Exercícios de Linha Elástica - Resistência dos Materiais

Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 1 São Paulo junho de 2020 Exercícios complementares de apoio aos alunos que cursam as disciplinas de Resistência dos Materiais para demais cursos de engenharia Dizem respeito ao conteúdo de cálculo de deslocamentos transversais de estruturas sujeitas a flexão e também a resolução de estruturas hiperestáticas com o uso das equações de equilíbrio e compatibilidade mediante o uso da integração direta ou das funções descontinuas ou singulares Foram desenvolvidos pelo prof Valério S Almeida quando não indicado o autor no início do exercício Alguns exercícios não apresentam respostas mas pretendese incluilas ao longo das demais versões 1 Para a viga biapoiada a seguir considere que o material e sua seção transversal sejam os mesmos ou seja adote EIconstante Determine o deslocamento vertical v da seção central a rotação nas seções dos apoios e do centro em termos de q L EI Resposta a Equação de momento Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 2 b Calcular vx L x q x M x x EI v 2 2 2 1 3 4 6 2 12 C C x L x q x M x v x EI Condições de contorno 0 24 0 0 2 3 1 C q L C apoio v L v 12 2 12 3 3 4 L L x x EI q v x EI qL v L 384 5 2 4 12 2 3 2 3 2 3 L L x x L EI q x v EI q L v 24 0 0 3 EI q L L v L 24 3 0 2 2 L v L Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 3 2 Para a viga biapoiada a seguir há um limite de projeto estabelecido em norma para o deslocamento vertical de modo que o máximo valor que esse possa assumir é de 5 cm Sabese que a carga distribuída é de q 15 kNm o material é uma madeira Ipêroxo com E 16500 MPa e sua seção transversal é um pranchão de seção retangular de base e altura respectivamente de 15 e 23 cm Determine o maior valor do vão L de modo a atender a norma Resposta Do exercício anterior a equação da elástica da viga é dada por 12 2 12 3 3 4 L L x x EI q v x E seu maior valor ocorre em x L2 de valor EI qL v L 384 5 2 4 Assim m L m L L cm v EI qL L v 5 03 03 5 10 5 12 1650010 015 0 23 384 5 15 5 384 5 2 max 2 3 3 4 max 4 3 Obtenha a linha elástica da viga em balanço da figura Admita que E 200 GPa P 50 kN e que a seção transversal seja um quadrado de lado 12 cm Para uma certa funcionalidade da viga restringese o seu deslocamento vertical máximo em 5 cm Determine o comprimento máximo que essa viga em balanço pode assumir Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 4 Resposta A equação da linha elástica é dada por 2 3 3 6 Lx EI x P v x o deslocamento máximo por inspeção ocorre em x L m L L L v L 22 0 05 3 1 72810 20010 6 50 3 3 5 6 4 Sabendo que para a viga em balanço na figura a equação de seu deslocamento vertical é dado por 2 3 3 6 Lx EI x P v x onde P é sua força aplicada em B E seu módulo de elasticidade longitudinal I seu momento de inércia e L seu comprimento Admita que E 200 GPa P 50 kN e que a seção transversal seja um quadrado de lado 12 cm Para uma certa funcionalidade da viga restringese a sua rotação máximo em 2 Obtenha o comprimento máximo que essa viga em balanço pode assumir Resposta Sabendo que a eq é dada por 2 3 3 6 Lx EI x P v x a eq da rotação é Lx x EI P v x 6 3 6 2 Por inspeção a rotação máxima ocorre em x L m L L L v L 22 180 2 6 3 1 72810 20010 6 50 2 2 5 6 Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 5 5 Sabendo que para a viga em balanço na figura a equação de seu deslocamento vertical é dado por 2 3 3 6 Lx EI x P v x onde P é sua força aplicada em B E seu módulo de elasticidade longitudinal I seu momento de inércia e L seu comprimento Admita que E 200 GPa L 5 m e que a seção transversal seja um quadrado de lado 12 cm Para uma certa funcionalidade da viga restringese a sua rotação em B máximo em 1 Otenha o valor máximo de P que essa viga em balanço pode assumir Resposta Sabendo que a eq é dada por 2 3 3 6 Lx EI x P v x a eq da rotação é Lx x EI P v x 6 3 6 2 A rotação máxima em B x L 5 m kN P P v L 84 180 1 56 53 1 72810 6 20010 5 2 2 5 6 6 O eixo de aço tem diâmetro de 15mm e suas estremidades A e B são fixas Determine a equação da linha elástica o máximo deslocamento vertical e sua localização Adote Eaço 200 GPa Resposta Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 6 7 Para a viga a Determine a equação da linha elástica para a sua parte AB b Sabendose que P 25 kN a 07m E 200 GPa e que sua seção transversal é circular de diâmetro de 40mm determinar o deslocamento vertical no ponto B Resposta 8 Determinar para viga e o carregamento indicados a rotação e o deslocamento vertical do ponto B EI cte Resposta wB 41qL4384EI ΘB 7qL348EI 9 Determine a equação da linha elástica Especifique a inclinação em A e o deslocamento em C EI é constante Resposta Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 7 10 Determinar para a viga e o carregamento indicados a equação da linha elástica a localização e o máximo deslocamento vertical Adote Eaço 200 GPa I 164x106 mm4 Resposta Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 8 11 Determinar o valor da força P de modo que o deslocamento vertical para baixo no extremo esquerdo da viga vc seja de 10 mm Dados E 200 GPa e que a seção transversal seja um retângulo de 12cm x 20cm Resolução P kN 12 Para a estrutura a seguir determinar as equações da linha elástica a posição e o valor do deslocamento vertical máximo da estrutura Adote M 200 kNm EI constante Resposta v x xmax vmax 13 Determinar a rotação de A e o deslocamento vertical do ponto B Considere q 20 kNm P 10 kN a seção transversal um quadrado de lado 20 cm e o módulo de elasticidade longitudinal igual a 2 GPa Respostas x 00 m v x 15 m Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 9 14 Determinar os deslocamentos verticais máximos nos trechos AB e BC Dados EI 210 kNm2 P 5 kN Respostas trecho AB vmax trecho BC vmax 15 Um pequeno veículo de peso P se move ao longo de uma viga de seção retangular de largura e altura de respectivamente 2 e 12 cm Determinar a máxima distância s conforme desenho de modo que o deslocamento vertical de B não seja superior a 15 cm Dados E 200 GPa P 50 kN Admita que 0 s 3 m Resolução s m 16 Determine as reações e os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a estrutura a seguir Adote q 6 kNm P 8 kN L 15 m EI cte Resposta Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 10 17 Para a estrutura a seguir determine as reações o diagrama de momento fletor esboce o gráfico do deslocamento vertical e calcule esses deslocamentos nos pontos B e D A estrutura possui uma seção transversal quadrada de lado 15 cm e E 200 GPa Adote P 82174 kN Resposta 18 Determine o diagrama de momento fletor e o deslocamento vertical central da estrutura a seguir Dados q 1 kNm L 6 m Indique todos os valores relevantes e esboce o diagrama na figura indicada na resolução Resposta 19 Determine o diagrama de momento fletor e o deslocamento vertical central da estrutura a seguir Dados q 12 kNm L 12m EI cte Indique todos os valores relevantes e esboce o diagrama na figura indicada na resolução Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 11 Resposta 20 Determinar para a viga hiperestática a seguir a reações de apoio b deslocamento vertical do ponto D Adote EI cte Resposta a R1 R2 R3 b WD 21 Determinar as reações verticais em A e B e da reação de momento em B Há uma ação de momento M0 aplicado em A conforme indicado na figura Considere EIcte Resposta Rya Ryb RMb Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 12 22 Determinar as reações o diagrama de momento fletor e o deslocamento vertical no meio do vão em função de F e EI Considere EI constante Resposta Ma Mb 075F vx 3m 98FEI 1125FEI 23 Para a estrutura a seguir determinar as reações e o diagrama de momento fletor indicando a posição e os valores dos momentos extremos Adote q 48 kNm EI constante Resposta Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 13 24 Determine as reações e os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a estrutura a seguir Adote q 20 kNm L 4m EI cte Resposta 25 Determine o diagrama de momento fletor e o deslocamento vertical central da estrutura a seguir Dados q 1 kNm L 12m Indique todos os valores relevantes e esboce o diagrama na figura indicada na resolução Resposta Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 14 26 Determine as reações e seus sentidos RA e MA da viga abaixo sujeita a um deslocamento vertical para baixo em A de 1 unidade de comprimento Adote o comprimento da viga de valor L e EI constante Resolução RA MA Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 15 27 Obter as reações de força vertical RVa e de momento em A MA em função do momento atuante M Use os sentidos indicados na figura Adote EI cte Respostas MA RVa 28 Para a viga a Determinar as quatro 4 reações da viga a seguir b Obtenha o deslocamento vertical da seção C Adote P 20 kN M 30 kNm e EI cte Respostas RA RVb Mb Rhb 0 29 Para a viga hiperestática abaixo obter a As reações verticais A B e C b Sabendose que o máximo valor admissível para o deslocamento do ponto D seja de 1cm em módulo e que a seção transversal da viga é quadrada de lado h obter o menor valor de h Dados q 8 kNm L 4m E 200 GPa Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 16 Resposta a A kN B kN C kN b h 30 Para a estrutura abaixo sabendo que F 50 kN L 3m e C 2m seção transversal quadrada de lado 12 cm e que o material seja o mesmo do exercício anterior Calcule a Posição e valor do deslocamento máximo vertical da viga b Plote a curva deslocamento vertical da estrutura indicando os pontos mais relevantes Respostas a vmax x mm b 31 O poste é engastado no solo e tem uma força concentrada aplicada no ponto indicado na figura Seu valor é devido ao peso dos cabos de energia elétrica de P 5 kN de modo a estar atuando no seu plano médio inclinado com a vertical em um ângulo de θ 30 A seção transversal ST de todo o poste é indicada A força P e as cotas das distâncias R e L estão com referência ao CG da Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 17 ST Adote C 10m R 15m L 25m e 12 mm d 50mm t 100mm h 150mm O seu material possui a curva tensãodeformação conforme indicado abaixo Obtenha a As tensões normais e cisalhantes extremas da ST na cota a C metros do engaste b Deslocamento horizontal v de um ponto a 2 m do engaste x 2m que está no trecho retilíneo do poste Resposta a tração compressão máxima b v 32 Sabese a viga a seguir está engastada a esquerda e a direita existe um apoio infinitamente rígido que está a uma distância na vertical de f da viga Atuase um carregamento distribuído conforme indicado Obtenha 1 a reação do apoio a direita e o diagrama de momento fletor da viga indicando pontos máximos e seus valores 2 Deslocamento vertical máximo e sua posição bem como o diagrama da linha elástica do deslocamento vertical da viga indicando pontos relevantes Adote EI cte 105 kNm2 q 24 kNm L 10 m f 10 cm Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 18 Respostas 33 Sabese a viga a seguir está engastada a esquerda e a direita existe um apoio infinitamente rígido que está a uma distância na vertical de f da viga Atuase um carregamento linearmente distribuído conforme indicado Obtenha a reação do apoio a direita e o diagrama de momento fletor da viga Adote EI cte 105 kNm2 q 24 kNm L 10 m f 01m Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 19 x R R x M x 120 800 10 40 3 x R R x M x v x EI 120 800 10 40 3 1 4 120 2 800 10 10 C x R R x x v x EI 2 1 3 2 5 120 6 800 10 2 0 02 C C x x R R x x v x EI Condições de contorno 1 0 0 C EI v 2 0 0 C EI v Se f 00 0 6 120 10 2 800 10 10 0 0210 10 3 2 5 R R EI v x kN R 66 140 40 54 3 x x M x kNm M 140 0 m x x M x 6 71 45 21 54 0 21 54 2 kNm x x M x 101 5 140 40 54 6 71 3 Se f 01 m 10 6 120 10 2 10 10 800 0 0210 10 3 2 5 R R EI v x kN R 36 x x M x 84 440 40 3 m x x M x 8 37 70 21 84 0 21 84 2 kNm x x M x 2881 440 40 84 8 37 3 Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 20 34 Para a viga a seguir obtenha a Diagrama de momento fletor e esforço cortante em termos de seu comprimento L e do momento aplicado M0 b Considere a seção transversal a seguir para essa viga determine o maior valor de Mo admissível Considere nesse item que L 4 m e tensões normais admissíveis de 150 MPa e 300 MPa respectivamente para tração e compressão e tensão cisalhante admissível de 6 MPa c Obtenha o valor máximo do deslocamento vertical e sua posição em termos de L Mo e EI cte Resposta a Mx M0 M0Lx Vx M0L M0 495 kNm c 𝑣𝑥 𝑀𝑜𝑥 6𝐸𝐼𝐿 2 𝐿2 3 𝐿 𝑥 𝑥2 Calcular a extremo de vx derivando e igualando a zero𝑣𝑥 𝐸𝐼 𝑀𝑜 6 2 𝐿2 6 𝐿 𝑥 3 𝑥20 Obtendo as raízes do polinômio x1 𝐿 1 3 3 e x2 𝐿 1 3 3 De modo que o valor possível é x1 𝐿 1 3 3 Assim o deslocamento máximo é 𝑣𝑥 𝑀𝑜 93 𝐿2 𝐸𝐼 35 Para viga a seguir calcule a As reações verticais nos apoios A B C e indique os diagramas de esforço cortante e momento fletor b Obtenha os valores extremos dos deslocamentos verticais v e suas posições Plote a curva do deslocamento vertical de todos os trechos indicando valores extremos e posições Considere para os itens a e b os dados EI cte L 4 m Obtenha os valores em termos de P e EI Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 21 Resposta a 𝑀𝑥 𝐴 𝑥 2 𝐵 𝑥 6 𝑃 𝑥 8 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 3 32 𝑃 𝐵 11 16 𝑃 𝐶 13 32 𝑃 𝐶1 1 4 𝑃 𝐶2 1 2 𝑃 b 𝑣𝑥 𝐸𝐼 1 64 𝑃 𝑥 2 3 11 96 𝑃 𝑥 6 3 1 6 𝑃 𝑥 8 3 1 4 𝑃 𝑥 1 2 𝑃 𝑣𝑥 0 1 2𝐸𝐼 𝑃 𝑣𝑥 431𝑚 03849 𝐸𝐼 𝑃 𝑣𝑥 808𝑚 09606 𝐸𝐼 𝑃 36 Para a barra AC sabendo que E 200 GPa 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑡 250 MPa 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑐 150 MPa 𝜏𝑎𝑑𝑚 5 MPa O máximo deslocamento vertical v da seção A deve ser de 10 cm para baixo Considere a seção transversal indicada na figura em cm Considere a força axial atuando no CG da seção Determine o máximo valor de P devido ao limite de deslocamento máximo vertical em A Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 22 37 Para a viga da figura com a seção transversal e seu material com o diagrama tensão deformação indicado Sabese que o binário de forças atua na barra rígida em B que tem comprimento de 500 mm com F 400 kN L1 3 m L2 1 m Determinar a Diagramas de esforços b As tensões normais máximas de tração e compressão e o valor da tensão cisalhante máxima c Explicitar a equação de sua linha elástica d Obter a posição e o valor do deslocamento vertical máximo da viga a Viga sob ação de binário b Seção transversal da viga Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 23 c Diagrama tensãodeformação do material da viga Respostas 38 Para a viga a seguir a qual está engastada em A e com apoio móvel em C sabendo que L1 L2 1 m q 10 kNm P 20 kN seção transversal quadrada de lado 15 cm e módulo de elasticidade longitudinal igual a 100 GPa obtenha a Diagramas de esforços sabendo que P atua no centroide da seção em B b A distribuição de tensões normais e a posição da LN na seção de maior momento c A distribuição de tensões cisalhante na seção de maior cortante d Explicitar a equação de sua linha elástica e Obter a posição e o valor do deslocamento vertical máximo da viga Respostas Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 24 39 Para a viga a seguir determine a rotação na seção em A o deslocamento vertical da seção em D e o deslocamento vertical máximo e sua posição tudo em função de P L e EI Respostas 40 Para a viga de madeira do tipo Ipêroxo que está em balanço ver figura admita que E 70 GPa F 50 kN L 3 m e que a seção transversal seja a indicada na figura determine a Tensão normal máxima de tração b Tensão cisalhante na linha do seu CG de uma seção junto ao engaste c Deslocamento vertical e rotação da seção em B Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 25 Resposta a tração b CG c vB B 41 Para a viga abaixo sabendo que seu material é homogêneo de módulo de elasticidade longitudinal constante E e seção transversal constante com momento de inércia de valor I Na seção em A junto ao apoio age um momento de valor M0 Nessas condições calcule a As reações de apoio b Diagrama de momento fletor em toda a viga Respostas Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 26 42 Beer J A barra rígida DEF é soldada no ponto D à viga de aço uniforme AB Para o carregamento mostrado na figura determine a a equação da linha elástica da viga e b a deflexão no ponto médio C da viga Use E 200 GPa 43 Beer J A viga DE está apoiada sobre a viga em balanço AC conforme mostra a figura Sabendo que é utilizada uma barra quadrada com 10 mm de lado para cada viga determine a deflexão na extremidade C se lhe for aplicado um momento de 25 N m a à extremidade E da viga DE b à extremidade C da viga AC Use E 200 GPa 44 Beer J A viga BD está apoiada sobre a viga em balanço AE como mostra a figura Sabendo que é utilizada uma barra quadrada com 1905 mm de lado para cada viga determine para o carregamento mostrado a a deflexão no ponto C e b a deflexão no ponto E Use E 200 GPa Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 27 45 Beer J As duas vigas mostradas têm a mesma seção transversal e estão unidas por uma articulação em C Para o carregamento mostrado na figura determine a a inclinação no ponto A e b a deflexão no ponto B Use E 200 GPa 46 Beer J Uma viga central BD é presa por articulações a duas vigas em balanço AB e DE Todas as vigas têm a seção transversal mostrada Para o carregamento mostrado na figura determine o maior valor de w de maneira que a deflexão em C não exceda 3 mm Use E 200 GPa 47 Beer J Antes de ser aplicada a força uniformemente distribuída w existe uma folga 0 12 mm entre as extremidades das vigas em balanço AB e CD Sabendo que E 105 GPa e w 30 kNm determine a a reação em A e b a reação em D Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 28 48 Beer J Uma barra BC de 222 mm de diâmetro é presa à alavanca AB e ao suporte fixo em C A alavanca AB tem uma seção transversal uniforme com 95 mm de espessura e 254 mm de altura Para o carregamento mostrado na figura determine a deflexão no ponto A Use E 200 GPa e G 772 MPa 49 Beer J Uma barra de 16 mm de diâmetro foi moldada assumindo a forma mostrada Determine a deflexão da extremidade C após lhe ser aplicada uma carga de 200 N Use E 200 GPa e G 80 GPa Exercícios de linha elástica Departamento de Estruturas e Geotécnicas USP Prof Valério SA 29 50 Beer J Para a viga em balanço e o carregamento mostrados na figura determine a a inclinação e b a deflexão no ponto B Use E 200 GPa