Lista de Eletromagnetismo

1 04 pontos No circuito representado pela Figura 1 a junção f se encontra aterrada a Determine a direção das correntes que passam pelos resistores de 12 Ω 3 Ω e 1 Ω b Considere I3 I1 I2 ou seja a corrente no resistor de 6 Ω desce de b até c Determine a magnitude de todas as correntes que passam pelos resistores no circuito c Determine os potenciais apenas nos pontos e c d 2 04 pontos A Figura 2 mostra duas placas paralelas com um dielétrico constante dielétrica 𝜅 separadas por uma distância d As duas placas possuem uma área A e estão carregadas com cargas de magnitude Q a Deduza a partir da Lei de Gauss a expressão da capacitância desse capacitor com o dielétrico b O que modificaria na expressão se fosse vácuo entre as placas do capacitor O que acontece com o dielétrico entre as placas de um capacitor O que acontece com o campo elétrico de um capacitor quando este tem um dielétrico entre as placas Explique Página 1 de 2 3 04 pontos Considere o circuito RC apresentada pela figura ao lado O capacitor de 6 μF no circuito apresentado pela figura ao lado está inicialmente descarregado A chave S se encontra aberta no t 0 ela fecha o circuito a Determine a corrente nos dois resistores 40 Ω e 80 Ω em t 0 e em t 0 com a chave S fechada Determine a carga no capacitor após este ser completamente carregado b Determine a energia armazenada no capacitor carregado c A chave S abre determine a potência dissipada no resistor 4 04 pontos Uma esfera maciça de cobre condutora possui raio R e cargas Q a Calcule a diferença de potencial ΔV dentro e fora dessa esfera Desenhe o gráfico ΔV por r onde r vai do centro da esfera até um r qualquer fora da esfera b i Onde estão as cargas nessa esfera Qual é o campo elétrico E dentro da esfera ii Desenhe as linhas de campo elétrico E e as superfícies equipotenciais onde o potencial é igual em toda superfície c i E se uma outra esfera carregada de cargas Q porém negativas se aproximar o que acontece com as cargas da esfera ii A interação com outro objeto carregado seria a mesma se a esfera fosse isolante Explique 5 04 pontos Considere duas cascas esféricas finas concêntricas condutoras A casca interna tem raio A e carga Q A casca externa tem raio B 2A e carga Q Explique como deve ser as linhas de campo elétrico nas regiões dentro da esfera interna entre as esferas e fora das esferas Determine o potencial elétrico para as diferentes regiões a r B b A r B c r A Página 2 de 2 RESOLUÇÃO Sendo D o vetor deslocamento elétrico e Qlivre a carga livre total envolvida pela superfície a Lei de Gauss é definida por D d A Qlivre Em uma superfície gaussiana seja em forma de cilindro ou caixa o fluxo elétrico só atravessa a base que está no dielétrico perpendicularmente Com isso podemos simplificar a integral para D A Q D Q A Em um meio dielétrico homogêneo de constante dielétrica κ a relação entre D e o campo elétrico E é dada por D ϵ E κϵ0 E Com base nas equações que temos até o momento podemos reescrever da seguinte forma E D ϵ Q κ ϵ0 A A diferença de potencial entre as placas é o produto do campo elétrico pela distância entre elas ou seja V E d Q κ ϵ0 A d Já a capacitância é expressa pela razão entre a carga Q e a diferença de potencial V C Q V C Q Qd κϵ0A C κ ϵ0 A d Nas condições do vácuo a constante dielétrica κvacuo 1 logo a expressão da capacitância seria C ϵ0 A d Quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor carregado ele se polariza O campo elétrico externo E0 criado pelas cargas nas placas faz com que as moléculas do dielétrico se alinhem Moléculas polares se orientam com o campo e moléculas apolares desenvolvem momentos de dipolo Esse alinhamento cria um campo elétrico interno E i no dielétrico que se opõe ao campo externo 1 RESOLUÇÃO Nas análises de circuitos elétricos o fundamental é manter a mesma convenção escolhida em uma malha estendendoa a todas as demais Na Figura 1 ilustro a convenção que será adotada na análise e resolução da questão Figura 1 Convenção Adotada Percorrendo em sentido horário e começando pelo polo negativo da fonte teríamos a seguinte equação V R1 I1 0 Com base então na convenção que adotaremos definimos sentidos para as correntes e caso os resultados apresentem valores negativos isso indica apenas que o sentido real é o oposto ao adotado Para o circuito dessa questão adotaremos duas correntes de malha que percorrem o circuito no sentido horário conforme Figura 2 Figura 2 Convenção Adotada Vamos analisar o circuito através da lei de Kirchhoff das malhas que diz que a soma algébrica das diferenças das tensões em torno de qualquer malha fechada em um circuito elétrico é zero Analisando então o circuito da questão e percorrendo a malha da esquerda começando pelo polo negativo da fonte teremos 18 12 I1 6I1 I2 0 18 12I1 6I1 6I2 0 18I1 6I2 18 3I1 I2 3 1 Na segunda malha podemos começar pelo polo negativo da tensão de 21V 21 1 1 I2 6I1 I2 3I2 0 21 2I2 6I1 6I2 3I2 0 11I2 6I1 21 Podemos isolar I2 na equação da primeira malha e substituir na segunda equação I2 3I1 3 113I1 3 6I1 21 33I1 33 6I1 21 33I1 6I1 21 33 27I1 54 I1 54 27 2A Retornando na segunda equação podemos calcular I2 I2 32 3 I2 3A Como os valores que encontramos foram positivos significa que definimos corretamente o sentido das correntes Sendo I3 I1 I2 podemos encontrar I3 e determinar a magnitude de todas as correntes I3 I1 I2 I3 2 3 1A Observe que encontramos um valor negativo para I3 isso significa que ao contrario do que foi considerado a corrente nesse ramo flui do ponto c para o b O potencial no ponto e é a fonte de 21V pois entre o ponto e e o terra temos apenas a fonte Já o potencial no ponto c pode ser calculado ao somar os potenciais entre os pontos c e e f 3V 3V 21V Vc Vc 15V O potencial em d é o mesmo que em c logo Vd Vc 15V 2 i r B Sabemos que nessas condições o campo elétrico é nulo então o potencial para qualquer ponto r B será zero V r r E dl r 0 dl 0 V r 0 ii A r B Nesse intervalo o campo elétrico é gerado apenas pela carga da esfera interna E kQ r 2 Para encontrar o potencial V r integramos o campo elétrico a partir do ponto de referência conhecido que é V B 0 V r V B B r kQ r 2 dr Sabendo que B 2 A podemos substituir na equação final V r kQ 1 r 1 2 A iii r A Dentro de um condutor em equilíbrio o campo elétrico é nulo ou seja o potencial elétrico é constante e igual ao potencial da superfície Para determinar V A usaremos a fórmula do item ii aplicando para r A V r V A kQ 2 A O campo elétrico resultante E dentro do capacitor é a soma vetorial do campo externo e do campo interno induzido no dielétrico Como o campo interno se opõe ao campo externo o campo elétrico resultante entre as placas diminui A magnitude do novo campo elétrico é dada por E E0 κ Em resumo a introdução do dielétrico reduz o campo elétrico entre as placas Como consequência a diferença de potencial também diminui para a mesma quantidade de carga armazenada Com a diminuição da tensão V a capacitância aumenta por um fator igual a constante dielétrica κ já que ela é expressa por C QV 3 RESOLUÇÃO Nessa questão precisamos compreender que o mesmo circuito apresenta dois comportamentos distintos por conta do capacitor Em outras palavras temos um circuito quando o capacitor está totalmente descarregado t 0 e um outro circuito quando o capacitor está carregado t 0 a i No instante t 0 imediatamente quando a chave é fechada o capacitor totalmente descarregado comporta se como um curtocircuito um ramo do circuito teoricamente sem resistência Ou seja a corrente que passará pelo resistor de 4Ω vai ignorar o resistor de 8Ω e passará pelo capacitorC Podemos então calcular essa corrente através da Lei de Ohm It0 12V 4Ω 0Ω I0 3A Sendo assim como afirmamos anteriormente essa é a corrente que passará pelo resistor 4Ω e pelo C I4Ω IC 3A I8Ω 0A ii Para t 0 com o capacitor carregado ele funciona como um circuito aberto Ou seja nenhuma corrente passa pelo capacitor fluindo apenas pelos resistores Nesse cenário temos um circuito com uma associação em série dos dois resistores que nos dá uma resistência equivalente de Req 4Ω 8Ω 12Ω Podemos então calcular a corrente que circula pelo circuito através da Lei de Ohm It0 12V 12Ω 1A I4Ω I8Ω 4 iii Para calcularmos a carga no capacitor precisamos conhecer a tensão sobre ele E sabendo que ele está em paralelo com o resistor de 8Ω onde passa uma corrente de 1A podemos calcular a tensão através da Lei de Ohm V8Ω 1A 8Ω 8V VC 8V Podemos então determinar a carga sobre ele Q C VC 6 0 106 8 Q 48 106 C b Para calcularmos a energia armazenada no capacitor usamos U 1 2 C V 2 C U 1 26 0 106 82 U 3 0 106 64 192 106 J c No instante que a chave se abre o circuito passa a ser apenas o capacitor carregado e o resistor de 8Ω Sabendo que a tensão VC 8V podemos calcular a potência dissipada através da fórmula P V 2 R 8 02 8 0 64 8 0 8 0 W 4 RESOLUÇÃO a Para calcular a diferença de potencial assumiremos que V 0 Sendo assim V pode ser interpretado como o potencial Vr em uma distância r do centro da esfera i Para um r R ou seja fora da esfera o campo elétrico é o mesmo de uma carga puntiforme Q localizada no centro Seu potencial é calculado por V r k Q r ii Para um r R ou seja na superfície da esfera obtemos o seguinte potencial V R k Q R iii E para dentro da esfera ou seja r R estando dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático onde o campo elétrico é nulo isso implica que o potencial é constante em todo o interior da esfera V r V R k Q R 5 Em resumo temos que no intervalo para r R V r k Q R Já para r R V r k Q r Figura 3 Esboço do gráfico O potencial começa a decair e tende a zero quando temos um r se aproximando do b Se tratando de um condutor em equilíbrio eletrostático as cargas em excesso se repelem ficando o mais distante possível uma das outras i Toda a carga elétrica reside na superfície externa da esfera ii c i Com a aproximação de uma esfera com cargas negativas as cargas positivas da esfera tendem a se acumular na região da superfície mais próxima da esfera negativa Já as cargas negativas vão se repelir e se acumular na face oposta ii O esperado é que tenhamos uma interação mais fraca Isso se justifica pelo fato de que em um objeto isolante as cargas não se movem livremente pela esfera como acontece em um condutor 5 RESOLUÇÃO Pela Lei de Gauss vamos analisar as situações i r A Lembrando que um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é sempre nulo Sendo assim não há linhas de campo elétrico na região ii A r B Nessa situação a carga positiva Q cria um campo interno radial apontando para fora Portanto as linhas de campo se originam na casca interna e terminam na superfície da casaca externa Nessa situação o campo elétrico não é nulo iii r B Nessas condições a superfície gaussiana englobaria ambas as cascas resultando em uma carga líquida total igual a zero pois Q Q 0 Em outras palavras o campo elétrico fora da casca externa seria nulo e consequentemente não haveria linhas de campo elétrico nessa região Determinando o potencial elétrico 6