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Geografia ·
Cálculo 4
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SERIES DE FOURIER E METODO DE SEPARAC AO DE VARIAVEIS PARA EQUAC OES DIFERENCIAIS PARCIAIS 1a PARTE Resumo Nosso objetivo e fornecer uma breve e rapida introducao ao estudo das Equacoes em Derivadas Parciais EDPs homogˆeneas de segunda ordem com coeficientes constantes e a suas solucoes atraves do Metodo de Separacao de Variaveis em termos de Series de Fourier 1 Equacoes diferenciais parciais lineares de segunda ordem 11 Introducao e definicoes Uma equacao diferencial parcial EDP ou equacao diferencial a derivadas parciais e uma equacao que envolve uma funcao indeterminada que depende de mais de uma variavel junto com suas derivadas parciais de diversas ordens em relacao a algumas das variaveis Assim uma EDP na funcao indeterminada u ux1 x2 xn e uma equacao da forma 11 Fx1 xn u ux1 uxn ux1x1 ux1x2 0 onde uxk u xk uxkxj 2u xkxj etc A ordem de uma EDP e a maior dentre as ordens das derivadas parciais da funcao indeterminada que figuram na equacao A funcao u ux1 xn e uma solucao da EDP 11 se quando substituıda na equacao junto com suas derivadas parciais a torna uma identidade Exemplo 1 As funcoes ucx y cosx y e usx y senx y sao solucoes de ux uy 0 Exemplo 2 A funcao ux y z xyz e uma solucao da EDP x 2u xz y 2u yz 2u z Em geral determinar as solucoes de uma EDP nao e uma tarefa simples Em certas situacoes e possıvel determinar a solucao impondo condicoes adicionais a funcao indeterminada que se procura Assim como ao tratarmos de EDOs onde se impunham condicoes iniciais trataremos de resolver EDPs impondo tambem condicoes iniciais alem de possıveis condicoes de contorno que sao condicoes impostas a funcao indeterminada que devem ser satisfeitas nos pontos da fronteira de um determinado domınio como veremos mais adiante Uma EDP e linear quando e uma combinacao linear da funcao indeterminada e suas derivadas parciais onde os coeficientes da combinacao linear podem ser funcoes das variaveis envolvidas Uma EDP linear e homogˆenea quando o termo independente na equacao isto e o termo que nao envolve a funcao indeterminada nem suas derivadas parciais e igual a zero Finalmente se em uma EDP linear os coeficientes da funcao indeterminada e de suas derivadas parciais sao constantes numericas dizemos que a EDP e linear com coeficientes constantes 1 Exemplo 3 As EDPs a 5y u x 2x u y 3x2 ux y 0 b 2xux 2xyuxx 3y2uxy ux y c z 3u x3 cosz xu x senx yu y senz yu z 3 tanx y z sao lineares a e linear homogˆenea de primeira ordem pois o termo da equacao que nao contem u nem suas derivadas parciais e igual a zero A EDP b e tambem linear homogˆenea de segunda ordem Finalmente a equacao c e linear nao homogˆenea de terceira ordem pois o termo independente ou seja o termo da equacao que nao contem u nem suas derivadas parciais e igual a 3 tanx y z Exemplo 4 As seguintes EDPs sao nao lineares a u x uu y 0 b u x u y xy 2u xy c z 3u x3 cosu3u y3 2u xz 2u yz senz nelas a funcao indeterminada e as derivadas parciais sao combinadas de forma nao linear 12 EDPs lineares de segunda ordem com duas variaveis Uma EDP linear de segunda ordem na funcao indeterminada ux y tem a forma 12 Ax y2u x2 Bx y 2u xy Cx y2u y2 Dx yu x Ex yu y Fx yux y Gx y Quando as funcoes coeficientes Ax y Bx y Cx y Dx y Ex y e Fx y sao constantes dizemos que a EDP e linear de segunda ordem com coeficientes constantes e quando o termo independente Gx y e identicamente nulo a EDP e homogˆenea Em todo o seguinte estudaremos apenas EDPs lineares homogˆeneas de segunda ordem com coeficientes constantes 13 A2u x2 B 2u xy C 2u y2 D u x E u y Fux y 0 ou seja 14 Auxx Buxy Cuyy Dux Euy Fux y 0 onde os coeficientes A B C D E e F sao numeros reais As derivadas parciais respectivas poderao ser designadas atraves de subındices ou na forma de quociente usando o operador As EDPs da forma 13 ou equivalentemente 14 sao classificadas segundo os coeficien tes da parte principal Auxx Buxy Cuyy da seguinte maneira observe a analogia com a classificacao geometrica das curvas cˆonicas hiperbole parabola e elipse no plano cartesiano Se B2 4AC 0 a EDP e hiperbolica Se B2 4AC 0 a EDP e parabolica Se B2 4AC 0 a EDP e elıptica 2 Exemplo 5 a A equacao da onda utt K uxx com K 0 e uma EDP hiperbolica na funcao indeterminada ux t De fato escrevendo a equacao na forma c2uxxutt 0 vemos que A c2 B 0 e C 1 daı B2 4AC 0 4c21 4c2 0 b A equacao de difusao ou equacao do calor ut K uxx com K 0 e uma EDP parabolica na funcao indeterminada ux t Com efeito sendo a equacao Kuxx ut 0 obtemos A K B 0 e C 0 logo B2 4AC 0 4K 0 0 c A equacao de Laplace uxx uyy 0 e uma EDP elıptica na funcao indeterminada ux y pois A 1 B 0 e C 1 logo B2 4AC 0 4 1 1 4 0 As EDPs de a b e c sao homogˆeneas Ha versoes delas nao homogˆeneas e tambem com mais variaveis que em princıpio nao iremos considerar Uma caracterıstica importante das EDPs lineares homogˆeneas e que qualquer com binacao linear finita de solucoes e tambem uma solucao dito de outro modo somas de multiplos de um numero finito de solucoes e tambem solucao Este fato que e consequˆencia da linearidade dos operadores de derivacao derivar e uma operacao linear e chamado Princıpio de Superposicao de solucoes Mais ainda como veremos adiante as combinacoes lineares de solucoes poderao sob certas hipoteses ser somas infinitas isto e series de funcoes E importante observar que a funcao constante de valor zero ux t 0 e sempre uma solucao de uma EDP linear homogˆenea ela e chamada a solucao nula ou solucao trivial da equacao Em breve iremos desenvolver um metodo para procurar solucoes nao triviais de EDPs lineares homogˆeneas de segunda ordem Exemplo 6 No Exemplo 1 vimos que as funcoes ucx y cosx y e usx y senx y sao solucoes da EDP ux uy 0 A EDP e linear homogˆenea de primeira ordem pelo Princıpio de Superposicao qualquer funcao da forma ux y Aucx y Busx y A cosx y B senx y com A B R constantes arbitrarias e tambem solucao Exemplo 7 As funcoes φx y x2 y2 e ψx y 2xy sao solucoes da EDP de Laplace uxx uyy 0 Pelo Princıpio de Superposicao qualquer funcao da forma Ψx y Aφx y Bψx y Ax2 y2 2Bxy com A B R constantes arbitrarias e tambem solucao As solucoes da EDP de Laplace sao chamadas funcoes harmˆonicas A funcao ux y e harmˆonica se seu Laplaciano e nulo u 2u uxx uyy 0 Ha versoes das equacoes do calor da onda e de Laplace com mais variaveis que nao serao estudadas nesta primeira abordagem 3 2 EDPs lineares homogˆeneas e separacao de variaveis 21 O problema da transferˆencia de calor numa barra Considere uma barra metalica retilınea de comprimento L revestida lateralmente por um material isolante termico de modo que e possıvel a troca de calor apenas por suas extremidades x x0 Isolamento lateral xL Fig 1 Barra metalica com isolamento lateral Suponhamos que o calor seja transmitido apenas na direcao longitudinal da barra isto e nos discos transversais a temperatura e constante Seja ux t a temperatura na secao longitudinal de coordenada x no instante de tempo t Sabese desde os estudos de Joseph Fourier entre 1804 e 1807 que a equacao que descreve o comportamento de ux t e a equacao do calor ut K uxx onde K 0 e uma constante denominada coeficiente de difusao termica e que e uma caracterıstica fısica do material da barra O primeiro problema abordado por Fourier foi o de determinar a distribuicao de temperatura ux t sabendo que no instante inicial t 0 e dada por uma funcao ux 0 fx lembre que a temperatura e constante em cada secao transversal de coordenada x e que nas extremidades da barra permanece constante igual a zero ou seja u0 t 0 uL t Estas consideracoes dao origem ao problema de valores iniciais e de contorno ut K uxx 0 x L 0 t K 0 21 ux 0 fx 0 x L 22 u0 t uL t 0 0 t 23 que consiste em determinar a funcao de temperatura ux t cujo comportamento e regido pela equacao do calor 21 sujeita a condicao inicial 22 e as condicoes de contorno 23 22 O metodo de separacao de variaveis primeiro exemplo Vamos procurar por solucoes nao triviais do problema de transferˆencia de calor numa barra de comprimento L dado pela EDP 21 a solucao desejada devera satisfazer a condicao inicial 22 e as condicoes de contorno 23 Note que a EDP e linear homogˆenea e as condicoes de contorno sao tambem homogˆeneas Condicoes de contorno nao homogˆeneas seriam por exemplo u0 t ft uL t gt sendo f e g funcoes dependentes apenas de t podendo ser constantes nao nulas 4 O metodo de separacao de variaveis consiste em propor uma solucao ux t definida no domınio x t 0 L 0 como sendo o produto de duas funcoes uma funcao Xx dependente apenas de x e uma funcao Tt que depende somente de t Isto e propomos ux t Xx Tt para todo x t 0 L 0 Tenha sempre em mente que procuramos por solucoes nao triviais de 21 consequentemente Tt e Xx nao podem ser funcoes nulas Substituındo nossa proposta de solucao ux t Xx Tt em 21 obtemos Xx T t ut K uxx K Xx Tt para todos x 0 L t 0 ou seja 24 T t K Tt Xx Xx para todos x 0 L t 0 Note que o lado esquerdo de 24 e uma funcao que depende apenas de t enquanto que o lado direito e uma funcao que depende apenas de x Este fato implica1 que ambos os lados da identidade sao iguais a uma constante que designaremos por λ a escolha do sinal ficara evidente em breve Isto e para todos t 0 e x 0 L T t K Tt λ e Xx Xx λ Dessa forma o metodo de separacao de variaveis transforma a EDP 21 em duas EDOs T t K λ Tt 0 t 0 25 Xx λ Xx 0 x 0 L 26 que devem ser analisadas a luz das condicoes inicial 22 e de contorno 23 do problema Primeiramente se ux t Xx Tt entao pelas condicoes de contorno 23 temos u0 t X0 Tt 0 e uL t XL Tt 0 para todo t 0 Sendo Tt 0 para todo t 0 obtemos 27 X0 0 e XL 0 caso contrario ux t seria a solucao trivial de 21 As igualdades 27 sao tambem condicoes de contorno para a equacao 26 A equacao 26 e uma EDO linear homogˆenea de segunda ordem com coeficientes constantes com equacao caracterıstica r2 λ 0 Analisemos as solucoes de 26 em termos do sinal de λ Caso λ 0 temos λ ω2 para algum ω 0 e a equacao caracterıstica r2 ω2 0 tem duas raızes reais diferentes r ω e r ω A solucao geral de 26 e Xx Aeω x Beω x com A B R constantes 1De fato se αt e βx sao funcoes que dependem apenas de t e x respectivamente e αt βx para todos t e x entao fixando t t0 obtemos αt0 βx para todo x Assim βx e constante de valor λ αt0 Consequentemente fixando x x0 obtemos αt βx0 λ para todo t Assim αt βx λ para todos x e t 5 Das condições de contorno 27 obtemos X0 A B 0 e XL AeωL BeωL 0 ou seja temos o seguinte sistema de duas equações lineares nas variáveis A e B A B 0 AeωL BeωL 0 cuja única solução é A 0 e B 0 Com isso teríamos Xx 0 para todo x 0 L Portanto ux t 0 para todo x 0 L isto é ux t seria a solução trivial de 21 coisa que não queremos Caso λ 0 integrando a equação 26 Xx 0 obtemos Xx Ax B com A e B constantes De 27 temos X0 A0 B B 0 XL AL 0 AL 0 como L 0 concluímos A 0 Logo Xx 0 para todo x e ux t é a solução trivial de 21 Caso λ 0 temos λ ω2 para algum ω 0 e a solução geral de 26 é Xx A cosωx B senωx x 0 L A B R Usando as condições de contorno 27 obtemos X0 A cosω0 B senω0 A 0 além disso XL 0 cosωL B senωL B senωL 0 Como não queremos que ux t seja a solução trivial B não pode ser igual a zero Consequentemente senωL 0 ou seja ωL nπ com n Z Isto é ω ωn nπL n Z 0 Portanto λ λn ωn2 n2π2L2 n Z são os valores possíveis para λ Então tomando B 1 obtemos que as funções Xnx sen nπxL com x 0 L e n Z 0 são soluções de 26 Observe que descartamos a solução X0x que é constante de valor zero e não nos interessam soluções triviais Além disso como Xnx sen nπxL sen nπxL Xnx podemos considerar apenas as soluções 29 Xnx sen nπxL para n N 1 2 3 Os números λn e as soluções Xnx n N são os autovalores e as autofunções respectivamente do problema de SturmLiouville que consiste da equação 26 junto com as condições de Surgem as seguintes questões A Que funções fx se expressam na forma 213 ou mais geralmente na forma de uma série de funções fx n1 cn sen nπxL B Sabendo que fx é como em A qual é a relação dos coeficientes cn com fx C Se fx é como em A é verdade que a função ux t n1 cn unx t n1 cn e n2 π2 K tL2 sen nπxL é também solução de 21 satisfazendo 22 e 23 Vamos pausar a nossa análise do problema do calor para estudar um pouco sobre as funções fx que se exprimem como séries de senos e cossenos 3 SÉRIES DE FOURIER 31 Funções periódicas Uma função fx é periódica se existe T R T 0 tal que fx T fx para todo x R Qualquer valor de T com essa propriedade é um período de f e o menor dos períodos é o período fundamental de f De imediato vemos que o domínio de uma função periódica é R Exemplo 8 As funções Xnx sen nπxL são periódicas com período fundamental 2Ln De fato para todo x R vale que Xnx T sen nπx TL sen nπx nπTL sen nπxL nπTL sen nπxL Xnx se e só se nπTL 2 kπ para algum inteiro k lembre que a função senx é periódica com período fundamental 2π Logo T 2 kLn O menor T 0 isto é o período fundamental é obtido tomando k 1 Assim T 2 Ln é o período fundamental de Xn Por exemplo as funções fx senx gx sen2πx e hx cos 5πx2 são funções periódicas com períodos fundamentais 2π 1 e 45 respectivamente como mostramos a seguir FIG 2 fx senx tem período fundamental 2π Fig 3 fx sen2πx tem período fundamental 1 Fig 4 fx cos 5πx2 tem período fundamental 45 Quando n aumenta o período fundamental Tn 2Ln diminui a frequência da onda νn 1Tn n2L aumenta e o gráfico de Xnx fica mais apertado Uma função periódica não tem por que ser contínua derivável etc Exemplo 9 A função fx dada por fx x para 0 x 2 fx2 fx para todo x R é periódica com período fundamental 2 Fig 5 fx x para 0 x 2 e fx2 fx para todo x R tem período fundamental 2 Mais ainda podemos construir uma função periódica a partir de uma função qualquer Exemplo 10 Se f ab R é uma função qualquer e T b a a função Fx definida por Fx fx para x ab FxT Fx para todo x R é uma função periódica de período fundamental T b a Observe que o gráfico de Fx é obtido pela translação horizontal do gráfico de fx por múltiplos do período fundamental x y f b aT a a2T a3T aT a2T Fig 6 Fx fx se x a b e Fx T Fx para todo x R tem perıodo fundamental T b a A funcao cosseno e uma funcao periodica par e a funcao seno e uma funcao periodica ımpar Em geral e possıvel definir funcoes periodicas pares e ımpares a partir de uma funcao dada Exemplo 11 A extensao periodica par de f 0 L R e a funcao periodica Fx Fig 7 com perıodo fundamental 2L definida por Fx fx se x 0 L fx se x L 0 Fx 2L Fx para todo x R x y L L Fig 7 Grafico da extensao periodica par de f 0 L R com perıodo fundamental 2L Exemplo 12 A extensao periodica ımpar de f 0 L R e a funcao periodica Gx Fig 8 com perıodo fundamental 2L definida por Gx fx se x 0 L fx se x L 0 0 se x 0 ou x L Gx 2L Gx para todo x R x y L L Fig 8 Grafico da extensao periodica ımpar de f 0 L R com perıodo fundamental 2L 10 Uma função definida no intervalo 0L pode ser extendida a uma função periódica que não é par nem ímpar como no seguinte exemplo Exemplo 13 A extensão periódica nula de uma função f 0L R é a função Hx Fig 9 com período fundamental 2L dada por Hx fx se x 0L 0 se x L0 Hx2L Hx para todo x R Fig 9 Extensão periódica nula de f 0L R que não é par nem ímpar 32 Séries de Fourier definição Uma função fx que se representa por sua série de Taylor n0 fnx0n x x0n num determinado intervalo em torno de x0 é infinitamente diferenciável analítica integrável e aproximável por funções polinomiais somas parciais da série que são funções de natureza simples Vejamos como representar uma função periódica através de uma série de funções periódicas de natureza simples As funções periódicas simples a que nos referimos são as funções seno e cosseno Uma Série de Fourier é uma série de funções da forma 31 a02 n1 an cosnπxL bn sennπxL onde L 0 an e bn são constantes para todo n 123 Dizemos que 31 é a série de Fourier de fx se em cada x onde f é contínua a série converge para o valor fx Nesse caso como veremos adiante os coeficientes an e bn são determinados pela função fx As funções Cnx cosnπxL e Snx sen nπxL que figuram na série 31 são periódicas com período fundamental 2Ln logo todas são simultaneamente periódicas com período 2L Fixado um intevalo ab com a podendo ser eou b podendo ser o produto interno de duas funções g h ab R é o número quando existir gh ab gx hx dx Dizemos que as funções g h ab R são ortogonais quando gh 0 Exemplo 14 1 Em 11 fx x3 hx x2 1 fh 11 x3x2 1dx x66 x44 11 0 2 Em 01 fx x3 hx x2 1 fh 01 x3x21dx x66 x44 01 512 3 Em 0 π2 fx sen x hx cos x fh 0π2 sen x cos x dx sen2x2 0π2 12 1 e 2 do exemplo anterior mostram que o valor do produto interno entre duas funções depende do intervalo usado para definir o produto Em particular a ortogonalidade de duas funções depende do intervalo que foi usado na definição do produto interno Vamos mostrar que as funções Cnx e Snx são ortogonais quando o produto interno está definido em intervalos da forma LL para qualquer L R L 0 Este fato nos permite usálas como se fossem os vetores de uma base ortogonal num espaço vetorial Assim vamos poder escrever certas funções como combinações lineares infinitas das funções da base ortogonal Em breve vamos esclarecer qual é o conjunto de funções que tem como base as funções Cnx e Snx n N Proposição 1 Sejam Cn Sn LL R Cnx cosnπxL e Snx sennπxL Então 32 Cn Cm 0 se n m L se n m 33 Sn Sm 0 se n m L se n m 34 Cn Sm 0 para todos nm N Para verificar 32 34 lembramos das seguintes identidades trigonométricas cos α cos β 12 cosα β cosα β cos2 α 12 1 cos2α sen α sen β 12 cosα β cosα β sen2 α 12 1 cos2α cos α sen β 12 senα β senα β Por exemplo vejamos como mostrar 32 Se n m CₙCₙ Lᴸ cos nπxL cos nπxL dx Lᴸ cos² nπxL dx Lᴸ 12 1 cos 2nπxL dx L 12 sen 2nπxL Lᴸ L Se n m ou seja n m 0 CₙCₘ Lᴸ cos nπxL cos mπxL dx Lᴸ 12 cos n m πxL cos n m πxL dx 12 Lᴸ cos n m πxL dx 12 Lᴸ cos n m πxL dx 12 Lnm π sen n m πxL Lᴸ 12 Lnm π sen n m πxL Lᴸ 0 As outras identidades se verificam de forma análoga façao como exercício 33 Cálculo dos coeficientes da Série de Fourier Suponhamos que a série de Fourier de fx converge para todo x LL isto é fx a₀2 ₙ₁ aₙ cos nπxL bₙ sen nπxL a₀2 ₙ₁ aₙ Cₙx bₙ Sₙx x LL Note que para todo n N Lᴸ Cₙx dx Lᴸ Sₙx dx 0 Suponhamos que é possível integrar a Série de Fourier 35 de f termo a termo Lᴸ fx dx Lᴸ a₀2 ₙ₁ aₙ Cₙx bₙ Sₙx dx a₀2 Lᴸ dx ₙ₁ aₙ Lᴸ Cₙx dx bₙ Lᴸ Sₙx dx a₀2 2L a₀ L Multiplicando 35 por Cₘx cos mπxL e integrando termo a termo usando a Proposição 1 Lᴸ fx Cₘx dx Lᴸ a₀2 Cₘx dx ₙ₁ aₙ Lᴸ Cₙx Cₘx dx bₙ Lᴸ Sₙx Cₘx dx a₀2 Lᴸ Cₘx dx ₙ₁ aₙCₙCₘ bₙSₙCₘ aₙ L Analogamente multiplicando 35 por Sₘx sen mπxL e integrando termo a termo Lᴸ fx Sₘx dx bₙ L Proposição 2 Se 35 é a Série de Fourier de fx no intervalo LL então os coeficientes aₙ e bₙ são dados pelas Fórmulas de EulerFourier 36 a₀ 1L Lᴸ fx dx aₙ 1L Lᴸ fx Cₙx dx e bₙ 1L Lᴸ fx Sₙx dx Finalmente vamos formalizar nossas considerações para isso lembramos o conceito de função seccionalmente contínua ou contínua por partes Designamos fx limtx ft e fx limtx ft os limites laterais de f quando t tende a x pela direita e pela esquerda Obviamente se f é contínua em x então fx 12 fx fx A função f é contínua por partes no intervalo ab se existem a c₀ c₁ c₂ cₖ₁ cₖ b no intervalo ab tais que a c₀ c₁ c₂ cₖ₁ cₖ b f é contínua no intervalo cᵢ cᵢ₁ i 012k 1 Os limites laterais fcᵢ limtcᵢ ft para i 01 k 1 e fcᵢ limtcᵢ ft para i 12k existem isto é são finitos A última propriedade diz que f somente pode ter descontinuidades de salto no intervalo ab Finalmente o nosso resultado Teorema 3 Teorema de Convergência de Fourier Se fx é uma função periódica de período 2L tal que fx e fx são contínuas por partes no intervalo LL então fx se representa por uma Série de Fourier da forma 35 no intervalo LL cujos coeficientes são dados pelas fórmulas de EulerFourier 36 Além disso a série converge a fx se x é um ponto de continuidade de f e converge a 12 fx fx se x é um ponto de descontinuidade de f 34 Séries de Fourier exemplos Vejamos como determinar a série de Fourier de uma função através de alguns exemplos Exemplo 15 Considere a função 37 fx x π2 se π x 0 x π2 se 0 x π fx 2π fx para todo x R A função fx é par contínua e periódica com período fundamental 2π logo L π Na Fig 10 podemos ver o gráfico da função fx Fig 10 Gráfico da função fx No intervalo fundamental ππ as funções f e f são contínuas por partes f é contínua e f é descontínua somente em x 0 Pelo Teorema 3 fx se representa por uma série de Fourier da forma fx a₀2 ₙ₁ aₙ Cₙx bₙ Sₙx onde Cₙx cos nπxπ cosnx e Sₙx sen nπxπ sennx Os coeficientes aₙ e bₙ são calculados com as Fórmulas de EulerFourier 36 a₀ 1π πᴨ fx dx 0 aₙ 1π πᴨ fx cosnx dx 21 1ⁿπ n² para n N bₙ 1π πᴨ fx sennx dx 0 para n N Logo a Série de Fourier de fx é fx ₙ₁ 21 1ⁿπ n² cosnx 4π cosx 49π cos3x 425π cos5x 449π cos7x Nas Figs 11 14 vemos como fx é aproximada pelas somas parciais da Série de Fourier com Cnx cosnπxL e Snx sennπxL Exemplo 16 Determinemos a série de Fourier da função fx x2 se 0 x 2fx 2 fx para todo x R A função fx Fig 15 é periódica com período fundamental 2L 2 então L 1 Fig 15 Gráfico da função fx Calculemos os coeficientes da série de Fourier de F usando as fórmulas de EulerFourier 39 Pela Observação 1 e integrando por partes a0 1L 20L fx dx 02 x2 dx 1 an 1L 02L fx cosnπxL dx 02 x2 cosnπx dx 0 bn 1L 02L fx sennπxL dx 02 x2 sennπx dx 1nπ Portanto a série de Fourier de fx é fx a02 n1 an cosnπx bn sennπx 12 n1 1nπ sennπx 12 n1 1nπ sennπx 12 1π senπx 12π sen2πx 13π sen3πx 1nπ sennπx Os gráficos abaixo mostram as primeiras somas parciais SfNx 12 Nn1 1nπ sennπx da série de Fourier de fx para diversos valores de N com Cnx cosnπxL e Snx sennπxL Exemplo 17 Consideremos a função fx x22 definida no intervalo 0 2 Determinemos as séries de Fourier das extensões periódicas par ímpar e nula de fx As três extensões de fx são funções periódicas com período fundamental 2L 4 ou seja L 2 A extensão periódica par de fx é a função Fx x22 se 2 x 2Fx Fx 4 para todo x R Sendo Fx Fig 20 uma função par integrando por partes a0 12 22 Fx dx 02 Fx dx 02 x22 dx 43 an 12 22 Fx cosnπx2 dx 02 x22 cosnπx2 dx 1n 8n2π2 para n 1 bn 12 22 Fx sennπx2 dx 0 para n 1 Assim a série de Fourier de Fx é Fx a02 n1 an cosnπx2 23 n1 1n 8n2π2 cosnπx2 23 8π2 cosπx2 2π2 cos2πx2 89π2 cos3πx2 12π2 cos2πx 825π2 cos5πx2 Nas Figs 2123 vemos as somas parciais SFNx 23 Nn1 1n 8n2π2 cosnπx2 convergindo a Fx Fig 20 Gráfico de Fx Fig 21 Gráfico de SF1x Fig 16 Gráfico de Sf1x Fig 17 Gráfico de Sf2x Fig 22 Gráfico de SF5x Fig 23 Gráfico de SFNx N1 8 A extensão periódica ímpar de fx é a função Gx x22 se 0 x 2 x22 se 2 x 0 0 se x 2 Gx Gx4 para todo x R Fig 24 Gráfico de Gx extensão periódica ímpar de fx Sendo Gx periódica ímpar com período fundamental 2L4 obtemos integrando por partes a0 12 22 Gx dx0 an 12 22 Gx cosnπx2 dx0 para n 1 bn 12 22 Gx sennπx2 dx 1n1 4nπ 1n 1 8n3 π3 para n 1 Logo a série de Fourier de Gx é Gx n1 bn sennπx2 n1 1n1 4nπ 1n 1 8n3 π3 sennπx2 4π 16π3 senπx2 2π senπx 43π 1627π3 sen3πx2 1π sen2πx 45π 16125π3 sen5πx2 Nas Figs 2528 mostramos algumas somas parciais SGNx n1N bn sennπx2 da série de Fourier de Gx Fig 25 Gráfico de SG1x Fig 26 Gráfico de SG2x Fig 27 Gráfico de SG7x Fig 28 Gráfico de SGNx N1 10 A extensão periódica nula de fx é a função Hx 0 se 2 x 0 x22 se 0 x 2 Hx Hx4 para todo x R Fig 29 Extensão periódica nula Hx de fx Sendo Hx 0 para 2 x 0 integrando por partes a0 1L 22 Hx dx 12 02 x22 dx 23 an 1L 22 Hx cosnπxL dx 12 02 x22 cosnπx2 dx 1n 4n2 π2 para n 1 bn 1L 22 Hx sennπxL dx 12 02 x22 sennπx2 dx 1n1 2nπ 1n 1 4n3 π3 para n 1 Finalmente a série de Fourier de Hx é Hx a02 n1 an cosnπx2 bn sennπx2 13 n1 1n 4n2 π2 cosnπx2 1n1 2nπ 1n 1 4n3 π3 sennπx2 13 4π2 cosπx2 2π 8π3 senπx2 1π2 cosπx 1π senπx 49π2 cos3πx2 23π 827π3 sen3πx2 14π2 cos2πx 12π sen2πx 425π2 cos5πx2 25π 8125π3 sen5πx2 19π2 cos3πx 13π sen3πx Nas Figs 30 33 vemos as somas parciais SHNx a02 n1N an cosnπx2 bn sennπx2 da série de Fourier se aproximando de Hx Fig 30 Gráfico de SH1x Fig 31 Gráfico de SH4x Fig 32 Gráfico de SH10x Fig 33 SHNx N1 10 35 Transferência de calor numa barra continuação Na subseção 21 abodamos o problema de transferência de calor numa barra metálica 310 ut K uxx 0 x L0 t K 0 311 ux0 fx 0 x L 312 u0t uLt 0 0 t Através do método de separação de variáveis chegamos a que as funções unxt en2 π2 K tL2 sennπxL n123 são soluções da equação do calor 310 e satisfazem as condições de contorno 312 Pelo princípio de superposição qualquer combinação linear finita dessas funções é também uma solução que satisfaz as condições de contorno Mais ainda qualquer combinação linear infinita da forma uxt n1 bn unxt n1 bn en²π²KtL² sennπxL bn ℝ onde a série converge é uma solução de 310 que satisfaz 312 Confrontando com a condição inicial 311 vemos que uxt dada em 313 será solução do problema de transferência de calor quando f 0L ℝ for dada por uma série de senos convergente fx ux0 n1 bn sennπxL o qual será verdade se f se expressa por uma série de Fourier de senos Para isso basta considerar a série de Fourier da extensão periódica ímpar de fx com período fundamental 2L onde os coeficientes bn são dados pelas fórmulas de EulerFourier bn 1L LL fx sennπxL dx Exemplo 18 Determinemos a solução do problema de transferência de calor numa barra metálica com K1532 tendo 2m de comprimento isolada lateralmente e mantendo as extremidades a temperatura zero e com distribuição inicial da temperatura dada pela função fx x²2 para 0x2 0 para x2 O problema é descrito matematicamente pelo sistema 310312 No exemplo 17 obtivemos a série de Fourier da extensão periódica ímpar Gx de fx Gx n1 bn sennπx2 n1 1n14nπ 1n 18n³π³ sennπx2 Assim o problema de transferência de calor dado por 310312 terá por solução uxt n1 1n14nπ 1n 18n³π³ e3n²π²t8 sennπx2 t0 x0L Para cada N ℕ seja a soma parcial vNxt n1N 1n14nπ 1n 18n³π³ e3n²π²t8 sennπx2 Então uxt limN vNxt Por exemplo uxt v₅xt n15 1n14nπ 1n 18n³π³ e3n²π²t8 sennπx2 4π 16π³ e3π²8 t senπx2 2π e3π²2 t senπx 43π 1627π³ e27π²8 t sen3πx2 1π e6π² t sen2πx 45π 16125π³ e75π²8 t sen5πx2 Nas Figs 34 e 35 podemos ver como a função de temperatura uxt é aproximada por v₅xt Observe como a temperatura vai tendendo a zero rapidamente quando o tempo t aumenta Fig 34 O gráfico de v₅xt aproxima a superfície de temperatura Fig 35 Gráficos de x v₅xt mantendo t fixo 36 Transferência de calor numa barra condições de contorno não homogêneas Consideremos agora o problema de descrever a temperatura nas seções transversais de uma barra metálica com isolamento térmico lateral mantendo as extremidades a temperatura constante T₀ e TL respectivamente Isto é temos o seguinte problema de valores iniciais 315 ut K uxx 0xL 0t K0 316 ux0fx 0xL 317 u0tT₀ uLtTL 0t Primeiramente observamos que o princípio de superposição deixa de ser válido porque as condições de contorno não são homogêneas 317 O procedimento a ser adotado neste caso consiste dos seguintes três passos a Procurar uma solução de equilíbrio wxt da equação 315 que satisfaz as condições de contorno 317 Essa solução é a temperatura no estado estacionário e não depende do tempo t Procuramos então uma solução de 315 da forma wxtWx dependendo somente da variável x b Assumindo que uxt é a solução do problema definir vxt uxt wxt uxt Wx e verificar que vxt é solução de uma EDP do calor com condições de contorno homogêneas que já sabemos resolver Essa é a chamada solução transiente do sistema c A solução uxt procurada será a soma da solução de equilíbrio com a solução transiente uxt Wx vxt Procuremos então uma solução de 315 da forma wxt Wx que depende apenas de x wt K wxx 0 K Wx Wx Ax B com AB ℝ constantes arbitrárias Como wxt Wx satisfaz 317 T₀ w0t W0 A0 B B e TL wLt WL AL B AL T₀ A TL T₀L Portanto a solução de equilíbrio procurada é wxt Wx TL T₀L x T₀ Seja agora uxt a solução procurada do nosso problema dado pelas equações 315317 Definimos a função vxt por vxt uxt wxt uxt Wx uxt TL T₀L x T₀ Então uxt vxt Wx vxt TL T₀L x T₀ e como estamos assumindo que uxt é solução da EDP temos vt ut wt ut K uxx K ²x² vxt Wx K vxx Wx K vxx pois Wx0 Além disso v0t 0 vLt0 e vx0 ux0 TL T₀L x T₀ fx TL T₀L x T₀ Isto é vxt é solução do problema com condições de contorno homogêneas 318 vt K vxx 0xL 0t K0 319 vx0 gx 0xL 320 v0t 0 vLt 0 0t que sabemos já resolver onde gx fx TL T₀L x T₀ O sistema 318320 tem por solução 321 vxt n1 bn en²π²KtL² sennπxL onde os bn são os coeficientes da série de Fourier da extensão periódica ímpar de gx bn 2L 0L gx sennπxL dx Por fim uxt vxt Wx é a soma das soluções transiente e de equilíbrio 322 uxt TL T₀L x T₀ n1 bn en²π²KtL² sennπxL Exemplo 19 Considere o problema de condução de calor numa barra com 10 cm de comprimento e constante de condutividade térmica K1 revestida lateralmente por isolante térmico com as UNxt x 20 sum from n1 to N 40 n π en2 π2 t 100 senn π x 10 para diferentes valores de N se aproximam da solução no estado estacionário Wx quando t Fig 36 U1xt Fig 37 U5xt Fig 38 U20xt 37 Transferência de calor numa barra extremidades isoladas Outro problema que podemos resolver com o método de separação de variáveis é o da transferência de calor numa barra revestida com isolante térmico com as extremidades isoladas isto significa que o fluxo de calor através das extremidades da barra é igual a zero Ou seja não ocorre troca de calor com o meio exterior através das extremidades da barra O modelo matemático que descreve essa situação é dado pelo seguinte problema de valores iniciais e de contorno 324 ut K uxx 0 x L 0 t K 0 325 ux0 fx 0 x L 326 ux0t 0 uxLt 0 0 t O fato de que o fluxo de calor através das extremidades da barra é igual a zero é representado pelas condições de contorno homogêneas 326 Aplicando o método de separação de variáveis procuramos soluções não triviais da equação do calor satisfazendo as condições de contorno 326 na forma de produto uxt Xx Tt de uma função Xx dependendo da variável x com uma função Tt que depende somente da variável t De 324 temos extremidades livres mantidas a 20ºC e 30ºC Assumindo que a distribuição inicial de temperatura é dada pela função fx 40 x a Determine a distribuição de temperatura no estado estacionário b Descreva o problema de valores de contorno que determina a solução transiciente c Obtenha a solução do problema transiente d Obtenha a solução do problema de condução de calor Solução O problema de condução de calor neste caso é dado pelo sistema 323 ut uxx 0 x 10 t 0 u0t 20 u10t 30 t 0 ux0 fx 40 x 0 x 30 a A distribuição de temperatura no estado estacionário é dada pela solução de Wx 0 0 x 10 W0 20 W10 30 Isto é Wx Ax B com W0 B 20 e W10 10A 20 30 A 1 Daí a distribuição de temperatura no estado estacionário é Wx x 20 0 x 10 b Sendo gx fx Wx 40 x x 20 20 2x o problema de valores de contorno que determina a solução transiente é vt vxx 0 x 10 t 0 v0t 0 v10t 0 t 0 vx0 20 2x 0 x 30 c A solução transiente vxt do problema obtido em b é vxt sum from n1 to bn en2 π2 t 100 senn π x 10 onde os bn são os coeficientes da série de Fourier da extensão periódica impar de gx 202x bn 210 ₀¹⁰ 20 2x senn π x 10 dx 40 n π n 1 2 3 Logo a solução transiente é vxt sum from n1 to 40 n π en2 π2 t 100 senn π x 10 d Finalmente a solução do problema de condução de calor 323 é a soma da solução no estado estacionário Wx com a solução transiente vxt que já determinamos Isto é uxt Wx vxt x 20 sum from n1 to 40 n π en2 π2 t 100 senn π x 10 Nas Figs 36 38 podemos ver como as funções ut Xx Tt K Xx Tt uxx logo Tt K Tt Xx Xx λ onde λ R é uma constante Desta forma obtemos as EDOs 327 Tt λ K Tt 0 328 Xx λ Xx 0 Sendo uxxt XxTt as condições de contorno 326 tornamse ux0t X0 Tt 0 e uxLt XL Tt 0 para todo t 0 Como não queremos Tt 0 para todo t 0 concluímos 329 X0 XL 0 Inicialmente devemos determinar os valores de λ autovalores para os quais o problema de SturmLiouville formado pela equação 328 junto com as condições de contorno 329 possui soluções não triviais Analisemos separadamente os casos λ 0 λ 0 e λ 0 Caso λ 0 Podemos escrever λ μ² com μ 0 A equação 328 se escreve na forma Xx μ² Xx 0 e sua solução geral é Xx A eμx B eμx Então Xx A μ eμx B μ eμx e usando as condições de contorno 329 temos X0 A μ eμ0 B μ eμ0 A B 0 A B XL A μ eμL B μ eμL A μ eμL A μ eμL A μ eμL eμL 0 A 0 pois μ 0 Logo A B 0 e portanto Xx 0 para todo x 0L é a solução trivial que não queremos Portanto o caso λ 0 fica descartado Caso λ 0 A equação 328 é Xx 0 cuja solução geral é Xx A Bx com A e B constantes arbitrárias Sendo Xx B e tomando x 0 ou x L obtemos B 0 por 329 Como não houve restrição alguma na constante A nosso problema tem por solução Xx A Caso λ 0 Escrevendo λ μ2 com μ 0 a equação 328 fica na forma Xx μ2 Xx 0 cuja solução geral é Xx A cosμ x B senμ x com A e B constantes arbitrárias Derivando Xx A μ senμ x B μ cosμ x e usando as condições de contorno 329 e que μ 0 obtemos X0 A μ senμ 0 B μ cosμ 0 B μ 0 B 0 Logo A 0 pois não queremos Xx 0 para todo x ε 0 L Também sendo A 0 e μ 0 obtemos XL A μ senμ L 0 μ L n π n ε Z μn n π L n ε Z Finalmente nosso problema de SturmLiouville possui as soluções2 Xnx An cosn π x L n ε N x ε 0 L Vamos analisar a equação 327 para os valores λ obtidos acima Para λ 0 a equação é Tt 0 donde Tt C é constante arbitrária Para λn n2 π2 L2 n ε N a equação é Tt n2 π2 L2 K Tt 0 n ε N cuja solução é 331 Tnt Cn en2 π2 K t L2 t ε 0 n ε N Concluímos que a função u0 x t AC a0 2 e por 330 e 331 as funções un x t Xnx Tn t An cosn π x L Cn e n2 π2 K t L2 an e n2 π2 K t L2 cosn π x L n 1 2 3 são soluções da equação do calor 324 que satisfazem as condições de contorno 326 Como a equação do calor 324 e as condições de contorno 326 são homogêneas podemos aplicar o princípio de superposição para concluir que 332 ux t u0 x t n1 un x t a0 2 n1 an e n2 π2 K t L2 cosn π x L é também solução de 323 que satisfaz 325 Confrontando com a condição inicial 324 obtemos que 331 será solução do nosso problema de transferência de calor na barra com extremidades isoladas se ux 0 a0 2 n1 an cosn π x L for a série de Fourier da extensão periódica par de fx com período 2L Isto é se os coeficientes an forem calculados pelas fórmulas de EulerFourier a0 2 L 0L fx dx e an 2 L 0L fx cosn π x L dx n 1 Exemplo 20 Considere uma barra metálica com L 4 m de comprimento constante de condutividade térmica K 1 extremidades isoladas e temperatura inicial fx senπ x L Determine a distribuição de temperatura ux t e a distribuição de temperatura no estado estacionário quando t Solução A distribuição de temperatura ux t é a solução do problema 333 ut uxx 0 x 4 t 0 334 ux0 t ux4 t 0 t 0 335 ux 0 fx senπ x 4 0 x 4 Temos ux t a0 2 n1 an e n2 π2 t 16 cosn π x 4 onde a0 24 04 fx dx 12 04 senπ x 4 dx 4π e para n 1 2 3 an 24 04 fx cosn π x 4 dx 12 04 senπ x 4 cosn π x 4 dx 0 para n impar 4 π n2 1 para n par 0 para n 1 2 1 1n π n2 1 para n 1 Assim ux t 2π 43π eπ2 t 4 cosπ x 2 435π e9 π2 t 4 cos3 π x 2 463π e4 π2 t cos2 π x 2 1 1n π n2 1 e n2 π2 t 16 cosn π x 4 Como limt e n2 π2 t 16 0 para todo n 1 então a temperatura no estado estacionário é Wx 2π FIG 39 Wx estado estacionário Nas seguintes figuras vemos como as funções UN x t 2π n2N 2 1 1n π n2 1 e n2 π2 t 16 cosn π x 4 para diferentes valores de N se aproximam da solução no estado estacionário quando t FIG 40 U2 x t FIG 41 U4 x t x u 4 L 2 1 Condicao inicial fx Estado estacionario Wx 2 π t0 t5 t1 t15 Fig 42 U8x t 31
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SERIES DE FOURIER E METODO DE SEPARAC AO DE VARIAVEIS PARA EQUAC OES DIFERENCIAIS PARCIAIS 1a PARTE Resumo Nosso objetivo e fornecer uma breve e rapida introducao ao estudo das Equacoes em Derivadas Parciais EDPs homogˆeneas de segunda ordem com coeficientes constantes e a suas solucoes atraves do Metodo de Separacao de Variaveis em termos de Series de Fourier 1 Equacoes diferenciais parciais lineares de segunda ordem 11 Introducao e definicoes Uma equacao diferencial parcial EDP ou equacao diferencial a derivadas parciais e uma equacao que envolve uma funcao indeterminada que depende de mais de uma variavel junto com suas derivadas parciais de diversas ordens em relacao a algumas das variaveis Assim uma EDP na funcao indeterminada u ux1 x2 xn e uma equacao da forma 11 Fx1 xn u ux1 uxn ux1x1 ux1x2 0 onde uxk u xk uxkxj 2u xkxj etc A ordem de uma EDP e a maior dentre as ordens das derivadas parciais da funcao indeterminada que figuram na equacao A funcao u ux1 xn e uma solucao da EDP 11 se quando substituıda na equacao junto com suas derivadas parciais a torna uma identidade Exemplo 1 As funcoes ucx y cosx y e usx y senx y sao solucoes de ux uy 0 Exemplo 2 A funcao ux y z xyz e uma solucao da EDP x 2u xz y 2u yz 2u z Em geral determinar as solucoes de uma EDP nao e uma tarefa simples Em certas situacoes e possıvel determinar a solucao impondo condicoes adicionais a funcao indeterminada que se procura Assim como ao tratarmos de EDOs onde se impunham condicoes iniciais trataremos de resolver EDPs impondo tambem condicoes iniciais alem de possıveis condicoes de contorno que sao condicoes impostas a funcao indeterminada que devem ser satisfeitas nos pontos da fronteira de um determinado domınio como veremos mais adiante Uma EDP e linear quando e uma combinacao linear da funcao indeterminada e suas derivadas parciais onde os coeficientes da combinacao linear podem ser funcoes das variaveis envolvidas Uma EDP linear e homogˆenea quando o termo independente na equacao isto e o termo que nao envolve a funcao indeterminada nem suas derivadas parciais e igual a zero Finalmente se em uma EDP linear os coeficientes da funcao indeterminada e de suas derivadas parciais sao constantes numericas dizemos que a EDP e linear com coeficientes constantes 1 Exemplo 3 As EDPs a 5y u x 2x u y 3x2 ux y 0 b 2xux 2xyuxx 3y2uxy ux y c z 3u x3 cosz xu x senx yu y senz yu z 3 tanx y z sao lineares a e linear homogˆenea de primeira ordem pois o termo da equacao que nao contem u nem suas derivadas parciais e igual a zero A EDP b e tambem linear homogˆenea de segunda ordem Finalmente a equacao c e linear nao homogˆenea de terceira ordem pois o termo independente ou seja o termo da equacao que nao contem u nem suas derivadas parciais e igual a 3 tanx y z Exemplo 4 As seguintes EDPs sao nao lineares a u x uu y 0 b u x u y xy 2u xy c z 3u x3 cosu3u y3 2u xz 2u yz senz nelas a funcao indeterminada e as derivadas parciais sao combinadas de forma nao linear 12 EDPs lineares de segunda ordem com duas variaveis Uma EDP linear de segunda ordem na funcao indeterminada ux y tem a forma 12 Ax y2u x2 Bx y 2u xy Cx y2u y2 Dx yu x Ex yu y Fx yux y Gx y Quando as funcoes coeficientes Ax y Bx y Cx y Dx y Ex y e Fx y sao constantes dizemos que a EDP e linear de segunda ordem com coeficientes constantes e quando o termo independente Gx y e identicamente nulo a EDP e homogˆenea Em todo o seguinte estudaremos apenas EDPs lineares homogˆeneas de segunda ordem com coeficientes constantes 13 A2u x2 B 2u xy C 2u y2 D u x E u y Fux y 0 ou seja 14 Auxx Buxy Cuyy Dux Euy Fux y 0 onde os coeficientes A B C D E e F sao numeros reais As derivadas parciais respectivas poderao ser designadas atraves de subındices ou na forma de quociente usando o operador As EDPs da forma 13 ou equivalentemente 14 sao classificadas segundo os coeficien tes da parte principal Auxx Buxy Cuyy da seguinte maneira observe a analogia com a classificacao geometrica das curvas cˆonicas hiperbole parabola e elipse no plano cartesiano Se B2 4AC 0 a EDP e hiperbolica Se B2 4AC 0 a EDP e parabolica Se B2 4AC 0 a EDP e elıptica 2 Exemplo 5 a A equacao da onda utt K uxx com K 0 e uma EDP hiperbolica na funcao indeterminada ux t De fato escrevendo a equacao na forma c2uxxutt 0 vemos que A c2 B 0 e C 1 daı B2 4AC 0 4c21 4c2 0 b A equacao de difusao ou equacao do calor ut K uxx com K 0 e uma EDP parabolica na funcao indeterminada ux t Com efeito sendo a equacao Kuxx ut 0 obtemos A K B 0 e C 0 logo B2 4AC 0 4K 0 0 c A equacao de Laplace uxx uyy 0 e uma EDP elıptica na funcao indeterminada ux y pois A 1 B 0 e C 1 logo B2 4AC 0 4 1 1 4 0 As EDPs de a b e c sao homogˆeneas Ha versoes delas nao homogˆeneas e tambem com mais variaveis que em princıpio nao iremos considerar Uma caracterıstica importante das EDPs lineares homogˆeneas e que qualquer com binacao linear finita de solucoes e tambem uma solucao dito de outro modo somas de multiplos de um numero finito de solucoes e tambem solucao Este fato que e consequˆencia da linearidade dos operadores de derivacao derivar e uma operacao linear e chamado Princıpio de Superposicao de solucoes Mais ainda como veremos adiante as combinacoes lineares de solucoes poderao sob certas hipoteses ser somas infinitas isto e series de funcoes E importante observar que a funcao constante de valor zero ux t 0 e sempre uma solucao de uma EDP linear homogˆenea ela e chamada a solucao nula ou solucao trivial da equacao Em breve iremos desenvolver um metodo para procurar solucoes nao triviais de EDPs lineares homogˆeneas de segunda ordem Exemplo 6 No Exemplo 1 vimos que as funcoes ucx y cosx y e usx y senx y sao solucoes da EDP ux uy 0 A EDP e linear homogˆenea de primeira ordem pelo Princıpio de Superposicao qualquer funcao da forma ux y Aucx y Busx y A cosx y B senx y com A B R constantes arbitrarias e tambem solucao Exemplo 7 As funcoes φx y x2 y2 e ψx y 2xy sao solucoes da EDP de Laplace uxx uyy 0 Pelo Princıpio de Superposicao qualquer funcao da forma Ψx y Aφx y Bψx y Ax2 y2 2Bxy com A B R constantes arbitrarias e tambem solucao As solucoes da EDP de Laplace sao chamadas funcoes harmˆonicas A funcao ux y e harmˆonica se seu Laplaciano e nulo u 2u uxx uyy 0 Ha versoes das equacoes do calor da onda e de Laplace com mais variaveis que nao serao estudadas nesta primeira abordagem 3 2 EDPs lineares homogˆeneas e separacao de variaveis 21 O problema da transferˆencia de calor numa barra Considere uma barra metalica retilınea de comprimento L revestida lateralmente por um material isolante termico de modo que e possıvel a troca de calor apenas por suas extremidades x x0 Isolamento lateral xL Fig 1 Barra metalica com isolamento lateral Suponhamos que o calor seja transmitido apenas na direcao longitudinal da barra isto e nos discos transversais a temperatura e constante Seja ux t a temperatura na secao longitudinal de coordenada x no instante de tempo t Sabese desde os estudos de Joseph Fourier entre 1804 e 1807 que a equacao que descreve o comportamento de ux t e a equacao do calor ut K uxx onde K 0 e uma constante denominada coeficiente de difusao termica e que e uma caracterıstica fısica do material da barra O primeiro problema abordado por Fourier foi o de determinar a distribuicao de temperatura ux t sabendo que no instante inicial t 0 e dada por uma funcao ux 0 fx lembre que a temperatura e constante em cada secao transversal de coordenada x e que nas extremidades da barra permanece constante igual a zero ou seja u0 t 0 uL t Estas consideracoes dao origem ao problema de valores iniciais e de contorno ut K uxx 0 x L 0 t K 0 21 ux 0 fx 0 x L 22 u0 t uL t 0 0 t 23 que consiste em determinar a funcao de temperatura ux t cujo comportamento e regido pela equacao do calor 21 sujeita a condicao inicial 22 e as condicoes de contorno 23 22 O metodo de separacao de variaveis primeiro exemplo Vamos procurar por solucoes nao triviais do problema de transferˆencia de calor numa barra de comprimento L dado pela EDP 21 a solucao desejada devera satisfazer a condicao inicial 22 e as condicoes de contorno 23 Note que a EDP e linear homogˆenea e as condicoes de contorno sao tambem homogˆeneas Condicoes de contorno nao homogˆeneas seriam por exemplo u0 t ft uL t gt sendo f e g funcoes dependentes apenas de t podendo ser constantes nao nulas 4 O metodo de separacao de variaveis consiste em propor uma solucao ux t definida no domınio x t 0 L 0 como sendo o produto de duas funcoes uma funcao Xx dependente apenas de x e uma funcao Tt que depende somente de t Isto e propomos ux t Xx Tt para todo x t 0 L 0 Tenha sempre em mente que procuramos por solucoes nao triviais de 21 consequentemente Tt e Xx nao podem ser funcoes nulas Substituındo nossa proposta de solucao ux t Xx Tt em 21 obtemos Xx T t ut K uxx K Xx Tt para todos x 0 L t 0 ou seja 24 T t K Tt Xx Xx para todos x 0 L t 0 Note que o lado esquerdo de 24 e uma funcao que depende apenas de t enquanto que o lado direito e uma funcao que depende apenas de x Este fato implica1 que ambos os lados da identidade sao iguais a uma constante que designaremos por λ a escolha do sinal ficara evidente em breve Isto e para todos t 0 e x 0 L T t K Tt λ e Xx Xx λ Dessa forma o metodo de separacao de variaveis transforma a EDP 21 em duas EDOs T t K λ Tt 0 t 0 25 Xx λ Xx 0 x 0 L 26 que devem ser analisadas a luz das condicoes inicial 22 e de contorno 23 do problema Primeiramente se ux t Xx Tt entao pelas condicoes de contorno 23 temos u0 t X0 Tt 0 e uL t XL Tt 0 para todo t 0 Sendo Tt 0 para todo t 0 obtemos 27 X0 0 e XL 0 caso contrario ux t seria a solucao trivial de 21 As igualdades 27 sao tambem condicoes de contorno para a equacao 26 A equacao 26 e uma EDO linear homogˆenea de segunda ordem com coeficientes constantes com equacao caracterıstica r2 λ 0 Analisemos as solucoes de 26 em termos do sinal de λ Caso λ 0 temos λ ω2 para algum ω 0 e a equacao caracterıstica r2 ω2 0 tem duas raızes reais diferentes r ω e r ω A solucao geral de 26 e Xx Aeω x Beω x com A B R constantes 1De fato se αt e βx sao funcoes que dependem apenas de t e x respectivamente e αt βx para todos t e x entao fixando t t0 obtemos αt0 βx para todo x Assim βx e constante de valor λ αt0 Consequentemente fixando x x0 obtemos αt βx0 λ para todo t Assim αt βx λ para todos x e t 5 Das condições de contorno 27 obtemos X0 A B 0 e XL AeωL BeωL 0 ou seja temos o seguinte sistema de duas equações lineares nas variáveis A e B A B 0 AeωL BeωL 0 cuja única solução é A 0 e B 0 Com isso teríamos Xx 0 para todo x 0 L Portanto ux t 0 para todo x 0 L isto é ux t seria a solução trivial de 21 coisa que não queremos Caso λ 0 integrando a equação 26 Xx 0 obtemos Xx Ax B com A e B constantes De 27 temos X0 A0 B B 0 XL AL 0 AL 0 como L 0 concluímos A 0 Logo Xx 0 para todo x e ux t é a solução trivial de 21 Caso λ 0 temos λ ω2 para algum ω 0 e a solução geral de 26 é Xx A cosωx B senωx x 0 L A B R Usando as condições de contorno 27 obtemos X0 A cosω0 B senω0 A 0 além disso XL 0 cosωL B senωL B senωL 0 Como não queremos que ux t seja a solução trivial B não pode ser igual a zero Consequentemente senωL 0 ou seja ωL nπ com n Z Isto é ω ωn nπL n Z 0 Portanto λ λn ωn2 n2π2L2 n Z são os valores possíveis para λ Então tomando B 1 obtemos que as funções Xnx sen nπxL com x 0 L e n Z 0 são soluções de 26 Observe que descartamos a solução X0x que é constante de valor zero e não nos interessam soluções triviais Além disso como Xnx sen nπxL sen nπxL Xnx podemos considerar apenas as soluções 29 Xnx sen nπxL para n N 1 2 3 Os números λn e as soluções Xnx n N são os autovalores e as autofunções respectivamente do problema de SturmLiouville que consiste da equação 26 junto com as condições de Surgem as seguintes questões A Que funções fx se expressam na forma 213 ou mais geralmente na forma de uma série de funções fx n1 cn sen nπxL B Sabendo que fx é como em A qual é a relação dos coeficientes cn com fx C Se fx é como em A é verdade que a função ux t n1 cn unx t n1 cn e n2 π2 K tL2 sen nπxL é também solução de 21 satisfazendo 22 e 23 Vamos pausar a nossa análise do problema do calor para estudar um pouco sobre as funções fx que se exprimem como séries de senos e cossenos 3 SÉRIES DE FOURIER 31 Funções periódicas Uma função fx é periódica se existe T R T 0 tal que fx T fx para todo x R Qualquer valor de T com essa propriedade é um período de f e o menor dos períodos é o período fundamental de f De imediato vemos que o domínio de uma função periódica é R Exemplo 8 As funções Xnx sen nπxL são periódicas com período fundamental 2Ln De fato para todo x R vale que Xnx T sen nπx TL sen nπx nπTL sen nπxL nπTL sen nπxL Xnx se e só se nπTL 2 kπ para algum inteiro k lembre que a função senx é periódica com período fundamental 2π Logo T 2 kLn O menor T 0 isto é o período fundamental é obtido tomando k 1 Assim T 2 Ln é o período fundamental de Xn Por exemplo as funções fx senx gx sen2πx e hx cos 5πx2 são funções periódicas com períodos fundamentais 2π 1 e 45 respectivamente como mostramos a seguir FIG 2 fx senx tem período fundamental 2π Fig 3 fx sen2πx tem período fundamental 1 Fig 4 fx cos 5πx2 tem período fundamental 45 Quando n aumenta o período fundamental Tn 2Ln diminui a frequência da onda νn 1Tn n2L aumenta e o gráfico de Xnx fica mais apertado Uma função periódica não tem por que ser contínua derivável etc Exemplo 9 A função fx dada por fx x para 0 x 2 fx2 fx para todo x R é periódica com período fundamental 2 Fig 5 fx x para 0 x 2 e fx2 fx para todo x R tem período fundamental 2 Mais ainda podemos construir uma função periódica a partir de uma função qualquer Exemplo 10 Se f ab R é uma função qualquer e T b a a função Fx definida por Fx fx para x ab FxT Fx para todo x R é uma função periódica de período fundamental T b a Observe que o gráfico de Fx é obtido pela translação horizontal do gráfico de fx por múltiplos do período fundamental x y f b aT a a2T a3T aT a2T Fig 6 Fx fx se x a b e Fx T Fx para todo x R tem perıodo fundamental T b a A funcao cosseno e uma funcao periodica par e a funcao seno e uma funcao periodica ımpar Em geral e possıvel definir funcoes periodicas pares e ımpares a partir de uma funcao dada Exemplo 11 A extensao periodica par de f 0 L R e a funcao periodica Fx Fig 7 com perıodo fundamental 2L definida por Fx fx se x 0 L fx se x L 0 Fx 2L Fx para todo x R x y L L Fig 7 Grafico da extensao periodica par de f 0 L R com perıodo fundamental 2L Exemplo 12 A extensao periodica ımpar de f 0 L R e a funcao periodica Gx Fig 8 com perıodo fundamental 2L definida por Gx fx se x 0 L fx se x L 0 0 se x 0 ou x L Gx 2L Gx para todo x R x y L L Fig 8 Grafico da extensao periodica ımpar de f 0 L R com perıodo fundamental 2L 10 Uma função definida no intervalo 0L pode ser extendida a uma função periódica que não é par nem ímpar como no seguinte exemplo Exemplo 13 A extensão periódica nula de uma função f 0L R é a função Hx Fig 9 com período fundamental 2L dada por Hx fx se x 0L 0 se x L0 Hx2L Hx para todo x R Fig 9 Extensão periódica nula de f 0L R que não é par nem ímpar 32 Séries de Fourier definição Uma função fx que se representa por sua série de Taylor n0 fnx0n x x0n num determinado intervalo em torno de x0 é infinitamente diferenciável analítica integrável e aproximável por funções polinomiais somas parciais da série que são funções de natureza simples Vejamos como representar uma função periódica através de uma série de funções periódicas de natureza simples As funções periódicas simples a que nos referimos são as funções seno e cosseno Uma Série de Fourier é uma série de funções da forma 31 a02 n1 an cosnπxL bn sennπxL onde L 0 an e bn são constantes para todo n 123 Dizemos que 31 é a série de Fourier de fx se em cada x onde f é contínua a série converge para o valor fx Nesse caso como veremos adiante os coeficientes an e bn são determinados pela função fx As funções Cnx cosnπxL e Snx sen nπxL que figuram na série 31 são periódicas com período fundamental 2Ln logo todas são simultaneamente periódicas com período 2L Fixado um intevalo ab com a podendo ser eou b podendo ser o produto interno de duas funções g h ab R é o número quando existir gh ab gx hx dx Dizemos que as funções g h ab R são ortogonais quando gh 0 Exemplo 14 1 Em 11 fx x3 hx x2 1 fh 11 x3x2 1dx x66 x44 11 0 2 Em 01 fx x3 hx x2 1 fh 01 x3x21dx x66 x44 01 512 3 Em 0 π2 fx sen x hx cos x fh 0π2 sen x cos x dx sen2x2 0π2 12 1 e 2 do exemplo anterior mostram que o valor do produto interno entre duas funções depende do intervalo usado para definir o produto Em particular a ortogonalidade de duas funções depende do intervalo que foi usado na definição do produto interno Vamos mostrar que as funções Cnx e Snx são ortogonais quando o produto interno está definido em intervalos da forma LL para qualquer L R L 0 Este fato nos permite usálas como se fossem os vetores de uma base ortogonal num espaço vetorial Assim vamos poder escrever certas funções como combinações lineares infinitas das funções da base ortogonal Em breve vamos esclarecer qual é o conjunto de funções que tem como base as funções Cnx e Snx n N Proposição 1 Sejam Cn Sn LL R Cnx cosnπxL e Snx sennπxL Então 32 Cn Cm 0 se n m L se n m 33 Sn Sm 0 se n m L se n m 34 Cn Sm 0 para todos nm N Para verificar 32 34 lembramos das seguintes identidades trigonométricas cos α cos β 12 cosα β cosα β cos2 α 12 1 cos2α sen α sen β 12 cosα β cosα β sen2 α 12 1 cos2α cos α sen β 12 senα β senα β Por exemplo vejamos como mostrar 32 Se n m CₙCₙ Lᴸ cos nπxL cos nπxL dx Lᴸ cos² nπxL dx Lᴸ 12 1 cos 2nπxL dx L 12 sen 2nπxL Lᴸ L Se n m ou seja n m 0 CₙCₘ Lᴸ cos nπxL cos mπxL dx Lᴸ 12 cos n m πxL cos n m πxL dx 12 Lᴸ cos n m πxL dx 12 Lᴸ cos n m πxL dx 12 Lnm π sen n m πxL Lᴸ 12 Lnm π sen n m πxL Lᴸ 0 As outras identidades se verificam de forma análoga façao como exercício 33 Cálculo dos coeficientes da Série de Fourier Suponhamos que a série de Fourier de fx converge para todo x LL isto é fx a₀2 ₙ₁ aₙ cos nπxL bₙ sen nπxL a₀2 ₙ₁ aₙ Cₙx bₙ Sₙx x LL Note que para todo n N Lᴸ Cₙx dx Lᴸ Sₙx dx 0 Suponhamos que é possível integrar a Série de Fourier 35 de f termo a termo Lᴸ fx dx Lᴸ a₀2 ₙ₁ aₙ Cₙx bₙ Sₙx dx a₀2 Lᴸ dx ₙ₁ aₙ Lᴸ Cₙx dx bₙ Lᴸ Sₙx dx a₀2 2L a₀ L Multiplicando 35 por Cₘx cos mπxL e integrando termo a termo usando a Proposição 1 Lᴸ fx Cₘx dx Lᴸ a₀2 Cₘx dx ₙ₁ aₙ Lᴸ Cₙx Cₘx dx bₙ Lᴸ Sₙx Cₘx dx a₀2 Lᴸ Cₘx dx ₙ₁ aₙCₙCₘ bₙSₙCₘ aₙ L Analogamente multiplicando 35 por Sₘx sen mπxL e integrando termo a termo Lᴸ fx Sₘx dx bₙ L Proposição 2 Se 35 é a Série de Fourier de fx no intervalo LL então os coeficientes aₙ e bₙ são dados pelas Fórmulas de EulerFourier 36 a₀ 1L Lᴸ fx dx aₙ 1L Lᴸ fx Cₙx dx e bₙ 1L Lᴸ fx Sₙx dx Finalmente vamos formalizar nossas considerações para isso lembramos o conceito de função seccionalmente contínua ou contínua por partes Designamos fx limtx ft e fx limtx ft os limites laterais de f quando t tende a x pela direita e pela esquerda Obviamente se f é contínua em x então fx 12 fx fx A função f é contínua por partes no intervalo ab se existem a c₀ c₁ c₂ cₖ₁ cₖ b no intervalo ab tais que a c₀ c₁ c₂ cₖ₁ cₖ b f é contínua no intervalo cᵢ cᵢ₁ i 012k 1 Os limites laterais fcᵢ limtcᵢ ft para i 01 k 1 e fcᵢ limtcᵢ ft para i 12k existem isto é são finitos A última propriedade diz que f somente pode ter descontinuidades de salto no intervalo ab Finalmente o nosso resultado Teorema 3 Teorema de Convergência de Fourier Se fx é uma função periódica de período 2L tal que fx e fx são contínuas por partes no intervalo LL então fx se representa por uma Série de Fourier da forma 35 no intervalo LL cujos coeficientes são dados pelas fórmulas de EulerFourier 36 Além disso a série converge a fx se x é um ponto de continuidade de f e converge a 12 fx fx se x é um ponto de descontinuidade de f 34 Séries de Fourier exemplos Vejamos como determinar a série de Fourier de uma função através de alguns exemplos Exemplo 15 Considere a função 37 fx x π2 se π x 0 x π2 se 0 x π fx 2π fx para todo x R A função fx é par contínua e periódica com período fundamental 2π logo L π Na Fig 10 podemos ver o gráfico da função fx Fig 10 Gráfico da função fx No intervalo fundamental ππ as funções f e f são contínuas por partes f é contínua e f é descontínua somente em x 0 Pelo Teorema 3 fx se representa por uma série de Fourier da forma fx a₀2 ₙ₁ aₙ Cₙx bₙ Sₙx onde Cₙx cos nπxπ cosnx e Sₙx sen nπxπ sennx Os coeficientes aₙ e bₙ são calculados com as Fórmulas de EulerFourier 36 a₀ 1π πᴨ fx dx 0 aₙ 1π πᴨ fx cosnx dx 21 1ⁿπ n² para n N bₙ 1π πᴨ fx sennx dx 0 para n N Logo a Série de Fourier de fx é fx ₙ₁ 21 1ⁿπ n² cosnx 4π cosx 49π cos3x 425π cos5x 449π cos7x Nas Figs 11 14 vemos como fx é aproximada pelas somas parciais da Série de Fourier com Cnx cosnπxL e Snx sennπxL Exemplo 16 Determinemos a série de Fourier da função fx x2 se 0 x 2fx 2 fx para todo x R A função fx Fig 15 é periódica com período fundamental 2L 2 então L 1 Fig 15 Gráfico da função fx Calculemos os coeficientes da série de Fourier de F usando as fórmulas de EulerFourier 39 Pela Observação 1 e integrando por partes a0 1L 20L fx dx 02 x2 dx 1 an 1L 02L fx cosnπxL dx 02 x2 cosnπx dx 0 bn 1L 02L fx sennπxL dx 02 x2 sennπx dx 1nπ Portanto a série de Fourier de fx é fx a02 n1 an cosnπx bn sennπx 12 n1 1nπ sennπx 12 n1 1nπ sennπx 12 1π senπx 12π sen2πx 13π sen3πx 1nπ sennπx Os gráficos abaixo mostram as primeiras somas parciais SfNx 12 Nn1 1nπ sennπx da série de Fourier de fx para diversos valores de N com Cnx cosnπxL e Snx sennπxL Exemplo 17 Consideremos a função fx x22 definida no intervalo 0 2 Determinemos as séries de Fourier das extensões periódicas par ímpar e nula de fx As três extensões de fx são funções periódicas com período fundamental 2L 4 ou seja L 2 A extensão periódica par de fx é a função Fx x22 se 2 x 2Fx Fx 4 para todo x R Sendo Fx Fig 20 uma função par integrando por partes a0 12 22 Fx dx 02 Fx dx 02 x22 dx 43 an 12 22 Fx cosnπx2 dx 02 x22 cosnπx2 dx 1n 8n2π2 para n 1 bn 12 22 Fx sennπx2 dx 0 para n 1 Assim a série de Fourier de Fx é Fx a02 n1 an cosnπx2 23 n1 1n 8n2π2 cosnπx2 23 8π2 cosπx2 2π2 cos2πx2 89π2 cos3πx2 12π2 cos2πx 825π2 cos5πx2 Nas Figs 2123 vemos as somas parciais SFNx 23 Nn1 1n 8n2π2 cosnπx2 convergindo a Fx Fig 20 Gráfico de Fx Fig 21 Gráfico de SF1x Fig 16 Gráfico de Sf1x Fig 17 Gráfico de Sf2x Fig 22 Gráfico de SF5x Fig 23 Gráfico de SFNx N1 8 A extensão periódica ímpar de fx é a função Gx x22 se 0 x 2 x22 se 2 x 0 0 se x 2 Gx Gx4 para todo x R Fig 24 Gráfico de Gx extensão periódica ímpar de fx Sendo Gx periódica ímpar com período fundamental 2L4 obtemos integrando por partes a0 12 22 Gx dx0 an 12 22 Gx cosnπx2 dx0 para n 1 bn 12 22 Gx sennπx2 dx 1n1 4nπ 1n 1 8n3 π3 para n 1 Logo a série de Fourier de Gx é Gx n1 bn sennπx2 n1 1n1 4nπ 1n 1 8n3 π3 sennπx2 4π 16π3 senπx2 2π senπx 43π 1627π3 sen3πx2 1π sen2πx 45π 16125π3 sen5πx2 Nas Figs 2528 mostramos algumas somas parciais SGNx n1N bn sennπx2 da série de Fourier de Gx Fig 25 Gráfico de SG1x Fig 26 Gráfico de SG2x Fig 27 Gráfico de SG7x Fig 28 Gráfico de SGNx N1 10 A extensão periódica nula de fx é a função Hx 0 se 2 x 0 x22 se 0 x 2 Hx Hx4 para todo x R Fig 29 Extensão periódica nula Hx de fx Sendo Hx 0 para 2 x 0 integrando por partes a0 1L 22 Hx dx 12 02 x22 dx 23 an 1L 22 Hx cosnπxL dx 12 02 x22 cosnπx2 dx 1n 4n2 π2 para n 1 bn 1L 22 Hx sennπxL dx 12 02 x22 sennπx2 dx 1n1 2nπ 1n 1 4n3 π3 para n 1 Finalmente a série de Fourier de Hx é Hx a02 n1 an cosnπx2 bn sennπx2 13 n1 1n 4n2 π2 cosnπx2 1n1 2nπ 1n 1 4n3 π3 sennπx2 13 4π2 cosπx2 2π 8π3 senπx2 1π2 cosπx 1π senπx 49π2 cos3πx2 23π 827π3 sen3πx2 14π2 cos2πx 12π sen2πx 425π2 cos5πx2 25π 8125π3 sen5πx2 19π2 cos3πx 13π sen3πx Nas Figs 30 33 vemos as somas parciais SHNx a02 n1N an cosnπx2 bn sennπx2 da série de Fourier se aproximando de Hx Fig 30 Gráfico de SH1x Fig 31 Gráfico de SH4x Fig 32 Gráfico de SH10x Fig 33 SHNx N1 10 35 Transferência de calor numa barra continuação Na subseção 21 abodamos o problema de transferência de calor numa barra metálica 310 ut K uxx 0 x L0 t K 0 311 ux0 fx 0 x L 312 u0t uLt 0 0 t Através do método de separação de variáveis chegamos a que as funções unxt en2 π2 K tL2 sennπxL n123 são soluções da equação do calor 310 e satisfazem as condições de contorno 312 Pelo princípio de superposição qualquer combinação linear finita dessas funções é também uma solução que satisfaz as condições de contorno Mais ainda qualquer combinação linear infinita da forma uxt n1 bn unxt n1 bn en²π²KtL² sennπxL bn ℝ onde a série converge é uma solução de 310 que satisfaz 312 Confrontando com a condição inicial 311 vemos que uxt dada em 313 será solução do problema de transferência de calor quando f 0L ℝ for dada por uma série de senos convergente fx ux0 n1 bn sennπxL o qual será verdade se f se expressa por uma série de Fourier de senos Para isso basta considerar a série de Fourier da extensão periódica ímpar de fx com período fundamental 2L onde os coeficientes bn são dados pelas fórmulas de EulerFourier bn 1L LL fx sennπxL dx Exemplo 18 Determinemos a solução do problema de transferência de calor numa barra metálica com K1532 tendo 2m de comprimento isolada lateralmente e mantendo as extremidades a temperatura zero e com distribuição inicial da temperatura dada pela função fx x²2 para 0x2 0 para x2 O problema é descrito matematicamente pelo sistema 310312 No exemplo 17 obtivemos a série de Fourier da extensão periódica ímpar Gx de fx Gx n1 bn sennπx2 n1 1n14nπ 1n 18n³π³ sennπx2 Assim o problema de transferência de calor dado por 310312 terá por solução uxt n1 1n14nπ 1n 18n³π³ e3n²π²t8 sennπx2 t0 x0L Para cada N ℕ seja a soma parcial vNxt n1N 1n14nπ 1n 18n³π³ e3n²π²t8 sennπx2 Então uxt limN vNxt Por exemplo uxt v₅xt n15 1n14nπ 1n 18n³π³ e3n²π²t8 sennπx2 4π 16π³ e3π²8 t senπx2 2π e3π²2 t senπx 43π 1627π³ e27π²8 t sen3πx2 1π e6π² t sen2πx 45π 16125π³ e75π²8 t sen5πx2 Nas Figs 34 e 35 podemos ver como a função de temperatura uxt é aproximada por v₅xt Observe como a temperatura vai tendendo a zero rapidamente quando o tempo t aumenta Fig 34 O gráfico de v₅xt aproxima a superfície de temperatura Fig 35 Gráficos de x v₅xt mantendo t fixo 36 Transferência de calor numa barra condições de contorno não homogêneas Consideremos agora o problema de descrever a temperatura nas seções transversais de uma barra metálica com isolamento térmico lateral mantendo as extremidades a temperatura constante T₀ e TL respectivamente Isto é temos o seguinte problema de valores iniciais 315 ut K uxx 0xL 0t K0 316 ux0fx 0xL 317 u0tT₀ uLtTL 0t Primeiramente observamos que o princípio de superposição deixa de ser válido porque as condições de contorno não são homogêneas 317 O procedimento a ser adotado neste caso consiste dos seguintes três passos a Procurar uma solução de equilíbrio wxt da equação 315 que satisfaz as condições de contorno 317 Essa solução é a temperatura no estado estacionário e não depende do tempo t Procuramos então uma solução de 315 da forma wxtWx dependendo somente da variável x b Assumindo que uxt é a solução do problema definir vxt uxt wxt uxt Wx e verificar que vxt é solução de uma EDP do calor com condições de contorno homogêneas que já sabemos resolver Essa é a chamada solução transiente do sistema c A solução uxt procurada será a soma da solução de equilíbrio com a solução transiente uxt Wx vxt Procuremos então uma solução de 315 da forma wxt Wx que depende apenas de x wt K wxx 0 K Wx Wx Ax B com AB ℝ constantes arbitrárias Como wxt Wx satisfaz 317 T₀ w0t W0 A0 B B e TL wLt WL AL B AL T₀ A TL T₀L Portanto a solução de equilíbrio procurada é wxt Wx TL T₀L x T₀ Seja agora uxt a solução procurada do nosso problema dado pelas equações 315317 Definimos a função vxt por vxt uxt wxt uxt Wx uxt TL T₀L x T₀ Então uxt vxt Wx vxt TL T₀L x T₀ e como estamos assumindo que uxt é solução da EDP temos vt ut wt ut K uxx K ²x² vxt Wx K vxx Wx K vxx pois Wx0 Além disso v0t 0 vLt0 e vx0 ux0 TL T₀L x T₀ fx TL T₀L x T₀ Isto é vxt é solução do problema com condições de contorno homogêneas 318 vt K vxx 0xL 0t K0 319 vx0 gx 0xL 320 v0t 0 vLt 0 0t que sabemos já resolver onde gx fx TL T₀L x T₀ O sistema 318320 tem por solução 321 vxt n1 bn en²π²KtL² sennπxL onde os bn são os coeficientes da série de Fourier da extensão periódica ímpar de gx bn 2L 0L gx sennπxL dx Por fim uxt vxt Wx é a soma das soluções transiente e de equilíbrio 322 uxt TL T₀L x T₀ n1 bn en²π²KtL² sennπxL Exemplo 19 Considere o problema de condução de calor numa barra com 10 cm de comprimento e constante de condutividade térmica K1 revestida lateralmente por isolante térmico com as UNxt x 20 sum from n1 to N 40 n π en2 π2 t 100 senn π x 10 para diferentes valores de N se aproximam da solução no estado estacionário Wx quando t Fig 36 U1xt Fig 37 U5xt Fig 38 U20xt 37 Transferência de calor numa barra extremidades isoladas Outro problema que podemos resolver com o método de separação de variáveis é o da transferência de calor numa barra revestida com isolante térmico com as extremidades isoladas isto significa que o fluxo de calor através das extremidades da barra é igual a zero Ou seja não ocorre troca de calor com o meio exterior através das extremidades da barra O modelo matemático que descreve essa situação é dado pelo seguinte problema de valores iniciais e de contorno 324 ut K uxx 0 x L 0 t K 0 325 ux0 fx 0 x L 326 ux0t 0 uxLt 0 0 t O fato de que o fluxo de calor através das extremidades da barra é igual a zero é representado pelas condições de contorno homogêneas 326 Aplicando o método de separação de variáveis procuramos soluções não triviais da equação do calor satisfazendo as condições de contorno 326 na forma de produto uxt Xx Tt de uma função Xx dependendo da variável x com uma função Tt que depende somente da variável t De 324 temos extremidades livres mantidas a 20ºC e 30ºC Assumindo que a distribuição inicial de temperatura é dada pela função fx 40 x a Determine a distribuição de temperatura no estado estacionário b Descreva o problema de valores de contorno que determina a solução transiciente c Obtenha a solução do problema transiente d Obtenha a solução do problema de condução de calor Solução O problema de condução de calor neste caso é dado pelo sistema 323 ut uxx 0 x 10 t 0 u0t 20 u10t 30 t 0 ux0 fx 40 x 0 x 30 a A distribuição de temperatura no estado estacionário é dada pela solução de Wx 0 0 x 10 W0 20 W10 30 Isto é Wx Ax B com W0 B 20 e W10 10A 20 30 A 1 Daí a distribuição de temperatura no estado estacionário é Wx x 20 0 x 10 b Sendo gx fx Wx 40 x x 20 20 2x o problema de valores de contorno que determina a solução transiente é vt vxx 0 x 10 t 0 v0t 0 v10t 0 t 0 vx0 20 2x 0 x 30 c A solução transiente vxt do problema obtido em b é vxt sum from n1 to bn en2 π2 t 100 senn π x 10 onde os bn são os coeficientes da série de Fourier da extensão periódica impar de gx 202x bn 210 ₀¹⁰ 20 2x senn π x 10 dx 40 n π n 1 2 3 Logo a solução transiente é vxt sum from n1 to 40 n π en2 π2 t 100 senn π x 10 d Finalmente a solução do problema de condução de calor 323 é a soma da solução no estado estacionário Wx com a solução transiente vxt que já determinamos Isto é uxt Wx vxt x 20 sum from n1 to 40 n π en2 π2 t 100 senn π x 10 Nas Figs 36 38 podemos ver como as funções ut Xx Tt K Xx Tt uxx logo Tt K Tt Xx Xx λ onde λ R é uma constante Desta forma obtemos as EDOs 327 Tt λ K Tt 0 328 Xx λ Xx 0 Sendo uxxt XxTt as condições de contorno 326 tornamse ux0t X0 Tt 0 e uxLt XL Tt 0 para todo t 0 Como não queremos Tt 0 para todo t 0 concluímos 329 X0 XL 0 Inicialmente devemos determinar os valores de λ autovalores para os quais o problema de SturmLiouville formado pela equação 328 junto com as condições de contorno 329 possui soluções não triviais Analisemos separadamente os casos λ 0 λ 0 e λ 0 Caso λ 0 Podemos escrever λ μ² com μ 0 A equação 328 se escreve na forma Xx μ² Xx 0 e sua solução geral é Xx A eμx B eμx Então Xx A μ eμx B μ eμx e usando as condições de contorno 329 temos X0 A μ eμ0 B μ eμ0 A B 0 A B XL A μ eμL B μ eμL A μ eμL A μ eμL A μ eμL eμL 0 A 0 pois μ 0 Logo A B 0 e portanto Xx 0 para todo x 0L é a solução trivial que não queremos Portanto o caso λ 0 fica descartado Caso λ 0 A equação 328 é Xx 0 cuja solução geral é Xx A Bx com A e B constantes arbitrárias Sendo Xx B e tomando x 0 ou x L obtemos B 0 por 329 Como não houve restrição alguma na constante A nosso problema tem por solução Xx A Caso λ 0 Escrevendo λ μ2 com μ 0 a equação 328 fica na forma Xx μ2 Xx 0 cuja solução geral é Xx A cosμ x B senμ x com A e B constantes arbitrárias Derivando Xx A μ senμ x B μ cosμ x e usando as condições de contorno 329 e que μ 0 obtemos X0 A μ senμ 0 B μ cosμ 0 B μ 0 B 0 Logo A 0 pois não queremos Xx 0 para todo x ε 0 L Também sendo A 0 e μ 0 obtemos XL A μ senμ L 0 μ L n π n ε Z μn n π L n ε Z Finalmente nosso problema de SturmLiouville possui as soluções2 Xnx An cosn π x L n ε N x ε 0 L Vamos analisar a equação 327 para os valores λ obtidos acima Para λ 0 a equação é Tt 0 donde Tt C é constante arbitrária Para λn n2 π2 L2 n ε N a equação é Tt n2 π2 L2 K Tt 0 n ε N cuja solução é 331 Tnt Cn en2 π2 K t L2 t ε 0 n ε N Concluímos que a função u0 x t AC a0 2 e por 330 e 331 as funções un x t Xnx Tn t An cosn π x L Cn e n2 π2 K t L2 an e n2 π2 K t L2 cosn π x L n 1 2 3 são soluções da equação do calor 324 que satisfazem as condições de contorno 326 Como a equação do calor 324 e as condições de contorno 326 são homogêneas podemos aplicar o princípio de superposição para concluir que 332 ux t u0 x t n1 un x t a0 2 n1 an e n2 π2 K t L2 cosn π x L é também solução de 323 que satisfaz 325 Confrontando com a condição inicial 324 obtemos que 331 será solução do nosso problema de transferência de calor na barra com extremidades isoladas se ux 0 a0 2 n1 an cosn π x L for a série de Fourier da extensão periódica par de fx com período 2L Isto é se os coeficientes an forem calculados pelas fórmulas de EulerFourier a0 2 L 0L fx dx e an 2 L 0L fx cosn π x L dx n 1 Exemplo 20 Considere uma barra metálica com L 4 m de comprimento constante de condutividade térmica K 1 extremidades isoladas e temperatura inicial fx senπ x L Determine a distribuição de temperatura ux t e a distribuição de temperatura no estado estacionário quando t Solução A distribuição de temperatura ux t é a solução do problema 333 ut uxx 0 x 4 t 0 334 ux0 t ux4 t 0 t 0 335 ux 0 fx senπ x 4 0 x 4 Temos ux t a0 2 n1 an e n2 π2 t 16 cosn π x 4 onde a0 24 04 fx dx 12 04 senπ x 4 dx 4π e para n 1 2 3 an 24 04 fx cosn π x 4 dx 12 04 senπ x 4 cosn π x 4 dx 0 para n impar 4 π n2 1 para n par 0 para n 1 2 1 1n π n2 1 para n 1 Assim ux t 2π 43π eπ2 t 4 cosπ x 2 435π e9 π2 t 4 cos3 π x 2 463π e4 π2 t cos2 π x 2 1 1n π n2 1 e n2 π2 t 16 cosn π x 4 Como limt e n2 π2 t 16 0 para todo n 1 então a temperatura no estado estacionário é Wx 2π FIG 39 Wx estado estacionário Nas seguintes figuras vemos como as funções UN x t 2π n2N 2 1 1n π n2 1 e n2 π2 t 16 cosn π x 4 para diferentes valores de N se aproximam da solução no estado estacionário quando t FIG 40 U2 x t FIG 41 U4 x t x u 4 L 2 1 Condicao inicial fx Estado estacionario Wx 2 π t0 t5 t1 t15 Fig 42 U8x t 31