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Matemática Aplicada ·
Matemática
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Análise Combinatória e Probabilidade\n\nAugusto César de Oliveira Morgado\nJoão Bosco Pitombeira de Carvalho\nPaulo Cesar Pinto Carvalho\nPedro Fernandez Conteúdo\n\n1. Introdução\n1.1 O que é Combinatória? 1\n1.2 Um Pouco de História 10\n1.3 Conjuntos 10\n\n2. Combinações e Permutações\n2.1 Introdução 17\n2.2 Permutações Simples 31\n2.3 Combinações Simples 41\n2.4 Permutações Circulares 45\n2.5 Permutações de Elementos em Todos Distintos 48\n2.6 Combinações Completas 48\n\n3. Outros Métodos de Contagem\n3.1 O Princípio da Inclusão-Exclusão 58\n3.2 Permutações Categóricas 62\n3.3 Os Lemas de Kaplansky 77\n3.4 O Princípio da Reflexão 77\n3.5 O princípio de Dirichlet 88\n\n4. Números Binomiais\n4.1 O Triângulo de Pascal 88\n4.2 O Binômio de Newton 94\n4.3 Polinômio de Leibniz 101\n\n5. Probabilidade\n5.1 Introdução 119\n5.2 Espaço Amostral e Probabilidades de Laplace 121\n5.3 Espaços de Probabilidade 126\n5.4 Probabilidades Condicionais 140\n5.5 A Distribuição Binomial 165 Apêndice 1 170\nApêndice 2 175\nApêndice 3 178\nRespostas dos Exercícios 180\nBibliografia 186\n\nPrefácio\n\nEste texto foi escrito como parte de um projeto de treinamento de professores de Matemática do 2º grau, financiado pela Fundação VITAE, e inciado no Rio de Janeiro, em junho de 1991. Agradecemos ainda a VITAE por esta iniciativa.\n\nA Análise Combinatória tem sido frequentemente indicada por professores do 2º grau como a parte de Matemáticas mais difícil de ensinar.\n\nApesar de replicar os problemas captados aos nossos alunos, e considerada uma disciplina complicada, em que alguns têm dificuldade de encontrar a formula correta para problemas. Neste texto incorporamos exemplos que os contemplam através de dois alegres princípios fundamentais, evitando assim, para os postulados, recorrer ao mais formal.\n\nO livro incorpora a experiência dos autores em ensinar Análise Combinatória a alunos de 2º grau, especialmente por parte do primeiro autor.\n\nRio de Janeiro, março de 1991.\n\nAugusto César de Oliveira Morgado\nJoão Bosco Pitombeira de Carvalho\nPaulo Cesar Pinto Carvalho\nPedro Fernandez Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A ∪ B o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B; e o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B, este conjunto é chamado suíte de A com B. Simbolicamente, \n\nA ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.\n\nA parte sombreada da Figura 1.2 ilustra o conjunto A ∪ B.\n\nA união de três conjuntos A, B, e C, é representada por A ∪ B ∪ C. \n\nMais geralmente, a união de n conjuntos A1, A2,..., An definida analiticamente é representada por\n\n∪ Ai.\n\nDados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto intersecção de A e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, \n\nA ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. No caso de termos por exemplo três conjuntos, A, B e C, a intersecção é representada por A ∩ B ∩ C:\n\nA ∩ B ∩ C = {x | x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C}.\n\nA intersecção de n conjuntos A1, A2,..., An é representada por\n\n∩ Ai.\n\nDizemos que dois conjuntos A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅. Quando temos mais de dois conjuntos, dizemos que eles são disjuntos quando nenhum deles contém a 2 a 2. A Figura 1.4 ilustra o caso de três conjuntos disjuntos.
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Análise Combinatória e Probabilidade\n\nAugusto César de Oliveira Morgado\nJoão Bosco Pitombeira de Carvalho\nPaulo Cesar Pinto Carvalho\nPedro Fernandez Conteúdo\n\n1. Introdução\n1.1 O que é Combinatória? 1\n1.2 Um Pouco de História 10\n1.3 Conjuntos 10\n\n2. Combinações e Permutações\n2.1 Introdução 17\n2.2 Permutações Simples 31\n2.3 Combinações Simples 41\n2.4 Permutações Circulares 45\n2.5 Permutações de Elementos em Todos Distintos 48\n2.6 Combinações Completas 48\n\n3. Outros Métodos de Contagem\n3.1 O Princípio da Inclusão-Exclusão 58\n3.2 Permutações Categóricas 62\n3.3 Os Lemas de Kaplansky 77\n3.4 O Princípio da Reflexão 77\n3.5 O princípio de Dirichlet 88\n\n4. Números Binomiais\n4.1 O Triângulo de Pascal 88\n4.2 O Binômio de Newton 94\n4.3 Polinômio de Leibniz 101\n\n5. Probabilidade\n5.1 Introdução 119\n5.2 Espaço Amostral e Probabilidades de Laplace 121\n5.3 Espaços de Probabilidade 126\n5.4 Probabilidades Condicionais 140\n5.5 A Distribuição Binomial 165 Apêndice 1 170\nApêndice 2 175\nApêndice 3 178\nRespostas dos Exercícios 180\nBibliografia 186\n\nPrefácio\n\nEste texto foi escrito como parte de um projeto de treinamento de professores de Matemática do 2º grau, financiado pela Fundação VITAE, e inciado no Rio de Janeiro, em junho de 1991. Agradecemos ainda a VITAE por esta iniciativa.\n\nA Análise Combinatória tem sido frequentemente indicada por professores do 2º grau como a parte de Matemáticas mais difícil de ensinar.\n\nApesar de replicar os problemas captados aos nossos alunos, e considerada uma disciplina complicada, em que alguns têm dificuldade de encontrar a formula correta para problemas. Neste texto incorporamos exemplos que os contemplam através de dois alegres princípios fundamentais, evitando assim, para os postulados, recorrer ao mais formal.\n\nO livro incorpora a experiência dos autores em ensinar Análise Combinatória a alunos de 2º grau, especialmente por parte do primeiro autor.\n\nRio de Janeiro, março de 1991.\n\nAugusto César de Oliveira Morgado\nJoão Bosco Pitombeira de Carvalho\nPaulo Cesar Pinto Carvalho\nPedro Fernandez Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A ∪ B o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B; e o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B, este conjunto é chamado suíte de A com B. Simbolicamente, \n\nA ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.\n\nA parte sombreada da Figura 1.2 ilustra o conjunto A ∪ B.\n\nA união de três conjuntos A, B, e C, é representada por A ∪ B ∪ C. \n\nMais geralmente, a união de n conjuntos A1, A2,..., An definida analiticamente é representada por\n\n∪ Ai.\n\nDados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto intersecção de A e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, \n\nA ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. No caso de termos por exemplo três conjuntos, A, B e C, a intersecção é representada por A ∩ B ∩ C:\n\nA ∩ B ∩ C = {x | x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C}.\n\nA intersecção de n conjuntos A1, A2,..., An é representada por\n\n∩ Ai.\n\nDizemos que dois conjuntos A e B são disjuntos se A ∩ B = ∅. Quando temos mais de dois conjuntos, dizemos que eles são disjuntos quando nenhum deles contém a 2 a 2. A Figura 1.4 ilustra o caso de três conjuntos disjuntos.