro é calculada fazendo-se r h m = ρπ 2 . Empregando-se um elemento de integração do tipo casca tem-se hr dr r dm dI z 3 2 = ρ 2π = . Integrando ao longo de toda a região do cilindro tem-se 2 4 3 0 2 2 1 2 2 mR R h r dr h r dm I R m z = = = = ∫ ∫ ρπ π ρ G A A' B' B d ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 179 Figura (18.5) – Elementos de integração para corpos de revolução. Exemplo 2. Determinar o momento de inércia de uma haste delgada de comprimento L e massa m em relação a um eixo baricêntrico perpendicular à haste. Solução: Adota-se o elemento de massa diferencial, conforme indicado na figura abaixo, de modo que L dx dm = m . Inicialmente vai-se determinar o momento de inércia em relação ao eixo y que passa numa das extremidades da haste. 3 3 2 0 3 0 2 2 mL x L m L dx x m x dm I L m L y =         = = = ∫ ∫ y z dy z x y y z z x y dz G y x L z y x L z x dx ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 180 Aplicando-se agora o teorema dos eixos paralelos pode-se determinar o momento de inércia em relação ao eixo yG baricêntrico. 12 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 mL mL mL I m L I mL mx I I G G G y y y y = − = →       + = → + = 18.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE CHAPAS DELGADAS E HOMOGÊNEAS Deseja-se calcular o momento de inércia de uma chapa delgada e homogênea em relação a um eixo de rotação AA’ contido no plano da chapa conforme indicado na Fig. (18.6). Figura (18.6) – Cálculo do momento de inércia de chapas delgadas. Considerando-se que a espessura do corpo é constante e igual a t, pode-se escrever t dA dV dm ρ ρ = = em que ρ é a massa específica do corpo, que é constante já que o corpo é homogêneo. Neste caso a equação (18.3) pode ser rescrita como AA AREA A m AA t I t r dA r dm I ' 2 2 ' ρ ρ = = = ∫ ∫ (18.10) Nesta equação, IAA AREA ' é o momento de inércia de área, ver aula 14, em relação ao eixo AA’. Do mesmo modo, o momento de inércia de massa em relação a um eixo BB’, perpendicular a AA’, é dado por BB AREA BB t I I ' ' = ρ . O momento de inércia ICC’, em relação ao eixo perpendicular ao plano da chapa, pode ser calculado fazendo-se AREA AREA C CC CC t I t I I ρ ρ = = ' ' (18.11) em que ICarea é o momento de inércia polar, ver aula 14, em relação ao ponto C. Fazendo uso dos resultados obtidos para os momentos de inércia de área pode se escrever a seguinte relação entre os momento de inércia de massa de uma chapa fina ' ' ' BB AA CC I I I + = (18.12) A’ A B’ C’ C B t ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 181 Exemplo 3. Calcular os momentos de inércia de uma placa retangular de lados a e b em relação aos eixos AA’, BB’e CC’. Solução: Considerando que a massa da placa vale a tb ρ tem-se 12 12 2 3 ' ' ma t ba t I I AA AREA AA  =        = = ρ ρ 12 12 2 3 ' ' mb t ab t I I BB AREA BB  =        = = ρ ρ     + = + = + = 2 2 2 2 ' ' ' 12 12 12 b m a mb ma I I I BB AA CC Exemplo 4. Calcular os momentos de inércia de uma placa circular de raio R em relação aos eixos AA’, BB’e CC’. Exemplo 4. Calcular os momentos de inércia de uma placa circular de raio R em relação aos eixos AA’, BB’e CC’. Solução: Considerando que a massa da placa vale r t ρπ 2 tem-se 4 12 2 4 ' ' mr r t t I I AA AREA AA  =        = = π ρ ρ Por simetria tem-se 4 2 ' ' mr I I AA BB = = 2 2 ' ' ' mr I I I BB AA CC = + = Outros casos de uso comum são - Cilindro circular de raio R e comprimento L     + = = 2 12 3 2 L R m I I z y 2 mR2 I x = A’ A B’ C’ B t C a b A’ A B’ C’ B t C r x y z G ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 182 - Hexaedro linear     + =     + =     + = 2 2 2 2 2 2 12 12 12 b m a I c m a I c m b I z y x - Esfera de raio R 2 5 2 mR I I I z y x = = = 18.4 CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo OL é descrito pela integral p dm I OL m = ∫ 2 , em que p é a distância perpendicular entre o elemento de massa dm e o eixo OL. A Fig. (18.7) ilustra as variáveis envolvidas. Figura (18.7) – Representação das variáveis envolvidas no cálculo. x y z G x y z G a b c y z x O r dm L uOL θ p ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 183 Sendo uOL o vetor unitário que dá a orientação do eixo OL, nota-se que p = rsenθ , que é igual ao módulo do produto vetorial r u ol × . Logo, pode-se escrever ( ) dm p dm I m ol OL m ∫ ∫ × = = 2 2 r u (18.13) Representando-se os vetores envolvidos como ) ,cos ,cos (cos z y x OL θ θ θ = u e ( , , ) r = x y z e executando-se o produto vetorial tem-se ( ) ( ) ( ) dm z x y z x y I m x z z y y x OL ∫     − + − + − = 2 2 2 cos cos cos cos cos cos θ θ θ θ θ θ (18.14) Operando-se sobre a (18.14) obtém-se ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − −     + +     + +     + = m z x m z y m y x m z m y m x OL xzdm yzdm xydm dm y x dm z x dm z y I θ θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (18.15) Considerando-se as expressões (18.7) nota-se que as três primeiras integrais representam os momentos de inércia Ix, Iy e Iz do corpo em relação aos eixos coordenados. As três últimas integrais representam os produtos de inércia Ixy, Iyz e Ixz respectivamente ou seja ∫ = m xy xydm I , ∫ = m yz yzdm I e ∫ = m xz xzdm I . Aplicando-se estas observações na (18.15) pode-se rescrevê-la como z xz x z yz y y xy x z z y y x x OL I I I I I I I θ θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 − − − − + + = (18.16) O produto de inércia de um corpo é uma extensão da definição do produto de inércia de área. Verifica-se que o produto de inércia de um corpo se reduz a zero nas mesmas condições do produto de inércia de área. Além disso o teorema dos eixos paralelos também se aplica ao produto de inércia de um corpo através de equações semelhantes às do produto de inércia de área, como indica expressão (18.17) G G x z xz G G y z yz G G x y xy mx z I I my z I I mx y I I + = + = + = ' ' ' ' ' ' (18.17) , na qual xG, yG e zG são as coordenadas do centro de massa G, Ix’y’, Iy’z’e Ix’z’ são os produtos de inércia do corpo em relação aos eixos baricêntricos x’, y’ e z’. ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 184 18.5 EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA Consideremos que o momento de inércia de um corpo foi determinado em relação a um grande número de eixos OL, que passam pelo ponto fixo O, e que um ponto Q tenha sido localizado sobre cada eixo OL a uma distância proporcional a IOL OQ = 1 . Com este procedimento gera-se uma superfície, cuja equação pode ser obtida trocando-se IOL na equação (18.16) por 2) ( 1 OQ e multiplicando-se os membros da equação por (OQ)2. Observando-se que x OQ )cosθx = ( , y OQ )cosθy = ( e z OQ )cosθz = ( , em que x, y e z são as coordenadas do ponto Q tem-se 1 2 2 2 2 2 2 = − − − + + xz z yz xy z y x I I xyI z I y I x I (18.18) Como o momento de inércia IOL é diferente de zero para qualquer eixo OL, nenhum ponto Q pode estar a uma distância infinita de O. Assim a superfície obtida é um elipsóide, que define o momento de inércia de um corpo em relação a qualquer eixo que passa por O. Esta superfície assim obtida é chamada de elipsóide de inércia. A Fig. (18.8) ilustra esta superfície. Figura (18.8) – Elipsóide de inércia. Observa-se que girando-se os eixos coordenados na Fig. (18.8), os coeficientes da equação (18.18) variam, mas a forma do elipsóide permanece inalterada. Adotemos agora como eixos coordenados, os eixos principais x’, y’e z’ do elipsóide de inércia. Tal como os eixos principais relativos aos momentos de inércia de área, os eixos principais de momento de inércia de massa são caracterizados por terem produto de inércia em relação a estes igual a zero, ou seja 0 ' ' xI y = , 0 ' ' Iy z = e 0 ' ' xI z = . Neste caso, as equações (18.16) e (18.18) podem ser rescritas como z z y y x x OL I I I I ' 2 ' 2 ' 2 cos cos cos θ θ θ + + = (18.19) 1 2 2 2 = + + z y x z I y I x I (18.20) Na equação (18.19), 'x θ , θ 'y e 'z θ são os ângulos diretores dos eixos principais. A localização dos eixos principais centrais de inércia de um corpo de forma arbitrária exige que as propriedades inerciais do corpo sejam descritas pelo tensor de inércia representado na x y z O L Q ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 185 equação (18.21). O tensor de inércia é um arranjo de 9 componentes, das quais 6 são independentes umas das outras, já que por simetria Ixy = Iyx, Ixz = Izx e Iyz = Izy. O tensor de inércia possui um único conjunto de valores para um corpo, quando é calculado em relação a uma origem O e uma orientação específica dos eixos coordenados.           − − − − − − z zy zx yz y yx xz xy x I I I I I I I I I (18.21) A localização dos eixos principais de inércia consiste em diagonalizar a matriz, ou seja vamos encontrar eixos que anulem todos os produtos de inércia calculados em relação a estes. Os momentos de inércia Ix’, Iy’ e Iz’, equação (18.22), que são resultantes da diagonalização do tensor de inércia, são denominados momentos principais de inércia. Destes 3 momentos de inércia um será o maior e o outro o menor momento de inércia do corpo.           ' ' ' 0 0 0 0 0 0 z y x I I I (18.22) Matematicamente o cálculo dos eixos principais consiste na solução de um problema de autovalores do tipo 0 ' ' ' =           − − − z z zy zx yz y y yx xz xy x x I I I I I I I I I I I I (18.21) Em alguns casos os eixos principais podem ser encontrados se o corpo tiver planos de simetria. Por exemplo, o cone de base elíptica, Fig. (18.19), tem dois planos de simetria perpendiculares entre sí, que são formados pelos vértices OAA’ e OBB’ respectivamente. Escolhendo-se os eixos x’, y’e z’ de modo que estes coincidam com os dois planos de simetria, tem-se que todos os produtos de inércia são nulos, logo os eixos selecionados são os eixos principais de inércia do corpo. Figura (18.19) – Localização dos eixos principais de inércia de um cone de base elíptica. x’ O A A’ z’ y’ B B’ ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 186 ENG 1156 – MECÂNICA – TRABALHO 7 – SEGUNDA ÁREA Os trabalhos devem ser desenvolvidos em folha A4 branca a caneta e sem rasuras, ou podem ser desenvolvidos em editor de texto. Neste caso, o trabalho pode ser entregue em arquivo (formato .rtf, pdf ou .doc) ou impresso em folha A4 branca. Trabalhos fora destas condições não serão avaliados. 1) Determine os momentos principais centrais de inércia da peça representada na figura abaixo. Aplique o programa de composição de áreas para verificar os resultados obtidos. 2) Determine os momentos principais centrais de inércia da figura abaixo aplicando-se os programas, Green e composição de áreas, que se encontram no setor de download da página da disciplina. 80 10 45 40 15 15 15 17 5 (cm) 20 20 120 20 10 60 Ø10 Ø10 R40 (mm) ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 187 3) Determine os momentos principais centrais de inércia da peça ilustrada na figura abaixo aplicando o programa de composição de áreas. (Extraído de MASUERO, J.R. & CREUS, G.J., Introdução à Mecânica Estrutural. Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1997) 50 50 40 40 50 80 80 40 R20 ENG 01156 – Mecânica - Aula 18 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 188 4) Determine o momento de inércia de massa da manivela, ilustrada na figura abaixo, em relação ao eixo x. Considere que o peso específico do material da manivela vale 7850 kgf/m3. 12 12 25 25 25 12 12 12 25 25 100 25 (mm) X