Lista de Exercícios Resolvida - Fundamentos de Análise I - Demonstrações e Séries

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS DIRETORIA DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DEAD wwwufvjmedubr eadufvjmedubr TRABALHO DE RECUPERAÇÃO PARALELA 1ª AP FUNDAMENTOS DE ANÁLISE I EADMAT078 1 10 Prove que a função dada por é bijetora 2 10 Dado o conjunto Prove utilizando o postulado de Dedekind que 3 10 Seja o conjunto Faça o que se pede a Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta definidos em B b B é limitado superiormente Existe o supremo do conjunto B O conjunto B possui máximo Demonstre e justifique suas respostas 4 10 Seja um conjunto dos números reais limitado superiormente Considere o conjunto Mostre que a b é limitado inferiormente c existe d existe e MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI DIAMANTINA MINAS GERAIS LICENCIATURA EM MATEMÀTICA wwweadufvjmedubr eadufvjmedubr Lista Bloco 04 EADMAT078 Fundamentos de Análise I Prof Eduardo Fernandes Séries 1 Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais S n e obtenha uma fórmula para a nésima soma parcial de cada série Determine também se a série infinita é convergente ou divergente se for convergente encontre a sua soma a 2 4 1 n n b 0 3 1 2 5 n n n c 1 1 1 2 2 6 n n n 2 Quais séries convergem e quais séries divergem Justifique suas respostas Se uma série convergir calcule sua soma a 1 1 1 n n n b 1 1 ln n n c 0 5 1 n n d 1 1 0 x x n n 3 Expresse cada um dos números abaixo como a razão de dois inteiros a 0 234234234 b 1 414 4 Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja a 1 b 3 c 0 5 Você é capaz de fazer uma série infinita de termos diferentes de zero que convirja para qualquer número real que quiser Explique 6 A figura a seguir mostra os primeiros cinco quadrados de uma sequência O quadrado externo tem área de 2 4 m Cada um dos outros quadrados é obtido ligandose os pontos médios dos lados do quadrado anterior Calcule a soma das áreas de todos os quadrados 7 Critério do Termo Geral CTG Prove que se a série 1 n n a é convergente então 0 lim n n a 8 Prove que a diferença entre duas séries convergentes é convergente ou seja se A a n n 1 e B b n n 1 então B A b a n n n 1 9 Prove que uma série 1 n n a de termos não negativos converge se e somente se suas somas parciais são limitadas superiormente 10 Mostre que a psérie 1 1 n np converge para p 1 diverge se p 1 11 Quais séries convergem e quais séries divergem Justifique suas respostas a 1 1 n n n b 1 1 5 n n c 1 8 n n d 1 3 2 n n n e 1 3 4 5 n n n f n2 ln n n g 1 2 1 n n n 12 Quais séries convergem e quais séries divergem Justifique suas respostas a 1 3 2 1 n n n b 1 2 cos 1 n n n c 1 1 3 2 n n n d 1 2 1 n n n n e 1 3 2 ln n n n f 1 ln 1 1 n n g 1 2 1 n n n n h 1 1 3 1 3 n n n 13 Quais séries convergem e quais séries divergem Justifique suas respostas a 1 2 n n e n b 1 10 n n n c 1 3 2 n n n d 1 ln n n n n n e n n n n 1 2 1 1 f 1 2 1 n n n n g 1 3 3 3 n n n n h 1 32 3 n n n n i 1 2 2 n n nn j 1 2 2 n n nn 14 Quais séries 1 n n a convergem e quais séries divergem Justifique suas respostas a n n a n n a a 5 2 1 3 3 1 1 1 b n n n n a a a 2 5 1 1 c n n a n n a a ln 1 1 1 1 d 2 1 3 n n n n an Observação Quando estiver fazendo os exercícios lembrese de que pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência de uma série