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Prof Dr Thomás Lima de Resende Instituto de Ciência Engenharia e Tecnologia Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri Campus Mucuri Teófilo Otoni MG thomaslimaufvjmedubr Maio de 2023 Parte 7 Cálculo das armaduras de flexão fck 50 MPa Estruturas de concreto metálicas e de madeira ECV113 20222 Dimensionamento a flexão Hipóteses básicas para o cálculo εc2 αcfcd ou 09 αcfcd λx DIAGRAMA RETANGULAR EQUIVALENTE É no estádio III que é feito o dimensionamento cálculo na rupturaELU Dimensionamento à flexão no ELU αcfcd Hipóteses básicas para o cálculo 085fcd Zonas comprimidas de largura constante ou crescente no sentido das fibras mais comprimidas 080fcd Zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas Hipóteses básicas para o cálculo Hipóteses básicas para o cálculo 𝑭𝒄 𝑭𝒔 𝑴𝒅 𝑭𝒔𝒛 𝑴𝒅 𝑭𝒄𝒛 Dimensionamento à flexão 𝐹𝑐 𝐹𝑠 ሻ 𝐹𝑐 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ሻ 𝐹𝑠 𝐴𝑠𝑓𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 Logo 𝐴𝑠𝑓𝑠 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 Isolando x 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Dimensionamento à flexão 𝑀𝑑 𝐹𝑐𝑧 ሻ 𝐹𝑐 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 𝑧 𝑑 04𝑥 ሻ 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑068𝑥 𝑑 04𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Dimensionamento à flexão ሻ 𝑀𝑑 068𝑥𝑑 0272𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 𝑥 068𝑑 068𝑑 2 4 0272 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 0544 Dimensionamento à flexão 𝑀𝑑 𝐹𝑠𝑧 𝑀𝑑 𝐴𝑠𝑓𝑠𝑧 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑒 𝑜 𝑎ç𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑜𝑢ሻ Logo 𝐴𝑠 𝑀𝑑 𝑧𝑓𝑦𝑑 𝑎ç𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑑𝑜ሻ Relação xd 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 εc εs Dimensionamento à flexão 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 Relação xd a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites ቁ 𝑥 𝑑 045 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Domínios de de formação Domínios de deformação Limite entre domínios 1 e 2 εc 0 𝒙 𝒅 𝟎 𝟎𝟏𝟎 0 εs 10 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 Domínios de deformação Domínios de deformação Limite entre domínios 2 e 3 εc 35 𝒙 𝒅 𝟑𝟓 𝟑𝟓𝟏𝟎 0259 εs 10 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 Domínios de deformação Domínios de deformação Limite entre domínios 3 e 4 εcu 35 𝒙 𝒅 𝟑𝟓 𝟑𝟓𝟐𝟎𝟕 0628 εyd 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 CA 50 fyd 500MPa115 4348 MPa σ Eε fyd Eεyd 4348 210000εyd εyd 207 Domínios de deformação Domínios de deformação Para flexão ቁ 𝑥 𝑑 045 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Domínio 2 ou parte do 3 Domínios de deformação Exemplo Uma determinada viga de seção transversal 14 x 40 cm² tem 2ϕ125 mm de armadura longitudinal tracionada 2ϕ50 para porta estribos estribo simples de ϕ5 mm e cobrimento de 30 mm Sendo fck 20 MPa e aço CA50 pedese a deformação específica na armadura longitudinal tracionada e no bordo mais comprimido do concreto 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Admitindo incialmente que fs fyd 𝐴𝑠 𝐴𝑠 2 π1252 4 𝐴𝑠 245 𝑐𝑚² 𝑥 245 50 115 068 14 2 14 783 cm Exemplo 𝑑 40 3 05 0625 359 cm 𝑑 𝑥 𝑑 𝜀𝑐 𝜀𝑐 𝜀𝑠 𝑥 783 𝑐𝑚 𝑥 𝑑 783 359 0218 Domínio 2 εs 10 Hipótese fs fyd ok 𝑥 𝑑 𝜀𝑐 𝜀𝑐 𝜀𝑠 0218 𝜀𝑐 𝜀𝑐 10 𝜺𝒄 𝟐 𝟕𝟗 Altura útil mínima fck 50 MPa ሻ 𝑀𝑑 068𝑥𝑑 0272𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Para ሻ x 045d 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ቁ 𝑥 𝑑 045 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ሻ 𝑀𝑑 068045𝑑ሻ𝑑 0272045𝑑ሻ2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Substituindo na eq Isolando d 𝒅 𝟐 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒇𝒄𝒅 Momento resistente seção retangular ሻ 𝑀𝑑 068045𝑑ሻ𝑑 0272045𝑑ሻ2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Limite da compressão do concreto Momento resistente seção retangular ሻ 𝐹𝑐 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ሻ 𝐹𝑠 𝐴𝑠𝑓𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 Logo 𝐴𝑠𝑓𝑠 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 Isolando x 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Conhecida As armadura simples Momento resistente seção retangular Calcular xd Verificar se o aço escoou ou não Atenção a relação xd xd 045 𝑀𝑑 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑𝑧 Para xd 045 Se xd 045 Mdlim Exemplo Seja uma viga com a seção transversal e As 2ϕ20 mm dada na figura abaixo Sendo fck 25 MPa e aço CA50 qual é o momento fletor resistente positivo desta seção atendendo a ABNT NBR 61182014 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Admitindo incialmente que fs fyd 𝐴𝑠 2 π 22 4 628 𝑐𝑚² 𝑥 628 50 115 068 20 25 14 112 𝑐𝑚 𝑥 𝑑 112 45 025 Domínio 2 𝑀𝑑 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑𝑧 𝑀𝑑𝑅 628 50 115 45 04 112ሻ 𝑴𝒅𝑹 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝒌𝑵𝒄𝒎 Fórmulas adimensionais 𝑏𝑤𝑑²𝑓𝑐𝑑 Dividindo ambos os lados por Adotando ሻ 𝑀𝑑 068𝑥𝑑 0272𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑑2𝑓𝑐𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥 𝑑 2 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 𝑲𝑿 Τ 𝒙 𝒅 Fórmulas adimensionais Substituindo em 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑑2𝑓𝑐𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥 𝑑 2 Temse 𝐾𝑀𝐷 068𝐾𝑋 0272𝐾𝑋2 Isolando KX 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 Fórmulas adimensionais Sabemos que Chamando e 𝐴𝑠 𝑀𝑑 𝑧𝑓𝑦𝑑 Onde 𝑧 𝑑 04𝑥 𝐾𝑍 Τ 𝑧 𝑑 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 Temse que 𝐾𝑍 𝑧 𝑑 𝑑 04𝑥 𝑑 1 04𝐾𝑋 Fórmulas adimensionais Sabemos que logo 𝐾𝑍 1 04𝐾𝑋 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 𝑲𝒁 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟐 Resumo 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 𝑲𝒁 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟐 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝒅 𝟐 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒇𝒄𝒅 Se KX 045 armadura dupla 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Exemplo Seja uma viga submetida a um momento fetor positivo característico de 11000kNcm Sendo fck 30 MPa e aço CA50 pedese as dimensões da seção transversal e área de aço 𝑴𝒅 𝟏 𝟒𝑴𝒌 𝟏 𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎𝒌𝑵𝒄𝒎 𝒅 𝟐 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒇𝒄𝒅 𝟐 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟐𝟓 𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟑𝟎 𝟏𝟒 𝒅 𝟒𝟑 𝟖 𝒄𝒎 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅 𝟎 𝟗𝒉 𝒉 𝟒𝟖 𝟕 𝒄𝒎 𝒉 𝟓𝟎 𝒄𝒎 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄 𝟑 𝒄𝒎 ϕ𝒆𝒔𝒕 𝟔 𝟑 𝒎𝒎 𝒆 ϕ𝒍 𝟐𝟎 𝒎𝒎 𝒅 𝟓𝟎 𝟑 𝟎 𝟔𝟑 𝟐 𝟐 𝟒𝟓 𝟒 𝒄𝒎 𝟎 𝟗𝟏𝒉ሻ Exemplo Seja uma viga submetida a um momento fetor positivo característico de 11000kNcm Sendo fck 30 MPa e aço CA50 pedese as dimensões da seção transversal e área de aço 𝑴𝒅 𝟏 𝟒𝑴𝒌 𝟏 𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎𝒌𝑵𝒄𝒎 𝒉 𝟓𝟎 𝒄𝒎 𝒅 𝟒𝟓 𝟒 𝒄𝒎 𝒃𝒘 𝟏𝟓 𝒄𝒎 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 15400 15 4542 314 0232 𝑲𝒁 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟐 𝟏 𝟏𝟐𝟑𝟓𝟐𝟎𝟐𝟑𝟐 𝟐 0837 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 𝟏 𝟏𝟐𝟑𝟓𝟐𝟎𝟐𝟑𝟐 𝟎𝟖 041 Domínio 3 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 𝟎 𝟖𝟑𝟕 𝟒𝟓 𝟒 𝟓𝟎 𝟏 𝟏𝟓 𝟗 𝟑𝟐 𝒄𝒎² 𝟐ϕ𝟐𝟓𝒎𝒎 98cm² Armadura dupla Se KX der maior que 045 Md Mdlim ARMADURA DUPLA 𝑭𝒔 𝑭𝒔 𝑭𝒄 Armadura dupla Armadura dupla M1 Mdlim é a parte do momento resistido pelo concreto 𝑨𝒔𝟏 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝐾𝑍 1 04𝐾𝑋 1 04 045 082 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Armadura dupla M2 Md Mdlim é a diferença entre o momento fletor solicitante de cálculo e o resistido pelo concreto 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅𝟐 𝒛𝒇𝒚𝒅 Onde Z d d É necessário adicionar área de aço comprimida As de modo que a força nesta armadura seja igual a gerada pela As2 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 Armadura dupla Área de aço tracionada total 𝐴𝑠𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 082𝑑𝑓𝑦𝑑 𝑀𝑑 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑑 𝑓𝑦𝑑 Armadura dupla Área de aço comprimida É preciso conhecer a deformação na armadura comprimida para conhecer fs Por semelhança de triângulo obtémse 𝐴𝑠2𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑨𝒔 𝑨𝒔𝟐𝒇𝒚𝒅 𝒇𝒔 𝜀𝑠 35 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥𝑙𝑖𝑚 Armadura dupla Exemplo Seja uma viga submetida a um Md 63kNm positivo calcular a área de aço necessária considerando bw 12 cm e d 29 cm Considerar fck 20MPa e aço CA50 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏 𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟐𝟗𝟐 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟒 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟑𝟔 𝟐𝒌𝑵𝒎 𝑴𝒅 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒖𝒑𝒍𝒂 Exemplo 𝑨𝒔𝟏 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝑨𝒔𝟏 𝟑𝟔𝟐𝟎 𝟎 𝟖𝟐 𝟐𝟗 𝟓𝟎 𝟏 𝟏𝟓 𝟑 𝟓𝟎 𝒄𝒎² Parcela de compressão resistida pelo concreto Exemplo 𝑴𝒅𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 63 362 268kNm 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅𝟐 𝒛𝒇𝒚𝒅 Considerando c 25 cm φest 63 mm e φl 10 mm 𝒅 𝟐 𝟓 𝟎 𝟔𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟗𝟑 𝒄𝒎 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 Exemplo 𝑴𝒅𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 63 362 268kNm 𝑨𝒔𝟐 𝟐𝟔𝟖𝟎 𝟐𝟗 𝟑 𝟗𝟑 𝟓𝟎 𝟏 𝟏𝟓 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 𝑨𝒔𝟐 𝟐 𝟒𝟔 𝒄𝒎² 𝑨𝒔𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝑨𝒔𝟏 𝑨𝒔𝟐 350 246 596 cm² Exemplo Exemplo Falta adicionar a armadura de compressão para o equilíbrio de força da área de aço As2 𝐴𝑠2𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 Precisamos saber qual será a tensão de fs 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝐾𝑋𝑙𝑖𝑚𝑑 35 045 29 393 045 29 𝜀𝑠 35 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝜀𝑠 244 207 Exemplo Portanto 𝐴𝑠2𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑓𝑠 𝑓𝑦𝑑 Logo 𝑨𝒔 𝑨𝒔𝟐 246 cm² Astotal 596 cm² As 246 cm² Seção T É muito comum a viga de seção T quando se considera a contribuição de lajes maciças apoiadas em viga de seção retangular Seção T É muito importante observar que a laje deve estar obrigatoriamente no lado da viga inferior ou superior submetido às tensões normais de compressão Se a laje estiver no lado tracionado a sua contribuição à flexão não existirá Seção T
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Prof Dr Thomás Lima de Resende Instituto de Ciência Engenharia e Tecnologia Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri Campus Mucuri Teófilo Otoni MG thomaslimaufvjmedubr Maio de 2023 Parte 7 Cálculo das armaduras de flexão fck 50 MPa Estruturas de concreto metálicas e de madeira ECV113 20222 Dimensionamento a flexão Hipóteses básicas para o cálculo εc2 αcfcd ou 09 αcfcd λx DIAGRAMA RETANGULAR EQUIVALENTE É no estádio III que é feito o dimensionamento cálculo na rupturaELU Dimensionamento à flexão no ELU αcfcd Hipóteses básicas para o cálculo 085fcd Zonas comprimidas de largura constante ou crescente no sentido das fibras mais comprimidas 080fcd Zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas Hipóteses básicas para o cálculo Hipóteses básicas para o cálculo 𝑭𝒄 𝑭𝒔 𝑴𝒅 𝑭𝒔𝒛 𝑴𝒅 𝑭𝒄𝒛 Dimensionamento à flexão 𝐹𝑐 𝐹𝑠 ሻ 𝐹𝑐 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ሻ 𝐹𝑠 𝐴𝑠𝑓𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 Logo 𝐴𝑠𝑓𝑠 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 Isolando x 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Dimensionamento à flexão 𝑀𝑑 𝐹𝑐𝑧 ሻ 𝐹𝑐 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 𝑧 𝑑 04𝑥 ሻ 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑068𝑥 𝑑 04𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Dimensionamento à flexão ሻ 𝑀𝑑 068𝑥𝑑 0272𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 𝑥 068𝑑 068𝑑 2 4 0272 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 0544 Dimensionamento à flexão 𝑀𝑑 𝐹𝑠𝑧 𝑀𝑑 𝐴𝑠𝑓𝑠𝑧 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑒 𝑜 𝑎ç𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑜𝑢ሻ Logo 𝐴𝑠 𝑀𝑑 𝑧𝑓𝑦𝑑 𝑎ç𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑑𝑜ሻ Relação xd 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 εc εs Dimensionamento à flexão 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 Relação xd a capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites ቁ 𝑥 𝑑 045 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Domínios de de formação Domínios de deformação Limite entre domínios 1 e 2 εc 0 𝒙 𝒅 𝟎 𝟎𝟏𝟎 0 εs 10 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 Domínios de deformação Domínios de deformação Limite entre domínios 2 e 3 εc 35 𝒙 𝒅 𝟑𝟓 𝟑𝟓𝟏𝟎 0259 εs 10 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 Domínios de deformação Domínios de deformação Limite entre domínios 3 e 4 εcu 35 𝒙 𝒅 𝟑𝟓 𝟑𝟓𝟐𝟎𝟕 0628 εyd 𝒙 𝒅 𝜺𝒄 𝜺𝒄 𝜺𝒔 CA 50 fyd 500MPa115 4348 MPa σ Eε fyd Eεyd 4348 210000εyd εyd 207 Domínios de deformação Domínios de deformação Para flexão ቁ 𝑥 𝑑 045 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Domínio 2 ou parte do 3 Domínios de deformação Exemplo Uma determinada viga de seção transversal 14 x 40 cm² tem 2ϕ125 mm de armadura longitudinal tracionada 2ϕ50 para porta estribos estribo simples de ϕ5 mm e cobrimento de 30 mm Sendo fck 20 MPa e aço CA50 pedese a deformação específica na armadura longitudinal tracionada e no bordo mais comprimido do concreto 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Admitindo incialmente que fs fyd 𝐴𝑠 𝐴𝑠 2 π1252 4 𝐴𝑠 245 𝑐𝑚² 𝑥 245 50 115 068 14 2 14 783 cm Exemplo 𝑑 40 3 05 0625 359 cm 𝑑 𝑥 𝑑 𝜀𝑐 𝜀𝑐 𝜀𝑠 𝑥 783 𝑐𝑚 𝑥 𝑑 783 359 0218 Domínio 2 εs 10 Hipótese fs fyd ok 𝑥 𝑑 𝜀𝑐 𝜀𝑐 𝜀𝑠 0218 𝜀𝑐 𝜀𝑐 10 𝜺𝒄 𝟐 𝟕𝟗 Altura útil mínima fck 50 MPa ሻ 𝑀𝑑 068𝑥𝑑 0272𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 Para ሻ x 045d 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ቁ 𝑥 𝑑 045 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ሻ 𝑀𝑑 068045𝑑ሻ𝑑 0272045𝑑ሻ2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Substituindo na eq Isolando d 𝒅 𝟐 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒇𝒄𝒅 Momento resistente seção retangular ሻ 𝑀𝑑 068045𝑑ሻ𝑑 0272045𝑑ሻ2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Limite da compressão do concreto Momento resistente seção retangular ሻ 𝐹𝑐 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 ሻ 𝐹𝑠 𝐴𝑠𝑓𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 Logo 𝐴𝑠𝑓𝑠 085𝑓𝑐𝑑 𝑏𝑤 08𝑥 Isolando x 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Conhecida As armadura simples Momento resistente seção retangular Calcular xd Verificar se o aço escoou ou não Atenção a relação xd xd 045 𝑀𝑑 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑𝑧 Para xd 045 Se xd 045 Mdlim Exemplo Seja uma viga com a seção transversal e As 2ϕ20 mm dada na figura abaixo Sendo fck 25 MPa e aço CA50 qual é o momento fletor resistente positivo desta seção atendendo a ABNT NBR 61182014 𝑥 𝐴𝑠𝑓𝑠 068𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 Admitindo incialmente que fs fyd 𝐴𝑠 2 π 22 4 628 𝑐𝑚² 𝑥 628 50 115 068 20 25 14 112 𝑐𝑚 𝑥 𝑑 112 45 025 Domínio 2 𝑀𝑑 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑𝑧 𝑀𝑑𝑅 628 50 115 45 04 112ሻ 𝑴𝒅𝑹 𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝒌𝑵𝒄𝒎 Fórmulas adimensionais 𝑏𝑤𝑑²𝑓𝑐𝑑 Dividindo ambos os lados por Adotando ሻ 𝑀𝑑 068𝑥𝑑 0272𝑥2 𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑐𝑘 50 𝑀𝑃𝑎 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑑2𝑓𝑐𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥 𝑑 2 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 𝑲𝑿 Τ 𝒙 𝒅 Fórmulas adimensionais Substituindo em 𝑀𝑑 𝑏𝑤𝑑2𝑓𝑐𝑑 068 𝑥 𝑑 0272 𝑥 𝑑 2 Temse 𝐾𝑀𝐷 068𝐾𝑋 0272𝐾𝑋2 Isolando KX 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 Fórmulas adimensionais Sabemos que Chamando e 𝐴𝑠 𝑀𝑑 𝑧𝑓𝑦𝑑 Onde 𝑧 𝑑 04𝑥 𝐾𝑍 Τ 𝑧 𝑑 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 Temse que 𝐾𝑍 𝑧 𝑑 𝑑 04𝑥 𝑑 1 04𝐾𝑋 Fórmulas adimensionais Sabemos que logo 𝐾𝑍 1 04𝐾𝑋 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 𝑲𝒁 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟐 Resumo 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 𝑲𝒁 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟐 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝒅 𝟐 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒇𝒄𝒅 Se KX 045 armadura dupla 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Exemplo Seja uma viga submetida a um momento fetor positivo característico de 11000kNcm Sendo fck 30 MPa e aço CA50 pedese as dimensões da seção transversal e área de aço 𝑴𝒅 𝟏 𝟒𝑴𝒌 𝟏 𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎𝒌𝑵𝒄𝒎 𝒅 𝟐 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒇𝒄𝒅 𝟐 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟐𝟓 𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟑𝟎 𝟏𝟒 𝒅 𝟒𝟑 𝟖 𝒄𝒎 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅 𝟎 𝟗𝒉 𝒉 𝟒𝟖 𝟕 𝒄𝒎 𝒉 𝟓𝟎 𝒄𝒎 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄 𝟑 𝒄𝒎 ϕ𝒆𝒔𝒕 𝟔 𝟑 𝒎𝒎 𝒆 ϕ𝒍 𝟐𝟎 𝒎𝒎 𝒅 𝟓𝟎 𝟑 𝟎 𝟔𝟑 𝟐 𝟐 𝟒𝟓 𝟒 𝒄𝒎 𝟎 𝟗𝟏𝒉ሻ Exemplo Seja uma viga submetida a um momento fetor positivo característico de 11000kNcm Sendo fck 30 MPa e aço CA50 pedese as dimensões da seção transversal e área de aço 𝑴𝒅 𝟏 𝟒𝑴𝒌 𝟏 𝟒 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎𝒌𝑵𝒄𝒎 𝒉 𝟓𝟎 𝒄𝒎 𝒅 𝟒𝟓 𝟒 𝒄𝒎 𝒃𝒘 𝟏𝟓 𝒄𝒎 𝑲𝑴𝑫 𝑴𝒅 𝒃𝒘𝒅2𝒇𝒄𝒅 15400 15 4542 314 0232 𝑲𝒁 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟐 𝟏 𝟏𝟐𝟑𝟓𝟐𝟎𝟐𝟑𝟐 𝟐 0837 𝑲𝑿 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝟓𝟐𝑲𝑴𝑫 𝟎 𝟖 𝟏 𝟏𝟐𝟑𝟓𝟐𝟎𝟐𝟑𝟐 𝟎𝟖 041 Domínio 3 𝑨𝒔 𝑴𝒅 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝟏𝟓𝟒𝟎𝟎 𝟎 𝟖𝟑𝟕 𝟒𝟓 𝟒 𝟓𝟎 𝟏 𝟏𝟓 𝟗 𝟑𝟐 𝒄𝒎² 𝟐ϕ𝟐𝟓𝒎𝒎 98cm² Armadura dupla Se KX der maior que 045 Md Mdlim ARMADURA DUPLA 𝑭𝒔 𝑭𝒔 𝑭𝒄 Armadura dupla Armadura dupla M1 Mdlim é a parte do momento resistido pelo concreto 𝑨𝒔𝟏 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝐾𝑍 1 04𝐾𝑋 1 04 045 082 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Armadura dupla M2 Md Mdlim é a diferença entre o momento fletor solicitante de cálculo e o resistido pelo concreto 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅𝟐 𝒛𝒇𝒚𝒅 Onde Z d d É necessário adicionar área de aço comprimida As de modo que a força nesta armadura seja igual a gerada pela As2 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 Armadura dupla Área de aço tracionada total 𝐴𝑠𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 082𝑑𝑓𝑦𝑑 𝑀𝑑 𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑑 𝑓𝑦𝑑 Armadura dupla Área de aço comprimida É preciso conhecer a deformação na armadura comprimida para conhecer fs Por semelhança de triângulo obtémse 𝐴𝑠2𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑨𝒔 𝑨𝒔𝟐𝒇𝒚𝒅 𝒇𝒔 𝜀𝑠 35 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥𝑙𝑖𝑚 Armadura dupla Exemplo Seja uma viga submetida a um Md 63kNm positivo calcular a área de aço necessária considerando bw 12 cm e d 29 cm Considerar fck 20MPa e aço CA50 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏 𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟐𝟗𝟐 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟒 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝟑𝟔 𝟐𝒌𝑵𝒎 𝑴𝒅 𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒖𝒑𝒍𝒂 Exemplo 𝑨𝒔𝟏 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑲𝒁𝒅𝒇𝒚𝒅 𝑨𝒔𝟏 𝟑𝟔𝟐𝟎 𝟎 𝟖𝟐 𝟐𝟗 𝟓𝟎 𝟏 𝟏𝟓 𝟑 𝟓𝟎 𝒄𝒎² Parcela de compressão resistida pelo concreto Exemplo 𝑴𝒅𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 63 362 268kNm 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅𝟐 𝒛𝒇𝒚𝒅 Considerando c 25 cm φest 63 mm e φl 10 mm 𝒅 𝟐 𝟓 𝟎 𝟔𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟗𝟑 𝒄𝒎 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 Exemplo 𝑴𝒅𝟐 𝑴𝒅 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 63 362 268kNm 𝑨𝒔𝟐 𝟐𝟔𝟖𝟎 𝟐𝟗 𝟑 𝟗𝟑 𝟓𝟎 𝟏 𝟏𝟓 𝑨𝒔𝟐 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝑴𝒅𝒍𝒊𝒎 𝒅 𝒅 𝒇𝒚𝒅 𝑨𝒔𝟐 𝟐 𝟒𝟔 𝒄𝒎² 𝑨𝒔𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝑨𝒔𝟏 𝑨𝒔𝟐 350 246 596 cm² Exemplo Exemplo Falta adicionar a armadura de compressão para o equilíbrio de força da área de aço As2 𝐴𝑠2𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 Precisamos saber qual será a tensão de fs 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝐾𝑋𝑙𝑖𝑚𝑑 35 045 29 393 045 29 𝜀𝑠 35 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑑 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝜀𝑠 244 207 Exemplo Portanto 𝐴𝑠2𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 𝑓𝑠 𝑓𝑠 𝑓𝑦𝑑 Logo 𝑨𝒔 𝑨𝒔𝟐 246 cm² Astotal 596 cm² As 246 cm² Seção T É muito comum a viga de seção T quando se considera a contribuição de lajes maciças apoiadas em viga de seção retangular Seção T É muito importante observar que a laje deve estar obrigatoriamente no lado da viga inferior ou superior submetido às tensões normais de compressão Se a laje estiver no lado tracionado a sua contribuição à flexão não existirá Seção T