·
Engenharia Mecânica ·
Ciência de Materiais
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
8.8 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS\n\nEm diversas aplicações são utilizados, como componente estrutural, chapas curvas, denominadas\ncascas. Alguns exemplos incluem os vasos de pressão, como tubos, reservatórios esféricos e\narmazenamento de água, caldeiras, reservatórios cilíndricos operando com ar comprimido, asas de\nfuselagem, mísseis, balões ou tubos infláveis, cúpula e produtos de grande variedade de de-\npientes. Os vasos de pressões, de especial importância na engenharia, geralmente são classificados\ncomo vasos de paredes finas e de paredes espessas ou grossas.\n\nUm vaso de paredes finas é aquele em que a distribuição das tensões é essencialmente constante ao\nlongo da espessura, enquanto nos vasos de paredes espessas, as tensões variam tanto ao longo da\nessespessura da parede. Se a relação entre a espessura da parede e o raio interno é igual ou menor do que\ne 1/10 (ou seja, r ≥ 10), o vaso é classificado como tendo de paredes finas. De fato, nos vasos de\nparedes finas geralmente não há distinção entre os raios interno e externo, uma vez que são apro-\nximadamente iguais.\n\nNeste texto trata-se apenas dos vasos de pressão cilíndricos e esféricos de paredes finas, com-\nmumente encontrados. As paredes dessas cascas atuam como menos—isto é, não ocorre qualquer\nflexão das paredes. O peso de um vaso e seu conteúdo é dito designtar (sustentar comum). Em\ndecorrência da assimetriod do vaso e seu conteúdo, este é livre para se deformar sob pressão, e, portanto,\nas tensões normais uniformes em duas direções principais, porém desidentificáveis na membrana, estarão atuando. Esta hipótese é considerada bastante razoável para cascas de\nparedes finas registradas nas restrições externas. Além de vasos cilíndricos e esféricos de paredes,\nos vasos finos mostrados nas fotos abaixo.\n\nVasos utilizados no armazenamento\nde um fluido pressurizado: (a)\nreservatório de óleo relinado (Cork\nimage); (b) res esferas Forton\n(Centra da CBEH). As Seções 8.8 e 8.9 tratam de vasos de paredes finas de pressão,\ne que são a base dos princípios mais simples da mecânica contínua. O projeto dos fiilamentos que circundam os vasos e os vasos cilíndricos compostos serão discutidos no estudo de casos.\n\nAs fórmulas deduzidas não são válidas nas proximidades de descontinuidades, das extremi-\ndades ou dos apoios de um vaso. Qualquer incompatibilidade na união do cilindro e suas exten-\nsões dará origem a momentos externos e forças cisalhantes. As tensões associadas a essa fle-\nxo e ao cisalhamento são denominadas tensões de descontinuidade, e seus valores podem ser reduzidos\npela curvatura apropriada nas extremidades do vaso (Ref. 8.2). Note que as equações formadas\nnesta seção são aplicáveis aos casos de uma pressão interna e exercido por um líquido ou um gás.\nElas também podem ser aplicadas aos vasos sujeitos a uma pressão externa (por exemplo, um\nreservatório a vácuo e os submarinos) como o sinal algébrico é invertido. Assim, as tensões\nobtidas devem, obviamente, ser menores do que as tensões críticas para as quais a flamba-\ndura da parede pode ocorrer. Com o avanço das instalações nucleares, da propulsão de naves espaciais,\nesse projeto teve atenção técnica especial. \n VASOS CILÍNDRICOS\n\nConsidere um vaso cilíndrico, como, por exemplo, um reservatório de ar comprimido ou\ncaldeira, na rede interna r e espessura da parede e, contendo um fluido sob pressão\nisométrica, e conforme mostrado na Fig. 8.18a. A pressão manométrica refere-se à pressão\nem cima da pressão externa. A menos que especificado de outra forma, utiliza-se ae-\nse para indicar a pressão manométrica. Pretende-se determinar as tensões ex-\nercionais do cilindro. A componente de tensão σ e definida designada como tensão tangenci-\nal circumferencial, a tensão σ, é conhecida como tensão longitudinal ou axial.\n\nPara avaliar a tensão circumferencial, isolam-se um segmento semicircular de com-\nprimento L do vaso e do fluido nele contido, conforme mostrado na Fig. 8.18b. Observe\nque, na pressão e as tensões de interesse aqui são mostradas nesse diagrama \n\nL. A relação figura, nota-se que a força total ressitida pelas paredes do\n-elemento de (2L). Assim, a condição que a força resulta ante o fluido permanece neste segmento de um\nA força resultante atua, de forma, o que passa pelo líquido é P(2L). Assim, a condição que a\n das forças verticais é igual a zero fornece σ(2L)= P/(2r). A simplificação desta\nrelação fornece a seguinte expressão para a tensão tangencial:\n\nσ_{t}=\frac{p R}{2t} \n TENSÃO CISAHLANTE MÁXIMA EM VASOS DE PRESSÃO\n\nA tensão atuante na direção radial, chamada tensão radial, atuante na parede de um cilindro\ne, ou seja, variável em na superfície interior da casca de σ, na superfície externa.\n\nA tensão cisalhante máxima absoluta τ_{max} é a tensão cisalhante máxima absoluta (σ) ilustradas na Fig. 8.21.\nNo caso de um vaso esférico, tem-se, novamente, um estado bi-axial de tensões: σ_{r} = o e σ_{θ} = 0. Como resultado, a tensão cisalhante absoluta é igual a\n\n\t( τ_{max} = \frac{σ_{1} - σ_{0}}{2}) \n\nE ocorre quando o elemento gira 45° em relação ao eixo geométrico do cilindro. A tensão\ntangencial τ_{t} é a tensão cisalhante máxima absoluta fo (8), - o círculo de Mohr das tensões.\n\nEQUAÇÃO GERAL DOS VASOS DE PRESSÃO\n\nFIGURA 8.20 Vaso de pressão esférico de paredes finas (a) e a esfera com um tubo; (b) diagrama de corpo livre dos\nhemisférios. \n\nFIGURA 8.21 (a) Cilindro pressurizado internamente ilustrando as tensões biaxiais. Note que a obten-\nção do valor correto de τ_{t} requer a consideração de τ_{n}, analise-se; se for depresso, será obtido um valor\nerrado de τ_{max} (no plano); (b) círculo de Mohr das tensões.\n\nEXEMPLO 8.7\n\nTensões Atuais em um Reservatório de Ar Comprimido\n\nEnunciado: Um reservatório cilíndrico de 220, de extremidades hemisféricas, é suportado por dois\nberços (apoios), conforme mostrado na Fig. 8.22. O reservatório contém a uma pressão p. Um\ndos berços é projetado de modo a não exercer qualquer força axial sobre o vácuo. Considere\n\np = 200 psi; r = 10 in; L = 30 x 10^6 psi; v = 0,3 \n Transformações das Tensões e das Deformações 339\nA ser determinado:\n(a) As tensões no vaso, se cada trecho possui o mesmo raio r e a mesma espessura t.\n(b) A tensão cisalhante na região esférica e a tensão cisalhante máxima absoluta no trecho cilindrico do reservatório.\n(c) A extensão radial do trecho cilindrico do reservatório.\nHipótese: Os berços atuam como apoios simples.\nSOLUÇÃO:\n(a) A tensão axial no cilindro e as tensões circunferenciais nas extremidades esféricas são idênticas. Aplicando-se a Eq. (8.17) ou (8.19), obtém-se\n σ_a = σ_e = 200(10²) / (2(5/16)) = 3200 psi\nPela Eq. (16), obtém-se que a tensão circumferencial no cilindro vale\n σ_r = p_r / 2 = 6400 psi\nComentário: Observe que a maior tensão radial, ocorre na superfície interna do reservatório, em p = -200 psi, e resulta pequeno quando comparado ao valor das tensões de membrana calculadas.\n\nA maior tensão cisalhante no plano (a)\n τ = (σ_1 - σ_2) / 2 = 1600 psi\nTodavia, a tensão cisalhante máxima absoluta na parede do cilindro, utilizando a Eq. (8.21), vale\n τ_(max) = σ_a = 3200 psi\n(c) A extensão radial do cilindro é igual a\n δ = (p_r²) / (2εf(10²)(0.3)) = 200(10²) / (2(30 x 10⁶)(5/16)) = 0.181 in\nconforme o cálculo estabelecido pela Eq. (8.18). EXEMPLO 8.8\nCapacidade de Pressurização de um Vaso Cilíndrico\nEnunciado: Um cilindro com pressão de parede t = 3 mm e diâmetro d = 1.5 m é fabricado com aço com resistência ao escoamento σ = 240 MPa.\nA ser determinado: A pressão interna p que pode ser suportada pelo vaso tendo como base um fator de segurança n = 2 contra o escoamento.\nHipótese: O vaso é suportado por berços que atuam como apoios simples.\nSOLUÇÃO: A tensão admissível, neste caso, será σ_min = 240/2 = 120 MPa. Pela Eq. (8.16) determina-se que o valor limite da pressão pela tensão circunferencial é\n p = σ_adm / (r) = 120 x 10⁴(0.003) = 480 kPa\nPor outro lado, a fórmula da tensão axial, Eq. (8.17), requer que\n p = 2σ_adm / (r) = 2(120) / 0.75 = 960 kPa\nComentário: Com esses resultados, a pressão manométrica não deve ser superior a 480 kPa. Transformações das Tensões e das Deformações 341\nAssim, um ângulo de 2θ = 80° no sentido anti-horário indicado no círculo localizado a ponto B correspondentes às tensões externas na face x. A tensão normal média o a não de círculo valem\n σ_média = 1/2(100 + 50) = 75 MPa\nR = 1/2(100 - 50) = 25 MPa\nAs coordenadas do ponto B são, portanto,\n σ_x' = σ_média + Rcos² 26 = 75 - 25 cos 80° = 70.7 MPa\n τ_xy' = σ_x' sin 80° = 25 sin 80° = 24.6 MPa\nAnalogamente, pode-se obter, pelo círculo, que a tensão normal na face y é igual a\n σ_y' = σ_média + R cos 26 = 75 + 25 cos 80° = 79.3 MPa\nObserve, como verificação, que a soma das tensões normais referentes a planos perpendiculares é\n σ_x' + σ_y' = 100 + 50 - 70.7 = 79.3 MPa\n e que fornece\n σ_r = σ_θ + σ_θ_a = σ_x' + σ_y' = σ_a = 100 + 50 - 70.7 = 79.3 MPa.\nComentário: Observe-se que o vetor de tração atua perpendicularmente a solda; logo 70.7 MPa + tensão cisalhante paralela à solda é de 24.6 MPa. 342 Capítulo Oito\n\nSOLUÇÃO: As tensões circumferenciais e longitudinais devidas a p são expressas por στ = pr/2i e σz = p/2. Assim,\n\nστ/σz = 2\n\nNeste caso, a é o rádio interno e r representa a espessura de parede do vaso, composta do tubo do filamento com resistência à tração στ e pela cola plástica. A maior força de tração suportada pelo filamento pode ser expressa como\n\nFτ = στwt\n\nNa expressão, wt é a largura da camada de filamentos depositada a um ângulo θ. A correspondente força tangencial é igual a\n\nFτ = F1senφ\n\nA área do secção transversal do filamento vale A = wt/senθ. Portanto, a tensão circumferencial no filamento vale\n\nστ = Fτ/A = στsenφ\n\nAnalogamente, a tensão axial é escrita na forma\n\nσz = σaicosφ\n\nAs relações anteriores resultam em\n\nσz = (στ/2) = (2στ)\n\nUtilizando-se as Eqs. (b) e (c), obtém-se que o ângulo de hélice ótimo do filamento é\n\nστ/σz = tg²φ\n\n(8.23)\n\nResolvendo-se para o ângulo de hélice, temos φ = 54.7º. Este ângulo representa a condição para a qual um elemento helicoidal suporta uma pressão interna (Ref. 8.4 e 8.5).\n\nComentários: Cabe relembrar que a Eq.(8.23) apenas se aplica a vasos de pressão com r/t > 10.\n\nInformações complementares, o leitor interessado deve consultar a literatura sobre o produto, fornecido pelos fabricantes.\n\n**8.9 VASOS DE PRESSÃO CILÍNDRICOS DE PAREDES GROSSAS**\n\nQuando a espessura da parede ε é superior ao raio interno em mais de 10%, o cilindro geralmente é considerado como sendo de paredes grossas ou espessas, e as variações destes elementos em r não podem ser desprezadas. Os cilindros de paredes grossas são utilizados extensivamente na indústria com vasos de pressão, tubos, tubarias, cilindros hidráulicos e a, diversos outros componentes mecânicos. Para esses elementos, a análise começa com as considerações sobre o equilíbrio de um elemento infinitesimal. Em seguida, as relações deformacionais-deslocamentos são combinadas com a lei de Hooke. A solução é obtida após o atendimento das condições de tensão nas superfícies interna e externa do cilindro, conforme brevemente discutido neste texto. Para mais detalhes veja, por exemplo, a Referência 8.3.\n\nRELAÇÕES BÁSICAS\n\nConsidere um cilindro de paredes grossas, de raio interno a e raio externo b, sujeito a uma pressão interna pi, conforme mostrado na Fig. 8.26al. Como se pode perceber, para a situação descrita a deformação é simétrica em relação ao eixo do cilindro (e) longitudinal do cilindro. Assim, e o raio externo a é antes de uma distância do centro geométrico do cilindro causadas pela pressão, o peso do componente e desprezado. Um elemento infinitesimal tipo de seção axial, isolado do cilindro, é definido por dois pontos, r e r + dr (Fig. 8.26b).\n\nAs condições de simetria em relação à direção longitudinal do cilindro estabelecem que as deformações são independentes do nome e direção do que se das forças aplicadas. Dever-se-á que as tensões radiantes antes nas faces do elemento devem ter valor dor, porém as tensões tangenciais não variam entre as faces do elemento. Não deve\n\n7: [...continuação do texto...]\n\nTensão e deslocamento radial\n\nNa superfície interna, r = a, a tensão radial σr se torna igual a -p (Fig. 8.26a). Do mesmo modo, na superfície externa, r = b, a tensão σr igual a zero. Isto é,\n\nσr|r=a = -p\n\nσr|r=b = 0\n\nAs constantes são obtidas substituindo-se as Eqs. (e) na Eq. (e), as expressões resultantes serão substituídas nas Eqs. (b), (c) e (d). Assim, as tensões radial e tangencial e o deslocamento radial são expressos por:\n\nσr = (a²p)/[(b² - a²)]\n\n(8.27)\n\nσθ = (a²p)/[b² - a²]\n\n(8.28)\n\nu = (a²p)/(E(1 - υ²))\n\n(8.29)\n\nEstas equações foram deduzidas pelo princípio ver, em 1833, pelo engenheiro francês G. Lamé. de quem elas receberam o nome. O deslocamento radial u é, certamente, orientado para fora do cilindro. Como b/r = 1, σr é sempre uma tensão compressiva e é máxima em r = a. A tensão tangencial é sempre uma tensão de tração que possui um valor máximo em r = a;\n\n(8.3.1)\n\ne um valor mínimo em r = k;\n\n(8.3.2)\n\nAs variações das tensões tangencial e radial ao longo da espessura da parede são mostradas graficamente na Fig. 8.27. As características das variações dessas tensões podem ser observadas neste gráfico. O deslocamento radial u também pode ser ilustrado de modo similar.\n\n8: [...continuação do texto...] FIGURA 8.28 (a) Cilindro de paredes grossas sujeito a uma pressão interna p_i (b) elemento da superfície interna no qual atua \\( \\tau_{max} \\).\n\nObserve que o maior valor dessa tensão ocorre em r = a. Assim,\n\\[ \\tau_{max} = \\frac{pb^{2}}{b^{2} - a^{2}} \\]\n\n(8.31b)\n\nA tensão atua em planos que fazem um ângulo de 45° com os planos das tensões principais, como ilustrado na Fig. 8.28.\n\nNo caso de um cilindro pressurizado, de extremidades fechadas, as tensões axiais \\( \\sigma_{r} \\) e \\( \\sigma_{t} \\) são frequentemente supostas tensões \\( \\sigma_{t} = \\sigma_{r} \\). Para uma seção transversal a uma certa distância do extremo, pode ser admitido como uniformemente distribuído ao longo da espessura da parede,\\[ \\sigma_{t} = \\frac{p a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \\]\n\n(8.32)\n\nEssa equação considera-se que o movimento das extremidades do cilindro não é restringido. De acordo com o princípio de Saint-Venant, as Eqs. (8.27) e (8.29) são aplicáveis a partir de uma condição igual a 2b das extremidades. A espessura da parede é t = 0.1a. Assim, pela Eq. (8.16), a tensão média vale\\[ \\sigma_{m} = \\frac{P a}{t} = 10p_{i} \\]\\n\nComentário: Observe que, ao se utilizar a Eq. (8.16), nenhum erro apreciável será envolvido.\n\n(b) Para b = 4a. As Eqs. (8.30) fornecem\\[ \\sigma_{t}\\,max = \\frac{b^{2}}{P^{2}}a^{2} = \\frac{15}{P} \\]\n\nconforme mostrado na Fig. 8.27. A espessura t = a, a Eq. (8.16) fornece\\[ \\sigma_{t}\\,min = \\frac{P a}{1} = \\frac{3}{P} \\]\n\nComentário: A tensão média é muito menor do que a tensão tangencial máxima realmente atuante no cilindro.\n\nESTUDO DE CASO 5B\n\nProjeto de um Vaso de Pressão de Materiais Compostos\n\nA crescente demanda por materiais com excepcional relação resistência-peso e outras propriedades mecânicas têm conduzido ao desenvolvimento de compósitos específicos de materiais. A situação retratada está dedicada a um cilindro composto, o qual, geralmente, é fabricado posto que este um externo, ou como um cilindro interno. Os cilindros multicamadas, cada qual com pequena espessura, podem portanto, ser projetados de modo que uma única camada pode apresentar uma distribuição uniforme de pressão, a partir de uma carga que deve ser submetida a tensões consideravelmente inferiores ao valor admissível, o que contribui para o seu ineficiente do material.\n\nEnunciado: Um cilindro de paredes grossas de concreto (módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson \\( v \\)) possui em seu interior uma camisa cilíndrica interna de paredes finas, com módulo de elasticidade E_c. O cilindro exterior está sujeito a uma pressão interna p_i, imposta pelo fluido, conforme mostrado na Fig. 8.29a.\n\nO ponto tenso de um vaso cilíndrico constituído pelo fluido sujeito a uma pressão interna p é considerado no Estudo de Caso 5A.\n\nA ser determinado: Desenvolveu-se uma equação para a pressão p_a na interface, transmitida ao tubo de concreto. Note que, nesta estrutura composta, a camisa é utilizada no tubo para evitar a pressão do fluido no concreto para observar a tensão de traço que concretiza interna do líquido sob pressão.\n\nHipóteses: Os pesos do vaso de pressão do fluido são desprezíveis.\n\nSOLUÇÃO: Veja a Fig. 8.29 e as Eqs. (8.16), (8.25b) e (8.29). A camisa está sujeita a pressão externa p_e e a uma pressão externa \\[ \\sigma_{t} \\] portanto, o Finalmente, combinando-se as Eqs. (i) e (g) e substituindo-se o resultado na Eq. (h), obtém-se uma expressão pela qual a pressão p na interface pode ser determinada. Assim sendo,\np = \\[ \\frac{{E_{s}}}{{E_{c}}} \\frac{P}{\\left(\\frac{b}{a^{2}} - \\frac{1}{v_{e}}\\right)} \\] (8.33)\n\nComentários: Para efeito prático, pode-se utilizar \\[ \\frac{E_{s}}{E_{c}} = 0.2 \\quad v_{e} = \\frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}} = a \\pm t = a \\] (i)\n\nEsta relação pode ser aplicada desde que\\[ P > 10 \\] para uma camada de paredes finas. Observe, pela Eq. (8.33), que, quando a espessura da camisa aumenta, a pressão p transmitida para o tubo de concreto diminui. Uma fórmula que disponibilize curvas de projeto para vasos de concreto com linhas de aço (veja a Ref. 8.4) pode ser obtida rapidamente, substituindo-se as Eqs. (i) na Eq. (8.33).\n\nPROBLEMAS\n\nSeções 8.6 até 8.9\n\n8.76 Um elemento tridimensional de tensões está sujeito às tensões \\[ \\sigma_{1} = 120 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{y} = 60 \\text{MPa}, \\quad \\tau_{xy} = -30 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{z} = -15 \\text{MPa} \\]\nconforme mostrado na Fig. P8.78.\n\nFigura P8.76\n\nAs tensões principais:\n\n\\[ \\sigma_{1} = 60 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{2} = 30 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{3} = -15 \\text{MPa} \\] \n\n8.77 Resolva o Problema 8.76 para o caso em que \\[ \\sigma_{x} = 10 \\text{ksi}, \\quad \\sigma_{y} = 0 \\text{ksi}, \\quad \\tau_{xy} = 5 \\text{ksi}, \\quad \\sigma_{z} = -12 \\text{ksi} \\] conforme ilustrado na Fig. P8.77.\n\nFigura P8.77\n\n8.78 Refação o Problema 8.76 para o estado de tensões definido por:\n\\[ \\sigma_{x} = 50 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{y} = 10 \\text{MPa}, \\quad \\tau_{xy} = -40 \\text{MPa} \\] \n\n8.79 Um ponto de uma estrutura está sujeito a um estado de tensões com:\n\\[ \\sigma_{x} = 15 \\text{ksi}, \\quad \\sigma_{y} = 10 \\text{ksi} \\] \n\natuante, conforme mostrado no elemento ilustrado da Fig. P8.79. Calcule dois valores de \\( \\sigma_{r} \\) para os quais a tensão cisalhante máxima absoluta seja igual a 13 ksi.\n\nFigura P8.79\n\n8.80 Um ponto de um componente de máquina está sujeito a um estado tridimensional de tensões com:\n\\[ \\sigma_{x} = 150 \\text{MPa}, \\quad \\tau_{xy} = 30 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{z} = 90 \\text{MPa} \\]\nconforme ilustrado na Fig. P8.80. Determine:\n(a) A tensão cisalhante máxima absoluta para \\( \\sigma_{x} = 40 \\text{MPa} \\).\n(b) A tensão cisalhante máxima absoluta para \\( \\sigma_{z} = -40 \\text{MPa} \\). 348 Capítulo Oito\n8.85 Determine a espessura / necessitara a um vaso cilíndrico de 3 in de diâmetro sujeito a uma pressão p = 150 psi.\nDados: A resistência do material e de 25 ksi.\nHipótese: Um fator de segurança = 1,5 deve ser utilizado.\n\n8.86 Um veículo submarino possui um espaço de trabalho interno que pode ser aproximado ao de uma esfera de raio r e espessura de parede t. O veículo deve operar a uma profundidade h.\nÉ ele pressurizado com a uma pressão, P, do material da esfera e ação com resistência ao acomodamento, e deve ter um segurança deve e.\nDetermine a espessura necessária da esfera.\nDados: r = 2.5 m, p = 4 MPa, ar = 600 MPa, ar = 1000 m e n = 2.5.\n\n8.87 Um vaso esférico, de 1.6 m de diâmetro interno, é construído pelo união de dois hemisférios arredondados de dois perfis que se apresentam em (Fig. 8.87). O vaso é submetido a uma pressão interna de 600 kPa.\n\n8.81 Um vaso esférico, de raio r e espessura de parede t, é submerso em água com peso específico y. Calcule a profundidade h da água para a qual a tensão circunferencial atuante na esfera seja α.\nHipótese: Será utilizado um fator de segurança.\nDados: r = 2.5 ft, t = 1 in, y = 62.4 lb/ft³, α = 200 psi e n = 1.5.\n\n8.82 Um reservatório de ar comprimido, de espessura uniforme r = 5 mm, é submetido a uma pressão interna p = 1.4 MPa (Fig. P8.82). Determine as tensões circumferenciais e axiais máximas.\n\n8.83 O reservatório cilíndrico, de aço, com extremidades fechadas, mostrado em certo Fig. P8.83, sobressai raio e altura h. Ele é completamente preenchido com um líquido de peso especifico e y que sujeita a uma pressão interna adicional impositiva por um gás. Calcule a espessura de parede necessária:\n(a) No topo do reservatório.\n(b) Em um quarto da altura do reservatório.\nDados: p = 400 kPa, h = 20 m, r = 5 mm e y = 15 kN/m².\nRequisitos: A tensão admissível atuante nos paredes do cilindro é limitadas a 150 MPa. 349 Transformações das Tensões e das Deformações\n\n(b) A tensão cisalhante é paralela à solda.\nDados: d = 2r = 1.5 m, n = 15 mm, e \\phi = 60° e p = 800 kPa.\n\n8.97 Um reservatório cilíndrico, de diâmetro interno e, é fabricado com uma placa de aço e é soldada ao longo da uma angular igual ao como do eixo axial (veja Fig. P8.94). Determine a pressão interna e que causar uma tensão na solda, utilizando o circuito de Mohr.\nDados: d = 2r = 2.4 m, l = 15 mm, t = 10 mm, \\phi = 30° e p = 1.4 MPa.\n\n8.99 Um tanque de pressão, cilíndrico, de diâmetro interno e, é fabricado pela moldagem de placas de aço, e e, a pressão da placa ao longo do eixo helicoidal que faz placas ao longo da eixo helicoidal igual ao como um plano transversal (Fig. P8.99). As tampas das extremidades são esféricas e podem expressar a pressão debaixo do tanque e p. Calcule:\n(a) As tensões normal e cisalhante máxima absoluta nas tampas.\n(b) A tensão normal e a tensão cisalhante τ, atuantes nos planos perpendicular o paralelo à solda. Esquematize os resultados em um elemento apropriamente orientado.\n\n8.100 Um vaso de pressão, de raio interno r e espessura de parede t, é fabricado a partir de um tubo soldado como de belice e equipado com placas de extremidade, conforme mostrado na Fig. 8.101. Se a pressão interna do vaso p, determine: 350 Capítulo Oito\n(a) A tensão normal é perpendicular à solda.\n(b) A tensão cisalhante é, paralela à solda.\nDados: r = t1 = 1 in, \\phi = 38° e p = 20 psi.\nFigura P8.100\n\n8.102 Um reservatório de aço, cilíndrico, de paredes grossas e radius interno r, submetido a uma pressão interna p, (Fig. P8.101). O limite de resistência do material pro lado e compressão são \\sigma_{t} e \\sigma_{c}, o fator de segurança deve ser \\eta. Calcule a espessura da parede.\nDados: d = r1 = 2 in, 2 \\sigma_{t} = 40 kg, e 1.5.\n\n8.103 Um reservatório cilíndrico, de paredes grossas, raio interno \\rho externo e, fabricado de ferro fundido ASTM A-48 (veja a linha B.4) com um limite de resistência a tração, o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. Determine o deslocamento radial máximo, mostrado na Figura P8.101.\nDados: a = 0.5 m, b = 1 m, p = 10 MPa, \\sigma_{t} = 70 MPa, E = 70 GPa, \\nu = 0.3.\n\n8.104 Um tubo cilíndrico, de paredes grossas, com raio interno r, e submetido apenas a uma pressão interna p. (ver Fig. P8.102).\n(a) A relação entre a pressão e raio interno, para p constante, e \\sigma_{\theta}.\n(b) Determinar para um dado argumento de tubo, z = 1, k = 2.\n3) \\sigma_{t} = \\sigma_{c}.\n\n8.105 Um cilindro de parede grossa, com raio externo b submetido a uma pressão externa p.\n(a) A tensão radial mínima máxima atenuantes no cilindro.\nDados: d = 25 mm, e = 75 mm e p = 35 MPa.\n\n*8.10 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES\nConforme descrito na Seção 3.4, no caso de deformações bidimensionais ou deformações planas, cada ponto permanece em seu plano (xy) após a aplicação da carga. Assim, o estado plano de deformações é definido pelas seguintes condições:\n\\varepsilon_{x} = \\varepsilon_{y} = \\gamma_{xy} = 0\n\nenquanto as deformações\n\\varepsilon_{x}\n\\varepsilon_{y}\n\\gamma_{xy}\npodem possuir valores não-nulos (Fig. 8.30), e, por consequência, as tensões \\sigma_{x} e \\sigma_{y}\npodem apresentar valores não-nulos. Além disso, pela lei de Hooke generalizada, tem-se que\n\\sigma_{t} = -\\nu(\\sigma_{x} + \\sigma_{y}) + \\tau_{xy} = 0.\n\nFIGURA 8.30 Componentes de deformação \\varepsilon_{x}, \\varepsilon_{y}, \\gamma, no plano xy. 628\nRespostas dos Problemas de Numeração Par\n7.158 (a) -5.5 ksi; (b) 448 ksi.\n7.160 35 MPa.\n7.162 124.8 mm.\n7.164 67.86.\n7.166 \\sigma_{1} = 3.01 ksi; \\sigma_{2} = -1.721 ksi.\n7.168 31.5 ksi.\nCapítulo 8\nTransformações das Tensões e das Deformações\n8.2 \\sigma_{1} = 84.6 MPa; \\sigma_{2} = 25.1 MPa.\n8.4 = 10.09ksi; = -15.83 ksi.\n8.6 \\sigma_{1} = -11.3MPa; = 84.5 MPa.\n8.8 = 6.10MPa; = 46 MPa.\n8.10 2.89 ksi.\n8.14 \\epsilon = 30º; \\sigma_{1} = 3.5 ksi; = 4.33 ksi.\nEl = 120º; = -1.5 ksi; = 4.33 ksi.\n8.16 \\sigma_{x} = 6.45 MPa; \\sigma_{y} = 414 MPa.\n8.18 (a) 11.43 MPa; (b) 7.66 MPa.\n8.20 = 21.9MPa; = -3.5 MPa.\n8.62 (a) 97.7 MPa; (b) 120 MPa.\n8.64 (a) 58.1 MPa; (b) = 85 MPa; \\sigma_{2} = -75 MPa.\n8.66 (a) \\sigma_{1} = 7.5 ksi; \\sigma_{2} = -25.5 ksi.\n8.68 (a) 26.5 MPa; (b) \\sigma_{max} = 40 MPa; \\sigma'_{1} = 30 MPa;\n\\sigma'_{2} = 24.3º.\n8.70 (a) \\sigma_{1} = -1.235 ksi; \\sigma_{2} = -4.365 ksi; \\sigma_{1} = -13.3º.\n8.74 \\sigma_{2} = -12 MPa; = 45º.\n8.76 (a) \\sigma_{1} = 123.4 MPa; \\sigma_{2} = 47.6 MPa; \\sigma_{3} = -15 MPa.\n8.80 (a) 10.2 MPa; (b) 119.1 MPa.\n8.82 (a) 28.3 MPa; (b) = 77 MPa.\n8.84 (a) 3.3 mm; (b) 10.8 mm; (c) 8.33 mm.\n8.86 6.25 mm.\n8.90 (a) 400 mm; (b) 120 MPa.\n8.92 26.6º.\n8.94 (a) \\sigma_{1} = 24 ksi; (b) 6 ksi.\n12 ksi; (b) 13.9 ksi; |t_{x\\max} = -5.2 ksi.\n8.96 (a) = 25 MPa; |t| = -8.66 MPa.\n(b) 20 MPa.\n8.98 8.28 MPa.\n8.100 (a) 15.6 ksi; (b) 4.66 ksi.\n8.102 2.81 in.\n8.104 (a) 0.732; (b) 2.21 mm.\n8.106 \\epsilon_{x} = 550 \\mu\\epsilon; \\epsilon_{y} = -150.0\\mu\\epsilon; = 1789 \\mu\\epsilon.\n8.110 \\epsilon_{1} = 694 \\mu; = 226 \\mu; \\epsilon_{2} = 330 \\mu.\n8.112 \\epsilon_{1} = 1350 \\mu; = 350 \\mu; \\epsilon'_{max} = -700 \\mu.\n8.114 (a) \\epsilon_{1} = 224 \\mu; = 364 \\mu; = 434 \\mu.\n8.118 (a) = 6.30 \\mu; = -750 \\mu; = 780 \\mu.\n(b) 1058 \\mu.\n8.120 (a) \\epsilon_{1} = 509 \\mu; = -109 \\mu; \\epsilon_{max} = 618 \\mu; = 68.1 \\mu.
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
8.8 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS\n\nEm diversas aplicações são utilizados, como componente estrutural, chapas curvas, denominadas\ncascas. Alguns exemplos incluem os vasos de pressão, como tubos, reservatórios esféricos e\narmazenamento de água, caldeiras, reservatórios cilíndricos operando com ar comprimido, asas de\nfuselagem, mísseis, balões ou tubos infláveis, cúpula e produtos de grande variedade de de-\npientes. Os vasos de pressões, de especial importância na engenharia, geralmente são classificados\ncomo vasos de paredes finas e de paredes espessas ou grossas.\n\nUm vaso de paredes finas é aquele em que a distribuição das tensões é essencialmente constante ao\nlongo da espessura, enquanto nos vasos de paredes espessas, as tensões variam tanto ao longo da\nessespessura da parede. Se a relação entre a espessura da parede e o raio interno é igual ou menor do que\ne 1/10 (ou seja, r ≥ 10), o vaso é classificado como tendo de paredes finas. De fato, nos vasos de\nparedes finas geralmente não há distinção entre os raios interno e externo, uma vez que são apro-\nximadamente iguais.\n\nNeste texto trata-se apenas dos vasos de pressão cilíndricos e esféricos de paredes finas, com-\nmumente encontrados. As paredes dessas cascas atuam como menos—isto é, não ocorre qualquer\nflexão das paredes. O peso de um vaso e seu conteúdo é dito designtar (sustentar comum). Em\ndecorrência da assimetriod do vaso e seu conteúdo, este é livre para se deformar sob pressão, e, portanto,\nas tensões normais uniformes em duas direções principais, porém desidentificáveis na membrana, estarão atuando. Esta hipótese é considerada bastante razoável para cascas de\nparedes finas registradas nas restrições externas. Além de vasos cilíndricos e esféricos de paredes,\nos vasos finos mostrados nas fotos abaixo.\n\nVasos utilizados no armazenamento\nde um fluido pressurizado: (a)\nreservatório de óleo relinado (Cork\nimage); (b) res esferas Forton\n(Centra da CBEH). As Seções 8.8 e 8.9 tratam de vasos de paredes finas de pressão,\ne que são a base dos princípios mais simples da mecânica contínua. O projeto dos fiilamentos que circundam os vasos e os vasos cilíndricos compostos serão discutidos no estudo de casos.\n\nAs fórmulas deduzidas não são válidas nas proximidades de descontinuidades, das extremi-\ndades ou dos apoios de um vaso. Qualquer incompatibilidade na união do cilindro e suas exten-\nsões dará origem a momentos externos e forças cisalhantes. As tensões associadas a essa fle-\nxo e ao cisalhamento são denominadas tensões de descontinuidade, e seus valores podem ser reduzidos\npela curvatura apropriada nas extremidades do vaso (Ref. 8.2). Note que as equações formadas\nnesta seção são aplicáveis aos casos de uma pressão interna e exercido por um líquido ou um gás.\nElas também podem ser aplicadas aos vasos sujeitos a uma pressão externa (por exemplo, um\nreservatório a vácuo e os submarinos) como o sinal algébrico é invertido. Assim, as tensões\nobtidas devem, obviamente, ser menores do que as tensões críticas para as quais a flamba-\ndura da parede pode ocorrer. Com o avanço das instalações nucleares, da propulsão de naves espaciais,\nesse projeto teve atenção técnica especial. \n VASOS CILÍNDRICOS\n\nConsidere um vaso cilíndrico, como, por exemplo, um reservatório de ar comprimido ou\ncaldeira, na rede interna r e espessura da parede e, contendo um fluido sob pressão\nisométrica, e conforme mostrado na Fig. 8.18a. A pressão manométrica refere-se à pressão\nem cima da pressão externa. A menos que especificado de outra forma, utiliza-se ae-\nse para indicar a pressão manométrica. Pretende-se determinar as tensões ex-\nercionais do cilindro. A componente de tensão σ e definida designada como tensão tangenci-\nal circumferencial, a tensão σ, é conhecida como tensão longitudinal ou axial.\n\nPara avaliar a tensão circumferencial, isolam-se um segmento semicircular de com-\nprimento L do vaso e do fluido nele contido, conforme mostrado na Fig. 8.18b. Observe\nque, na pressão e as tensões de interesse aqui são mostradas nesse diagrama \n\nL. A relação figura, nota-se que a força total ressitida pelas paredes do\n-elemento de (2L). Assim, a condição que a força resulta ante o fluido permanece neste segmento de um\nA força resultante atua, de forma, o que passa pelo líquido é P(2L). Assim, a condição que a\n das forças verticais é igual a zero fornece σ(2L)= P/(2r). A simplificação desta\nrelação fornece a seguinte expressão para a tensão tangencial:\n\nσ_{t}=\frac{p R}{2t} \n TENSÃO CISAHLANTE MÁXIMA EM VASOS DE PRESSÃO\n\nA tensão atuante na direção radial, chamada tensão radial, atuante na parede de um cilindro\ne, ou seja, variável em na superfície interior da casca de σ, na superfície externa.\n\nA tensão cisalhante máxima absoluta τ_{max} é a tensão cisalhante máxima absoluta (σ) ilustradas na Fig. 8.21.\nNo caso de um vaso esférico, tem-se, novamente, um estado bi-axial de tensões: σ_{r} = o e σ_{θ} = 0. Como resultado, a tensão cisalhante absoluta é igual a\n\n\t( τ_{max} = \frac{σ_{1} - σ_{0}}{2}) \n\nE ocorre quando o elemento gira 45° em relação ao eixo geométrico do cilindro. A tensão\ntangencial τ_{t} é a tensão cisalhante máxima absoluta fo (8), - o círculo de Mohr das tensões.\n\nEQUAÇÃO GERAL DOS VASOS DE PRESSÃO\n\nFIGURA 8.20 Vaso de pressão esférico de paredes finas (a) e a esfera com um tubo; (b) diagrama de corpo livre dos\nhemisférios. \n\nFIGURA 8.21 (a) Cilindro pressurizado internamente ilustrando as tensões biaxiais. Note que a obten-\nção do valor correto de τ_{t} requer a consideração de τ_{n}, analise-se; se for depresso, será obtido um valor\nerrado de τ_{max} (no plano); (b) círculo de Mohr das tensões.\n\nEXEMPLO 8.7\n\nTensões Atuais em um Reservatório de Ar Comprimido\n\nEnunciado: Um reservatório cilíndrico de 220, de extremidades hemisféricas, é suportado por dois\nberços (apoios), conforme mostrado na Fig. 8.22. O reservatório contém a uma pressão p. Um\ndos berços é projetado de modo a não exercer qualquer força axial sobre o vácuo. Considere\n\np = 200 psi; r = 10 in; L = 30 x 10^6 psi; v = 0,3 \n Transformações das Tensões e das Deformações 339\nA ser determinado:\n(a) As tensões no vaso, se cada trecho possui o mesmo raio r e a mesma espessura t.\n(b) A tensão cisalhante na região esférica e a tensão cisalhante máxima absoluta no trecho cilindrico do reservatório.\n(c) A extensão radial do trecho cilindrico do reservatório.\nHipótese: Os berços atuam como apoios simples.\nSOLUÇÃO:\n(a) A tensão axial no cilindro e as tensões circunferenciais nas extremidades esféricas são idênticas. Aplicando-se a Eq. (8.17) ou (8.19), obtém-se\n σ_a = σ_e = 200(10²) / (2(5/16)) = 3200 psi\nPela Eq. (16), obtém-se que a tensão circumferencial no cilindro vale\n σ_r = p_r / 2 = 6400 psi\nComentário: Observe que a maior tensão radial, ocorre na superfície interna do reservatório, em p = -200 psi, e resulta pequeno quando comparado ao valor das tensões de membrana calculadas.\n\nA maior tensão cisalhante no plano (a)\n τ = (σ_1 - σ_2) / 2 = 1600 psi\nTodavia, a tensão cisalhante máxima absoluta na parede do cilindro, utilizando a Eq. (8.21), vale\n τ_(max) = σ_a = 3200 psi\n(c) A extensão radial do cilindro é igual a\n δ = (p_r²) / (2εf(10²)(0.3)) = 200(10²) / (2(30 x 10⁶)(5/16)) = 0.181 in\nconforme o cálculo estabelecido pela Eq. (8.18). EXEMPLO 8.8\nCapacidade de Pressurização de um Vaso Cilíndrico\nEnunciado: Um cilindro com pressão de parede t = 3 mm e diâmetro d = 1.5 m é fabricado com aço com resistência ao escoamento σ = 240 MPa.\nA ser determinado: A pressão interna p que pode ser suportada pelo vaso tendo como base um fator de segurança n = 2 contra o escoamento.\nHipótese: O vaso é suportado por berços que atuam como apoios simples.\nSOLUÇÃO: A tensão admissível, neste caso, será σ_min = 240/2 = 120 MPa. Pela Eq. (8.16) determina-se que o valor limite da pressão pela tensão circunferencial é\n p = σ_adm / (r) = 120 x 10⁴(0.003) = 480 kPa\nPor outro lado, a fórmula da tensão axial, Eq. (8.17), requer que\n p = 2σ_adm / (r) = 2(120) / 0.75 = 960 kPa\nComentário: Com esses resultados, a pressão manométrica não deve ser superior a 480 kPa. Transformações das Tensões e das Deformações 341\nAssim, um ângulo de 2θ = 80° no sentido anti-horário indicado no círculo localizado a ponto B correspondentes às tensões externas na face x. A tensão normal média o a não de círculo valem\n σ_média = 1/2(100 + 50) = 75 MPa\nR = 1/2(100 - 50) = 25 MPa\nAs coordenadas do ponto B são, portanto,\n σ_x' = σ_média + Rcos² 26 = 75 - 25 cos 80° = 70.7 MPa\n τ_xy' = σ_x' sin 80° = 25 sin 80° = 24.6 MPa\nAnalogamente, pode-se obter, pelo círculo, que a tensão normal na face y é igual a\n σ_y' = σ_média + R cos 26 = 75 + 25 cos 80° = 79.3 MPa\nObserve, como verificação, que a soma das tensões normais referentes a planos perpendiculares é\n σ_x' + σ_y' = 100 + 50 - 70.7 = 79.3 MPa\n e que fornece\n σ_r = σ_θ + σ_θ_a = σ_x' + σ_y' = σ_a = 100 + 50 - 70.7 = 79.3 MPa.\nComentário: Observe-se que o vetor de tração atua perpendicularmente a solda; logo 70.7 MPa + tensão cisalhante paralela à solda é de 24.6 MPa. 342 Capítulo Oito\n\nSOLUÇÃO: As tensões circumferenciais e longitudinais devidas a p são expressas por στ = pr/2i e σz = p/2. Assim,\n\nστ/σz = 2\n\nNeste caso, a é o rádio interno e r representa a espessura de parede do vaso, composta do tubo do filamento com resistência à tração στ e pela cola plástica. A maior força de tração suportada pelo filamento pode ser expressa como\n\nFτ = στwt\n\nNa expressão, wt é a largura da camada de filamentos depositada a um ângulo θ. A correspondente força tangencial é igual a\n\nFτ = F1senφ\n\nA área do secção transversal do filamento vale A = wt/senθ. Portanto, a tensão circumferencial no filamento vale\n\nστ = Fτ/A = στsenφ\n\nAnalogamente, a tensão axial é escrita na forma\n\nσz = σaicosφ\n\nAs relações anteriores resultam em\n\nσz = (στ/2) = (2στ)\n\nUtilizando-se as Eqs. (b) e (c), obtém-se que o ângulo de hélice ótimo do filamento é\n\nστ/σz = tg²φ\n\n(8.23)\n\nResolvendo-se para o ângulo de hélice, temos φ = 54.7º. Este ângulo representa a condição para a qual um elemento helicoidal suporta uma pressão interna (Ref. 8.4 e 8.5).\n\nComentários: Cabe relembrar que a Eq.(8.23) apenas se aplica a vasos de pressão com r/t > 10.\n\nInformações complementares, o leitor interessado deve consultar a literatura sobre o produto, fornecido pelos fabricantes.\n\n**8.9 VASOS DE PRESSÃO CILÍNDRICOS DE PAREDES GROSSAS**\n\nQuando a espessura da parede ε é superior ao raio interno em mais de 10%, o cilindro geralmente é considerado como sendo de paredes grossas ou espessas, e as variações destes elementos em r não podem ser desprezadas. Os cilindros de paredes grossas são utilizados extensivamente na indústria com vasos de pressão, tubos, tubarias, cilindros hidráulicos e a, diversos outros componentes mecânicos. Para esses elementos, a análise começa com as considerações sobre o equilíbrio de um elemento infinitesimal. Em seguida, as relações deformacionais-deslocamentos são combinadas com a lei de Hooke. A solução é obtida após o atendimento das condições de tensão nas superfícies interna e externa do cilindro, conforme brevemente discutido neste texto. Para mais detalhes veja, por exemplo, a Referência 8.3.\n\nRELAÇÕES BÁSICAS\n\nConsidere um cilindro de paredes grossas, de raio interno a e raio externo b, sujeito a uma pressão interna pi, conforme mostrado na Fig. 8.26al. Como se pode perceber, para a situação descrita a deformação é simétrica em relação ao eixo do cilindro (e) longitudinal do cilindro. Assim, e o raio externo a é antes de uma distância do centro geométrico do cilindro causadas pela pressão, o peso do componente e desprezado. Um elemento infinitesimal tipo de seção axial, isolado do cilindro, é definido por dois pontos, r e r + dr (Fig. 8.26b).\n\nAs condições de simetria em relação à direção longitudinal do cilindro estabelecem que as deformações são independentes do nome e direção do que se das forças aplicadas. Dever-se-á que as tensões radiantes antes nas faces do elemento devem ter valor dor, porém as tensões tangenciais não variam entre as faces do elemento. Não deve\n\n7: [...continuação do texto...]\n\nTensão e deslocamento radial\n\nNa superfície interna, r = a, a tensão radial σr se torna igual a -p (Fig. 8.26a). Do mesmo modo, na superfície externa, r = b, a tensão σr igual a zero. Isto é,\n\nσr|r=a = -p\n\nσr|r=b = 0\n\nAs constantes são obtidas substituindo-se as Eqs. (e) na Eq. (e), as expressões resultantes serão substituídas nas Eqs. (b), (c) e (d). Assim, as tensões radial e tangencial e o deslocamento radial são expressos por:\n\nσr = (a²p)/[(b² - a²)]\n\n(8.27)\n\nσθ = (a²p)/[b² - a²]\n\n(8.28)\n\nu = (a²p)/(E(1 - υ²))\n\n(8.29)\n\nEstas equações foram deduzidas pelo princípio ver, em 1833, pelo engenheiro francês G. Lamé. de quem elas receberam o nome. O deslocamento radial u é, certamente, orientado para fora do cilindro. Como b/r = 1, σr é sempre uma tensão compressiva e é máxima em r = a. A tensão tangencial é sempre uma tensão de tração que possui um valor máximo em r = a;\n\n(8.3.1)\n\ne um valor mínimo em r = k;\n\n(8.3.2)\n\nAs variações das tensões tangencial e radial ao longo da espessura da parede são mostradas graficamente na Fig. 8.27. As características das variações dessas tensões podem ser observadas neste gráfico. O deslocamento radial u também pode ser ilustrado de modo similar.\n\n8: [...continuação do texto...] FIGURA 8.28 (a) Cilindro de paredes grossas sujeito a uma pressão interna p_i (b) elemento da superfície interna no qual atua \\( \\tau_{max} \\).\n\nObserve que o maior valor dessa tensão ocorre em r = a. Assim,\n\\[ \\tau_{max} = \\frac{pb^{2}}{b^{2} - a^{2}} \\]\n\n(8.31b)\n\nA tensão atua em planos que fazem um ângulo de 45° com os planos das tensões principais, como ilustrado na Fig. 8.28.\n\nNo caso de um cilindro pressurizado, de extremidades fechadas, as tensões axiais \\( \\sigma_{r} \\) e \\( \\sigma_{t} \\) são frequentemente supostas tensões \\( \\sigma_{t} = \\sigma_{r} \\). Para uma seção transversal a uma certa distância do extremo, pode ser admitido como uniformemente distribuído ao longo da espessura da parede,\\[ \\sigma_{t} = \\frac{p a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \\]\n\n(8.32)\n\nEssa equação considera-se que o movimento das extremidades do cilindro não é restringido. De acordo com o princípio de Saint-Venant, as Eqs. (8.27) e (8.29) são aplicáveis a partir de uma condição igual a 2b das extremidades. A espessura da parede é t = 0.1a. Assim, pela Eq. (8.16), a tensão média vale\\[ \\sigma_{m} = \\frac{P a}{t} = 10p_{i} \\]\\n\nComentário: Observe que, ao se utilizar a Eq. (8.16), nenhum erro apreciável será envolvido.\n\n(b) Para b = 4a. As Eqs. (8.30) fornecem\\[ \\sigma_{t}\\,max = \\frac{b^{2}}{P^{2}}a^{2} = \\frac{15}{P} \\]\n\nconforme mostrado na Fig. 8.27. A espessura t = a, a Eq. (8.16) fornece\\[ \\sigma_{t}\\,min = \\frac{P a}{1} = \\frac{3}{P} \\]\n\nComentário: A tensão média é muito menor do que a tensão tangencial máxima realmente atuante no cilindro.\n\nESTUDO DE CASO 5B\n\nProjeto de um Vaso de Pressão de Materiais Compostos\n\nA crescente demanda por materiais com excepcional relação resistência-peso e outras propriedades mecânicas têm conduzido ao desenvolvimento de compósitos específicos de materiais. A situação retratada está dedicada a um cilindro composto, o qual, geralmente, é fabricado posto que este um externo, ou como um cilindro interno. Os cilindros multicamadas, cada qual com pequena espessura, podem portanto, ser projetados de modo que uma única camada pode apresentar uma distribuição uniforme de pressão, a partir de uma carga que deve ser submetida a tensões consideravelmente inferiores ao valor admissível, o que contribui para o seu ineficiente do material.\n\nEnunciado: Um cilindro de paredes grossas de concreto (módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson \\( v \\)) possui em seu interior uma camisa cilíndrica interna de paredes finas, com módulo de elasticidade E_c. O cilindro exterior está sujeito a uma pressão interna p_i, imposta pelo fluido, conforme mostrado na Fig. 8.29a.\n\nO ponto tenso de um vaso cilíndrico constituído pelo fluido sujeito a uma pressão interna p é considerado no Estudo de Caso 5A.\n\nA ser determinado: Desenvolveu-se uma equação para a pressão p_a na interface, transmitida ao tubo de concreto. Note que, nesta estrutura composta, a camisa é utilizada no tubo para evitar a pressão do fluido no concreto para observar a tensão de traço que concretiza interna do líquido sob pressão.\n\nHipóteses: Os pesos do vaso de pressão do fluido são desprezíveis.\n\nSOLUÇÃO: Veja a Fig. 8.29 e as Eqs. (8.16), (8.25b) e (8.29). A camisa está sujeita a pressão externa p_e e a uma pressão externa \\[ \\sigma_{t} \\] portanto, o Finalmente, combinando-se as Eqs. (i) e (g) e substituindo-se o resultado na Eq. (h), obtém-se uma expressão pela qual a pressão p na interface pode ser determinada. Assim sendo,\np = \\[ \\frac{{E_{s}}}{{E_{c}}} \\frac{P}{\\left(\\frac{b}{a^{2}} - \\frac{1}{v_{e}}\\right)} \\] (8.33)\n\nComentários: Para efeito prático, pode-se utilizar \\[ \\frac{E_{s}}{E_{c}} = 0.2 \\quad v_{e} = \\frac{r_{1}-r_{2}}{r_{1}} = a \\pm t = a \\] (i)\n\nEsta relação pode ser aplicada desde que\\[ P > 10 \\] para uma camada de paredes finas. Observe, pela Eq. (8.33), que, quando a espessura da camisa aumenta, a pressão p transmitida para o tubo de concreto diminui. Uma fórmula que disponibilize curvas de projeto para vasos de concreto com linhas de aço (veja a Ref. 8.4) pode ser obtida rapidamente, substituindo-se as Eqs. (i) na Eq. (8.33).\n\nPROBLEMAS\n\nSeções 8.6 até 8.9\n\n8.76 Um elemento tridimensional de tensões está sujeito às tensões \\[ \\sigma_{1} = 120 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{y} = 60 \\text{MPa}, \\quad \\tau_{xy} = -30 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{z} = -15 \\text{MPa} \\]\nconforme mostrado na Fig. P8.78.\n\nFigura P8.76\n\nAs tensões principais:\n\n\\[ \\sigma_{1} = 60 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{2} = 30 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{3} = -15 \\text{MPa} \\] \n\n8.77 Resolva o Problema 8.76 para o caso em que \\[ \\sigma_{x} = 10 \\text{ksi}, \\quad \\sigma_{y} = 0 \\text{ksi}, \\quad \\tau_{xy} = 5 \\text{ksi}, \\quad \\sigma_{z} = -12 \\text{ksi} \\] conforme ilustrado na Fig. P8.77.\n\nFigura P8.77\n\n8.78 Refação o Problema 8.76 para o estado de tensões definido por:\n\\[ \\sigma_{x} = 50 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{y} = 10 \\text{MPa}, \\quad \\tau_{xy} = -40 \\text{MPa} \\] \n\n8.79 Um ponto de uma estrutura está sujeito a um estado de tensões com:\n\\[ \\sigma_{x} = 15 \\text{ksi}, \\quad \\sigma_{y} = 10 \\text{ksi} \\] \n\natuante, conforme mostrado no elemento ilustrado da Fig. P8.79. Calcule dois valores de \\( \\sigma_{r} \\) para os quais a tensão cisalhante máxima absoluta seja igual a 13 ksi.\n\nFigura P8.79\n\n8.80 Um ponto de um componente de máquina está sujeito a um estado tridimensional de tensões com:\n\\[ \\sigma_{x} = 150 \\text{MPa}, \\quad \\tau_{xy} = 30 \\text{MPa}, \\quad \\sigma_{z} = 90 \\text{MPa} \\]\nconforme ilustrado na Fig. P8.80. Determine:\n(a) A tensão cisalhante máxima absoluta para \\( \\sigma_{x} = 40 \\text{MPa} \\).\n(b) A tensão cisalhante máxima absoluta para \\( \\sigma_{z} = -40 \\text{MPa} \\). 348 Capítulo Oito\n8.85 Determine a espessura / necessitara a um vaso cilíndrico de 3 in de diâmetro sujeito a uma pressão p = 150 psi.\nDados: A resistência do material e de 25 ksi.\nHipótese: Um fator de segurança = 1,5 deve ser utilizado.\n\n8.86 Um veículo submarino possui um espaço de trabalho interno que pode ser aproximado ao de uma esfera de raio r e espessura de parede t. O veículo deve operar a uma profundidade h.\nÉ ele pressurizado com a uma pressão, P, do material da esfera e ação com resistência ao acomodamento, e deve ter um segurança deve e.\nDetermine a espessura necessária da esfera.\nDados: r = 2.5 m, p = 4 MPa, ar = 600 MPa, ar = 1000 m e n = 2.5.\n\n8.87 Um vaso esférico, de 1.6 m de diâmetro interno, é construído pelo união de dois hemisférios arredondados de dois perfis que se apresentam em (Fig. 8.87). O vaso é submetido a uma pressão interna de 600 kPa.\n\n8.81 Um vaso esférico, de raio r e espessura de parede t, é submerso em água com peso específico y. Calcule a profundidade h da água para a qual a tensão circunferencial atuante na esfera seja α.\nHipótese: Será utilizado um fator de segurança.\nDados: r = 2.5 ft, t = 1 in, y = 62.4 lb/ft³, α = 200 psi e n = 1.5.\n\n8.82 Um reservatório de ar comprimido, de espessura uniforme r = 5 mm, é submetido a uma pressão interna p = 1.4 MPa (Fig. P8.82). Determine as tensões circumferenciais e axiais máximas.\n\n8.83 O reservatório cilíndrico, de aço, com extremidades fechadas, mostrado em certo Fig. P8.83, sobressai raio e altura h. Ele é completamente preenchido com um líquido de peso especifico e y que sujeita a uma pressão interna adicional impositiva por um gás. Calcule a espessura de parede necessária:\n(a) No topo do reservatório.\n(b) Em um quarto da altura do reservatório.\nDados: p = 400 kPa, h = 20 m, r = 5 mm e y = 15 kN/m².\nRequisitos: A tensão admissível atuante nos paredes do cilindro é limitadas a 150 MPa. 349 Transformações das Tensões e das Deformações\n\n(b) A tensão cisalhante é paralela à solda.\nDados: d = 2r = 1.5 m, n = 15 mm, e \\phi = 60° e p = 800 kPa.\n\n8.97 Um reservatório cilíndrico, de diâmetro interno e, é fabricado com uma placa de aço e é soldada ao longo da uma angular igual ao como do eixo axial (veja Fig. P8.94). Determine a pressão interna e que causar uma tensão na solda, utilizando o circuito de Mohr.\nDados: d = 2r = 2.4 m, l = 15 mm, t = 10 mm, \\phi = 30° e p = 1.4 MPa.\n\n8.99 Um tanque de pressão, cilíndrico, de diâmetro interno e, é fabricado pela moldagem de placas de aço, e e, a pressão da placa ao longo do eixo helicoidal que faz placas ao longo da eixo helicoidal igual ao como um plano transversal (Fig. P8.99). As tampas das extremidades são esféricas e podem expressar a pressão debaixo do tanque e p. Calcule:\n(a) As tensões normal e cisalhante máxima absoluta nas tampas.\n(b) A tensão normal e a tensão cisalhante τ, atuantes nos planos perpendicular o paralelo à solda. Esquematize os resultados em um elemento apropriamente orientado.\n\n8.100 Um vaso de pressão, de raio interno r e espessura de parede t, é fabricado a partir de um tubo soldado como de belice e equipado com placas de extremidade, conforme mostrado na Fig. 8.101. Se a pressão interna do vaso p, determine: 350 Capítulo Oito\n(a) A tensão normal é perpendicular à solda.\n(b) A tensão cisalhante é, paralela à solda.\nDados: r = t1 = 1 in, \\phi = 38° e p = 20 psi.\nFigura P8.100\n\n8.102 Um reservatório de aço, cilíndrico, de paredes grossas e radius interno r, submetido a uma pressão interna p, (Fig. P8.101). O limite de resistência do material pro lado e compressão são \\sigma_{t} e \\sigma_{c}, o fator de segurança deve ser \\eta. Calcule a espessura da parede.\nDados: d = r1 = 2 in, 2 \\sigma_{t} = 40 kg, e 1.5.\n\n8.103 Um reservatório cilíndrico, de paredes grossas, raio interno \\rho externo e, fabricado de ferro fundido ASTM A-48 (veja a linha B.4) com um limite de resistência a tração, o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. Determine o deslocamento radial máximo, mostrado na Figura P8.101.\nDados: a = 0.5 m, b = 1 m, p = 10 MPa, \\sigma_{t} = 70 MPa, E = 70 GPa, \\nu = 0.3.\n\n8.104 Um tubo cilíndrico, de paredes grossas, com raio interno r, e submetido apenas a uma pressão interna p. (ver Fig. P8.102).\n(a) A relação entre a pressão e raio interno, para p constante, e \\sigma_{\theta}.\n(b) Determinar para um dado argumento de tubo, z = 1, k = 2.\n3) \\sigma_{t} = \\sigma_{c}.\n\n8.105 Um cilindro de parede grossa, com raio externo b submetido a uma pressão externa p.\n(a) A tensão radial mínima máxima atenuantes no cilindro.\nDados: d = 25 mm, e = 75 mm e p = 35 MPa.\n\n*8.10 ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES\nConforme descrito na Seção 3.4, no caso de deformações bidimensionais ou deformações planas, cada ponto permanece em seu plano (xy) após a aplicação da carga. Assim, o estado plano de deformações é definido pelas seguintes condições:\n\\varepsilon_{x} = \\varepsilon_{y} = \\gamma_{xy} = 0\n\nenquanto as deformações\n\\varepsilon_{x}\n\\varepsilon_{y}\n\\gamma_{xy}\npodem possuir valores não-nulos (Fig. 8.30), e, por consequência, as tensões \\sigma_{x} e \\sigma_{y}\npodem apresentar valores não-nulos. Além disso, pela lei de Hooke generalizada, tem-se que\n\\sigma_{t} = -\\nu(\\sigma_{x} + \\sigma_{y}) + \\tau_{xy} = 0.\n\nFIGURA 8.30 Componentes de deformação \\varepsilon_{x}, \\varepsilon_{y}, \\gamma, no plano xy. 628\nRespostas dos Problemas de Numeração Par\n7.158 (a) -5.5 ksi; (b) 448 ksi.\n7.160 35 MPa.\n7.162 124.8 mm.\n7.164 67.86.\n7.166 \\sigma_{1} = 3.01 ksi; \\sigma_{2} = -1.721 ksi.\n7.168 31.5 ksi.\nCapítulo 8\nTransformações das Tensões e das Deformações\n8.2 \\sigma_{1} = 84.6 MPa; \\sigma_{2} = 25.1 MPa.\n8.4 = 10.09ksi; = -15.83 ksi.\n8.6 \\sigma_{1} = -11.3MPa; = 84.5 MPa.\n8.8 = 6.10MPa; = 46 MPa.\n8.10 2.89 ksi.\n8.14 \\epsilon = 30º; \\sigma_{1} = 3.5 ksi; = 4.33 ksi.\nEl = 120º; = -1.5 ksi; = 4.33 ksi.\n8.16 \\sigma_{x} = 6.45 MPa; \\sigma_{y} = 414 MPa.\n8.18 (a) 11.43 MPa; (b) 7.66 MPa.\n8.20 = 21.9MPa; = -3.5 MPa.\n8.62 (a) 97.7 MPa; (b) 120 MPa.\n8.64 (a) 58.1 MPa; (b) = 85 MPa; \\sigma_{2} = -75 MPa.\n8.66 (a) \\sigma_{1} = 7.5 ksi; \\sigma_{2} = -25.5 ksi.\n8.68 (a) 26.5 MPa; (b) \\sigma_{max} = 40 MPa; \\sigma'_{1} = 30 MPa;\n\\sigma'_{2} = 24.3º.\n8.70 (a) \\sigma_{1} = -1.235 ksi; \\sigma_{2} = -4.365 ksi; \\sigma_{1} = -13.3º.\n8.74 \\sigma_{2} = -12 MPa; = 45º.\n8.76 (a) \\sigma_{1} = 123.4 MPa; \\sigma_{2} = 47.6 MPa; \\sigma_{3} = -15 MPa.\n8.80 (a) 10.2 MPa; (b) 119.1 MPa.\n8.82 (a) 28.3 MPa; (b) = 77 MPa.\n8.84 (a) 3.3 mm; (b) 10.8 mm; (c) 8.33 mm.\n8.86 6.25 mm.\n8.90 (a) 400 mm; (b) 120 MPa.\n8.92 26.6º.\n8.94 (a) \\sigma_{1} = 24 ksi; (b) 6 ksi.\n12 ksi; (b) 13.9 ksi; |t_{x\\max} = -5.2 ksi.\n8.96 (a) = 25 MPa; |t| = -8.66 MPa.\n(b) 20 MPa.\n8.98 8.28 MPa.\n8.100 (a) 15.6 ksi; (b) 4.66 ksi.\n8.102 2.81 in.\n8.104 (a) 0.732; (b) 2.21 mm.\n8.106 \\epsilon_{x} = 550 \\mu\\epsilon; \\epsilon_{y} = -150.0\\mu\\epsilon; = 1789 \\mu\\epsilon.\n8.110 \\epsilon_{1} = 694 \\mu; = 226 \\mu; \\epsilon_{2} = 330 \\mu.\n8.112 \\epsilon_{1} = 1350 \\mu; = 350 \\mu; \\epsilon'_{max} = -700 \\mu.\n8.114 (a) \\epsilon_{1} = 224 \\mu; = 364 \\mu; = 434 \\mu.\n8.118 (a) = 6.30 \\mu; = -750 \\mu; = 780 \\mu.\n(b) 1058 \\mu.\n8.120 (a) \\epsilon_{1} = 509 \\mu; = -109 \\mu; \\epsilon_{max} = 618 \\mu; = 68.1 \\mu.