Slide - Propagação de Cheias em Rios - 2023-2

Hidrologia Propagação de Cheias em Rios Aula 20 Objetivo • Qual é o hidrograma em um local B a jusante se o hidrograma em um local A a montante é conhecido? • magnitude da vazão • Níveis máximos • tempo de ocorrência dos picos • tempo de chegada da onda Exemplo rio Uruguai distância: 192 Km Propagação • O que acontece com uma onde de cheia enquanto viaja ao longo do rio? • translação • amortecimento • contribuição de afluentes • efeitos de jusante Translação A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B Amortecimento A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B Efeitos de jusante A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B h em B (maré) Celeridade • A velocidade de propagação das ondas de cheia em rios pode ser estimada pela celeridade cinemática, que pode ser obtida com base nas características médias das seções transversais do rio e de sua declividade. dA dQ c = A = área molhada da seção do corpo d’água Celeridade dA dQ c = n S A R u A Q 12 3 2 h   =  = 3 u 5 c  = combinando: pode-se obter: O que significa que a celeridade (velocidade de propagação da onda de cheia) é superior à velocidade média da água. Celeridade Por outro lado, em rios com grandes planícies de inundação, a velocidade de propagação das ondas de cheia tende a diminuir drasticamente no momento em que o rio começa a transbordar. Celeridade aumenta Celeridade diminui Tempo de viagem dos picos Evidências experimentais Souza et al., 2007 (Simpósio da ABRH) 6000 Cálculos de propagação • Modelos hidrodinâmicos • Modelos simplificados Equações de Saint-Venant • As equações utilizadas para descrever o comportamento do escoamento em rios e canais foram inicialmente derivadas no século XIX Hipóteses assumidas 1. O escoamento é unidimensional; a velocidade é uniforme e igual à média; o nível da água é horizontal na seção transversal. Porém sabe-se que na realidade: • Escoamento em meandros e transições é fortemente tridimensional • Velocidade é maior no centro da seção • Em curvas o nível da água pode não ser horizontal Hipóteses assumidas 2. Pressão é hidrostática (depende apenas da profundidade “h” da água) Variações de forma da seção devem ser relativamente suaves. Hipóteses assumidas 3. É possível usar fórmulas para perda de carga semelhantes às usadas em escoamento permanente (como Manning). 4. A declividade do canal é pequena, o cosseno do ângulo é quase igual a 1. Continuidade ou conservação de massa x1 x2 Considere um volume de controle entre as seções x=x1 e x=x2 e ao longo de um intervalo de tempo de t=t1 a t=t2 A A Continuidade ou conservação de massa de água: ( ) ( )  dx A A x x t t  − 2 1 1 2   ( ) ( )  dt uA uA t t x x  − 2 1 2 1   ( ) ( )   ( ) ( )   0 2 1 1 2 2 1 1 2 = − + −   t t x x x x t t dt Q Q dx A A = considerando que Q=u.A e que a massa específica da água é constante: Forças agindo sobre o volume de controle Elevation View Plan View • Fg = Força da gravidade • Ff = Força de atrito com o fundo e margens • Fe = Força devida às contrações e expansões da seção • Fw = força de atrito do vento na superfície • Fp = diferença de pressão nos limites de montante e jusante do volume de controle Equações de Saint-Venant na forma mais usual atualmente 0 0 2 =    +     +        +   =   +   g A Sf x h g A A Q x t Q x Q t A Vazão e nível da água 2 R23 A Q Q n S f    = Sf = declividade de atrito n = rugosidade de manning Solução das equações de Saint-Venant • Não existem soluções analíticas para as equações de Saint- Venant na maior parte das aplicações úteis. • Somente nas décadas mais recentes é que os métodos numéricos e os computadores digitais permitiram a solução das equações completas de Saint-Venant. • Atualmente existem diversos programas computacionais de modelos matemáticos que resolvem as equações de Saint- Venant numericamente para resolver problemas de propagação de vazão em rios e canais. 0 q t A x Q = −  +    0 S x h g A A Q x t Q f 2  =      +      +           +    3 4 R A Q Q n S 2 2 f    = ( ) t 2 Z Z Z Z t Z j 1 i j i 1 j 1 i j 1 i   − − + =   + + + + ( ) ( ) ( ) i j i j 1 i i j 1 i 1 j 1 i x Z Z 1 x Z Z x Z  − −   +  − =    + + + + ( ) ( ) ( ) 2 Z Z 1 2 Z Z Z j i j 1 i j 1 i 1 j i 1 + −   + + =   + + + + Aplicando este esquema: A estas equações: Equações de diferenças numéricas ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 q q t 2 A A A A x Q Q 1 x Q Q j i j 1 i j 1 i j i 1 j 1 i j 1 i i j i j 1 i i j 1 i 1 j i 1 = + −   − − + +  − −   +  −   + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 S x h h g A A Q A Q 1 S x h h g A A Q A Q t 2 Q Q Q Q x j f i j i j 1 i j j i 2 j 1 i 2 j 1 f i j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 j i 2 1 j 1 i 2 j 1 i j i 1 j 1 i j 1 i i =            +  −    +        −             − +            +  −   +         −             +   − − +   + + + + + + + + + + + + + + ( i 1) i A A 0.5 A + +  = ( i 1) i R .0 5 R R + +  = R43 A Q Q n S 2 2 f    = continuidade Dinâmica Incógnitas – não linear ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 q q t 2 A A A A x Q Q 1 x Q Q j i j 1 i j 1 i j i 1 j 1 i j 1 i i j i j 1 i i j 1 i 1 j i 1 = + −   − − + +  − −   +  −   + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 S x h h g A A Q A Q 1 S x h h g A A Q A Q t 2 Q Q Q Q x j f i j i j 1 i j j i 2 j 1 i 2 j 1 f i j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 j i 2 1 j 1 i 2 j 1 i j i 1 j 1 i j 1 i i =            +  −    +        −             − +            +  −   +         −             +   − − +   + + + + + + + + + + + + + + ( i 1) i A A 0.5 A + +  = ( i 1) i R 0.5 R R + +  = R43 A Q Q n S 2 2 f    = continuidade Dinâmica Esquema de Preissmann • Cada trecho entre duas seções define duas equações: – continuidade – dinâmica • Cada seção tem duas incógnitas: – h e Q no tempo futuro Modelos hidrodinâmicos • Atualmente existem programas de modelos como o HEC-RAS que podem ser utilizados para os cálculos de propagação de cheias em rios. Modelos simplificados • Em função da dificuldade que havia para resolver as equações de Saint-Venant, um grande número de métodos simplificados foi criado para calcular os efeitos que ocorrem em ondas de cheia à medida que se propagam ao longo de rios. • Estes métodos utilizam a equação da continuidade mas simplificam ao máximo a equação da conservação da quantidade de movimento. Modelo Muskingum • Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum. ) ( , f I Q S Q I dt dS = − = Supõe que S está relacionado a I e Q I = vazão de entrada Q = vazão de saída Muskingum Q I t S − =   2 Q Q 2 I I t S S t t t t t t t t t     + + + + − + = − ( )  Q X 1 X I K S  −  +  = em diferenças finitas fica: pode ser combinada a uma relação simplificada entre armazenamento (S) e vazão: K e X são parâmetros I é a vazào de entrada no trecho de rio Q é a vazào de saída do trecho Muskingum t t t t t t C3 Q C2 I C1 I Q  +  +  = +  + onde: ( ) t X 1 K 2 2 K X t C1 +  −      − = ( ) t X 1 K 2 2 K X t C2 +  −      + = ( ) ( ) t X 1 K 2 t X 1 2 K C3 +  −   −  −   = K e X O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser definidos antes dos cálculos. • O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 0,5, mas na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3. • Dependendo do valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia. • Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre amortecimento. • Quando X é igual a zero o amortecimento é máximo. Efeito de X Vazão (m3/s) Tempo (horas) I (m3/s) Q (m3/s) - X=0,2 Q (m3/s) - X=0,5 Q (m3/s) - X=0,0 Definir K • O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de t. • O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade. • Quanto maior o valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal. Efeito de K Vazão (m3/s) Tempo (horas) I (m3/s) Q (m3/s) - K=2,4 horas Q (m3/s) - K=1,0 horas Critérios para escolha de K e X • Para evitar minimizar a possibilidade de erros, os valores de K e X devem ser escolhidos de tal forma a satisfazer o seguinte critério: ( X ) 1 K 2 t X −     Exemplo de erro que pode ocorrer: Vazão (m3/s) Tempo (horas) I (m3/s) Q (m3/s) - X=0,2 Q (m3/s) - X=0,5 Q (m3/s) - X=0,0 Exemplo 01 1) Calcule o hidrograma de saída de um trecho de rio, ao longo do qual o tempo de propagação da onda de cheia é de 2,4 horas. O hidrograma de entrada no trecho é dado na tabela. Tempo (horas) I (m³,s⁻¹) 1 1,00 2 1,20 3 1,53 4 2,03 5 2,67 6 3,43 7 4,20 8 4,78 9 5,05 10 5,01 11 4,69 12 4,16 Tempo (horas) I (m³,s⁻¹) 13 3,51 14 2,87 15 2,32 16 1,90 17 1,60 18 1,39 19 1,25 20 1,15 21 1,10 22 1,05 23 1,00 24 1,00 Solução ( ) t X 1 K 2 2 K X t C1 +  −      − = ( ) t X 1 K 2 2 K X t C2 +  −      + = ( ) ( ) t X 1 K 2 t X 1 2 K C3 +  −   −  −   = C1 + C2 + C3 = 1,0 OK OK Δt = 01 hora (intervalo de tempo entre as medições de vazões observadas na TABELA do exercício) Tempo (horas) I (m³,s⁻¹) 1 1,00 2 1,20 3 1,53 4 2,03 Considerando que a vazão de saída no primeiro intervalo de tempo é igual à vazão de entrada, a vazão no segundo intervalo de tempo pode ser calculada por: Q_{t+Δt} = C1 · I_{t+Δt} + C2 · I_t + C3 · Q_t, ou seja Q_{t+Δt} = 0,008 · 1,2 + 0,405 · 1,0 + 0,587 · 1,0 = 1,00 no segundo intervalo de tempo Q_{t+Δt} = 0,008 · 1,53 + 0,405 · 1,20 + 0,587 · 1,00 = 1,08 Solução E as vazões nos intervalos seguintes pode ser calculada de forma semelhante, resultando nos valores apresentados na tabela que segue. Tempo (horas) I (m³/s) Q (m³/s) 1 1.00 1.00 2 1.20 1.00 3 1.53 1.08 4 2.03 1.27 5 2.67 1.59 6 3.43 2.04 7 4.20 2.62 8 4.78 3.28 9 5.05 3.90 10 5.01 4.37 Divisão em sub-trechos • Em trechos longos de rios pode ser necessário fazer a divisão do comprimento total em sub- trechos e realizar a propagação para cada um destes sub-trechos, de montante para jusante. • Por que? • Caso os valores de K e X não satisfaçam os critérios pode ser necessário subdividir o trecho de rio. Divisão em sub-trechos entrada Saída 4 Saída 1 Saída 2 Saída 3 t t t t t t C3 Q C2 I C1 I Q  +  +  = + + Muskingum-Cunge • Um problema do método Muskingum para propagação de vazões é que para definir os valores dos parâmetros K e de X é necessário dispor de dados observados de vazão nos extremos de montante e jusante do trecho de rio, o que raramente se cumpre. • O método de Muskingum-Cunge permite contornar este problema através de estimativas dos valores de K e X a partir de características físicas do rio. Muskingum-Cunge c x K  = dA dQ c = 3 u 5 c  = Estimativa de K a partir de características físicas: celeridade cinemática (velocidade de propagação da onda de cheia) considerando válida a equação de escoamento permanente na forma de Manning, a celeridade pode ser aproximada por: Celeridade • A celeridade não é igual para todas as cheias e pode variar ao longo de uma cheia • No método Muskingum-Cunge padrão, ou linear, admite-se uma celeridade representativa, correspondente a uma certa vazão de referencia: Q u c Estimativa de X a partir de características físicas Considera-se que com este valor de X, o método simplificado de Muskingum reproduz razoavelmente bem o mesmo resultado das equações completes de Saint-Venant, exceto se existirem efeitos de jusante. Intervalo de tempo no método Muskingum-Cunge t Sub-trechos • Para que o método tenha bons resultados frequentemente é necessário dividir o trecho total em sub-trechos. Muskingum-Cunge passo a passo A aplicação do método Muskingum-Cunge inicia pela definição do intervalo de tempo adequado para a representação da onda de cheia. A seguir é definida uma vazão de referência. Uma boa estimativa da vazão de referência pode ser uma vazão um pouco inferior à vazão máxima do hidrograma de entrada do trecho. A partir da definição da vazão de referência, pode ser calculada a celeridade, usando uma equação de escoamento permanente uniforme, como a de Manning, e considerando que o rio tem uma seção transversal simples (trapézio ou retângulo). Com base na celeridade e no intervalo de tempo de cálculo é possível estimar o valor de Δx, pela equação 17.15. Se o valor de Δx for próximo do comprimento total do trecho (L), é adotado em lugar do Δx calculado o comprimento total do trecho. Caso o valor de Δx calculado seja bastante inferior ao comprimento total do trecho (L), o trecho deve ser dividido em sub-trechos. Com base nos valores ideais de Δx e Δt são calculados os valores de K e X, e os valores de C1, C2 e C3 para aplicação do método. EXEMPLO 2) Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio de 30 m de largura, declividade de 70 cm por km, coeficiente de Manning n=0,045. Os dados do hidrograma de entrada são dados na tabela. Intervalo de tempo | Tempo (minutos) | Vazão montante (m3/s) 1 | 40 | 20 2 | 80 | 30 3 | 120 | 60 4 | 160 | 90 5 | 200 | 100 6 | 240 | 130 7 | 280 | 115 8 | 320 | 95 9 | 360 | 80 10 | 400 | 60 11 | 440 | 40 12 | 480 | 20 13 | 520 | 20 14 | 560 | 20 15 | 600 | 20 Solução Δt = 40 minutos x 60 = 2.400 segundos Q t Hidrograma no início do trecho Qpico Qref = 70% de Qpico Qref Solução n S. A R . u A Q 12 3 2 h  = = y Rh  Considerando … Considerando … Considerando … B y A   e resolva para y e encontre u: y=2,66 m e u=1,13 m/s c=1,88 m/s Solução Solução Com base nestes dados a equação 17.15 pode ser utilizada para determinar o Δx ideal. O resultado é Δx=5249 m. Com base neste Δx ideal é necessário decidir como o comprimento total do trecho será dividido. Uma primeira estimativa é calcular o número de sub-trechos necessários para atingir o Δx ideal: Δx ≈ c·Δt/2 [1 + (1 + 1,5·Q/(B·So·Δt·c))^1/2 ] = 5.249 m (17.15) N = L/Δx = 18000/5249 = 3,43 Assim, seriam necessários 3,43 sub-trechos. Como não é possível trabalhar com valores não inteiros de sub-trechos, o número de sub-trechos adotado é N=3. Assim, cada um dos trechos tem Δx=6000 m. Solução Estimativa de K: O valor de K pode ser calculado pelo tempo que uma onda com celeridade c leva para percorrer um Δx, isto é: K = \frac{Δx}{c} = \frac{6000}{1,88} = 3190\text{ s} Resultado: X = 0,31 Solução O valor de X pode ser calculado pela equação 17.13: Agora, deve-se checar os parâmetros K e X: 1-X = 0,69 0 376 K 2 t = ,   Solução X = 0,31 ≤ ≤ Caso isso não seja atendido, pode-se gerar vários tipos de distorções nos resultados do modelo. ( ) t X 1 K 2 2 K X t C1 +  −      − = ( ) t X 1 K 2 2 K X t C2 +  −      + = ( ) ( ) t X 1 K 2 t X 1 2 K C3 +  −   −  −   = Com base nestes valores de X e K, calcula-se: Solução Considerando que no primeiro intervalo de tempo a vazão de saída de cada um dos 3 subtrechos é igual à vazão de entrada do primeiro sub-trecho, pode ser iniciado o cálculo para o segundo intervalo de tempo: No primeiro sub-trecho: Q_{t+∆t} = C1 · I_{t+∆t} + C2 · I_t + C3 · Q_t ou seja Q_{t+∆t} = 0,062 · 30 + 0,644 · 20 + 0,294 · 20 = 20,6 Trecho 01 a vazão de saída deste sub-trecho passa a ser a vazão de entrada do subtrecho seguinte, assim a vazão de saída do segundo subtrecho no segundo intervalo de tempo é calculada por: Q_{t+∆t} = 0,062 · 20,6 + 0,644 · 20 + 0,294 · 20 = 20,0 Trecho 02 e no terceiro sub-trecho segue que: Q_{t+∆t} = 0,062 · 20 + 0,644 · 20 + 0,294 · 20 = 20,0 Trecho 03 Solução Intervalo de tempo | Tempo (minutos) | Vazão montante (m3/s) | Vazão subt 1 | Vazão subt 2 | Vazão subt 3 1 | 40 | 20 | 20.0 | 20 | 20 2 | 80 | 30 | 20.6 | 20.0 | 20.0 3 | 120 | 60 | 29.1 | 21.0 | 20.1 4 | 160 | 90 | 52.8 | 28.2 | 21.2 5 | 200 | 100 | 79.7 | 47.2 | 27.3 6 | 240 | 130 | 95.9 | 71.1 | 42.8 7 | 280 | 115 | 119.0 | 90.0 | 64.0 8 | 320 | 95 | 114.9 | 110.2 | 83.6 9 | 360 | 80 | 99.9 | 112.6 | 102.6 10 | 400 | 60 | 84.6 | 102.7 | 109.1 11 | 440 | 40 | 66.0 | 88.8 | 103.7 12 | 480 | 20 | 46.4 | 71.5 | 92.1 13 | 520 | 20 | 27.8 | 52.6 | 76.4 14 | 560 | 20 | 22.3 | 34.7 | 58.5 15 | 600 | 20 | 20.7 | 25.9 | 41.2 Solução 0 20 40 60 80 100 120 140 0 100 200 300 400 500 600 700 Tempo (minutos) Vazão (m3/s)