Exercícios sobre Áreas de Superfícies Geradas por Revolução

As deduções são análogas às usadas para as Fómulas 4 e 5 na Seção 65 do Volume 1 Use essas fórmulas nestes exercícios 75 Determine a área da superfície gerada fazendo girar a curva x r cos t y sen t 0 t 2 em torno do eixo x 76 Determine a área da superfície gerada fazendo girar a curva x cos t y sen t 0 t π2 em torno do eixo x 77 Determine a área da superfície gerada fazendo girar a curva x cos t y sen² t 0 t π2 em torno do eixo y uma equação em r e θ definimos o gráfico em coordenadas polares dessa equação como todos os pontos nos quais pelo menos um par de coordenadas r θ satisfaça a equação 78 Determine a área da superfície gerada fazendo girar a curva x 6 y 4t² 0 t 1 em torno do eixo y Especialmente importantes são as equações r fθ que expressam r como função de θ Uma maneira de fazer o gráfico de tal equação é escolher alguns valores típicos de θ calcular os correspondentes valores de r e então esboçar os pares r θ resultantes em um sistema de coordenadas polares 79 Fazendo girar o semicírculo x r cos t y r sen t 0 t π em torno do eixo x mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4 π r² Esses pontos estão plotados na Figura 10210 Observe que no entanto há 13 pontos na tabela mas somente 6 pontos distintos foram plotados Isso ocorre porque os pares a par 80 As equações x aφ a sen φ y a a cos φ 0 φ 2π representam um arco de uma cicoide Mostre que a área da superfície gerada pela revolução dessa curva em torno do eixo x é dada por S 6aπ7 Exemplo 8 Esboce o gráfico de r a1 cos θ em coordenadas polares supondo que a seja uma constante positiva 81 Texto Consulte alguma obra de referência apropriada e escreva um ensaio sobre o matemático norteamericano Nathaniel Bowditch 17731838 e suas investigações relativas às curvas de Bowditch mais conhecidas como curvas de Lissajous ver Exercício 55 Exemplo 9 Esboce o gráfico de r² 4 cos 2θ em coordenadas polares 82 Texto Quais são algumas das vantagens de expressar uma curva paramétrica em vez de no formato y fx FAMÍLIAS DE ROSEÇÕES Em coordenadas polares as equações da forma r a sen nθ ou r a cos nθ 67 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE COMPREENSÃO 101 Limacon com laco interno 1 x 3 2 cos t y 5 2 sen t 0 t 2π r 2 cos 502 2 ⅓ 275 3 x f1 t y g1 t 4 dydt dxdt gt ft 5 11t² cos² t dt 102 COORDENADAS POLARES Até agora especificamos a localização de um ponto no plano por meio de suas coordenadas relativas a dois eixos perpendiculares Porém às vezes um ponto em movimento tem uma afinidade especial com algum ponto fixo tal como um planeta em uma órbita sob a atração central do Sol Nesses casos a trajetória da partícula fica mais bem descrita por sua direção angular e sua distância de um ponto fixo Nesta seção discutiremos um novo tipo de sistema de coordenadas que é baseado nessa ideia SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Um sistema de coordenadas polares em um plano consiste em um ponto P chamado de polo ou origem e de um raio que parte do polo chamado de eixo polar Em tal sistema de coordenadas podemos associar a cada ponto P no plano um par de coordenadas polares r θ onde r é a distância de P ao polo e θ é o ângulo entre o eixo polar e o raio OP Figura 1021 O número r é chamado de coordenada radial de P enquanto que θ é a coordenada angular ou ângulo polar de P Na Figura 1022 os pontos 6 7π4 5 2π3 3 5π4 e 4 11π6 estão plotados em um sistema de coordenadas polares Se P for o polo então r 0 mas nesse caso não há uma definição clara do ângulo polar Vamos convencionar que qualquer ângulo possa ser usado nesse caso isto é 0 θ são as coordenadas polares do polo com qualquer escolha de θ Assim as coordenadas polares de um ponto não são únicas Por exemplo as coordenadas polares 1 7π4 1 π4 e 1 15π4 representam todas o mesmo ponto Figura 1023 Em geral se um ponto P tiver coordenadas polares r θ então r θ 2nπ e r θ π também são coordenadas polares de P com qualquer n inteiro não negativo Assim todo ponto P tem uma infinidade de coordenadas polares Conforme definido acima a coordenada radial r de um ponto P é não negativa pois representa a distância de P ao polo No entanto seria conveniente que r pudesse ser negativo Para motivar uma definição apropriada seja P o ponto com coordenadas polares 3 5π4 De acordo com a Figura 1024 podemos atingir este ponto rodando o eixo polar por um ângulo de 5π4 e movendose 3 unidades a partir do polo ao longo do lado final do ângulo ou então podemos atingir P rodando o eixo polar por um ângulo de π4 e movendose 3 unidades a partir do polo ao longo da extensão do lado final Isso serve para indicar que o ponto está sobre a extensão do lado final do ângulo em vez de estar no próprio lado do ângulo Em geral o lado final de um ângulo de θ π é a extensão do lado final de θ portanto são coordenadas polares do mesmo ponto RELAÇÕES ENTRE COORDENADAS POLARES E RETANGULARES É frequentemente útil sobrepor ao sistema de coordenadas retangulares xy de tal forma que o eixo x é positivo coincida com o eixo polar Se for feito cada ponto P terá coordenadas retangulares x y bem como coordenadas polares r θ Conforme sugere a Figura 1025 essas coordenadas estão relacionadas pelas equações x r cos θ y r sen θ 1 Essas equações permitem encontrar x e y quando forem dados r e θ Entretanto para encontrar r e θ a partir de x e y é preferível usar as identidades sen²θ cos²θ 1 e tg θ sen θcos θ Portanto r² x² y² tg θ yx são as fórmulas a serem usadas Exemplo 1 Encontre as coordenadas retangulares do ponto P cujas coordenadas polares são 6 2π3 Figura 1026 Solução Substituindo as coordenadas polares r 6 e θ 2π3 em 1 obtemos x 6 cos 2π3 612 3 y 6 sin 2π3 6 32 33 Portanto as coordenadas retangulares de P são 3 33 Exemplo 2 Encontre as coordenadas polares do ponto P cujas coordenadas retangulares são 2 23 Figura 1027 Solução Vamos encontrar as coordenadas polares r θ de P que satisfaçam as condições r 0 e 0 θ 2π Da primeira equação em 2 r² x² y² 2² 23² 4 12 16 logo r 4 Da segunda equação em 2 tg θ yx 232 3 Disso é do fato de 2 23 estar no segundo quadrante temse que o ângulo que satisfaça 0 θ 2π é θ 4π3 Assim as coordenadas polares de P são 4 4π3 Todas as demais coordenadas polares de P podem ser expressas como 4 4π3 2nπ ou 4 π3 2nπ onde n é um inteiro GRÁFICOS EM COORDENADAS POLARES Consideremos agora o problema de traçar o gráfico de equações em r e θ nas quais supomos que θ seja medido em radianos Alguns exemplos de tais equações são r 1 θ π4 r θ r sen θ r cos 2θ