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Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Espaço tridimensional é aquele que pode ser definido como tendo três dimensões Vetor cartesiano tridimensional é aquele vetor que pode ser representado em um espaço tridimensional z F r z z θ Vetores cartesianos unitários y x F F y x y θ x θ Ângulos diretores definem a direção do vetor São os ângulos formados com os eixos x y e z i r j r k r i r j e r k r Vetores cartesianos tridimensionais Regra da mão direita O polegar perpendicular ao plano xy aponta na direção positiva do eixo z Com a mão em L os 4 dedos apontam na direção do eixo x positivo Fechando a mão os 4 dedos apontam na direção do eixo y positivo Componentes cartesianas projeções Vetores cartesianos tridimensionais z F r z F r y x F r F y x F r F i Fx r j Fy r x F Fy Componentes cartesianas projeções Vetores cartesianos tridimensionais z F r x F k Fz r z F r y x F r F zF i Fx r y x F r F Vetores cartesianos tridimensionais Componentes z F r k Fz r z θ F k F j F i F r r r r Cartesianas z y x F F F F r r r r Retangulares y x F r i Fx r j Fy r F y θ z θ x θ F k F j F i F z y x r r r r Magnitude 2 2 2 z y x F F F F Vetores cartesianos tridimensionais Ângulos e cossenos diretores z F r k Fz r z θ Magnitude 2 2 2 z y x F F F F Ângulos e cossenos diretores y x F r i Fx r j Fy r F y θ z θ x θ F Fx x arccos θ F Fy y arccos θ F Fz z arccos θ Ângulos e cossenos diretores 1 cos cos cos 2 2 2 z y x θ θ θ Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Adição A k A j A i A z y x r r r r A k F j A F A i F A F z z y y x x r r r r r F k F j F i F z y x r r r r Adição A k F j A F A i F A F z z y y x x Subtração A k F j A F A i F A F z z y y x x r r r r r Multiplicação por um escalar c cF k cF j cF i c F z y x r r r r z y x k j i A F r r r r r Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Produto escalar Definição F k F j F i F z y x r r r r A k A j A i A z y x r r r r AF cos θ A F r r z F r F y x F A r A θ Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais vecF Fxhati Fyhatj Fzhatk vecA Axhati Ayhatj Azhatk Produto escalar Definição vecA cdot vecF A F cos heta Propriedades O resultado é um escalar Vale 0 para vetores ortogonais 90º Vale 1 para vetores unitários colineares 0º É comutativo vecA cdot vecF vecF cdot vecA É distributivo vecC cdot vecA vecB vecC cdot vecA vecC cdot vecB Multiplicação por escalar avecA cdot vecF a vecA cdot vecA cdot vecFa Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Produto escalar Definição F k F j F i F z y x r r r r A k A j A i A z y x r r r r AF cos θ A F r r z F r F y x F A r A θ F k F j F i A k A j A i F A z y x z y x r r r r r r r r z z y y x x A F A F A F A F r r Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Produto escalar Definição F k F j F i F z y x r r r r A k A j A i A z y x r r r r AF cos θ A F r r z F r F y x F A r A θ F k F j F i A k A j A i F A z y x z y x r r r r r r r r z z y y x x A F A F A F A F r r 1 k k j j i i r r r r r r 0 j k i k j i r r r r r r Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações vecF Fxhati Fyhatj Fzhatk vecA Axhati Ayhatj Azhatk vecA cdot vecF A F cos heta vecA cdot vecF AxFx AyFy AzFz heta arccosleftfracvecA cdot vecFAFright heta arccosleftfracAxFx AyFy AzFzAFright Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja um vetor A com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja um vetor A com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam Qual será a magnitude da componente desse vetor nessa reta ou eixo Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja um vetor A com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam Qual será a magnitude da componente desse vetor nessa reta ou eixo Isso é conhecido como projeção do vetor A na direção de r Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Exemplos Determine a projeção das seguintes forças sobre as retas m N F 500 N A 200 m 50º m N F F Fm 321 4 cos 50 N A 200 15º N A A Am 193 2 cos 15 E se o ângulo não for conhecido Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A u A A cosα u A u A cosα u Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A cosα u u A cosα u A A u cosα Vetores cartesian os tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A u A A cosα u A A u cosα A A u Vetores cartesian os tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A u A A cosα u A A u cosα A A u A A u u Vetores cartesian os tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação A A u A A cosα u A A u cosα A A u A A u u Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação E a projeção perpendicular Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação E a projeção perpendicular A² A² A² A A² A² Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação E a projeção perpendicular A² A² A² A A² A² Como expressar a projeção perpendicular em forma vetorial Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F1 r Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F k j F F i F z y x r r r r Vetor cartesiano z1 F x1 F F F x x arccos θ F F y y arccos θ F F z z arccos θ F y1 Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F k F j F i F z y x r r r r Vetor cartesiano F Fx x arccos θ F F y y arccos θ F arccos F θ z1 F x1 F F Fz z arccos θ 1 1 y x θ θ Informações N F F 450 1 1 F y1 θ z1 45 º Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano Proj N sen F z 318 2 45 450 1 450 45 F z1 sen z1 F x1 F 450 Proj cos 45 Proj cos 30 F y1 N F y 275 6 1 Proj 30 F x1 sen N F x 159 1 1 318 2 N Proj k j i F r r r r 318 2 275 6 159 1 1 F y1 Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F2 r F k F j F i F z y x r r r r Vetor cartesiano F Fx x arccos θ F F y y arccos θ F arccos F θ z 2 F F x 2 F y 2 x 2 45 º θ Informações N F F 600 2 2 z 2 θ y 2 60 º θ F Fz z arccos θ Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano 2 cos 60 2 F F y N F y 300 2 2 cos 45 2 F F x N F x 424 3 2 1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 z y x θ θ θ z 2 F F x 2 y 2 F 1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 z y x θ θ θ 120 º 2 θ z b 60 º 2 a z θ 0 5 cos 2 z θ 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 cos y x z θ θ θ 60 cos 45 cos 1 cos 2 2 2 z θ k j i F r r r r 300 300 424 3 2 N F F z 300 2 cos 120 2 Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano z1 F x1 F z 2 F x 2 F y 2 F y1 F k N j i F r r r r 300 300 424 3 2 k N j i F r r r r 318 2 275 6 159 1 1 No espaço tridimensional os pontos são localizados em relação à origem das coordenadas O ponto A da figura por exemplo é referido como A18 20 15 significando que xA 18m yA 20m e zA 15m em relação ao ponto O0 0 0 z Vetor posição O vetor posição r é definido z y x A 2m 15m 18m O rr i r j r k r O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro ponto A e O neste exemplo Considerando os vetores unitários cartesianos i j e k z k y j x i r r r r r k j i rA r r r r 1 5 20 1 8 Vetor posição k z j y i x r A A A A r r r r Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 2 2 2 A A A A A z y x r r posição vetor rA u r r Módulo A A O rr módulo seu posição vetor A A r r ur j r 2 i r 81 k r 1 5 A O rr ur rr Vetor posição Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 k z j y i x r A A A A r r r r 2 2 2 A A A A A z y x r r posição vetor rA u r r Módulo A 1 5 k A O A rr ur A rr Componentes do vetor unitário k r z j r y i r x u A A A A A A r r r r A A A A A A r k z j y i x r r u r r r r r módulo seu posição vetor A A r r ur Vetor posição Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 A A A A k z j y i x r u r r r r r k z j y i x r A A A A r r r r 2 2 2 A A A A A z y x r r Módulo A 1 5 k A O A rr ur A rr k r z j r y i r x u A A A A A A r r r r A A A A A A r k z j y i x r r ur A A x r x arccos θ A A y r y arccos θ A A z r z arccos θ Ângulos diretores Componentes Vetor posição Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 A A A A k z j y i x r u r r r r r k z j y i x r A A A A r r r r 2 2 2 A A A A A z y x r r Módulo A 1 5 k A O ur A rr k r z j r y i r x u A A A A A A r r r r A A A A A A r k z j y i x r r ur A A x r x arccos θ A A y r y arccos θ A A z r z arccos θ Ângulos diretores Componentes θ x y θ θ z Vetor posição Vetor posição entre dois pontos A O k z j y i x r A A A A r r r r A rr A O B A AB rr A rr Brr k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A B AB r r r r r r Vetor posição Vetor posição entre dois pontos vecrA xA hati yA hatj zA hatk vecrB xB hati yB hatj zB hatk vecrB vecrA vecrAB herefore vecrAB vecrB vecrA AxA yA zA BxB yB zB Vetor posição orientado de A para B sentido Subtração de componentes ponto final ponto inicial Este vetor posição não passa pela origem O Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A Módulo do vetor posição entre os pontos A e B AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB AB z z y y x x r r r Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A Módulo do vetor posição entre os pontos A e B AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB AB z z y y x x r r r O módulo do vetor posição representa a distância entre os pontos A e B Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r Vetor posição unitário entre os pontos A e B Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r AB AB AB r r u r r módulo posição vetor Vetor posição unitário Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r 2 2 2 A B A B A B A B A B A B AB AB AB z z y y x x k z z j y y i x x r r u r r r r r Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r O A rr Brr B AB rr AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r AB AB AB u r r r r AB AB AB r r u r r Multiplicação de um vetor unitário pela distância entre os dois pontos A Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r O B AB AB AB u r r r r AB ur AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r AB AB AB u r r r r A AB u AB AB AB r r u r r Multiplicação de um vetor unitário pela distância entre os dois pontos Vetor força e vetor posição Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 O A Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 rr O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial 1 Definir o vetor posição entre dois pontos da reta sentido AB rr Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 rr O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial 1 Definir o vetor posição entre dois pontos da reta sentido 2 Determinar o vetor unitário direção da reta e da força AB rr AB ur Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial 1 Definir o vetor posição entre dois pontos da reta sentido 2 Determinar o vetor unitário direção da reta e da força 3 Combinar a intensidade da força com sua direção F r Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial F r AB AB AB r F r F u F r r r Multiplicação de um vetor unitário pela intensidade da força Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r AB rr Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r AB rr Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r AB ur Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final r Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final r Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força em uma direção arbitrária Projeção do vetor força Intensidade e representação cartesiana Generalizando z N F 400 Sejam a força F e uma reta r dada por dois pontos fora da linha de ação de F trecho x y O r B de F trecho OB Vetor força em uma direção arbitrária Projeção do vetor força Intensidade e representação cartesiana Generalizando Sejam a força F e uma reta r dada por dois pontos fora da linha de ação de F trecho z N F 400 de F trecho OB A projeção da força ou intensidade na direção da reta pode ser calculada como OB OB u F F r r x y O r B OB u F r Vetor força em uma direção arbitrária Projeção do vetor força Intensidade e representação cartesiana Generalizando Sejam a força F e uma reta r dada por dois pontos fora da linha de ação de F trecho z N F 400 de F trecho OB A projeção da força ou intensidade na direção da reta pode ser calculada como OB OB u F F r r e em forma vetorial cartesiana OB OB OB OB OB u u F u F F r r r r r x y O r B FOB r F r Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano F r AC ur Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur Neste caso temos a força em forma vetorial Também temos o vetor unitário que caracteriza a reta na qual queremos obter a projeção Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 Este é o valor da magnitude intensidade da projeção Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur AC AC AC u F F r r AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 E em forma vetorial Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur k j i u F F AC AC AC r r r r r 3 2 3 2 3 1 7 346 AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 k kN j i u F F AC AC AC r r r r r 231 1 231 1 115 6
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Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Espaço tridimensional é aquele que pode ser definido como tendo três dimensões Vetor cartesiano tridimensional é aquele vetor que pode ser representado em um espaço tridimensional z F r z z θ Vetores cartesianos unitários y x F F y x y θ x θ Ângulos diretores definem a direção do vetor São os ângulos formados com os eixos x y e z i r j r k r i r j e r k r Vetores cartesianos tridimensionais Regra da mão direita O polegar perpendicular ao plano xy aponta na direção positiva do eixo z Com a mão em L os 4 dedos apontam na direção do eixo x positivo Fechando a mão os 4 dedos apontam na direção do eixo y positivo Componentes cartesianas projeções Vetores cartesianos tridimensionais z F r z F r y x F r F y x F r F i Fx r j Fy r x F Fy Componentes cartesianas projeções Vetores cartesianos tridimensionais z F r x F k Fz r z F r y x F r F zF i Fx r y x F r F Vetores cartesianos tridimensionais Componentes z F r k Fz r z θ F k F j F i F r r r r Cartesianas z y x F F F F r r r r Retangulares y x F r i Fx r j Fy r F y θ z θ x θ F k F j F i F z y x r r r r Magnitude 2 2 2 z y x F F F F Vetores cartesianos tridimensionais Ângulos e cossenos diretores z F r k Fz r z θ Magnitude 2 2 2 z y x F F F F Ângulos e cossenos diretores y x F r i Fx r j Fy r F y θ z θ x θ F Fx x arccos θ F Fy y arccos θ F Fz z arccos θ Ângulos e cossenos diretores 1 cos cos cos 2 2 2 z y x θ θ θ Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Adição A k A j A i A z y x r r r r A k F j A F A i F A F z z y y x x r r r r r F k F j F i F z y x r r r r Adição A k F j A F A i F A F z z y y x x Subtração A k F j A F A i F A F z z y y x x r r r r r Multiplicação por um escalar c cF k cF j cF i c F z y x r r r r z y x k j i A F r r r r r Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Produto escalar Definição F k F j F i F z y x r r r r A k A j A i A z y x r r r r AF cos θ A F r r z F r F y x F A r A θ Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais vecF Fxhati Fyhatj Fzhatk vecA Axhati Ayhatj Azhatk Produto escalar Definição vecA cdot vecF A F cos heta Propriedades O resultado é um escalar Vale 0 para vetores ortogonais 90º Vale 1 para vetores unitários colineares 0º É comutativo vecA cdot vecF vecF cdot vecA É distributivo vecC cdot vecA vecB vecC cdot vecA vecC cdot vecB Multiplicação por escalar avecA cdot vecF a vecA cdot vecA cdot vecFa Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Produto escalar Definição F k F j F i F z y x r r r r A k A j A i A z y x r r r r AF cos θ A F r r z F r F y x F A r A θ F k F j F i A k A j A i F A z y x z y x r r r r r r r r z z y y x x A F A F A F A F r r Vetores cartesianos tridimensionais Operações com vetores tridimensionais Produto escalar Definição F k F j F i F z y x r r r r A k A j A i A z y x r r r r AF cos θ A F r r z F r F y x F A r A θ F k F j F i A k A j A i F A z y x z y x r r r r r r r r z z y y x x A F A F A F A F r r 1 k k j j i i r r r r r r 0 j k i k j i r r r r r r Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações vecF Fxhati Fyhatj Fzhatk vecA Axhati Ayhatj Azhatk vecA cdot vecF A F cos heta vecA cdot vecF AxFx AyFy AzFz heta arccosleftfracvecA cdot vecFAFright heta arccosleftfracAxFx AyFy AzFzAFright Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja um vetor A com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja um vetor A com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam Qual será a magnitude da componente desse vetor nessa reta ou eixo Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja um vetor A com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam Qual será a magnitude da componente desse vetor nessa reta ou eixo Isso é conhecido como projeção do vetor A na direção de r Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Exemplos Determine a projeção das seguintes forças sobre as retas m N F 500 N A 200 m 50º m N F F Fm 321 4 cos 50 N A 200 15º N A A Am 193 2 cos 15 E se o ângulo não for conhecido Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A u A A cosα u A u A cosα u Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A cosα u u A cosα u A A u cosα Vetores cartesian os tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A u A A cosα u A A u cosα A A u Vetores cartesian os tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação Seja A um vetor com origem em um ponto qualquer de uma reta r ou seja se interceptam A projeção em forma vetorial seria A A u A A cosα u A A u cosα A A u A A u u Vetores cartesian os tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação A A u A A cosα u A A u cosα A A u A A u u Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação E a projeção perpendicular Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação E a projeção perpendicular A² A² A² A A² A² Vetores cartesianos tridimensionais Produto escalar Aplicações Cálculo da componente de um vetor paralela a uma reta r de qualquer orientação E a projeção perpendicular A² A² A² A A² A² Como expressar a projeção perpendicular em forma vetorial Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F1 r Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F k j F F i F z y x r r r r Vetor cartesiano z1 F x1 F F F x x arccos θ F F y y arccos θ F F z z arccos θ F y1 Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F k F j F i F z y x r r r r Vetor cartesiano F Fx x arccos θ F F y y arccos θ F arccos F θ z1 F x1 F F Fz z arccos θ 1 1 y x θ θ Informações N F F 450 1 1 F y1 θ z1 45 º Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano Proj N sen F z 318 2 45 450 1 450 45 F z1 sen z1 F x1 F 450 Proj cos 45 Proj cos 30 F y1 N F y 275 6 1 Proj 30 F x1 sen N F x 159 1 1 318 2 N Proj k j i F r r r r 318 2 275 6 159 1 1 F y1 Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano F2 r F k F j F i F z y x r r r r Vetor cartesiano F Fx x arccos θ F F y y arccos θ F arccos F θ z 2 F F x 2 F y 2 x 2 45 º θ Informações N F F 600 2 2 z 2 θ y 2 60 º θ F Fz z arccos θ Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano 2 cos 60 2 F F y N F y 300 2 2 cos 45 2 F F x N F x 424 3 2 1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 z y x θ θ θ z 2 F F x 2 y 2 F 1 cos cos cos 2 2 2 2 2 2 z y x θ θ θ 120 º 2 θ z b 60 º 2 a z θ 0 5 cos 2 z θ 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 cos y x z θ θ θ 60 cos 45 cos 1 cos 2 2 2 z θ k j i F r r r r 300 300 424 3 2 N F F z 300 2 cos 120 2 Vetores cartesianos tridimensionais Exemplo expresse cada força que atua sobre o suporte como um vetor cartesiano z1 F x1 F z 2 F x 2 F y 2 F y1 F k N j i F r r r r 300 300 424 3 2 k N j i F r r r r 318 2 275 6 159 1 1 No espaço tridimensional os pontos são localizados em relação à origem das coordenadas O ponto A da figura por exemplo é referido como A18 20 15 significando que xA 18m yA 20m e zA 15m em relação ao ponto O0 0 0 z Vetor posição O vetor posição r é definido z y x A 2m 15m 18m O rr i r j r k r O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro ponto A e O neste exemplo Considerando os vetores unitários cartesianos i j e k z k y j x i r r r r r k j i rA r r r r 1 5 20 1 8 Vetor posição k z j y i x r A A A A r r r r Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 2 2 2 A A A A A z y x r r posição vetor rA u r r Módulo A A O rr módulo seu posição vetor A A r r ur j r 2 i r 81 k r 1 5 A O rr ur rr Vetor posição Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 k z j y i x r A A A A r r r r 2 2 2 A A A A A z y x r r posição vetor rA u r r Módulo A 1 5 k A O A rr ur A rr Componentes do vetor unitário k r z j r y i r x u A A A A A A r r r r A A A A A A r k z j y i x r r u r r r r r módulo seu posição vetor A A r r ur Vetor posição Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 A A A A k z j y i x r u r r r r r k z j y i x r A A A A r r r r 2 2 2 A A A A A z y x r r Módulo A 1 5 k A O A rr ur A rr k r z j r y i r x u A A A A A A r r r r A A A A A A r k z j y i x r r ur A A x r x arccos θ A A y r y arccos θ A A z r z arccos θ Ângulos diretores Componentes Vetor posição Vetor posição unitário na direção do vetor posição A O rr j r 2 i r 81 k r 1 5 A A A A k z j y i x r u r r r r r k z j y i x r A A A A r r r r 2 2 2 A A A A A z y x r r Módulo A 1 5 k A O ur A rr k r z j r y i r x u A A A A A A r r r r A A A A A A r k z j y i x r r ur A A x r x arccos θ A A y r y arccos θ A A z r z arccos θ Ângulos diretores Componentes θ x y θ θ z Vetor posição Vetor posição entre dois pontos A O k z j y i x r A A A A r r r r A rr A O B A AB rr A rr Brr k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A B AB r r r r r r Vetor posição Vetor posição entre dois pontos vecrA xA hati yA hatj zA hatk vecrB xB hati yB hatj zB hatk vecrB vecrA vecrAB herefore vecrAB vecrB vecrA AxA yA zA BxB yB zB Vetor posição orientado de A para B sentido Subtração de componentes ponto final ponto inicial Este vetor posição não passa pela origem O Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A Módulo do vetor posição entre os pontos A e B AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB AB z z y y x x r r r Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A Módulo do vetor posição entre os pontos A e B AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB AB z z y y x x r r r O módulo do vetor posição representa a distância entre os pontos A e B Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r Vetor posição unitário entre os pontos A e B Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r AB AB AB r r u r r módulo posição vetor Vetor posição unitário Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r O A rr Brr B rrAB k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r A AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r 2 2 2 A B A B A B A B A B A B AB AB AB z z y y x x k z z j y y i x x r r u r r r r r Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r O A rr Brr B AB rr AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r AB AB AB u r r r r AB AB AB r r u r r Multiplicação de um vetor unitário pela distância entre os dois pontos A Vetor posição Vetor posição entre dois pontos k z j y i x r A A A A r r r r k z j y i x r B B B B r r r r AB A B r r r r r r O B AB AB AB u r r r r AB ur AxA yA zA BxB yB zB k z z j y y i x x r A B A B A B AB r r r r AB A B A B AB r r r r r r 2 2 2 A B A B A B AB z z y y x x r AB AB AB u r r r r A AB u AB AB AB r r u r r Multiplicação de um vetor unitário pela distância entre os dois pontos Vetor força e vetor posição Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 O A Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 rr O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial 1 Definir o vetor posição entre dois pontos da reta sentido AB rr Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B N F 500 rr O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial 1 Definir o vetor posição entre dois pontos da reta sentido 2 Determinar o vetor unitário direção da reta e da força AB rr AB ur Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial 1 Definir o vetor posição entre dois pontos da reta sentido 2 Determinar o vetor unitário direção da reta e da força 3 Combinar a intensidade da força com sua direção F r Vetor força e vetor posição Freqüentemente a direção de uma força F de intensidade conhecida é definida por 2 pontos pelos quais passa sua linha de ação O B O A Como representar e ou expressar a força em forma vetorial F r AB AB AB r F r F u F r r r Multiplicação de um vetor unitário pela intensidade da força Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r AB rr Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r AB rr Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r AB ur Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final r Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final r Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força e vetor posição O homem puxa a corda com uma força de 70 lb Represente essa força sobre o suporte A como vetor cartesiano e determine sua direção A0 0 30 B12 8 6 Coordenadas das extremidades da corda Vetor posição A ponto inicial B final Vetor posição A ponto inicial B final k j i rAB r r r r 30 6 0 8 0 12 pés 24 8 12 k j i rAB r r r r 28 pés 24 8 12 2 2 2 AB r Vetor unitário 28 24 8 12 k j i r r u AB AB AB r r r r r Vetor força vetor cartesiano lb 60 20 30 70 k j i u F u F AB AB A r r r r r r F A r Vetor força em uma direção arbitrária Projeção do vetor força Intensidade e representação cartesiana Generalizando z N F 400 Sejam a força F e uma reta r dada por dois pontos fora da linha de ação de F trecho x y O r B de F trecho OB Vetor força em uma direção arbitrária Projeção do vetor força Intensidade e representação cartesiana Generalizando Sejam a força F e uma reta r dada por dois pontos fora da linha de ação de F trecho z N F 400 de F trecho OB A projeção da força ou intensidade na direção da reta pode ser calculada como OB OB u F F r r x y O r B OB u F r Vetor força em uma direção arbitrária Projeção do vetor força Intensidade e representação cartesiana Generalizando Sejam a força F e uma reta r dada por dois pontos fora da linha de ação de F trecho z N F 400 de F trecho OB A projeção da força ou intensidade na direção da reta pode ser calculada como OB OB u F F r r e em forma vetorial cartesiana OB OB OB OB OB u u F u F F r r r r r x y O r B FOB r F r Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano F r AC ur Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur Neste caso temos a força em forma vetorial Também temos o vetor unitário que caracteriza a reta na qual queremos obter a projeção Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 Este é o valor da magnitude intensidade da projeção Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur AC AC AC u F F r r AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 E em forma vetorial Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur k j i u F F AC AC AC r r r r r 3 2 3 2 3 1 7 346 AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 Vetor força em uma direção arbitrária Exemplo Determine a componente projetada da força F que atua ao longo da barra AC Expresse o resultado como um vetor cartesiano k j i u AC r r r r 3 2 3 2 3 1 k kN j i F r r r r 160 480 240 F r AC ur AC AC AC u F F F F r r r k j i k j i F AC r r r r r r 3 2 3 2 3 1 160 480 240 kN F AC 346 7 3 2 160 3 2 480 3 240 1 k kN j i u F F AC AC AC r r r r r 231 1 231 1 115 6