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4 2 5 1 0011 0010 Unidade V Interpolação Polinomial 4 2 5 1 0011 0010 SUMÁRIO INTRODUÇÃO PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO POLINÔMIO INTERPOLADOR TEOREMA EXISTÊNCIA E UNICIDADE FORMA DE LAGRANGE FORMA DE NEWTON FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 4 2 5 1 0011 0010 SUMÁRIO NEWTON GREGORY INTERPOLAÇÃO INVERSA 4 2 5 1 0011 0010 Introdução A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em certos pontos A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua 4 2 5 1 0011 0010 Um dos motivos desta aproximação é Estimar valores intermediários entre dados precisos EXEMPLO É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada 10 anos Portanto nos anos em que é realizado o censo temse dados precisos da população do país Os valores do número de habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de uma interpolação 4 2 5 1 0011 0010 Problema Geral da Interpolação Considere a tabela abaixo com n1 pontos distintos x x0 x1 x2 xn fx fx0 fx1 fx2 fxn A interpolação de fx consiste em se obter uma função gx tal que 1 1 0 0 n n f x x g f x x g f x x g 4 2 5 1 0011 0010 Graficamente fx gx x0 fx0 x1 fx1 x2 fx2 x3 fx3 x4 fx4 x5 fx5 fx x x0 x1 x2 x3 x4 x5 4 2 5 1 0011 0010 Nesta unidade consideraremos que gx pertence à classe das funções polinomiais OBSERVAÇÃO Existem outras formas de interpolação polinomial como por exemplo a fórmula de Taylor para a qual as condições de interpolação são outras Assim como gx foi escolhida entre as funções polinomiais poderíamos ter escolhido gx como função racional função trigonométrica etc 4 2 5 1 0011 0010 Polinômio interpolador Consideremos o intervalo a b R os pontos x0 x1 xn a b e uma função f cujos valores são conhecidos naqueles pontos Um polinômio P de grau menor do que ou igual a n que satisfaz Pxi fxi i 0 1 2 n chamase polinômio interpolador de f nos pontos x0 x1 xn 4 2 5 1 0011 0010 Dado um conjunto de n 1 pontos distintos isto é xk fk k 0 1 n com xk xj para k j Existe um único polinômio px de grau menor ou igual a n tal que pxk fxk fk para k 0 1 2 n Teorema Existência e Unicidade DEMONSTRAÇÃO 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo Vamos achar uma aproximação para f03 usando o polinômio interpolador dos dados abaixo xk 00 02 04 fk 400 384 376 Como temos três pontos n 1 3 o grau do polinômio será menor ou igual a dois Logo px a0 a1x a2x2 4 2 5 1 0011 0010 Impondo a condição pxk fk obtemos 2 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 40 40 40 76 3 20 20 20 84 3 0 0 0 00 4 a a a p f a a a p f a a a p f Assim temos 1 1 4 3 76 0 16 40 3 84 0 04 20 4 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 a a a a a a a a a a Logo px x2 x 4 Desta forma para x 03 0 04 teremos f03 p03 379 4 2 5 1 0011 0010 Vamos considerar o conjunto de n1 pontos xk fk k 0 1 2 n distintos e vamos considerar o polinômio representado por n k k k n n n f L x f L x f L x f L x x p 0 1 1 0 0 onde Lkx é um polinômio de grau n que satisfaz a relação j k se j se k x L j k 1 0 Com isto temos que pnxj f0L0xj f1L1xj fjLjxj fnLnxj pnxj fj 4 2 5 1 0011 0010 Logo pnx satisfaz a condição de interpolação sendo assim o polinômio interpolador de fx nos pontos x0 x1 xn Os polinômios Lkx são chamados de polinômios de Lagrange e estes são obtidos da seguinte forma 1 1 1 0 1 1 1 0 n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L x 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo anterior e determinar uma aproximação para f03 usando a forma de Lagrange xk 00 02 04 fk 400 384 376 Calculando os Lkx temos 62 0 08 1 20 0 40 40 20 0 40 0 04 1 40 0 20 20 40 0 0 08 60 0 08 1 40 20 0 0 40 20 2 1 2 0 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 0 1 2 2 0 1 0 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x x L 4 2 5 1 0011 0010 2 2 1 1 0 0 f x L x f x L x f x L x pn x Fazendo Obtemos px x2 x 4 Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema linear Isto já era esperado pois o polinômio interpolador é único Desta forma para x 03 0 04 teremos f03 p03 379 4 2 5 1 0011 0010 Forma de Newton OPÇÃO 1 OPÇÃO 2 4 2 5 1 0011 0010 Nesta unidade será visto outro método de determinar o polinômio de interpolação Tal polinômio será chamado de Polinômio de Newton A expressão do polinômio de Newton é dada por x x x x x d x x x x d x x d x d P x n n n 1 1 0 1 0 2 0 1 0 onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios x x0 x x0 x x1 x x0 x x1 x xn1 são chamados de diferenças divididas 4 2 5 1 0011 0010 Como pnx0 fx0 fx0 d0 x x x x x d x x x x d x x d x d P x n n n 1 1 0 1 0 2 0 1 0 é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0 x1 xn então pnxi fxi 0 i n Assim pnx1 fx1 fx1 d0 d1x1 x0 d1 0 1 0 1 x x f x x f pnx2 fx2 fx2 d0 d1x2 x0 d2x2 x0 x2 x1 d2 x x x x x x x f x x f x x x x x f x x f 1 2 0 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 2 0 2 fx0 x1 4 2 5 1 0011 0010 x x f x x f x f x x x x x x f x x f x x f x x f x x x x x x x x f x f x x x f x x f x x x x x x x f x x f x x x f x f x f x x f x x x x x x x x x f x x f x x x x x f x f x d 2 1 0 1 0 2 1 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 0 2 0 1 0 2 1 2 0 1 1 2 1 2 0 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 4 2 5 1 0011 0010 0 1 1 0 2 1 1 0 x x x f x x x f x x x x x f i i i i x x f x x d x f x x d f x x f x d f x d n n n 1 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 0 0 Diferenças divididas CASO GERAL Podese mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades x x f x x x f x x j n j j n n 1 0 1 1 0 onde j é uma permutação do conjunto 0 1 n 1 2 4 2 5 1 0011 0010 Desta forma o polinômio de Newton é expresso por x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x f x x P n n n n 0 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma tabela recursiva Como exemplo será apresentado uma tabela envolvendo diferenças divididas até ordem 4 4 2 5 1 0011 0010 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4 x0 x0 f x1 x0 f 1x f 1x 0 1 2 x x x f f x2 x1 0 1 2 3 x x x x f x2 f x2 1 2 3 x x f x 0 1 2 3 4 x x x x x f f x3 x2 1 2 3 4 x x x x f x3 f x3 2 3 4 x x x f x4 x3 f x4 f x4 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo Encontre o polinômio Pnx com n 2 que interpole os pontos os pontos tabelados abaixo utilizando a forma de Newton x 00 02 04 f 400 384 376 1 0 0 1 2 0 0 1 0 2 x x x x x x f x x x x f x f x P x Temos que As diferenças divididas podem ser dadas pela tabela recursiva 4 2 5 1 0011 0010 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 0 4 08 02 384 10 04 04 376 80 0 20 4 3 84 0 1 0 1 0 1 x x f x f x x x f 40 20 40 3 84 3 76 1 2 1 2 1 2 x x f x f x x x f 01 0 40 80 40 0 2 0 1 1 2 0 1 2 x x f x x f x x f x x x 4 2 5 1 0011 0010 Assim 1 0 0 1 2 0 0 1 0 2 x x x x x x f x x x x f x f x P x 4 4 20 80 20 0 1 0 80 4 2 2 2 2 2 x x x P x x x x P x x x x P Portanto obtemos P2x x2 x 4 conforme os exemplos anteriores 4 2 5 1 0011 0010 ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 0 nx x x Teorema Seja fx derivadas contínuas até ordem n 1 Sejam x0 x1 xn n 1 pontos distintos da função Seja pnx o polinômio que interpola fx nestes pontos Então o erro de truncamento da interpolação polinomial vale x p f x x E n n 1 0 1 1 0 n n n n x x x n x f x x x x x x x E INT INV N G 4 2 5 1 0011 0010 A equação 1 0 1 1 0 n n n n x x x n x f x x x x x x x E tem uso limitado na prática pois raramente ξ é conhecido Sua principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para as fórmulas de interpolação integração e diferenciação numérica Assim é usual trabalhar com uma cota superior de erro de truncamento dada por 1 max 0 1 n n I t n n x x I t t f n x x E 4 2 5 1 0011 0010 Caso a expressão fx não seja conhecida o erro pode ser estimado através do maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem n 1 isto é 1 max f ordem n x x E n n pois x x x n x x f x x x x x E x n n n n 0 1 1 0 1 e 1 0 1 0 x x x f x x x x x x x x E n n n Logo x x x f x n x f n n 1 0 1 1 4 2 5 1 0011 0010 INTERPOLAÇÃO INVERSA 4 2 5 1 0011 0010 Sejam conhecidos n 1 pontos distintos 0 a b x n i f x i i i O problema da interpolação inversa consiste em 0 nf y f x y f x dado obter talque x pn nx x x 1 0 x y pn x Umasoluçãopara este problema é obter pontos e em seguida encontrar talque que interpola fx nos Neste caso não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do erro cometido As equações permitem medir o erro ao se aproximar fx por pn x e não o erro ao se aproximar x 4 2 5 1 0011 0010 y 1 g y y f x Interpolação inversa Considerando que fx seja inversível em um intervalo contendo podese fazer a interpolação de Uma condição para que uma função contínua num intervalo a b seja inversível é que seja monótona crescente ou decrescente neste intervalo 4 2 5 1 0011 0010 y f x pn y 1 g y y f 0 nf f Se fx é inversível o problema de se obter resolvido obtendose que interpola o intervalo Para isto basta considerar x como uma função de y e aplicar algum dos métodos estudados para interpolação é facilmente sobre p y g y x n 4 2 5 1 0011 0010 max 1 0 1 1 0 n n I t n n f f I t t g n f y f y f y y E Desta forma o erro de truncamento cometido pode ser medido utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente Uma estimativa para o erro é dada por 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo 1 Dada a tabela abaixo encontrar tal que fx 13165 x Como 13165 12214 13499 usaremos interpolação linear sobre x0 02 x1 03 x 0 01 02 03 04 05 y ex 10 11052 12214 13499 14918 16487 4 2 5 1 0011 0010 Assim 0 9644 285x 1 2 6998 3 6642 13499x 214x 12 10 20 1 3499 x 10 30 2214 x 1 x x x f x x x x x f x x x p 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 27401 x 285 1 0 9644 13165 x 13165 0 9644 1 285x 13165 x p Logo 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo 2 Dada a tabela x 0 01 02 03 04 05 y ex 10 11052 12214 13499 14918 16487 Obter x tal que ex 13165 usando um processo de interpolação quadrática 4 2 5 1 0011 0010 Usaremos a forma de Newton para p2y que interpola f1y Assim vamos construir a tabela de diferenças divididas 50 6487 1 0 6373 40 4918 1 0 2256 0 7047 30 3499 1 0 1081 0 2718 0 7782 20 2214 1 0 1679 1994 0 3 0 3367 4065 0 2 0 8606 9506 0 1 10 0 0 1 1052 1 Ordem Ordem Ordem Ordem y 4 2 5 1 0011 0010 0 27487 3165 1 0 2718 1 3499 1 2214 1 2214 0 7782 20 2 2 2 1 0 1 0 1 0 0 0 2 p y y y y p y y y g y y y y y g y y y g y y p Assim Logo e027487 13165 Uma estimativa do erro pode ser dada por E 13165 1221413165 1349913165 14918 max g ordem 3 000055681201994 0000111028
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4 2 5 1 0011 0010 Unidade V Interpolação Polinomial 4 2 5 1 0011 0010 SUMÁRIO INTRODUÇÃO PROBLEMA GERAL DA INTERPOLAÇÃO POLINÔMIO INTERPOLADOR TEOREMA EXISTÊNCIA E UNICIDADE FORMA DE LAGRANGE FORMA DE NEWTON FORMULA DE NEWTON PARA O POLINÔMIO INTERPOLADOR ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 4 2 5 1 0011 0010 SUMÁRIO NEWTON GREGORY INTERPOLAÇÃO INVERSA 4 2 5 1 0011 0010 Introdução A interpolação consiste em determinar uma função que assume valores conhecidos em certos pontos A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua 4 2 5 1 0011 0010 Um dos motivos desta aproximação é Estimar valores intermediários entre dados precisos EXEMPLO É sabido que no Brasil é realizado censo geral a cada 10 anos Portanto nos anos em que é realizado o censo temse dados precisos da população do país Os valores do número de habitantes em anos intermediários pode ser estimado através de uma interpolação 4 2 5 1 0011 0010 Problema Geral da Interpolação Considere a tabela abaixo com n1 pontos distintos x x0 x1 x2 xn fx fx0 fx1 fx2 fxn A interpolação de fx consiste em se obter uma função gx tal que 1 1 0 0 n n f x x g f x x g f x x g 4 2 5 1 0011 0010 Graficamente fx gx x0 fx0 x1 fx1 x2 fx2 x3 fx3 x4 fx4 x5 fx5 fx x x0 x1 x2 x3 x4 x5 4 2 5 1 0011 0010 Nesta unidade consideraremos que gx pertence à classe das funções polinomiais OBSERVAÇÃO Existem outras formas de interpolação polinomial como por exemplo a fórmula de Taylor para a qual as condições de interpolação são outras Assim como gx foi escolhida entre as funções polinomiais poderíamos ter escolhido gx como função racional função trigonométrica etc 4 2 5 1 0011 0010 Polinômio interpolador Consideremos o intervalo a b R os pontos x0 x1 xn a b e uma função f cujos valores são conhecidos naqueles pontos Um polinômio P de grau menor do que ou igual a n que satisfaz Pxi fxi i 0 1 2 n chamase polinômio interpolador de f nos pontos x0 x1 xn 4 2 5 1 0011 0010 Dado um conjunto de n 1 pontos distintos isto é xk fk k 0 1 n com xk xj para k j Existe um único polinômio px de grau menor ou igual a n tal que pxk fxk fk para k 0 1 2 n Teorema Existência e Unicidade DEMONSTRAÇÃO 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo Vamos achar uma aproximação para f03 usando o polinômio interpolador dos dados abaixo xk 00 02 04 fk 400 384 376 Como temos três pontos n 1 3 o grau do polinômio será menor ou igual a dois Logo px a0 a1x a2x2 4 2 5 1 0011 0010 Impondo a condição pxk fk obtemos 2 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 40 40 40 76 3 20 20 20 84 3 0 0 0 00 4 a a a p f a a a p f a a a p f Assim temos 1 1 4 3 76 0 16 40 3 84 0 04 20 4 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 a a a a a a a a a a Logo px x2 x 4 Desta forma para x 03 0 04 teremos f03 p03 379 4 2 5 1 0011 0010 Vamos considerar o conjunto de n1 pontos xk fk k 0 1 2 n distintos e vamos considerar o polinômio representado por n k k k n n n f L x f L x f L x f L x x p 0 1 1 0 0 onde Lkx é um polinômio de grau n que satisfaz a relação j k se j se k x L j k 1 0 Com isto temos que pnxj f0L0xj f1L1xj fjLjxj fnLnxj pnxj fj 4 2 5 1 0011 0010 Logo pnx satisfaz a condição de interpolação sendo assim o polinômio interpolador de fx nos pontos x0 x1 xn Os polinômios Lkx são chamados de polinômios de Lagrange e estes são obtidos da seguinte forma 1 1 1 0 1 1 1 0 n k k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L x 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo Vamos considerar a tabela de pontos do exemplo anterior e determinar uma aproximação para f03 usando a forma de Lagrange xk 00 02 04 fk 400 384 376 Calculando os Lkx temos 62 0 08 1 20 0 40 40 20 0 40 0 04 1 40 0 20 20 40 0 0 08 60 0 08 1 40 20 0 0 40 20 2 1 2 0 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 0 1 2 2 0 1 0 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x x L x x x x x x x x x x x x x L 4 2 5 1 0011 0010 2 2 1 1 0 0 f x L x f x L x f x L x pn x Fazendo Obtemos px x2 x 4 Observe que o polinômio é o mesmo que foi obtido via sistema linear Isto já era esperado pois o polinômio interpolador é único Desta forma para x 03 0 04 teremos f03 p03 379 4 2 5 1 0011 0010 Forma de Newton OPÇÃO 1 OPÇÃO 2 4 2 5 1 0011 0010 Nesta unidade será visto outro método de determinar o polinômio de interpolação Tal polinômio será chamado de Polinômio de Newton A expressão do polinômio de Newton é dada por x x x x x d x x x x d x x d x d P x n n n 1 1 0 1 0 2 0 1 0 onde os coeficientes da combinação linear dos polinômios x x0 x x0 x x1 x x0 x x1 x xn1 são chamados de diferenças divididas 4 2 5 1 0011 0010 Como pnx0 fx0 fx0 d0 x x x x x d x x x x d x x d x d P x n n n 1 1 0 1 0 2 0 1 0 é o polinômio interpolador de f pelos pontos x0 x1 xn então pnxi fxi 0 i n Assim pnx1 fx1 fx1 d0 d1x1 x0 d1 0 1 0 1 x x f x x f pnx2 fx2 fx2 d0 d1x2 x0 d2x2 x0 x2 x1 d2 x x x x x x x f x x f x x x x x f x x f 1 2 0 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 2 0 2 fx0 x1 4 2 5 1 0011 0010 x x f x x f x f x x x x x x f x x f x x f x x f x x x x x x x x f x f x x x f x x f x x x x x x x f x x f x x x f x f x f x x f x x x x x x x x x f x x f x x x x x f x f x d 2 1 0 1 0 2 1 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 0 2 0 1 0 2 1 2 0 1 1 2 1 2 0 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 2 0 1 0 2 0 1 1 2 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 4 2 5 1 0011 0010 0 1 1 0 2 1 1 0 x x x f x x x f x x x x x f i i i i x x f x x d x f x x d f x x f x d f x d n n n 1 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 0 0 Diferenças divididas CASO GERAL Podese mostrar que o operador diferenças divididas tem as seguintes propriedades x x f x x x f x x j n j j n n 1 0 1 1 0 onde j é uma permutação do conjunto 0 1 n 1 2 4 2 5 1 0011 0010 Desta forma o polinômio de Newton é expresso por x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x f x x P n n n n 0 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 As diferenças divididas são facilmente calculadas através de uma tabela recursiva Como exemplo será apresentado uma tabela envolvendo diferenças divididas até ordem 4 4 2 5 1 0011 0010 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4 x0 x0 f x1 x0 f 1x f 1x 0 1 2 x x x f f x2 x1 0 1 2 3 x x x x f x2 f x2 1 2 3 x x f x 0 1 2 3 4 x x x x x f f x3 x2 1 2 3 4 x x x x f x3 f x3 2 3 4 x x x f x4 x3 f x4 f x4 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo Encontre o polinômio Pnx com n 2 que interpole os pontos os pontos tabelados abaixo utilizando a forma de Newton x 00 02 04 f 400 384 376 1 0 0 1 2 0 0 1 0 2 x x x x x x f x x x x f x f x P x Temos que As diferenças divididas podem ser dadas pela tabela recursiva 4 2 5 1 0011 0010 x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 0 4 08 02 384 10 04 04 376 80 0 20 4 3 84 0 1 0 1 0 1 x x f x f x x x f 40 20 40 3 84 3 76 1 2 1 2 1 2 x x f x f x x x f 01 0 40 80 40 0 2 0 1 1 2 0 1 2 x x f x x f x x f x x x 4 2 5 1 0011 0010 Assim 1 0 0 1 2 0 0 1 0 2 x x x x x x f x x x x f x f x P x 4 4 20 80 20 0 1 0 80 4 2 2 2 2 2 x x x P x x x x P x x x x P Portanto obtemos P2x x2 x 4 conforme os exemplos anteriores 4 2 5 1 0011 0010 ESTUDO DO ERRO DE TRUNCAMENTO NA INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 0 nx x x Teorema Seja fx derivadas contínuas até ordem n 1 Sejam x0 x1 xn n 1 pontos distintos da função Seja pnx o polinômio que interpola fx nestes pontos Então o erro de truncamento da interpolação polinomial vale x p f x x E n n 1 0 1 1 0 n n n n x x x n x f x x x x x x x E INT INV N G 4 2 5 1 0011 0010 A equação 1 0 1 1 0 n n n n x x x n x f x x x x x x x E tem uso limitado na prática pois raramente ξ é conhecido Sua principal aplicação é na estimativa do erro de truncamento para as fórmulas de interpolação integração e diferenciação numérica Assim é usual trabalhar com uma cota superior de erro de truncamento dada por 1 max 0 1 n n I t n n x x I t t f n x x E 4 2 5 1 0011 0010 Caso a expressão fx não seja conhecida o erro pode ser estimado através do maior valor absoluto das diferenças divididas de ordem n 1 isto é 1 max f ordem n x x E n n pois x x x n x x f x x x x x E x n n n n 0 1 1 0 1 e 1 0 1 0 x x x f x x x x x x x x E n n n Logo x x x f x n x f n n 1 0 1 1 4 2 5 1 0011 0010 INTERPOLAÇÃO INVERSA 4 2 5 1 0011 0010 Sejam conhecidos n 1 pontos distintos 0 a b x n i f x i i i O problema da interpolação inversa consiste em 0 nf y f x y f x dado obter talque x pn nx x x 1 0 x y pn x Umasoluçãopara este problema é obter pontos e em seguida encontrar talque que interpola fx nos Neste caso não é possível fazer nem mesmo uma estimativa do erro cometido As equações permitem medir o erro ao se aproximar fx por pn x e não o erro ao se aproximar x 4 2 5 1 0011 0010 y 1 g y y f x Interpolação inversa Considerando que fx seja inversível em um intervalo contendo podese fazer a interpolação de Uma condição para que uma função contínua num intervalo a b seja inversível é que seja monótona crescente ou decrescente neste intervalo 4 2 5 1 0011 0010 y f x pn y 1 g y y f 0 nf f Se fx é inversível o problema de se obter resolvido obtendose que interpola o intervalo Para isto basta considerar x como uma função de y e aplicar algum dos métodos estudados para interpolação é facilmente sobre p y g y x n 4 2 5 1 0011 0010 max 1 0 1 1 0 n n I t n n f f I t t g n f y f y f y y E Desta forma o erro de truncamento cometido pode ser medido utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente Uma estimativa para o erro é dada por 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo 1 Dada a tabela abaixo encontrar tal que fx 13165 x Como 13165 12214 13499 usaremos interpolação linear sobre x0 02 x1 03 x 0 01 02 03 04 05 y ex 10 11052 12214 13499 14918 16487 4 2 5 1 0011 0010 Assim 0 9644 285x 1 2 6998 3 6642 13499x 214x 12 10 20 1 3499 x 10 30 2214 x 1 x x x f x x x x x f x x x p 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 27401 x 285 1 0 9644 13165 x 13165 0 9644 1 285x 13165 x p Logo 4 2 5 1 0011 0010 Exemplo 2 Dada a tabela x 0 01 02 03 04 05 y ex 10 11052 12214 13499 14918 16487 Obter x tal que ex 13165 usando um processo de interpolação quadrática 4 2 5 1 0011 0010 Usaremos a forma de Newton para p2y que interpola f1y Assim vamos construir a tabela de diferenças divididas 50 6487 1 0 6373 40 4918 1 0 2256 0 7047 30 3499 1 0 1081 0 2718 0 7782 20 2214 1 0 1679 1994 0 3 0 3367 4065 0 2 0 8606 9506 0 1 10 0 0 1 1052 1 Ordem Ordem Ordem Ordem y 4 2 5 1 0011 0010 0 27487 3165 1 0 2718 1 3499 1 2214 1 2214 0 7782 20 2 2 2 1 0 1 0 1 0 0 0 2 p y y y y p y y y g y y y y y g y y y g y y p Assim Logo e027487 13165 Uma estimativa do erro pode ser dada por E 13165 1221413165 1349913165 14918 max g ordem 3 000055681201994 0000111028