Lista de Revisão - Álgebra Linear 2022-1

Questão 1 Considere a matriz A = \begin{bmatrix} -3 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{bmatrix} e faça o que se pede, considerando que seus autovalores são -2 e -5 (não é preciso verificar este fato). (a) Descreva explicitamente cada autoespaço e dê uma base ortogonal para cada um deles; (b) Dê uma base ortonormal B para \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A; (c) Dê uma matriz Q que diagonalize A ortogonalmente e uma matriz diagonal D semelhante a A tais que AQ = QD, indicando claramente as matrizes; (d) Dê a matriz de mudança da base B do item (b) para a base canônica C de \mathbb{R}^3. Depois, usando a matriz de mudança de bases conveniente, encontre o vetor de coordenadas [v]_B do vetor v = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 6 \end{bmatrix} Utilize o trabalho já realizado. Indique claramente os seus raciocínios. Questão 2 Seja A uma matriz 2 x 2 com coeficientes reais e autovalores \lambda_1 = 4 e e \lambda_2 = -3, que têm autovetores associados v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} e v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}, respectivamente. Calcule Av para v = \begin{bmatrix} -2 \\ 16 \end{bmatrix}, indicando claramente os seus raciocínios. Questão 3 Seja A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}. Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz inversível M tais que A = MDM^{-1}. Aplicando esta igualdade, calcule A^{10}. Indique claramente os seus raciocínios e faça os cálculos até o fim. Questão 4 Faça o que se pede, considerando o subespaço W de \mathbb{R}^4 que tem como base o conjunto B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} (a) Descreva explicitamente o complemento ortogonal W^\perp de W e dê uma base e a dimensão deste subespaço; (b) O Teorema da Projeção Ortogonal afirma que: se U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n então cada vetor v \in \mathbb{R}^n pode ser escrito de maneira única como v = u + u^\prime, onde u = proj_v(v) e U é chamada componente de v em relação a U e u^\prime = v - u = v - proj_v(v) é um vetor de U^\perp chamado componente ortogonal de v em relação ao SEV U. Relembre como se calcula o vetor projeção de um vetor sobre um subespaço (o teorema sobre isto está no capítulo 9 de Colombo e Koiller e foi trabalhado na AAP2) e verifique o teorema anterior para o vetor v = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^4 e o subespaço W do início da questão. O teorema da projeção foi trabalhado numa das aulas síncronas sobre produto interno. n a 3 a Sega ay um antovetor ago auto valor é 2 entao I ill l 32 y z zu a y z o a 3ytz y u 4 a y z o N t y 32 22 Ray z o f r y z o o o Z sexy o o rata I I D HH e o auto espace associado are auto valor z é at ft am I t.tl 1 tit little tilt ftp.entallil.liD é base ontogonal de Al 2 Agora para o autovalor 5 twos que 3 1 ii till lil 32 y z su f Zn y e o a 3yt2 5 y 2 29 2 0 a y 32 5 2 ay 22 0 Nt y 22 0 at y 22 0 a try zoo y 2 9 22 0 By 32 0 y z o 22 y Z o 3y 32 0 0 to y z ne y zz z zz z I É Z potato Al s fi e naturalmente I é base ontogonal de AGS b Uma base aeanterelous if f i 9 if Aplicando o proceso de ortogonalizacao de gram Schimidt tail EG EE I tilt L D L it it t Fait 1 1 1 f come 11 1 0 111.1 comin Int E 111 5 1 mim.BY Iq 188 18,1 e base abnormal de autovetoes de A o Como B é base abnormal de autovetores de A a I II e D o o s sad matrizes tais que a diagonalize A ontogonalmente e Ah AD d A matriz mudang de base da base C para a base B e a matriz h Como ela é atogonal a matriz madang de base do base B parc a base c é a 1 at loge a 1816 5613 5616 e vale too a too mas to c 3g entao 5212 o 5212 95212 STB 15616 813 816 Ig 462 26 56 its ÉI 533 53 3 533 53 263 253 2 Arn 45 e Are 302 Quero encontran a b e IR tais que o arr t bra eutao 161 9 21 51 L Za 2b 2 at 55 16 2 4 29 2b z 76 14 6 2 Za 2 4 6 a 3 mutant i3 3131 2 31 3 202 e pels linearidade da multiplicand por A Ar A 351 252 3AM ZARE 12M 652 1 ol 1 11 I portante Ar I 3 A 2 4 3 s Se A MDM enter Ado MDM Mp Mt Vamos diagonalizar A i autovalores de Ai 12 X 4 3 g 2 d 5 4 12 0 112 3 2 8 3 D 2 on X I p z Os autovalores de A sad Z e l ii autovetoes de A N Ar 1 r s 2 4 s s g y za hey a 32 4g so 432 49 0 32 5g y 432 4g o o to Sa Uy o ayy e y 31 91 1 31 portanto o auto espacy associado a t t é Ati X 2 Ar Zr 1 11151 4 L za hey za be 5g ay 4 42 49 0 n g Ga by o 52 Sy to 0 to 42 49 0 a 1511 al Patauto Ac 2 e uno base de auto vetoes on A e Sja m f e D f 9 enter A MDM iii Calcular M I l it m i pi i Iv finalmente Ade M D Mt Como D é diagonal D 1 2 e o o g 3 9 entao A 10 9 f 3072 6 a 1 3072 4 4096 4 3068 306g 9092 3072 3 4096 3 4093 i AM 1 3068 4092 3069 4093 w 1 11 11 D case E entata 111.1 111 1 11 a Z to Y z o n K Z to Y Z o Zy Z W O 32 W O D z y z wise Matan E 5.1a1 e Nt Il undo B lg uma basement Asim dim Wt I b Aplicaremos o processo de ontogonalizaccio de gram schmidt a base on n i I I EE t1 I 1 Eli It It HEH L ME I 1111 It Ethel E HIIIII I treat l'd ing 111 11 Ii Finalmente Como Lin V2V3 é base onto normal de w projn s o on ret s rare t ro r r till till East 1 11 11 81 É 11 14 HEHEHE projw s Iz Pelo koreme do decomposicat ortogonal IR Nant now que r mows 3g E Ig ent isto é v projwv moja vs pogy t projner De fate pale o homme da decomposing ortogonal