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4 2 5 1 0011 0010 NORMA DE MATRIZES P3 P2 0 0 1 B A B A A A A A P Euclidiana Norma linha Norma coluna Norma 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 max max n i m j ij m j ij m i n i ij m j a A a A a A Uma norma em 𝑅𝑛𝑥𝑚 é um operador que satisfaz as seguintes propriedades As normas matriciais mais usadas são 4 2 5 1 0011 0010 Euclidiana Norma Norma linha max coluna Norma 2 1 1 2 2 1 1 1 n i i i n i n i i X X X X X X A norma vetorial é um caso particular da norma matricial 4 2 5 1 0011 0010 0 lim X X k k O conceito de norma nos permite definir a convergência de uma sequência de vetores Xk Dizemos que XkX se onde X é a solução exata do sistema linear 4 2 5 1 0011 0010 INTRODUÇÃO A ideia central dos métodos iterativos é generalizar o Método Iterativo Linear Considerando um sistema linear Ax b onde A matriz de coeficientes n x n x vetor de variáveis n x 1 b vetor independente n x 1 4 2 5 1 0011 0010 Tal sistema linear pode ser escrito na forma equivalente onde C matriz com dimensões n x n d vetor com dimensões n x 1 x Cx d 4 2 5 1 0011 0010 Partindo de um vetor x0 constróise uma sequência iterativa de vetores De um modo geral a aproximação xk1 é dada por 1ª aproximação 2ª aproximação x1 Cx0 d x2 Cx1 d xn Cxn1 d d Cx x k k 1 4 2 5 1 0011 0010 MÉTODO ITERATIVO DE GAUSSJACOBI 4 2 5 1 0011 0010 Seja o sistema linear n n nn n n n n n n n b a x a x a x x a b a x a x a x x a b a x a x a x x a 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 23 21 1 2 22 2 1 3 13 2 12 1 11 1 n nn n n n nn n n n n n x a a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x Supondo aii 0 i 1n o método consiste em isolar o vetor x mediante a separação pela diagonal da seguinte forma 4 2 5 1 0011 0010 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 23 21 1 2 22 1 2 1 3 13 2 12 1 11 1 1 k n nn k n k n n nn k n k n n k k k k n n k k k x a a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x Portanto o algoritmo de GaussJacobi é escrito da seguinte forma Dada uma aproximação inicial X0 O Método de GJ consiste em obter seqüência X1 Xk através da relação recursiva Xk1 CXk d 4 2 5 1 0011 0010 Desta forma temse que a matriz C e o vetor d são dados por 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 C nn n3 nn n2 nn 1 n 33 3n 33 32 33 31 22 2n 22 23 22 21 11 1n 11 13 11 12 n ann b a b a b a b d 33 3 22 2 11 1 4 2 5 1 0011 0010 EXEMPLO Encontre a matriz C e o vetor d para o sistema abaixo ቊ 𝟐𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟑 𝒙𝟏 𝟑𝒙𝟐 𝟐 4 2 5 1 0011 0010 CRITÉRIO DE PARADA O processo iterativo é repetido até que o vetor xk esteja suficientemente próximo do vetor xk1 4 2 5 1 0011 0010 Com isto podemos definir os critérios de parada dado um e 0 Número máximo de iterações max do Resíduo Teste Erro Relativo Absoluto Erro 1 1 1 k k AX b X X X X X k k k k k k e e e 4 2 5 1 0011 0010 CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA Seja o sistema equivalente x Cx d Dependendo da forma da matriz C a sequência xk pode ou não convergir para a solução do sistema Uma condição suficiente mas não necessária de convergência é dada pelo seguinte teorema 4 2 5 1 0011 0010 TEOREMA 1 O processo iterativo xk1 Cxk d gera uma sequência xk que converge para a solução se para qualquer norma de matrizes C 1 4 2 5 1 0011 0010 Note que o critério de convergência não depende do vetor inicial X0 A escolha de X0 influencia apenas no número de iterações necessárias para atingir a precisão desejada Se a matriz A for diagonalmente dominante o critério das linhas é satisfeito e o método converge 4 2 5 1 0011 0010 INTRODUÇÃO Observando as equações de iteração no método deGaussJacobi notase que na iteração de ordem k1 são usadas as componentes xj k da iteração anterior 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 23 21 1 2 22 1 2 1 3 13 2 12 1 11 1 k n nn k n k n n nn k n k n n k k k k n n k k 1 k x a a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x 4 2 5 1 0011 0010 No Método de GaussSeidel com o objetivo de acelerar a convergência as componentes xj da iteração k1 já atualizadas são utilizadas na mesma iteração k1 Assim o algoritmo de GS é dado por 4 2 5 1 0011 0010 𝑥1 𝑘1 1 𝑎11 𝑏1 𝑎12𝑥2 𝑘 𝑎13𝑥3 𝑘 𝑎14𝑥4 𝑘 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑘 𝑥2 𝑘1 1 𝑎22 𝑏2 𝑎21𝑥1 𝑘1 𝑎23𝑥3 𝑘 𝑎24𝑥4 𝑘 𝑎2𝑛𝑥𝑛 𝑘 𝑥3 𝑘1 1 𝑎33 𝑏3 𝑎31𝑥1 𝑘1 𝑎32𝑥2 𝑘1 𝑎34𝑥4 𝑘 𝑎3𝑛𝑥𝑛 𝑘 𝑥𝑛𝑛 𝑘1 1 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛1𝑥1 𝑘1 𝑎𝑛2𝑥2 𝑘1 𝑎𝑛3𝑥3 𝑘1 𝑎𝑛𝑛1𝑥𝑛1 𝑘1 4 2 5 1 0011 0010 CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA Critério de Sassenfeld 4 2 5 1 0011 0010 Seja o sistema linear 11 1 14 13 12 1 a a a a a n n n nn n n n n n n n b a x a x a x x a b a x a x a x x a b a x a x a x x a 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 definindo 22 2 24 23 1 21 2 a a a a a n 4 2 5 1 0011 0010 Definese j j n 1max Se β1 então o Método de GaussSeidel gera uma sequência convergente para a solução do sistema qualquer que seja o vetor inicial Além disso quanto menor for o valor de β mais rápida é a convergência jj jn jj j jj j j j a a a a a a 1 1 1 2 2 1 1 para j 2 3 n
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4 2 5 1 0011 0010 NORMA DE MATRIZES P3 P2 0 0 1 B A B A A A A A P Euclidiana Norma linha Norma coluna Norma 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 max max n i m j ij m j ij m i n i ij m j a A a A a A Uma norma em 𝑅𝑛𝑥𝑚 é um operador que satisfaz as seguintes propriedades As normas matriciais mais usadas são 4 2 5 1 0011 0010 Euclidiana Norma Norma linha max coluna Norma 2 1 1 2 2 1 1 1 n i i i n i n i i X X X X X X A norma vetorial é um caso particular da norma matricial 4 2 5 1 0011 0010 0 lim X X k k O conceito de norma nos permite definir a convergência de uma sequência de vetores Xk Dizemos que XkX se onde X é a solução exata do sistema linear 4 2 5 1 0011 0010 INTRODUÇÃO A ideia central dos métodos iterativos é generalizar o Método Iterativo Linear Considerando um sistema linear Ax b onde A matriz de coeficientes n x n x vetor de variáveis n x 1 b vetor independente n x 1 4 2 5 1 0011 0010 Tal sistema linear pode ser escrito na forma equivalente onde C matriz com dimensões n x n d vetor com dimensões n x 1 x Cx d 4 2 5 1 0011 0010 Partindo de um vetor x0 constróise uma sequência iterativa de vetores De um modo geral a aproximação xk1 é dada por 1ª aproximação 2ª aproximação x1 Cx0 d x2 Cx1 d xn Cxn1 d d Cx x k k 1 4 2 5 1 0011 0010 MÉTODO ITERATIVO DE GAUSSJACOBI 4 2 5 1 0011 0010 Seja o sistema linear n n nn n n n n n n n b a x a x a x x a b a x a x a x x a b a x a x a x x a 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 23 21 1 2 22 2 1 3 13 2 12 1 11 1 n nn n n n nn n n n n n x a a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x Supondo aii 0 i 1n o método consiste em isolar o vetor x mediante a separação pela diagonal da seguinte forma 4 2 5 1 0011 0010 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 23 21 1 2 22 1 2 1 3 13 2 12 1 11 1 1 k n nn k n k n n nn k n k n n k k k k n n k k k x a a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x Portanto o algoritmo de GaussJacobi é escrito da seguinte forma Dada uma aproximação inicial X0 O Método de GJ consiste em obter seqüência X1 Xk através da relação recursiva Xk1 CXk d 4 2 5 1 0011 0010 Desta forma temse que a matriz C e o vetor d são dados por 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 C nn n3 nn n2 nn 1 n 33 3n 33 32 33 31 22 2n 22 23 22 21 11 1n 11 13 11 12 n ann b a b a b a b d 33 3 22 2 11 1 4 2 5 1 0011 0010 EXEMPLO Encontre a matriz C e o vetor d para o sistema abaixo ቊ 𝟐𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝟑 𝒙𝟏 𝟑𝒙𝟐 𝟐 4 2 5 1 0011 0010 CRITÉRIO DE PARADA O processo iterativo é repetido até que o vetor xk esteja suficientemente próximo do vetor xk1 4 2 5 1 0011 0010 Com isto podemos definir os critérios de parada dado um e 0 Número máximo de iterações max do Resíduo Teste Erro Relativo Absoluto Erro 1 1 1 k k AX b X X X X X k k k k k k e e e 4 2 5 1 0011 0010 CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA Seja o sistema equivalente x Cx d Dependendo da forma da matriz C a sequência xk pode ou não convergir para a solução do sistema Uma condição suficiente mas não necessária de convergência é dada pelo seguinte teorema 4 2 5 1 0011 0010 TEOREMA 1 O processo iterativo xk1 Cxk d gera uma sequência xk que converge para a solução se para qualquer norma de matrizes C 1 4 2 5 1 0011 0010 Note que o critério de convergência não depende do vetor inicial X0 A escolha de X0 influencia apenas no número de iterações necessárias para atingir a precisão desejada Se a matriz A for diagonalmente dominante o critério das linhas é satisfeito e o método converge 4 2 5 1 0011 0010 INTRODUÇÃO Observando as equações de iteração no método deGaussJacobi notase que na iteração de ordem k1 são usadas as componentes xj k da iteração anterior 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 23 21 1 2 22 1 2 1 3 13 2 12 1 11 1 k n nn k n k n n nn k n k n n k k k k n n k k 1 k x a a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x 4 2 5 1 0011 0010 No Método de GaussSeidel com o objetivo de acelerar a convergência as componentes xj da iteração k1 já atualizadas são utilizadas na mesma iteração k1 Assim o algoritmo de GS é dado por 4 2 5 1 0011 0010 𝑥1 𝑘1 1 𝑎11 𝑏1 𝑎12𝑥2 𝑘 𝑎13𝑥3 𝑘 𝑎14𝑥4 𝑘 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑘 𝑥2 𝑘1 1 𝑎22 𝑏2 𝑎21𝑥1 𝑘1 𝑎23𝑥3 𝑘 𝑎24𝑥4 𝑘 𝑎2𝑛𝑥𝑛 𝑘 𝑥3 𝑘1 1 𝑎33 𝑏3 𝑎31𝑥1 𝑘1 𝑎32𝑥2 𝑘1 𝑎34𝑥4 𝑘 𝑎3𝑛𝑥𝑛 𝑘 𝑥𝑛𝑛 𝑘1 1 𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛1𝑥1 𝑘1 𝑎𝑛2𝑥2 𝑘1 𝑎𝑛3𝑥3 𝑘1 𝑎𝑛𝑛1𝑥𝑛1 𝑘1 4 2 5 1 0011 0010 CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA Critério de Sassenfeld 4 2 5 1 0011 0010 Seja o sistema linear 11 1 14 13 12 1 a a a a a n n n nn n n n n n n n b a x a x a x x a b a x a x a x x a b a x a x a x x a 3 3 2 2 1 1 2 2 3 23 2 22 1 21 1 1 3 13 2 12 1 11 definindo 22 2 24 23 1 21 2 a a a a a n 4 2 5 1 0011 0010 Definese j j n 1max Se β1 então o Método de GaussSeidel gera uma sequência convergente para a solução do sistema qualquer que seja o vetor inicial Além disso quanto menor for o valor de β mais rápida é a convergência jj jn jj j jj j j j a a a a a a 1 1 1 2 2 1 1 para j 2 3 n